index.tex

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage{francois_meria}
\usepackage[dvips]{graphicx}
\usepackage[dvips]{epsfig}
\setlength{\parindent}{0mm}
    \lhead{\textsf{Collège Château Forbin} - \textit{Mathématiques} - \textsf{5\ieme5}}
    \chead{}
    \rhead{\textit{Année} 2005/2006}
    \pagestyle{fancy}
  \renewcommand{\headrulewidth}{0.5pt}
 
\begin{document}
\centerline{\LARGE Les parallélogrammes : aire et construction}
 
\vskip 0.3cm
 
\begin{exercice}~
\begin{enumerate}[1.]
    \item Le quadrilatère ci-contre est un rectangle $ABCD$.
 
\begin{multicols}{2}
 
\vskip 0.1cm
 
\begin{enumerate}[(a)]
    \item Recopier le rectangle $ABCD$ en vraies grandeurs.
    \item Calculer l'aire de ce rectangle.
    \item Que peut-on dire d'un rectangle par rapport à un
    parallélogramme ?
\end{enumerate}
\begin{center}
    \psset{unit=0.75cm}
\pspicture(-0.5,-0.5)(6.5,3.5)
    \pstGeonode[PointSymbol=none,PosAngle={180,0,180}](0,0){A}(4,0){B}(0,3){D}
    \pstLineAB{A}{B} \pstLineAB{A}{D}
    \pstTranslation[PointSymbol=none,PosAngle=0]{A}{B}{D}{C}
    \pstLineAB{B}{C} \pstLineAB{C}{D}
    \pstRightAngle{B}{A}{D}
    \pstRightAngle{A}{B}{C}
    \pstRightAngle{B}{C}{D}
    \pstRightAngle{C}{D}{A}
    \pcline{<->}(0,-0.5)(4,-0.5) \lput*{:U}{4~cm}
    \pcline{<->}(5,0)(5,3) \mput*{3~cm}
\endpspicture
\end{center}
\end{multicols}
 
    \item Le quadrilatère $ABCD$ ci-contre est un parallélogramme.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[(a)]
    \item Que peut-on dire des triangles $ADH$ et $BCK$ ?
    \item En déduire l'aire du parallélogramme $ABCD$.
    \item Trouver une méthode pour calculer l'aire du
    parallélogramme $ABCD$, puis le faire.
\end{enumerate}
 
\begin{center}
    \psset{unit=0.75cm}
\pspicture(-0.5,-0.5)(6.5,3.5)
    \pstGeonode[PointSymbol=none,PosAngle={-90,-90,180}](0,0){A}(4,0){B}(1,3){D}
    \pstLineAB{A}{B} \pstLineAB{A}{D}
    \pstTranslation[PointSymbol=none,PosAngle=0]{A}{B}{D}{C}
    \pstLineAB{B}{C} \pstLineAB{C}{D}
    \pcline{<->}(1,3.5)(5,3.5) \lput*{:U}{4~cm}
    \pcline{<->}(6.5,0)(6.5,3) \mput*{3~cm}
    \pstProjection[PointSymbol=none]{A}{B}{D}{H}
    \pstLineAB[linestyle=dashed]{D}{H}
    \pstProjection[PointSymbol=none]{A}{B}{C}{K}
    \pstLineAB[linestyle=dashed]{C}{K}
    \pstLineAB[nodesepB=-1,linestyle=dashed]{B}{K}
    \pstRightAngle{C}{K}{B}
    \pstRightAngle{D}{H}{B}
\endpspicture
\end{center}
\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{exercice}
 
\vskip 0.5cm
 
\begin{multicols}{2}
\begin{definition}~\\
Dans la configuration ci-contre, on dit que le segment $[HK]$ est
une hauteur du parallélogramme $ABCD$ relative au côté $[AB]$.
\end{definition}
\begin{center}
    \psset{unit=0.75cm}
\pspicture(-0.5,-0.5)(6.5,3.5)
    \pstGeonode[PointSymbol=none,PosAngle={-90,-90,180}](0,0){A}(4,0){B}(1,3){D}
    \pstGeonode[PointSymbol=none,PosAngle=90](2,3){H}
    \pstLineAB{A}{B} \pstLineAB{A}{D}
    \pstTranslation[PointSymbol=none,PosAngle=0]{A}{B}{D}{C}
    \pstLineAB{B}{C} \pstLineAB{C}{D}
    \pstProjection[PointSymbol=none]{A}{B}{H}{K}
    \pstLineAB[linestyle=dashed]{K}{H}
    \pstRightAngle{C}{H}{K} \pstRightAngle{B}{K}{H}
    \put(2.4,1.5){$h$}
\endpspicture
\end{center}
\end{multicols}
 
\begin{propriete}
Si $ABCD$ est un parallélogramme et si $[HK]$ est une hauteur
relative au côté $[AB]$, alors l'aire du parallélogramme $ABCD$
est donnée par la formule
$$\boxed{\mathcal{A}=HK\times AB}$$
\end{propriete}
 
\begin{exercice}
Dans chacun des cas suivants, faire une figure en vraies grandeurs
 et calculer l'aire du parallélogramme donné.
\begin{multicols}{3}
\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\pspicture(-0.5,-0.5)(5,4)
\pstGeonode[PointSymbol=none,PosAngle={180,0,180}](0,0){A}(3.5,0){B}(1,3.5){D}
\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](2,3.5){H}
\pstLineAB{A}{B} \pstLineAB{A}{D}
\pstTranslation[PointSymbol=none,PosAngle=0]{A}{B}{D}{C}
\pstLineAB{B}{C} \pstLineAB{C}{D}
\pstProjection[PointSymbol=none,PointName=none]{A}{B}{H}{K}
\pstLineAB[linestyle=dashed]{K}{H} \pstRightAngle{C}{H}{K}
\pstRightAngle{B}{K}{H} \put(2.4,1.75){4~cm}
\pcline{<->}(0,-0.5)(3.5,-0.5) \lput*{:U}{5~cm}
\endpspicture
\end{center}
\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\pspicture(-0.5,-0.5)(5,4)
\rput{-2}{
\pstGeonode[PointSymbol=none,PosAngle={180,0,180}](0,0){S}(4,0){N}(1,3.5){F}
\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](2,3.5){H}
\pstLineAB{S}{N} \pstLineAB{S}{F}
\pstTranslation[PointSymbol=none,PosAngle=0]{S}{N}{F}{C}
\pstLineAB{N}{C} \pstLineAB{C}{F}
\pstProjection[PointSymbol=none,PointName=none]{S}{N}{H}{K}
\pstLineAB[linestyle=dashed]{K}{H} \pstRightAngle{C}{H}{K}
\pstRightAngle{N}{K}{H} \put(2.4,1.75){5~cm}
\pcline{<->}(0,-0.5)(4,-0.5) \lput*{:U}{3~cm} }
\endpspicture
\end{center}
\begin{center}
\psset{unit=0.75cm} \rput{6}{
\pspicture(-0.5,-0.5)(5,4)
\pstGeonode[PointSymbol=none,PosAngle={180,0,180}](0,0){J}(3.5,0){E}(1,2.5){N}
\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](2,2.5){H}
\pstLineAB{J}{E} \pstLineAB{J}{N}
\pstTranslation[PointSymbol=none,PosAngle=0]{J}{E}{N}{A}
\pstLineAB{E}{A} \pstLineAB{A}{N}
\pstProjection[PointSymbol=none,PointName=none]{J}{E}{H}{K}
\pstLineAB[linestyle=dashed]{K}{H} \pstRightAngle{A}{H}{K}
\pstRightAngle{E}{K}{H} \put(2.4,1.25){2~cm}
\pcline{<->}(0,-0.5)(3.5,-0.5) \lput*{:U}{4~cm}
\endpspicture
}
\end{center}
\end{multicols}
\end{exercice}
 
\vskip 1cm
 
\begin{exercice} Dans chacun des cas suivants, construire le
parallélogramme à l'aide des données suivantes.
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[(a)]
    \item $ABCD$ avec $AB=6~$~cm ; $DA=5$~cm et $\widehat{BAD}=40^{\circ}$.\\
    \item $EFGH$ avec $EF=8~$~cm ; $HE=4$~cm et $\widehat{EFG}=120^{\circ}$.\\
    \item $PAUL$ avec $PA=7~$~cm ; $AU=5$~cm et $\widehat{AUL}=80^{\circ}$.\\
    \item $SNCF$ avec $SN=6~$~cm ; $FS=5$~cm et $\widehat{SFN}=130^{\circ}$.\\
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercice}
 
\vskip 0.5cm
 
\begin{exercice}
Dans chaque cas, terminer la construction du parallélogramme
$ABCD$, puis en effectuant les mesures nécessaires, calculer
l'aire de chaque parallélogramme.
 
\vskip 1cm
 
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\pspicture(0,-0.5)(5,3)
\rput{-10}{
    \pstGeonode[PointSymbol=none,PosAngle={180,0,180}](0,0){A}(4,0){B}(1.5,3){D}
    \pstLineAB{A}{B} \pstLineAB{A}{D}
    }
\endpspicture
\end{center}
 
\begin{center}
\pspicture(0,-0.5)(5,3)
    \pstGeonode[PointSymbol=none,PosAngle={0,180,0}](4,0){A}(0,0){B}(1.5,3){D}
    \pstLineAB{A}{B} \pstLineAB{A}{D}
\endpspicture
\end{center}
\end{multicols}
 
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\pspicture(0,-0.5)(5,3)
\rput{-45}{
    \pstGeonode[PointSymbol=none,PosAngle={180,0,180}](0,0){A}(4,0){B}(1.5,3){D}
    \pstLineAB{A}{B} \pstLineAB{A}{D}
}
\endpspicture
\end{center}
\begin{center}
\pspicture(0,-0.5)(5,3)
\rput{-90}{
    \pstGeonode[PointSymbol=none,PosAngle={0,180,0}](4,0){A}(0,0){B}(1.5,3){D}
    \pstLineAB{A}{B} \pstLineAB{A}{D}
}
\endpspicture
\end{center}
\end{multicols}
 
\vskip 5cm
 
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\pspicture(0,-0.5)(5,3)
\rput{5}{
    \pstGeonode[PointSymbol=+,PosAngle={180,0,180}](0,0){A}(4,0){B}(1.5,3){D}
    \pstLineAB{A}{B} \pstLineAB{A}{D}
    \pstMiddleAB[PointSymbol=+,CodeFig=true,CodeFigColor=black,SegmentSymbol=pstslashh,PosAngle=-22]{B}{D}{O}
    \pstLineAB[linestyle=dashed]{A}{O}
    }
\endpspicture
\end{center}
\begin{center}
\pspicture(0,-0.5)(5,3)
\rput{15}{
    \pstGeonode[PointSymbol=+,PosAngle={0,180,0}](4,0){A}(0,0){B}(1.5,3){D}
    \pstLineAB{A}{B} \pstLineAB{A}{D}
    \pstLineAB[linestyle=dashed]{B}{D}
    }
\endpspicture
\end{center}
\end{multicols}
\begin{multicols}{2}
\begin{center}
\pspicture(0,-3.5)(5,3)
\rput{-45}{
    \pstGeonode[PointSymbol=+,PosAngle={180,0,180}](0,0){A}(4,0){B}(1.5,3){D}
    \pstLineAB{A}{B} \pstLineAB{A}{D}
    }
\endpspicture
\end{center}
\begin{center}
\pspicture(-1,-5)(5,3)
\rput{-90}{
    \pstGeonode[PointSymbol=+,PosAngle={0,180,0}](4,0){A}(0,0){B}(1.5,3){D}
    }
\endpspicture
\end{center}
\end{multicols}
\end{exercice}
\end{document}