index.tex

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
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\pagestyle{fancy}
\begin{document}
\begin{center}
{\large \textbf{DS \textit{correction} : \og Règles de priorités, distributivité \& construction de triangles \fg }}\\
\end{center}

\vskip 0.3cm \hrule\vspace{\baselineskip}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% DEBUT DES EXERCICES %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{exercice} (3 points) - Voici les calculs demandés.
\begin{multicols}{3}

$\begin{array}{rl} A = & 11+2\times 7\\ = & 11+14\\ = & 25\\ \end{array}$

$\begin{array}{rl} B = & 4\times 9 - 5\times 4\\ = & 36 - 20\\ = & 16\\ \end{array}$

$\begin{array}{rl} C = & 39-5\times 5\\ = & 39-25\\ = & 14\\ \end{array}$

$\begin{array}{rl} D = & 9-3\div 3\\ = & 9-1\\ = & 8\\ \end{array}$

$\begin{array}{rl} E = & 36\div 4-2+6\times 3\\ = & 9-2+18\\ = & 25\\ \end{array}$

$\begin{array}{rl} F = & 10\times 4\div 2-6\times 3 \\ = & 20-18\\ = & 2\\ \end{array}$
\end{multicols}
\end{exercice}

\begin{exercice} (5 points) - Voici les calculs demandés.
\begin{multicols}{3}

$\begin{array}{rl} A = & 7\times (6+4)\\ = & 7\times 10\\ = & 70\\ \end{array}$

$\begin{array}{rl} B = & 28-3\times 6\\ = & 28-18\\ = & 10\\ \end{array}$

$\begin{array}{rl} C = & (5+2)\times (9-7)\\ = & 7\times 2\\ = & 14\\ \end{array}$

$\begin{array}{rl} D = & (13-7)\div 2\\ = & 6 \div 2\\ = & 3\\ \end{array}$

$\begin{array}{rl} E = & 10-[7-(3+2)]\\ = & 10-[7-5]\\ = & 10-2\\ = & 8\\ \end{array}$

$\begin{array}{rl} F = & 1+(9 + 5 \times 7) \div 4 \\ = & 1+(9+35) \div 4\\ = & 1+44\div 4\\ = & 1+11\\ = & 12\\ \end{array}$
\end{multicols}

\end{exercice}

\begin{exercice} (4 points)

\begin{enumerate}[1.]
\item \begin{enumerate}
\item Le premier client achète 3 baguettes à $0,65$ euro
pièce, 2 pains au chocolat à $0,80$ euro pièce et 3 croissants
à $0,75$ euro pièce. Le calcul demandé, en euros, est donc
: $$P_1=3\times 0,65 + 2\times 0,80 + 3\times 0,75$$
\item Le deuxième client achète 2 baguettes, 2 pains au chocolat et
1 croissant. Le calcul demandé, en euros, est donc : $$P_2=2\times 0,65+2\times 0,80+1\times 0,75$$
\item Le troisième client achète 4 baguettes, 4 pains au chocolat et
4 croissants. Le calcul demandé, en euros, est donc : $$P_3=4\times 0,65+4\times 0,80+4\times 0,75$$
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item On a : $P_1=3\times 0,65 + 2\times 0,80 + 3\times 0,75 = 1,95+1,60+2,25 = 5,80$.\\
Le premier client doit donc payer $5,80$ euros.
\item On a : $P_2=2\times 0,65+2\times 0,80+1\times 0,75 = 1,30+1,60+0,75 = 3,65$.\\
Le deuxième client doit donc payer $3,65$ euros.
\item On a :$P_3=4\times 0,65+4\times 0,80+4\times 0,75 = 4\times(0,65+0,80+0,75) = 4\times2,20 = 8,80$.\\
Le troisième client doit donc payer $8,80$ euros.
\end{enumerate}
\item La caissière doit rendre au 3e client la somme de 11,20 euros.
En effet, l'opération à écrire est : $20-8,80 = 11,20$.
\end{enumerate}

\end{exercice}

\begin{exercice} (4 points)
\begin{enumerate}[1.]
\item On rappelle que développer un produit, c'est l'écrire
sous forme d'une somme ou d'une différence.\\

\begin{tabular}{p{3.3cm}p{3.8cm}p{4.2cm}p{5.3cm}}

$\begin{array}{rl} A = & 5\times(3+6)\\ = & 5\times 3 + 5\times 6 \\ = & 15 + 30\\ = & 45\\ \end{array}$
&
$\begin{array}{rl} B = & 12\times(100-2)\\ = & 12\times 100-12\times 2 \\ = & 1200-24\\ = & 1176\\ \end{array}$
&
$\begin{array}{rl} C = & 1200\times(10+1)\\ = & 1200\times 10+1200\times 1 \\ = & 12000+1200\\ = & 13200\\ \end{array}$
&
$\begin{array}{rl} D = & 12,4\times(2+10)\\ = & 12,4\times 2 + 12,4\times 10\\ = & 24,8 + 124 \\ = & 148,8\\ \end{array}$\\
\end{tabular}

\item On rappelle que factoriser une somme ou une différence,
c'est l'écrire sous forme d'un produit.\\

\begin{tabular}{p{4cm}p{4cm}p{4.4cm}p{4.7cm}}

$\begin{array}{rl} E = & 4,6\times 3+5,4\times 3\\ = & 3\times(4,6+5,4)\\ = & 3\times 10 \\ = & 30\\ \end{array}$
&
$\begin{array}{rl} F = & 182\times 98 + 182\times 2\\ = & 182\times (98+2) \\ = & 182 \times 100\\ = & 18200\\ \end{array}$
&
$\begin{array}{rl} G = & 8,9\times 3,7 - 8,9\times 1,7\\ = & 8,9\times (3,7-1,7) \\ = & 8,9\times 2\\ = & 17,8\\ \end{array}$
&
$\begin{array}{rl} H = & 6 \times 7,3 + 6\times2,7\\ = & 6\times (7,3+2,7)\\ = & 6\times 10\\ = & 60\\ \end{array}$\\
\end{tabular}
\end{enumerate}
\end{exercice}

\begin{exercice} (4 points)
\begin{enumerate}[(a)]
\item La longueur $BC$ est la longueur du plus grand côté du
triangle $ABC$, et $10<5+7$ c.-à-d. $BC<BA+AC$. On en conclut
que les longueurs du triangle $ABC$ vérifient l'inégalité
triangulaire, et que donc le triangle $ABC$ peut être
construit. La construction de ce triangle est donnée
ci-dessous. Remarquons qu'il y a deux possibilités pour le
point $A$ ; le second point étant le point $A'$.
%\noindent \small{\textit{Les longueurs ne sont pas en \emph{cm}
%pour des raisons de place et d'économie de papier}}.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\pspicture(0,-4.5)(10,4.5)
%    \psgrid[subgriddiv=1,griddots=5]
\pstGeonode[PointSymbol=none,PosAngle={-135,-45}](0,0){B}(10,0){C}
\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](3,0){P_1}(5,0){P_2}
\pstLineAB{B}{C}
%    \pstCircleOA{B}{P_2}
\pstInterCC[PointSymbol=+,CodeFigB=true,CodeFigAarc=false,CodeFigA=true,CodeFigColor=black,PosAngleA=25]{B}{P_2}{C}{P_1}{A}{A'}
\pstLineAB{B}{A} \pstLineAB{C}{A}
\put(5,-0.6){10 cm} \put(1,2){5 cm} \put(7,2){7 cm}
\endpspicture
\end{center}
\item On a : $13>5+7$, donc $BC>BA+AC$ et donc les longueurs
des côtés du triangle $ABC$ ne vérifient pas l'inégalité
triangulaire. Il n'est donc pas possible de construire un
triangle $ABC$ avec les longueurs $AB= 5$ ; $AC= 7$ et $BC= 13$.
\item On a : $30=14+16$, donc $AC=AB+BC$ et donc les longueurs
des côtés du triangle $ABC$ ne vérifient pas l'inégalité
triangulaire. Il n'est donc pas possible de construire un
triangle $ABC$ avec les longueurs $AB= 14$ ; $AC= 30$ et $BC= 16$. Si on effectue la construction, le point $B$ se trouvera
sur le segment $[AC]$, c.-à-d. qu'on pourrait construire un
triangle aplati, ce qui ne rentre pas dans le cadre de notre
définition d'un triangle.
\item Comme dans la question $(\textrm{b})$, $19,00001>14+5$ et donc
les longueurs des côtés d'un tel triangle $ABC$ ne vérifient
pas l'inégalité triangulaire. Le triangle n'est donc pas
constructible.
\end{enumerate}

\end{exercice}

\end{document}