\documentclass[a4paper,11pt]{article} \usepackage{francois_meria} \usepackage[dvips]{graphicx} \usepackage[dvips]{epsfig} \usepackage{calc,multirow} \setlength{\parindent}{0mm} \lhead{\textsf{Collège Château Forbin} - \textit{Mathématiques} - \textsf{5\ieme5}} \chead{} \rhead{\textit{Année} 2005/2006} \pagestyle{fancy} \renewcommand{\headrulewidth}{0.5pt} \begin{document} \centerline{\LARGE Les nombres relatifs : découverte, comparaison, repères} \vskip 1cm \section{Découverte, placement sur un axe et comparaison} \begin{exercice} Monsieur Truc possède un compte dans la banque Argent. Les recettes et les dépenses de Monsieur Truc sont reportées dans le tableau suivant. \begin{center} \begin{tabular}{|l|c|r|r|r|} \hline \multicolumn{1}{|c|}{\multirow{2}{3.5cm}{\textsf{Désignation}}} & \multicolumn{1}{c|}{\multirow{2}{1cm}{\textsf{Date}}} & \multicolumn{1}{c|}{\textsf{Dépenses}} & \textsf{Recettes} & \multicolumn{1}{c|}{\textsf{Solde Restant}} \\ \multicolumn{1}{|c|}{} & \multicolumn{1}{c|}{} & \multicolumn{1}{c|}{\textsf{en euros}} & \multicolumn{1}{c|}{\textsf{en euros}} & \multicolumn{1}{c|}{\textsf{en euros}} \\ \hline \multicolumn{4}{|l|}{{\it Solde du mois précédent}} & \textbf{258,00} \\ \hline Retrait d'argent & 01/03/06 & 100,00 & & 158,00 \\ \hline Assurance voiture & 02/03/06 & 140,00 & & 18,00 \\ \hline Courses supermarché & 15/03/06 & 12,80 & & 5,20 \\ \hline Lavage voiture & 04/03/06 & 4,00 & & 1,20 \\ \hline Impôts & 15/03/06 & 200,00 & & $-$198,80 \\ \hline Salaire & 28/03/06 & & 1350,00 & 1151,20 \\ \hline Retrait d'argent & 31/03/06 & 120,00 & & 1031,20 \\ \hline \multicolumn{4}{|l|}{{\it Solde Restant du mois}} & \textbf{1031,20} \\ \hline \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate}[1.] \item Que signifie le nombre placé à l'intersection de la colonne \og Solde Restant \fg ~et de la ligne \og Impôts \fg~?\\ \begin{tabularx}{\textwidth}{|X|} \hline Dans le cas où un nombre est précédé d'un signe \og $-$ \fg, on dit que ce nombre est un nombre \textbf{négatif}. Si on assemble tous les nombres décimaux \textbf{positifs} \fbox{et} tous les nombres décimaux \textbf{négatifs}, on obtient les \textbf{nombres décimaux relatifs}.\\ \hline \end{tabularx} \vskip 0.3cm \item Au cours de l'année, Monsieur Truc a dépensé et encaissé les sommes données dans le tableau suivant. \begin{center} \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|} \hline {\bf Dépenses} en \euro & -100 & -250 & -50 & -70 & -182 \\ \hline {\bf Recettes} en \euro & 450 & 150 & 50 & 12 & 200 \\ \hline \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate}[(a)] \item Placer ces sommes d'argent sur l'axe ci-dessous. \item Ranger ces sommes d'argent dans l'ordre croissant. \item \'Ecrire une méthode permettant de comparer des nombres relatifs. \end{enumerate} \psset{unit=0.85cm} \begin{center} \pspicture(-10.5,-1.5)(10.5,1) %\psgrid \psline{->}(-10,.5)(10,.5) \multirput(-9.5,.5)(1,0){20}{+} \uput[90](-9.5,0.5){-450} \uput[90](-8.5,0.5){-400} \uput[90](-7.5,0.5){-350} \uput[90](-6.5,0.5){-300} \uput[90](-5.5,0.5){-250} \uput[90](-4.5,0.5){-200} \uput[90](-3.5,0.5){-150} \uput[90](-2.5,0.5){-100} \uput[90](-1.5,0.5){-50} \uput[90](-0.5,0.5){0} \uput[90](0.5,0.5){50} \uput[90](1.5,0.5){100} \uput[90](2.5,0.5){150} \uput[90](3.5,0.5){200} \uput[90](4.5,0.5){250} \uput[90](5.5,0.5){300} \uput[90](6.5,0.5){350} \uput[90](7.5,0.5){400} \uput[90](8.5,0.5){450} \uput[90](9.5,0.5){500} \psline[linestyle=dotted]{<->}(-10,-1.5)(-0.6,-1.5) \put(-7,-1){dépenses en \euro} \put(4,-1){recettes en \euro} \psline[linestyle=dotted]{<->}(-0.4,-1.5)(10,-1.5) \endpspicture \end{center} \end{enumerate} \end{exercice} \vskip 0.5cm \begin{definition} Chaque point d'une droite graduée esr repéré par un nombre relatif appelé \textbf{abscisse du point}. \end{definition} \begin{exemple} Le point $A$ a pour abscisse $+2$ et le point $B$ a pour abscisse $-3$. On note alors : $A(2)$ et $B(-3)$.\\ \begin{center} \pspicture(-5.5,0)(5.5,0.5) \psline{->}(-6,.5)(6,.5) \multirput(-5.5,.5)(1,0){12}{+} \uput[90](-5.5,0.5){-5} \uput[90](-4.5,0.5){-4} \uput[90](-3.5,0.5){-3} \uput[90](-2.5,0.5){-2} \uput[90](-1.5,0.5){-1} \uput[90](-0.5,0.5){0} \uput[90](0.5,0.5){1} \uput[90](1.5,0.5){2} \uput[90](2.5,0.5){3} \uput[90](3.5,0.5){4} \uput[90](4.5,0.5){5} \uput[90](5.5,0.5){6} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotsize=0.2](-3.5,0.5)\uput[-90](-3.5,0.5){$B$} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotsize=0.2](1.5,0.5)\uput[-90](1.5,0.5){$A$} \endpspicture \end{center} \end{exemple} \begin{exercice} Sur la droite graduée suivante : \begin{center} \begin{pspicture}(0,0.2)(11,1) \psline(0,.5)(11,.5) \multirput(.5,.5)(1,0){11}{+} \uput[90](1.5,0.5){-3,4} \uput[90](5.5,0.5){-3,2} \uput[90](9.5,0.5){-3} \uput[-90](7.5,0.5){$A$} \uput[-90](2.5,0.5){$B$} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate}[1.] \item Quelles sont les abscisses des points $A$ et $B$ ? \item Placer les points $C$ et $D$ d'abscisses respectives $-3,3$ et $-3,05$. \end{enumerate} \end{exercice} \begin{exercice} \begin{enumerate}[(a)] \item Construire un axe gradué allant des nombres $-10$ à $10$ avec 1 carreau pour unité, puis placer les points suivants sur cer axe.\\ \begin{center} \begin{tabular}{cccc} $A(2,5)$ & $B(-8)$ & $C(7)$ & $D(-9)$ \\ $E(3)$ & $F(-4)$ & $G(2)$ & $H(-1)$ \\ \end{tabular} \end{center} \item Ranger les abscisses des points de la question (a) dans l'ordre croissant puis dans l'ordre décroissant. \end{enumerate} \end{exercice} \begin{exercice} Même exercice que l'exercice précédent avec les nombres :\\ \begin{center} \begin{tabular}{cccc} $A(6,2)$ & $B(-8,6)$ & $C(4,6)$ & $D(-2,1)$ \\ $E(5)$ & $F(-4)$ & $G(-3,8)$ & $H(6,9)$ \\ \end{tabular} \end{center} \end{exercice} \section{Placer des points dans le plan} Alors que sur une droite graduée, un point est repéré par un nombre, dans le plan un point est repéré par deux nombres. Pour repérer un point dans le plan, on trace deux axes gradués (en général perpendiculaires, mais pas nécessairement), puis on lit les \textbf{coordonnées} du point. On repère un point dans le plan par le premier nombre : son \textbf{abscisse} et le deuxième nombre : son \textbf{ordonnée}.\\ \begin{multicols}{2} Par exemple, sur le graphique ci-contre, on a : \begin{enumerate}[(a)] \item L'axe $(Ox)$ est l'axe des abscisses. \item L'axe $(Oy)$ est l'exe des ordonnées. \item Le point $A$ a pour abscisse $2$ et pour ordonnée $3$.\\ On note alors $A(2~;~3)$. \item L'abscisse du point $B$ est $4$ et son ordonnée est $-1$. Les coordonnées de $B$ sont $(4~;~-1)$. \item On a $C(-3~;~4)$ et $D(-2,5~;~-4)$. \item $O(0~;~0)$. \end{enumerate} \columnbreak \begin{center} \psset{unit=0.8cm} \begin{pspicture*}(-5,-5)(5,5) \psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,griddots=10](-5,-5)(5,5) \psaxes[linewidth=1.0pt]{->}(0,0)(-5,-5)(5,5) \put(-0.5,-0.5){$O$} \put(4.5,-0.5){$x$} \put(-0.5,4.5){$y$} \pstGeonode[PointSymbol=+](2,3){A}(4,-1){B}(-3,4){C}(-2.5,-4){D} \end{pspicture*} \end{center} \end{multicols} \begin{exercice} \begin{multicols}{2} Placer les points suivants sur le graphique ci-contre.\\ \begin{center} \begin{tabular}{ll} $A(+1;-2)$ & $I( 1;+1)$\\ $B(+5;-2)$ & $J(-1;-3)$\\ $C(-2;+2)$ & $K( 5;-1)$\\ $D(-2;-4)$ & $L( 4;-3)$\\ $E(+2;+3)$ & $M(-4;+2)$\\ $F(+3;-2)$ & $N( 2;+2)$\\ $G(+1;+5)$ & $P(-2;-1)$\\ $H(-1;-3)$ & $Q(-4;-1)$\\ \end{tabular} \end{center} \columnbreak \begin{center} \psset{unit=0.5cm} \begin{pspicture*}(-6,-6)(6,6) \psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,griddots=10](-6,-6)(6,6) \psaxes[linewidth=1.0pt,labels=none]{->}(0,0)(-6,-6)(6,6) \put(-0.5,-0.5){$O$} \put(5.5,-0.5){$x$} \put(-0.5,5.5){$y$} \end{pspicture*} \end{center} \end{multicols} \end{exercice} \newpage \begin{exercice} \begin{multicols}{2} Sur le repère suivant, quelles sont les coordonnées des points $A$, $B$, $C$ et $D$ ? Recopier et compléter le tableau suivant. \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline {\bf Point} & {\bf Abscisse} & {\bf Ordonnée} & {\bf Coordonnées} \\ \hline $A$ & & & \\ \hline $B$ & & & \\ \hline $C$ & & & \\ \hline $D$ & & & \\ \hline \end{tabular} \end{center} \columnbreak \begin{center} \begin{pspicture}(8,6) \psgrid[subgriddiv=10, gridlabels=0, gridwidth=1pt, gridcolor=gray, subgridwidth=0.1pt, subgridcolor=gray](8,6) \psset{unit=1}% \psaxes{->}(4,3)(0,0)(8,6) \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotsize=3pt 3.5](2,5) \uput[135](2,5){$D$} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotsize=3pt 3.5](5,6) \uput[-45](5,6){$A$} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotsize=3pt 3.5](2.5,1.3) \uput[45](2.5,1.3){$B$} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotsize=3pt 3.5](5.5,3) \uput[45](5.5,3){$C$} \put(3.5,2.5){$O$} \put(7.5,2.5){$x$} \put(3.5,5.5){$y$} \end{pspicture} \end{center} \end{multicols} \end{exercice} \begin{exercice} \begin{multicols}{2} \begin{enumerate}[1.] \item Quelles sont les coordonnées des points $A$, $B$ et $C$ ? \item Placer les points $D(3;3)$, $E(-1,5;2)$ et $F(-3,2;0)$ \item Parmi les six points, quels sont ceux qui ont une ordonnée positive ? \end{enumerate} \columnbreak \begin{center} \begin{pspicture}(8,6) \psgrid[subgriddiv=10, gridlabels=0, gridwidth=1pt, gridcolor=gray, subgridwidth=0.1pt, subgridcolor=gray](8,6) \psset{unit=1}% \psaxes{->}(4,3)(0,0)(8,6) \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotsize=3pt 3.5](5,5) \uput[45](5,5){$A$} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotsize=3pt 3.5](7.2,2.3) \uput[45](7.2,2.3){$B$} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotsize=3pt 3.5](4,2) \uput[45](4,2){$C$} \put(3.5,2.5){$O$} \put(7.8,2.5){$x$} \put(3.5,5.5){$y$} \end{pspicture} \end{center} \end{multicols} \end{exercice} \begin{exercice} \begin{multicols}{2} \begin{enumerate}[1.] \item Tracer le quadrilatère $ABCD$. Quelle est la forme du quadrilatère ABCD ? \item Quelles sont les coordonnées des points $A$, $B$, $C$ et $D$ ? \item $[AB]$ et $[DC]$ coupent l'axe des abscisses respectivement en $I$ et $J$.\\ $[AB]$ et $[DC]$ coupent l'axe des ordonnées respectivement en $K$ et $L$. \begin{enumerate} \item Marquer les points $I$, $J$, $K$ et $L$. \item Quelles sont les coordonnées des points $I$, $J$, $K$ et $L$ ? \end{enumerate} \item Marquer le point $F(+1,5 ; +2,5)$. \item Tracer les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ de $ABCD$. Que remarque t-on ? \end{enumerate} \bigskip \bigskip \columnbreak \psset{unit=.6cm}% \begin{pspicture}(15,15) \multirput(0,0.2){75}{ \psline[linewidth=0.1pt, linecolor=gray](0,0)(15,0) } \psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridwidth=1pt,gridcolor=gray,subgridwidth=0.1pt,subgridcolor=gray,labels=none](15,15) \psaxes[linewidth=1.1pt,labels=none]{->}(6,5)(0,0)(15,15) \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotsize=3pt 3.5](1,4) \uput[180](1,4){$A$} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotsize=3pt 3.5](4,1) \uput[-90](4,1){$D$} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotsize=3pt 3.5](14,11) \uput[45](14,11){$C$} \psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotsize=3pt 3.5](11,14) \uput[45](11,14){$B$} \uput[-90](7,5){$1$} \uput[180](6,6){$1$} \end{pspicture} \end{multicols} \end{exercice} \end{document}