\documentclass[a4paper,11pt]{article} \usepackage{francois_meria} \usepackage[dvips]{graphicx} \usepackage[dvips]{epsfig} \usepackage{calc,multirow} \setlength{\parindent}{0mm} \lhead{\textsf{Collège Château Forbin} - \textit{Mathématiques} - \textsf{4\ieme 1}} \chead{} \rhead{\textit{Année} 2005/2006} \pagestyle{fancy} \renewcommand{\headrulewidth}{0.5pt} \begin{document} \centerline{\LARGE Droites parallèles coupées par deux sécantes} \vskip 1cm {\large \textbf{À la découverte d'une nouvelle propriété}} \vskip 1cm \begin{multicols}{2} Sur la figure ci-contre, on a : \begin{enumerate}[(a)] \item Les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont sécantes en $A$. \item Le point $M$ appartient au segment $[AB]$. \item Le point $N$ appartient au segment $[AC]$. \item Les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles. \end{enumerate} \begin{center} \psset{unit=1cm} \pspicture(0,-2)(8,5) %\psgrid \rput{45}{ \pstGeonode[PointSymbol=none,PosAngle={45,200}](2.5,4.5){A}(2.5,-3.5){B} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](6.5,-3.5){T} \pstCurvAbsNode[PointSymbol=none,PosAngle=35]{B}{T}{C}{-50} \pstHomO[HomCoef=0.75,PointSymbol=+,PosAngle=200]{A}{B}{M} \pstHomO[HomCoef=0.75,PointSymbol=+,PosAngle=35]{A}{C}{N} \pstLineAB[nodesep=-1]{A}{B} \pstLineAB[nodesep=-1]{A}{C} \pstLineAB[nodesep=-1]{C}{B} \pstLineAB[nodesep=-1]{M}{N} } \endpspicture \end{center} \end{multicols} \vskip 0.5cm Mesurer les longueurs des triangles $ABC$ et $AMN$ puis compléter le tableau suivant. \begin{center} \begin{tabularx}{\textwidth}{|c|X|X|X|} \hline \multirow{3}{2cm}{Longueurs des côtés de $AMN$} & & & \\ & $AM=$ & $AN=$ & $MN=$ \\ & & & \\ \hline \multirow{3}{2cm}{Longueurs des côtés de $ABC$} & & & \\ & $AB=$ & $AC=$ & $BC=$ \\ & & & \\ \hline \end{tabularx} \end{center} Que peut-on dire de ce tableau ? \dotfill\\ \null \dotfill\\ \null \dotfill\\ Que peut-on en déduire sur les longueurs des côtés des triangles $AMN$ et $ABC$ ?\dotfill\\ \null \dotfill\\ \null \dotfill\\ \newpage \begin{exercice} - \og \textit{parallèles et sécantes, reconnaître les données dans une configuration} \fg\\ Les droites en pointillés sont parallèles. Retrouver pour chaque figure la configuration du cours avec le petit et le grand triangle et les deux droites parallèles, remplir le tableau de proportionnalité puis écrire l'égalité de rapports correspondante. \begin{multicols}{2} \begin{center} \psset{unit=1cm} \pspicture(7,7) \pstGeonode[PointSymbol=none,PosAngle={45,200}](2.5,6){A}(1,2.5){B} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](3.5,1){T} \pstCurvAbsNode[PointSymbol=none,PosAngle=35]{B}{T}{C}{10} \pstHomO[HomCoef=0.75,PointSymbol=+,PosAngle=200]{A}{B}{M} \pstHomO[HomCoef=0.75,PointSymbol=+,PosAngle=35]{A}{C}{N} \pstLineAB[nodesep=-1]{A}{B} \pstLineAB[nodesep=-1]{A}{C} \pstLineAB[nodesep=-1,linestyle=dashed]{C}{B} \pstLineAB[nodesep=-1,linestyle=dashed]{M}{N} \put(0,6.5){\pscirclebox{1}} \endpspicture \end{center} \columnbreak Petit triangle : \dotfill\\ Grand triangle : \dotfill\\ Droites parallèles : \dotfill \\ \begin{center} \begin{tabular}{|l*{3}{|p{2cm}}|} \cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{} & \multicolumn{3}{c|}{Côtés correspondants} \\ \hline Petit & & & \\ triangle & & & \\ \hline Grand & & & \\ triangle & & & \\ \hline \end{tabular} \end{center} \vskip 0.4cm \'Egalité des rapports : \dotfill \end{multicols} \hrule\vspace{\baselineskip} \vskip 0.2cm \begin{multicols}{2} \begin{center} \psset{unit=1cm} \pspicture(7,7) \pstGeonode[PointSymbol=none,PosAngle={0,180}](4,0.5){A}(3,1.5){B} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](5.5,1.5){T} \pstCurvAbsNode[PointSymbol=none,PosAngle=0]{B}{T}{C}{50} \pstHomO[HomCoef=2.3,PointSymbol=+,PosAngle=180]{A}{B}{M} \pstHomO[HomCoef=2.3,PointSymbol=+,PosAngle=0]{A}{C}{N} \pstLineAB[nodesep=-1]{A}{M} \pstLineAB[nodesep=-1]{A}{N} \pstLineAB[nodesep=-1,linestyle=dashed]{C}{B} \pstLineAB[nodesep=-1,linestyle=dashed]{M}{N} \put(0,6.5){\pscirclebox{2}} \endpspicture \end{center} \columnbreak Petit triangle : \dotfill\\ Grand triangle : \dotfill\\ Droites parallèles : \dotfill \\ \begin{center} \begin{tabular}{|l*{3}{|p{2cm}}|} \cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{} & \multicolumn{3}{c|}{Côtés correspondants} \\ \hline Petit & & & \\ triangle & & & \\ \hline Grand & & & \\ triangle & & & \\ \hline \end{tabular} \end{center} \vskip 0.4cm \'Egalité des rapports : \dotfill \end{multicols} \hrule\vspace{\baselineskip} \vskip 0.2cm \begin{multicols}{2} \begin{center} \psset{unit=1cm} \pspicture(7,7) \pstGeonode[PointSymbol=none,PosAngle={180,180}](0.5,0.5){D}(2.5,3.5){E} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](4,3.5){T} \pstCurvAbsNode[PointSymbol=none,PosAngle=0]{E}{T}{F}{-40} \pstHomO[HomCoef=1.6,PointSymbol=+,PosAngle=180]{D}{E}{I} \pstHomO[HomCoef=1.6,PointSymbol=+,PosAngle=0]{D}{F}{J} \pstLineAB[nodesep=-1]{D}{I} \pstLineAB[nodesep=-1]{D}{J} \pstLineAB[nodesep=-1,linestyle=dashed]{F}{E} \pstLineAB[nodesep=-1,linestyle=dashed]{I}{J} \put(0,6.5){\pscirclebox{3}} \endpspicture \end{center} \columnbreak Petit triangle : \dotfill\\ Grand triangle : \dotfill\\ Droites parallèles : \dotfill \\ \begin{center} \begin{tabular}{|l*{3}{|p{2cm}}|} \cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{} & \multicolumn{3}{c|}{Côtés correspondants} \\ \hline Petit & & & \\ triangle & & & \\ \hline Grand & & & \\ triangle & & & \\ \hline \end{tabular} \end{center} \vskip 0.4cm \'Egalité des rapports : \dotfill \end{multicols} \newpage \begin{multicols}{2} \begin{center} \psset{unit=1cm} \pspicture(7,7) \pstGeonode[PointSymbol=none,PosAngle={45,150}](0.5,3.5){L}(6,5){M} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](6,2){T} \pstCurvAbsNode[PointSymbol=none,PosAngle=225]{M}{T}{N}{10} \pstHomO[HomCoef=0.35,PointSymbol=+,PosAngle=150]{L}{M}{A} \pstHomO[HomCoef=0.35,PointSymbol=+,PosAngle=225]{L}{N}{B} \pstLineAB[nodesep=-1]{L}{M} \pstLineAB[nodesep=-1]{L}{N} \pstLineAB[nodesep=-1,linestyle=dashed]{N}{M} \pstLineAB[nodesep=-1,linestyle=dashed]{A}{B} \put(0,6.5){\pscirclebox{4}} \endpspicture \end{center} \columnbreak Petit triangle : \dotfill\\ Grand triangle : \dotfill\\ Droites parallèles : \dotfill \\ \begin{center} \begin{tabular}{|l*{3}{|p{2cm}}|} \cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{} & \multicolumn{3}{c|}{Côtés correspondants} \\ \hline Petit & & & \\ triangle & & & \\ \hline Grand & & & \\ triangle & & & \\ \hline \end{tabular} \end{center} \vskip 0.4cm \'Egalité des rapports : \dotfill \end{multicols} \hrule\vspace{\baselineskip} \vskip 0.2cm \begin{multicols}{2} \begin{center} \psset{unit=1cm} \pspicture(7,7) \pstGeonode[PointSymbol=none,PosAngle={145,140}](1,0.5){K}(0.25,5){L}(6,0.2){J} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](4,5){T} \pstCurvAbsNode[PointSymbol=none,PosAngle=-15]{L}{T}{I}{30} \pstHomO[HomCoef=0.75,PointSymbol=+,PosAngle=140]{K}{L}{A} \pstHomO[HomCoef=0.75,PointSymbol=+,PosAngle=-15]{K}{I}{B} \pstLineAB[nodesep=-1]{K}{L} \pstLineAB[nodesep=-1]{K}{I} \pstLineAB[nodesep=-1,linestyle=dashed]{I}{L} \pstLineAB[nodesepA=-1,nodesepB=-2.5,linestyle=dashed]{A}{B} \pstLineAB[nodesep=-1]{K}{J} \pstLineAB[nodesep=-1]{I}{J} \put(0,6.5){\pscirclebox{5}} \pstInterLL[PointSymbol=none,PosAngle=45]{A}{B}{I}{J}{C} \endpspicture \end{center} \columnbreak Petit triangle : \dotfill\\ Grand triangle : \dotfill\\ Droites parallèles : \dotfill \\ \begin{center} \begin{tabular}{|l*{3}{|p{2cm}}|} \cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{} & \multicolumn{3}{c|}{Côtés correspondants} \\ \hline Petit & & & \\ triangle & & & \\ \hline Grand & & & \\ triangle & & & \\ \hline \end{tabular} \end{center} \vskip 0.4cm \'Egalité des rapports : \dotfill \end{multicols} \hrule\vspace{\baselineskip} \vskip 0.2cm \begin{multicols}{2} \begin{center} \psset{unit=1cm} \pspicture(7,7) \pstGeonode[PointSymbol=none,PosAngle={180,-90}](4.5,2.5){D}(2,4.5){E} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](3,3.5){T} \pstCurvAbsNode[PointSymbol=none,PosAngle=-35]{E}{T}{F}{50} \pstHomO[HomCoef=1.35,PointSymbol=+,PosAngle=-90]{D}{E}{I} \pstHomO[HomCoef=1.35,PointSymbol=+,PosAngle=-35]{D}{F}{J} \pstLineAB[nodesep=-1]{D}{I} \pstLineAB[nodesep=-1]{D}{J} \pstLineAB[nodesep=-1,linestyle=dashed]{F}{E} \pstLineAB[nodesep=-1,linestyle=dashed]{I}{J} \pstHomO[HomCoef=-1,PointSymbol=+,PosAngle=0]{D}{E}{A} \pstHomO[HomCoef=-1,PointSymbol=+,PosAngle=180]{D}{F}{B} \pstLineAB[linestyle=dashed]{A}{B} \pstLineAB[nodesepB=-1]{D}{A} \pstLineAB[nodesepB=-1]{D}{B} \put(0,6.5){\pscirclebox{6}} \endpspicture \end{center} \columnbreak Petit triangle : \dotfill\\ Grand triangle : \dotfill\\ Droites parallèles : \dotfill \\ \begin{center} \begin{tabular}{|l*{3}{|p{2cm}}|} \cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{} & \multicolumn{3}{c|}{Côtés correspondants} \\ \hline Petit & & & \\ triangle & & & \\ \hline Grand & & & \\ triangle & & & \\ \hline \end{tabular} \end{center} \vskip 0.4cm \'Egalité des rapports : \dotfill \end{multicols} \end{exercice} \newpage \begin{exercice} - \og \textit{parallèles et sécantes, application au calcul de longueurs} \fg\\ En se référant à l'exercice 1, écrire puis résoudre l'équation permettant de retrouver le côté manquant. \begin{multicols}{2} \pscirclebox{\small 1} \vskip 0.4cm $AM=5$ ; $AB=6$ ; $AC=7,2$.\\ Retrouver $AN$.\\ $\dfrac{\ldots\ldots}{\ldots\ldots}=\dfrac{\ldots\ldots}{\ldots\ldots}$ donc $AN= \ldots\ldots$. \columnbreak \begin{center} \begin{tabular}{|l*{3}{|p{2cm}}|} \cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{} & \multicolumn{3}{c|}{Côtés correspondants} \\ \hline Petit & & & \\ triangle & & & \\ \hline Grand & & & \\ triangle & & & \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{multicols} \hrule\vspace{\baselineskip} \vskip 0.4cm \begin{multicols}{2} \pscirclebox{\small 2} \vskip 0.4cm $AB=2$ ; $AC=2,5$ ; $AM=8$.\\ Retrouver $AN$.\\ $\dfrac{\ldots\ldots}{\ldots\ldots}=\dfrac{\ldots\ldots}{\ldots\ldots}$ donc $AN= \ldots\ldots$. \columnbreak \begin{center} \begin{tabular}{|l*{3}{|p{2cm}}|} \cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{} & \multicolumn{3}{c|}{Côtés correspondants} \\ \hline Petit & & & \\ triangle & & & \\ \hline Grand & & & \\ triangle & & & \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{multicols} \hrule\vspace{\baselineskip} \vskip 0.4cm \begin{multicols}{2} \pscirclebox{\small 3} \vskip 0.4cm $DE=7$ ; $DF=8$ ; $DI=8,4$.\\ Retrouver $DJ$.\\ $\dfrac{\ldots\ldots}{\ldots\ldots}=\dfrac{\ldots\ldots}{\ldots\ldots}$ donc $DJ= \ldots\ldots$. \columnbreak \begin{center} \begin{tabular}{|l*{3}{|p{2cm}}|} \cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{} & \multicolumn{3}{c|}{Côtés correspondants} \\ \hline Petit & & & \\ triangle & & & \\ \hline Grand & & & \\ triangle & & & \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{multicols} \hrule\vspace{\baselineskip} \vskip 0.4cm \begin{multicols}{2} \pscirclebox{\small 4} \vskip 0.4cm $LB=3$ ; $LN=18$ ; $AB=2$.\\ Retrouver $MN$.\\ $\dfrac{\ldots\ldots}{\ldots\ldots}=\dfrac{\ldots\ldots}{\ldots\ldots}$ donc $MN= \ldots\ldots$. \columnbreak \begin{center} \begin{tabular}{|l*{3}{|p{2cm}}|} \cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{} & \multicolumn{3}{c|}{Côtés correspondants} \\ \hline Petit & & & \\ triangle & & & \\ \hline Grand & & & \\ triangle & & & \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{multicols} \hrule\vspace{\baselineskip} \vskip 0.4cm \begin{multicols}{2} \pscirclebox{\small 5} \vskip 0.4cm $KA=9$ ; $KL=11$ ; $LI=16,5$.\\ Retrouver $AB$.\\ $\dfrac{\ldots\ldots}{\ldots\ldots}=\dfrac{\ldots\ldots}{\ldots\ldots}$ donc $AB= \ldots\ldots$. \columnbreak \begin{center} \begin{tabular}{|l*{3}{|p{2cm}}|} \cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{} & \multicolumn{3}{c|}{Côtés correspondants} \\ \hline Petit & & & \\ triangle & & & \\ \hline Grand & & & \\ triangle & & & \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{multicols} \hrule\vspace{\baselineskip} \vskip 0.4cm \begin{multicols}{2} \pscirclebox{\small 6} \vskip 0.4cm $DI=6$ ; $DE=1,5$ ; $IJ=4,4$.\\ Retrouver $EF$.\\ $\dfrac{\ldots\ldots}{\ldots\ldots}=\dfrac{\ldots\ldots}{\ldots\ldots}$ donc $EF= \ldots\ldots$. \columnbreak \begin{center} \begin{tabular}{|l*{3}{|p{2cm}}|} \cline{2-4} \multicolumn{1}{c|}{} & \multicolumn{3}{c|}{Côtés correspondants} \\ \hline Petit & & & \\ triangle & & & \\ \hline Grand & & & \\ triangle & & & \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{multicols} \hrule\vspace{\baselineskip} \vskip 0.4cm \end{exercice} \end{document}