\documentclass[a4paper,11pt]{article} \usepackage{francois_meria} \usepackage[dvips]{graphicx} \usepackage[dvips]{epsfig} \usepackage{pstricks} \usepackage{psfig} \usepackage{graphicx} \usepackage[babel]{csquotes} \usepackage{array} \usepackage{tabularx} \setlength{\parindent}{0mm} \lhead{\textsf{Collège Château Forbin} - \textit{Mathématiques} - \textsf{5\ieme 5}} \chead{} \rhead{\textit{Année} 2005/2006} \pagestyle{fancy} \renewcommand{\headrulewidth}{0.5pt} \newcommand{\prog}[3]{%a,b,x \opcopy{#1}{a} \opcopy{#2}{b} \opcopy{#3}{x} \opmul*{a}{x}{c} \opadd*{c}{b}{d} $#1\times#3+#2=\opprint{d}$ } \newcommand{\progaxplusb}[3]{$#1=#2 \times x + #3$} \newcommand{\progaxmoinsb}[3]{$#1=#2 \times x - #3$} \newcommand{\progaxplusbtest}[4]{$#1=#2 \times x + #3=#4$} \newcommand{\progaxmoinsbtest}[4]{$#1=#2 \times x - #3=#4$} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} \centerline{\LARGE Programme de calcul et résolution d'équation} \vskip 1cm On appelle \og \textit{programme de calcul} \fg~ tout procédé mathématique qui permet de passer d'un nombre à un autre suivant une suite d'opérations déterminée.\\ Un programme de calcul permet alors de passer d'une liste de nombres à une liste de nombres fabriquée suivant le même procédé.\\ \begin{multicols}{2} \begin{exemple}~\\ Le programme de calcul $P$ est défini comme suit : \columnbreak $\left\{ \begin{array}{@{\circ~~}l} \textrm{choisir un nombre,} \\ \textrm{prendre son double,} \\ \textrm{ajouter cinq au résultat.}\\ \end{array} \right.$ \end{exemple} \end{multicols} Voici un tableau permettant de donner les étapes intermédiares dans différents calculs de $P$. \begin{center} % Table generated by Excel2LaTeX from sheet 'Feuil2' \begin{tabularx}{\textwidth}{|*{4}{>{\centering}X|}} \hline Nombre de départ $x$ & Double de $x$ & Ajout de 5 & Valeur de $P$ pour $x$ \tabularnewline \hline 1 & $2\times1$ & $2+5=7$ & $2 \times 1 + 5=7$ \tabularnewline \hline 2 & $2\times2$ & $4+5=9$ & $2 \times 2 + 5=9$ \tabularnewline \hline 4 & $2\times4$ & $8+5=13$ & $2 \times 4 + 5=13$ \tabularnewline \hline 5 & $2\times5$ & $10+5=15$ & $2 \times 5 + 5=15$ \tabularnewline \hline 7 & $2\times7$ & $14+5=19$ & $2 \times 7 + 5=19$ \tabularnewline \hline 10 & $2\times10$ & $20+5=25$ & $2 \times 10 + 5=25$ \tabularnewline \hline 12 & $2\times12$ & $24+5=29$ & $2 \times 12 + 5=29$ \tabularnewline \hline 13 & $2\times13$ & $26+5=31$ & $2 \times 13 + 5=31$ \tabularnewline \hline \end{tabularx} \end{center} \vskip 0.3cm \begin{multicols}{2} \setlength{\columnseprule}{0.5pt} On peut écrire un schéma pour écrire ce programme de calcul : \begin{center}\pcaxplusblitteral{P}{2}{5} \end{center} \columnbreak Le programme de calcul $P$ se traduit par la formule mathématique : $$\boxed{P=2\times x+5}.$$ ou encore $$\boxed{P=2x+5}.$$ \end{multicols} Et, pour les calculs de $P$ pour des valeurs différentes de $x$, on écrit les schémas correspondants. \begin{multicols}{2} \setlength{\columnseprule}{0.5pt} Pour $x=1$. \begin{center} \pcaxplusbcalcul{P}{2}{5}{1} \end{center} On a ainsi : \prog{2}{5}{1}. \vskip 0.3cm Pour $x=4$. \begin{center} \pcaxplusbcalcul{P}{2}{5}{4} \end{center} On a ainsi : \prog{2}{5}{4}. \vskip 0.3cm Pour $x=12$. \begin{center} \pcaxplusbcalcul{P}{2}{5}{12} \end{center} On a ainsi : \prog{2}{5}{12}. \columnbreak \vskip 0.3cm Pour $x=8$. \begin{center} \pcaxplusbcalcul{P}{2}{5}{8} \end{center} On a ainsi : \prog{2}{5}{8}. \vskip 0.3cm Pour $x=0$. \begin{center} \pcaxplusbcalcul{P}{2}{5}{0} \end{center} On a ainsi : \prog{2}{5}{0}. \vskip 0.3cm Pour $x=7$. \begin{center} \pcaxplusbcalcul{P}{2}{5}{7} \end{center} On a ainsi : \prog{2}{5}{7}. \end{multicols} \newpage \begin{exercice} À partir des schémas suivants, donner une phrase permettant de trouver le programme de calcul associé, comme sur l'exemple suivant : \vskip 0.2cm \begin{multicols}{2} \setlength{\columnseprule}{0.5pt} \textbf{Exemple :}\\ \begin{center} \pcaxplusblitteral{p}{3}{7} \end{center} \columnbreak Le programme de calcul $p$ se traduit par :\\ \fbox{ \begin{minipage}[c]{0.4\textwidth} $\circ$ choisir un nombre,\\ $\circ$ le multiplier par $3$ (ou prendre son triple),\\ $\circ$ puis ajouter $7$ au résultat. \end{minipage} } \end{multicols} Voici les programmes de calcul à traduire. \begin{multicols}{2} \setlength{\columnseprule}{0.5pt} \begin{center} \pcaxplusblitteral{p_1}{8}{2} \end{center} \begin{center} \pcaxmoinsblitteral{p_2}{10}{4} \end{center} \begin{center} \pcaxplusblitteral{p_3}{6}{1} \end{center} \begin{center} \pcaxmoinsblitteral{p_4}{2}{5} \end{center} \end{multicols} \end{exercice} \vskip 0.5cm \begin{exercice} À partir des textes traduisant les programmes de calcul suivants, faire le schéma correspondant au programme de calcul associé, puis l'écrire de manière mathématique comme sur l'exemple suivant : \vskip 0.2cm \begin{multicols}{2} \setlength{\columnseprule}{0.5pt} \textbf{Exemple :}\\ Le programme de calcul $p$ est donné par :\\ \fbox{ \begin{minipage}[c]{0.4\textwidth} $\circ$ choisir un nombre,\\ $\circ$ le multiplier par $5$,\\ $\circ$ puis retrancher $7$ au résultat. \end{minipage} } \columnbreak Le schéma associé au programme de calcul $p$ est : \begin{center} \pcaxmoinsblitteral{p}{5}{7} \end{center} L'écriture mathématique de $p$ est :\\ $p=5\times x-7$ ou encore $p=5x-7.$ \end{multicols} \vskip 0.5cm Voici les programmes de calcul à traduire par un schéma et une égalité mathématique. \begin{multicols}{2} \setlength{\columnseprule}{0.5pt} Le programme de calcul $p_1$ est donné par :\\ \fbox{ \begin{minipage}[c]{0.4\textwidth} $\circ$ choisir un nombre,\\ $\circ$ le multiplier par $3$,\\ $\circ$ puis retrancher $2$ au résultat. \end{minipage}} \vskip 0.3cm Le programme de calcul $p_2$ est donné par :\\ \fbox{ \begin{minipage}[c]{0.4\textwidth} $\circ$ choisir un nombre,\\ $\circ$ le multiplier par $4$,\\ $\circ$ puis ajouter $3$ au résultat. \end{minipage}} \vskip 0.3cm Le programme de calcul $p_3$ est donné par :\\ \fbox{ \begin{minipage}[c]{0.4\textwidth} $\circ$ choisir un nombre,\\ $\circ$ le multiplier par $8$,\\ $\circ$ puis retrancher $10$ au résultat. \end{minipage}} \vskip 0.3cm Le programme de calcul $p_4$ est donné par :\\ \fbox{ \begin{minipage}[c]{0.4\textwidth} $\circ$ choisir un nombre,\\ $\circ$ lui ajouter $5$,\\ $\circ$ puis multiplier le résultat par $2$. \end{minipage}} \end{multicols} \end{exercice} \vskip 0.5cm \begin{exercice} Dans chacun des cas suivants, calculer la valeur du programme de calcul $P$ pour les valeurs de $x$ données. \textit{Faire un schéma et une phrase par calcul}. \begin{multicols}{2} \begin{enumerate}[(a)] \item \fbox{\progaxplusb{P}{2}{1}} pour $x=3$, $x=4$, et $x=2$. \item \fbox{\progaxmoinsb{P}{3}{1}} pour $x=1$, $x=5$, et $x=3$. \item \fbox{\progaxplusb{P}{7}{10}} pour $x=1$, $x=2$, et $x=0$. \item \fbox{\progaxmoinsb{P}{2}{1}} pour $x=10$, $x=5$, et $x=2$. \item \fbox{\progaxplusb{P}{3,5}{7}} pour $x=2$, $x=1$, et $x=10$. \item \fbox{\progaxmoinsb{P}{2}{1}} pour $x=0$, $x=1$, et $x=5$. \item \fbox{\progaxmoinsb{P}{0}{1}} pour $x=3$, $x=4$, et $x=2$. \item \fbox{\progaxplusb{P}{20}{0,5}} pour $x=0,4$, et $x=2,5$. \end{enumerate} \end{multicols} \end{exercice} \newpage \centerline{\LARGE Test d'égalité et résolution d'équation} \vskip 0.5cm Considérons le programme de calcul $P$ donné par \fbox{\progaxplusb{P}{3}{5}}.\\ Intéressons-nous à la question suivante.\\ \textbf{\og Si le programme de calcul $P$ vaut $17$, peut-on trouver une valeur de $x$ vérifiant $P=17$ pour ce nombre $x$ ? \fg}\\ \fbox{ \begin{minipage}[c]{\textwidth} Pour répondre à cette question, on peut \textbf{tester} le programme de calcul $P$ pour plusieurs valeurs de $x$.\\ On dit alors qu'on effectue un \textbf{test d'égalité}.\\ Un nombre $x$ qui vérifierait $P=17$ pour cet $x$ sera appelé \textbf{une solution de l'équation $P=17$.}\\ \end{minipage} }\\ \textbf{Exemple :} \begin{multicols}{2}\setlength{\columnseprule}{0.5pt} Pour $x=0$,\\ \begin{center} \pcaxplusbcalcul{P}{3}{5}{0} \end{center} Ainsi, \prog{3}{5}{0} pour $x=0$.\\ Le nombre $x=0$ n'est pas solution de $P=17$. \vskip 0.3cm Pour $x=1$,\\ \begin{center} \pcaxplusbcalcul{P}{3}{5}{1} \end{center} Ainsi, \prog{3}{5}{1} pour $x=1$.\\ Le nombre $x=1$ n'est pas solution de $P=17$. \vskip 0.3cm Pour $x=3$,\\ \begin{center} \pcaxplusbcalcul{P}{3}{5}{3} \end{center} Ainsi, \prog{3}{5}{3} pour $x=3$.\\ Le nombre $x=3$ n'est pas solution de $P=17$. \vskip 0.3cm Pour $x=4$,\\ \begin{center} \pcaxplusbcalcul{P}{3}{5}{4} \end{center} Ainsi, \prog{3}{5}{4} pour $x=4$.\\ \textbf{Le nombre $x=4$ est une solution de $P=17$.} \end{multicols} \vskip 0.5cm \begin{exercice} Dans chacun des cas suivants, tester l'égalité comme dans l'exemple précédent pour les valeurs de $x$ données. Dire si l'égalité est vraie ou fausse pour chaque valeur de $x$. Donner la solution de l'équation associée. \begin{multicols}{2} \begin{enumerate}[(a)] \item \fbox{\progaxplusbtest{P}{2}{1}{7}} pour $x=2$ puis $x=3$. \item \fbox{\progaxmoinsbtest{P}{3}{7}{22}} pour $x=1$ puis $x=5$. \item \fbox{\progaxplusbtest{P}{5}{0,5}{10,5}} pour $x=5$ puis $x=1$. \item \fbox{\progaxmoinsbtest{P}{10}{25}{-15}} pour $x=2$ puis $x=1$. \item \fbox{\progaxplusbtest{P}{2,5}{12}{37}} pour $x=1$ puis $x=10$. \item \fbox{\progaxmoinsbtest{P}{5}{1}{-1}} pour $x=1$ puis $x=0$. \end{enumerate} \end{multicols} \end{exercice} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % A finir : écrire la méthode résolution d'une équatiion du type x+a=b et d'un équation du type ax=b %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% On peut trouver \og la \fg ~solution d'une équation de la forme précédente sans tester l'égalité mais en retrouvant pas à pas la solution.\\ \newpage \textbf{Examinons la méthode de résolution.}\\ \begin{enumerate}[1.] \item \textbf{\'Equation du type \og $ax=b$ \fg.}\\ \textbf{Exemple :} résoudre : $3x=24$. \begin{multicols}{2}\setlength{\columnseprule}{0.5pt} \underline{\texttt{À l'aide d'un schéma :}}\\ \pcaxresolution{p}{3}{24} \columnbreak \underline{\texttt{En écriture mathématiques :}}\\ Le nombre inconnu $x$ est le nombre qui, multiplié par $3$ donne $24$ ; c'est donc un nombre en écriture fractionnaire : $x=\dfrac{24}{3}$. \begin{multicols}{2}\setlength{\columnseprule}{0.5pt} \begin{align*} 3x&=24\\ \dfrac{3x}{3}&=\dfrac{24}{3} \end{align*} \begin{align*} x&=\dfrac{24}{3}\\ x&=8. \end{align*} \end{multicols} \end{multicols} %%%%% fin de ax=b \item \textbf{\'Equation du type \og $x+a=b$ \fg.}\\ \textbf{Exemple :} résoudre : $x+7=10$. \begin{multicols}{2}\setlength{\columnseprule}{0.5pt} \underline{\texttt{À l'aide d'un schéma :}}\\ \pcxplusaresolution{p}{7}{10} \columnbreak \underline{\texttt{En écriture mathématiques :}}\\ Le nombre inconnu $x$ est le nombre qui, ajouté à $7$ donne $10$ ; c'est donc le nombre $3$ : $x=10-7$. \begin{multicols}{2}\setlength{\columnseprule}{0.5pt} \begin{align*} x&+7&=10\\ x&+7-7&=10-7\\ \end{align*} \begin{align*} x&=3 \end{align*} \end{multicols} \end{multicols} \end{enumerate} Pour ne par surcharger cette page, on ne donnera pas les schémas de construction de la solution d'équations de la forme \fbox{\og $\dfrac{x}{a}=b$ \fg}~et de la forme \fbox{\og $x-a=b$\fg} \ldots On peut adapter les schémas à partir des précédents.\\ \vskip 2cm \shadowbox{ \begin{minipage}[c]{\textwidth} D'une manière générale, pour trouver la solution d'une équation des types précédents, on effectue les \textbf{opérations inverses} des opérations faites pour construire le programme de calcul \textbf{à partir du résultat}. \end{minipage} } \vskip 1.5cm \begin{exercice} Résoudre en utilisant le schéma correspondant et mathématiquement les équations suivantes : \begin{multicols}{3} \begin{enumerate}[(a)] \item $9x=720$ \item $\dfrac{x}{5}=12$ \item $5 + x = 12$ \item $x+8=24$ \item $x-9=-1$ \item $2x - 4 = 0$ \item $\dfrac{3}{4}\times x=15$ \item $x-4=\dfrac{2}{5}$ \item $3 + 7x = 24$ \end{enumerate} \end{multicols} \end{exercice} \newpage \centerline{\LARGE Problèmes divers} \vskip 0.5cm Lors de la résolution d'un problème, il peut souvent être utile de \og mettre le problème en équation \fg~en choisissant un nombre inconnu (à trouver) souvent noté $x$. \begin{exercice} Jacques est allé faire les courses ; avec $14,53$~\euro~ il a acheté $1,1$~kg de viande à $10,37$~\euro~le kilogramme, $230$ grammes de jambon à $8,54$~\euro~le kilogramme et du pâté. Quel est le prix du pâté ? \end{exercice} \vskip 0.5cm \begin{exercice} Un train emmène $1725$ supporters au Stade de France pour soutenir leur équipe préférée. Sachant que chaque wagon contient $12$ compartiments de $8$ places, combien y a-t-il de wagons ? \end{exercice} \vskip 0.5cm \begin{exercice} Sept nains veulent chacun offrir $36$ roses à Blanche-Neige pour son anniversaire. Mais l'un d'entre eux, Atchoum, tombe malade et ne peut pas cueillir les fleurs. Combien chacun de ses six camardes devra-t-il cueillir de roses ? \end{exercice} \vskip 0.5cm \begin{exercice} J'achète $2,8~\ell$ (litres) de peinture. Je paye $44,24$~\euro. Quel est le prix d'un litre de cette peinture ? (Tous les calculs doivent apparaître) \end{exercice} \vskip 0.5cm \begin{exercice} Paul achète pour sa mère un bouquet de $48$ fleurs. Le tiers d'entre elles sont des roses. Les $\dfrac{3}{8}$ \textbf{du reste} sont des mimosas. \begin{enumerate}[(a)] \item Combien y a-t-il de roses dans le bouquet ? \item Combien y a-t-il de mimosas ? \item Combien y a-t-il d'autres fleurs (qui sont des tulipes) ? \item Une rose coûte $1,22$ euros, un mimosa $0,76$ euro, une tulipe $0,69$ euro. Écrire \textbf{sans l'effectuer} un calcul en une ligne donnant le prix du bouquet. \end{enumerate} \end{exercice} \vskip 0.5cm \begin{exercice} Parmi deux classes de 5\ieme~ (c'est-à-dire $48$ élèves) $\dfrac{3}{4}$ des élèves vont faire du ski nautique à Noeud-les-Mines. Les $\dfrac{5}{6}$ des élèves restants vont monter à cheval. \begin{enumerate}[(a)] \item Quel est le nombre d'élèves qui monteront à cheval ? \item Les élèves qui ne sont ni au ski ni au cheval sont dispensés de sport. Combien y a-t-il de dispensés ? \end{enumerate} \end{exercice} \vskip 0.5cm \begin{exercice} On considère le schéma suivant où $a$ désigne la longueur d'un côté de chaque carré composant la grille. \begin{center} \psset{unit=1cm} \pspicture*(15,2.2) \psgrid[subgriddiv=0] \psline[linewidth=1.5mm](1,2)(2,2)(2,1)(3,1)(3,0)(4,0)(4,2)(5,2)(5,1)(6,1)(6,0)(7,0)(7,2)(8,2)(8,1)(9,1)(9,0)(10,0)(10,2) (11,2)(11,1)(12,1)(12,0)(13,0)(13,2) \put(1.4,1.5){$a$} \endpspicture \end{center} \begin{enumerate}[(a)] \item Exprimer la longueur de la ligne brisée noire en fonction de $a$. \item Calculer cette longueur lorsque $a=2,5$~cm puis lorsque $a=0,5$~cm enfin lorsque $a=3$~cm. \item Trouver la valeur de $a$ pour que la ligne mesure $168$~cm. \item Trouver la valeur de $a$ pour que la ligne mesure $173,2$~cm. \end{enumerate} \end{exercice} \newpage \begin{exercice} Voici un programme de calcul : \begin{center} % Table generated by Excel2LaTeX from sheet 'Feuil3' \begin{tabularx}{\textwidth}{|X|X|} \hline & \\ \pscirclebox{1.} Choisir un nombre décimal ; & \pscirclebox{4.} multiplier cette somme par 1,25 ;\\ \pscirclebox{2.} le multiplier par 4 ; & \pscirclebox{5.} de ce produit, retrancher 10 \\ \pscirclebox{3.} à ce produit, ajouter 8 ; & \pscirclebox{6.} annoncer cette différence. \\ & \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate}[(a)] \item Appliquer ce programme de calcul avec $3$ ; puis avec $11$ ; puis avec $20,5$. \item Appliquer ce programme à un nombre $x$.\\ Retrouver les résultats de la première question \item Quel était le nombre choisi sachant que le résultat annoncé est $80$ ? Même question avec $12,5$ ? \end{enumerate} \end{exercice} \vskip 0.5cm \begin{exercice} Voici un programme de calcul : \begin{center} % Table generated by Excel2LaTeX from sheet 'Feuil3' \begin{tabularx}{\textwidth}{|X|X|} \hline & \\ \pscirclebox{1.} Choisir un nombre décimal ; & \pscirclebox{5.} à ce produit, ajouter le nombre de départ ;\\ \pscirclebox{2.} le multiplier par 11 ; & \pscirclebox{6.} de cette somme, retrancher 10 \\ \pscirclebox{3.} à ce produit, ajouter 5 ; & \pscirclebox{7.} annoncer cette différence. \\ \pscirclebox{4.} multiplier cette somme par 9 ; & \\ & \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate}[(a)] \item Appliquer ce programme de calcul avec $8$ ; puis avec $13$ ; puis avec $4,5$. \item Appliquer ce programme à un nombre $x$.\\ Retrouver les résultats de la première question \item Quel était le nombre choisi sachant que le résultat annoncé est $80$ ? Même question avec $12,5$ ? \end{enumerate} \end{exercice} \vskip 0.5cm \begin{exercice} Les triangles $MAT$ et $SOR$ ci-dessous sont des triangles équilatéraux et le quadrilatère $SIER$ est un rectangle. \begin{multicols}{2} \begin{center} \begin{pspicture}(-0.5,-1)(3,5) \pstGeonode[PointSymbol=+,PosAngle={-180,0}](0,2){S}(3,2){R} \pstRotation[PointSymbol=+,PosAngle=90]{S}{R}{O} \pstLineAB{S}{R} \pstLineAB{S}{O} \pstLineAB{R}{O} \pstGeonode[PointSymbol=+,PosAngle={-135,-45}](0,0){I}(3,0){E} \pstLineAB{I}{E} \pstLineAB{R}{E} \pstLineAB{S}{I} \pcline{<->}(0.1,1.7)(2.9,1.7) \lput*{:U}{$x$} \pcline{<->}(-0.1,2)(-0.1,0) \uput{0}[0](-0.4,1){6} %\lput*{:U}{$d$} \end{pspicture} \end{center} \columnbreak \begin{center} \begin{pspicture}(-0.5,-2)(3,3) \pstGeonode[PointSymbol=+,PosAngle={-180,0}](0,0){M}(3,0){T} \pstRotation[PointSymbol=+,PosAngle=90]{M}{T}{A} \pstLineAB{M}{T} \pstLineAB{T}{A} \pstLineAB{A}{M} \pcline{<->}(0,-0.4)(3,-0.4) \lput*{:U}{$x+4$} \end{pspicture} \end{center} \end{multicols} \begin{enumerate}[(a)] \item Exprimer à l'aide de $x$ le périmètre du triangle $MAT$. \item Exprimer à l'aide de $x$ le périmètre du pentagone $ROSIE$. \item Que peut-on dire de ces deux périmètres ? \end{enumerate} \end{exercice} \end{document}