\documentclass[a4paper,11pt]{article} \usepackage{francois_meria} \usepackage[dvips]{graphicx} \usepackage[dvips]{epsfig} \usepackage{calc} \setlength{\parindent}{0mm} \lhead{\textsf{Collège Château Forbin} - \textit{Mathématiques} - \textsf{4\ieme 1}} \chead{} \rhead{\textit{Année} 2005/2006} \pagestyle{fancy} \renewcommand{\headrulewidth}{0.5pt} \begin{document} \centerline{\LARGE \'Equations, méthodes de résolution} \vskip 0.5cm \begin{exemple} - \og \'Equation du type $x+b=c$ \fg\\ Résoudre l'équation $x+7=12$ revient à trouver la valeur de $x$ pour laquelle le programme de calcul $P=x+7$ vaut $12$.\\ \begin{multicols}{2} \setlength{\columnseprule}{0.5pt} \underline{\texttt{Schéma de résolution :}}\\ \pcxplusaresolution{P}{7}{12}\\ La solution de $x+7=12$ est $x=5$.\\ Vérification : $5 + 7=12$. \columnbreak \underline{\texttt{Résolution mathématique :}} $$ \begin{array}{rcl@{~~~~}l} & & & \boxed{\textrm{\textsf{\textbf{Commentaires}}}}\\ & & & \\ x&+~7&=12 &\textrm{équation de départ}\\ x& &=12-7 &\textrm{on isole } x\\ x& &=5 &\textrm{calcul du terme constant}\\ \end{array} $$ La solution de $x+7=12$ est $x=5$.\\ Vérification : $5 + 7=12$. \end{multicols} \end{exemple} \vskip 0.5cm \fbox{ \begin{minipage}[c]{\textwidth} \begin{exercice} En utilisant la méthode précédente, résoudre les équations du type $x+b=c$ suivantes. \begin{multicols}{3} \begin{enumerate}[(a)] \item $x+22=10$ \\ \item $x+14=5$ \\ \item $x+28=7$ \\ \item $x-28=5$ \\ \item $x-16=6$ \\ \item $x-18=4$ \\ \end{enumerate} \end{multicols} \end{exercice} \end{minipage} } \vskip 1cm \begin{exemple} - \og \'Equation du type $ax+b=c$ \fg\\ Résoudre l'équation $2x+3=5$ revient à trouver la valeur de $x$ pour laquelle le programme de calcul $P=2\times x+3$ vaut $5$.\\ \begin{multicols}{2} \setlength{\columnseprule}{0.5pt} \underline{\texttt{Schéma de résolution :}}\\ \pcaxplusbresolution{P}{2}{3}{5}\\ La solution de $2x+3=5$ est $x=1$.\\ Vérification : $2\times 1 + 3=5$. \columnbreak \underline{\texttt{Résolution mathématique :}} $$ \begin{array}{rcl@{~~~~}l} & & & \boxed{\textrm{\textsf{\textbf{Commentaires}}}}\\ & & & \\ 2x&+~3&=5 &\textrm{équation de départ}\\ 2x& &=5-3 &\textrm{on isole ce qui dépend de } x\\ 2x& &=2 &\textrm{calcul du terme constant}\\ x& &=\dfrac{2}{2}&\textrm{on isole } x\\ x& &=1.&\textrm{calcul possible de la fraction}\\ \end{array} $$ La solution de $2x+3=5$ est $x=1$.\\ Vérification : $2\times 1 + 3=5$. \end{multicols} \end{exemple} \vskip 0.5cm \fbox{ \begin{minipage}[c]{\textwidth} \begin{exercice} En utilisant la méthode précédente, résoudre les équations du type $ax+b=c$ suivantes. \begin{multicols}{3} \begin{enumerate}[(a)] \item $3x+8=5$ \\ \item $7x+6=7$ \\ \item $7x-11=+6$ \\ \item $1+3x=-8$ \\ \item $-8x+1=0$ \\ \item $3x+12=-9$ \\ \end{enumerate} \end{multicols} \end{exercice} \end{minipage} } \newpage \begin{exemple} - \og \'Equation du type $ax+b=cx+d$ avec $a\neq c$\fg\\ L'égalité \fbox{$ax+b=cx+d$} signifie que les deux programmes de calcul $\left\{\begin{array}{l} P=ax+b \\\textrm{ et}\\ Q=cx+d \end{array}\right.$ ont la même valeur pour la valeur $x$. Reste à déterminer la solution $x$ de cette équation.\\ Pour cela, on transforme cette égalité pour se ramener à une équation du type \fbox{$ax+b=c$} étudiée à l'exemple 2.\\ Résoudre $6x+3=2x+5$ (ou $P=Q$). \begin{multicols}{2} \setlength{\columnseprule}{0.5pt} \underline{\texttt{Schéma de résolution :}}\\ \pcaxresolution{R}{4}{2} \columnbreak \underline{\texttt{Résolution mathématique :}}\\ On se ramène à \og $4x=2$ \fg. $$ \begin{array}{rll@{~~}l} & & & \boxed{\textrm{\textsf{\textbf{Commentaires}}}}\\ & & & \\ 6x +3 =& 2x & +5 & \textrm{équation de départ} \\ 6x =& 2x & +5-3 & \textrm{toutes les constantes à droite} \\ 6x =& 2x & +2 & \textrm{calcul du terme constant} \\ 6x -2x =& & 2 & \textrm{tous les termes avec $x$ à gauche} \\ 4x =& & 2 & \textrm{simplification, des } x \\ x =& & \dfrac{2}{4} & \textrm{on isole } x \\ x =& & 0,5 & \textrm{calcul possible de la fraction} \\ \end{array} $$ \end{multicols} \newcommand{\prog}[3]{%a,b,x \opcopy{#1}{a} \opcopy{#2}{b} \opcopy{#3}{x} \opmul*{a}{x}{c} \opadd*{c}{b}{d} $#1\times#3+#2=\opprint{d}$ } Vérification : pour $x=0,5$, on a : \begin{multicols}{2}\setlength{\columnseprule}{0.5pt} \begin{center} $P=$\prog{6}{3}{0,5} \end{center} \columnbreak \begin{center} $Q=$\prog{2}{5}{0,5} \end{center} \end{multicols} Donc, comme $P=Q$ pour $x=0,5$, $x=0,5$ est \textit{la} solution de l'équation $P=Q$. %$\left\{\begin{array}{l}6 \end{array} \right.$. \end{exemple} \vskip 0.5cm \fbox{ \begin{minipage}[c]{\textwidth} \begin{exercice} En utilisant la méthode précédente, résoudre les équations du type $ax+b=cx+d$ suivantes. \begin{multicols}{3} \begin{enumerate}[(a)] \item $3x+3=9x+7$ \\ \item $6x+27=7x+2$ \\ \item $2x-22=4x+3$ \\ \item $10x+5=7x-7$ \\ \item $4x+6=6x+6$ \\ \item $4x-6=6x+6$ \\ \item $13x+8=10x+5$ \\ \item $3x+6=4x+7$ \\ \item $7x+11=3x+6$ \\ \item $3x+1=10x+1$ \\ \item $8x+8=5x+8$ \\ \item $3x+12=7x-9$ \\ \item $7x-10=9x+4$ \\ \item $-5x-19=4x+9$ \\ \item $4x-1=2x+2$ \\ \item $9x+16=8x-2$ \\ \item $2x-25=8x+5$ \\ \item $2x-25=2x+5$ \\ \end{enumerate} \end{multicols} \end{exercice} \end{minipage} } \end{document}