index.tex

\documentclass[a4paper,11pt]{article}
\usepackage{francois_meria}
\usepackage[dvips]{graphicx}
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\setlength{\parindent}{0mm}
    \lhead{\textsf{Collège Château Forbin} - \textit{Mathématiques} - \textsf{4\ieme 1}}
    \chead{}
    \rhead{\textit{Année} 2005/2006}
    \pagestyle{fancy}
  \renewcommand{\headrulewidth}{0.5pt}
\begin{document}
\centerline{\LARGE Triangle rectangle et cercle circonscrit}
 
\vskip 1.5cm
 
\begin{center}
        \shadowbox{
\begin{minipage}[c]{\textwidth}
\begin{multicols}{2}
On considère le triangle $ABC$ ci-contre où le cercle $({\cal C})$
est le cercle circonscrit du triangle $ABC$. On a donc
$$OA=OB=OC.$$
 
Mesurer l'angle $\widehat{BAC}$.\\
 
Que remarque-t-on ?
 
\vskip 0.4cm
 
\columnbreak
 
\begin{center}
\psset{unit=0.9cm}
    \pspicture(-4,-4)(4,4)
        \pstGeonode[PointSymbol=none,PosAngle={180,-90,0}](-4,0){B}(0,0){O}(4,0){C}
        \pstCircleOA{O}{B}
        \pstCurvAbsNode[PointSymbol=none,PosAngle=95]{O}{B}{A}{-100}
        \pspolygon(A)(B)(C)
        \psline(A)(O)
        \pstMarkAngle{B}{A}{O}{$x$}
        \pstMarkAngle[Mark=MarkHash,MarkAngleRadius=0.7,LabelSep=1.3]{O}{A}{C}{$y$}
        \pstSegmentMark[SegmentSymbol=pstslashh]{O}{B}
        \pstSegmentMark[SegmentSymbol=pstslashh]{O}{C}
        \pstSegmentMark[SegmentSymbol=pstslashh]{O}{A}
        \put(3.2,3.1){$({\cal C})$}
    \endpspicture
\end{center}
\end{multicols}
\end{minipage}
}
\end{center}
 
\textit{Justifions cette affirmation.}\\
 
Répondre aux questions suivantes pour justifier l'affirmation.
\begin{enumerate}[1.]
    \item \begin{enumerate}[(a)]
                \item Quelle est la nature du triangle $AOB$ ?
                \item Que peut-on en déduire sur la mesure de
                l'angle $\widehat{ABO}$ en fonction des données de la figure ?
          \end{enumerate}
    \item \begin{enumerate}[(a)]
                \item Quelle est la nature du triangle $AOC$ ?
                \item Que peut-on en déduire sur la mesure de
                l'angle $\widehat{ACO}$ en fonction des données de la figure ?
          \end{enumerate}
    \item \begin{enumerate}[(a)]
                \item Quelle est la mesure en degrés de la somme des angles d'un triangle ?
                \item Exprimer la somme des angles du triangle
                $ABO$ en fonction des mesures $x$ et $y$.
                \item En déduire la mesure exacte en degrés de
                l'angle $\widehat{BAC}$.
          \end{enumerate}
 
    \item \'Ecrire ci-dessous la propriété que nous venons de
    justifier.
\end{enumerate}
    \begin{center}
        \shadowbox{
            \begin{minipage}[c]{\textwidth}
            \vskip 0.5cm
                \textbf{Propriété :} \dotfill \null\\
 
                \dotfill \null\\
 
                \dotfill \null\\
 
                \dotfill \null\\
            \end{minipage}
                 }
    \end{center}
 
Faire une figure pour vérifier si la propriété réciproque de la
propriété précédente est vraie ou fausse.
 
 
\newpage
 
\centerline{\Huge Exercices}
 
\begin{exercice}
Sans utiliser le moindre instrument de géométrie, les triangles
suivants sont-ils rectangles ? ($O_1$, $O_2$ et $O_3$ sont les centres des cercles).\\
 
\begin{center}
 
\begin{pspicture}(-10,-2)(7,2)
 
    \pstGeonode[PointSymbol=+,PosAngle={-90,-45,-135}](-8,0){O_1}(-6,0){A}(-10,0){B}
    \pstCircleOA[PointSymbol=+,linecolor=red]{O_1}{A}
    \pstCurvAbsNode[PointSymbol=none]{O_1}{A}{C}{45}
    \pstLineAB[linecolor=blue]{A}{B}
    \pstLineAB[linecolor=blue]{B}{C}
    \pstLineAB[linecolor=blue]{A}{C}
\rput{15}{
    \pstGeonode[PointSymbol=+,PosAngle={-90,-45,-135}](-2,0){O_2}(0,0){D}(-4.3,0){E}
    \pstCircleOA[PointSymbol=+,linecolor=blue]{O_2}{D}
    \pstCurvAbsNode[PointSymbol=none]{O_2}{D}{F}{75}
    \pstLineAB[linecolor=red]{D}{E}
    \pstLineAB[linecolor=red]{E}{F}
    \pstLineAB[linecolor=red]{D}{F}
}
 
\rput{5}{
    \pstGeonode[PointSymbol=+,PosAngle=-90](5,0){O_3}
    \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](3,0){N}
    \pstCircleOA[PointSymbol=+]{O_3}{N}
    \pstCurvAbsNode[PointSymbol=+]{O_3}{N}{Q}{0}
    \pstCurvAbsNode[PointSymbol=+]{O_3}{N}{P}{190}
    \pstCurvAbsNode[PointSymbol=+]{O_3}{N}{R}{90}
    \pstLineAB[linecolor=blue]{P}{Q}
    \pstLineAB[linecolor=blue]{Q}{R}
    \pstLineAB[linecolor=blue]{R}{P}
}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{exercice}
 
\vskip 1cm
 
\begin{exercice}~
\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}[1.]
    \item Parmi les points suivants, entourer ceux qui
    appartiennent au demi-cercle de diamètre $[MN]$, \textbf{sans tracer
    ce demi-cercle}, en utilisant uniquement l'équerre.
    \item Expliquer la méthode employée dans la question précédente
    en citant la propriété du cours utilisée.
\end{enumerate}
\begin{flushright}
\pspicture(8,4.2)
    \pstGeonode[PointSymbol=x,PosAngle={-135,-45}](0,0){M}(8,0){N}
    \pstLineAB{M}{N}
    \pstMiddleAB[PointSymbol=none,PointName=none]{M}{N}{I}
        \pstCurvAbsNode[PointSymbol=x,PosAngle=-135]{I}{N}{K}{60}
        \pstCurvAbsNode[PointSymbol=x,PosAngle=-135]{I}{N}{L}{150}
        \pstCurvAbsNode[PointSymbol=x,PosAngle=-135]{I}{N}{P}{80}
        \pstCurvAbsNode[PointSymbol=x,PosAngle=-135]{I}{N}{S}{340}
        \pstGeonode[PointSymbol=x](2.5,2){D}(1,4){E}(3,1){E}(3.8,4){G}
\endpspicture
\end{flushright}
\end{multicols}
\end{exercice}
 
\vskip 1cm
 
\begin{exercice}
\begin{multicols}{2}
Sur la figure ci-contre, le point $O$ est le milieu du segment
$[AB]$. $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ sont les demi-cercles
de diamètres $[AO]$ et $[AB]$ et les points $A$, $I$ et $J$ sont
alignés. De plus, $I\in\mathcal{C}_1$ et $J\in\mathcal{C}_2$.
Démontrer que les droites $(OI)$ et $(BJ)$ sont parallèles.
 
\center{ \pspicture(4.3,2.2)
    \pswedge[linecolor=gray](1,0){1}{0}{180}
    \pswedge[linecolor=gray](2,0){2}{0}{180}
    \pstGeonode[PointSymbol=none,PosAngle={-135,-45}](0,0){A}(4,0){B}
    \pstLineAB{A}{B}
    \pstMiddleAB[PointSymbol=x,PosAngle=-90]{A}{B}{O}
    \pstCurvAbsNode[PointSymbol=none]{O}{B}{J}{50}
    \pstLineAB{A}{J}
    \pstLineAB{J}{B}
    \pstProjection[PointSymbol=none]{A}{J}{O}{I}
    \pstLineAB{O}{I}
    \uput[0]{0}(2,0.5){$\mathcal{C}_1$}
    \uput[0]{0}(0.1,1.68){$\mathcal{C}_2$}
\endpspicture
}
\end{multicols}
\end{exercice}
 
\vskip 1cm
 
\begin{exercice}
Utiliser les indications données sur le dessin pour répondre en
justifiant bien.Le triangle $RST$ est rectangle en $R$.
 
\begin{enumerate}[1.]
    \item Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{RST}$ ?
    \item Déterminer le centre et le rayon du cercle $C$ circonscrit \\
    au triangle $RST$ \item Le point $U$ appartient-il au cercle $C$ ?
    \item Quelle est la nature du triangle $TSU$ ?
    \item Que peut-on dire des quatre points $R$, $S$, $T$ et $U$ ?
\end{enumerate}
\psset{unit=0.3}
\begin{pspicture}(0.1,0.1)
\rput(37,6.8){ \pspolygon(0,0)(11.4315,6.6)(16.5,0)
\psdots[dotstyle=|,dotangle=20](4,0)
\psdots[dotstyle=|,dotangle=20](4.3,0)
\psdots[dotstyle=|,dotangle=20](12,0)
\psdots[dotstyle=|,dotangle=20](12.3,0) \pswedge{2.5}{0}{30}
\uput[0]{15}(2.3,0.9){$30^{\circ}$} \psdots(5.06,-6.6)
\psline(5.06,-6.6)(8.25,0) \uput[180](0,0){$T$}
\uput[90](11.4315,6.6){$R$} \uput[0](16.5,0){$S$}
\uput[-45](8.25,0){$I$} \uput[0](5.06,-6.6){$U$}
\pcline[linestyle=none](0,0)(11.4315,6.6) \aput{:U}{13.2\ cm}
\pcline[linestyle=none](11.4315,6.6)(16.5,0) \aput{:U}{9.9\ cm}
\pcline[linestyle=none](0,0)(16.5,0) \aput{:U}{16.5\ cm}
\pcline[linestyle=none](5.06,-6.6)(8.25,0) \aput{:U}{8.25\ cm} }
\end{pspicture}
\psset{unit=3}{} \vskip .5cm
\end{exercice}
\end{document}