\documentclass[a4paper,11pt]{article} \usepackage{francois_meria} \usepackage[dvips]{graphicx} \usepackage[dvips]{epsfig} \setlength{\parindent}{0mm} \lhead{\textsf{Collège Château Forbin} - \textit{Mathématiques} - \textsf{5\ieme 5}} \chead{} \rhead{\textit{Année} 2005/2006} \pagestyle{fancy} \renewcommand{\headrulewidth}{0.5pt} \begin{document} \centerline{\LARGE Calculer l'aire d'un disque} \vskip 1cm \begin{multicols}{2} \underline{\texttt{Essayons de trouver la formule qui permet}} \underline{\texttt{de calculer l'aire d'un disque.}}\\ La figure ci-contre est un disque de rayon $r$~cm. On le découpe en 20 parties égales (de même aire).\\ Ensuite, on découpe ce disque pour disposer les parties comme suit, et ainsi la totalité du disque peut être CONFONDUE avec le rectangle colorié. \columnbreak \begin{center} \psset{unit=0.55cm} \pspicture(-6,-6)(6,6) \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none,PosAngle={225,-45,135}](0,0){O}(6,0){A}(0,6){B} \pstCircleOA{O}{A} \multido{\i=0+18}{20}{ \pstRotation[RotAngle=\i,PointSymbol=none,PointName=none]{O}{A}{M_\i} \psline(O)(M_\i) } \pswedge[fillstyle=vlines](O){6}{0}{18} \pswedge[fillstyle=vlines](O){6}{36}{54} \pswedge[fillstyle=vlines](O){6}{72}{90} \pswedge[fillstyle=vlines](O){6}{108}{126} \pswedge[fillstyle=vlines](O){6}{144}{162} \pswedge[fillstyle=vlines](O){6}{180}{198} \pswedge[fillstyle=vlines](O){6}{216}{234} \pswedge[fillstyle=vlines](O){6}{252}{270} \pswedge[fillstyle=vlines](O){6}{288}{306} \pswedge[fillstyle=vlines](O){6}{324}{342} \pswedge[fillstyle=vlines](O){6}{360}{0} \endpspicture \end{center} \end{multicols} \begin{center} \psset{unit=0.55cm} \pspicture(-1,-1)(18,7) \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](0,0){A}(18.84,0){B}(0,6){D} \pstTranslation[PointSymbol=none,PointName=none]{A}{B}{D}{C} \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=yellow](A)(B)(C)(D) \pswedge(A){6}{81}{99} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](0.9424,6){t_1} \pswedge[fillstyle=vlines](t_1){6}{-99}{-81} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](2.8272,6){t_2} \pswedge[fillstyle=vlines](t_2){6}{-99}{-81} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](4.712,6){t_3} \pswedge[fillstyle=vlines](t_3){6}{-99}{-81} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](6.5968,6){t_4} \pswedge[fillstyle=vlines](t_4){6}{-99}{-81} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](8.4816,6){t_5} \pswedge[fillstyle=vlines](t_5){6}{-99}{-81} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](10.3664,6){t_6} \pswedge[fillstyle=vlines](t_6){6}{-99}{-81} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](12.2512,6){t_7} \pswedge[fillstyle=vlines](t_7){6}{-99}{-81} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](14.136,6){t_8} \pswedge[fillstyle=vlines](t_8){6}{-99}{-81} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](16.0208,6){t_9} \pswedge[fillstyle=vlines](t_9){6}{-99}{-81} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](17.9056,6){t_10} \pswedge[fillstyle=vlines](t_10){6}{-99}{-81} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](1.8848,0){m_1} \pswedge(m_1){6}{81}{99} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](3.7696,0){m_2} \pswedge(m_2){6}{81}{99} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](5.6544,0){m_3} \pswedge(m_3){6}{81}{99} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](7.5392,0){m_4} \pswedge(m_4){6}{81}{99} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](9.424,0){m_5} \pswedge(m_5){6}{81}{99} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](11.3088,0){m_6} \pswedge(m_6){6}{81}{99} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](13.1936,0){m_7} \pswedge(m_7){6}{81}{99} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](15.0784,0){m_8} \pswedge(m_8){6}{81}{99} \pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](16.9632,0){m_9} \pswedge(m_9){6}{81}{99} \endpspicture \end{center} \begin{enumerate}[1.] \item Rappeler la formule donnant le périmètre d'un cercle de rayon $r$. \item En déduire la formule donnant le périmètre d'un demi-cercle de rayon $r$. \item Quelle est la mesure (approximative) de la longueur $L$ du rectangle colorié ? \\ \textit{Attention, cette longueur dépend du rayon $r$ du disque.} \item Quelle est la mesure (exacte) de la largeur $\ell$ du rectangle colorié ? \item En utilisant la formule donnant l'aire d'un rectangle, que l'on rappellera, déterminer l'aire du rectangle colorié. \item \begin{multicols}{2} Donner alors la formule trouvée pour calculer l'aire d'un disque de rayon $r$, en considérant que l'on peut CONFONDRE l'aire du rectangle colorié avec l'aire du disque. \begin{minipage}[c]{0.46\textwidth} \begin{tabularx}{\textwidth}{|X|} \hline \textbf{\underline{Formule donnant l'aire d'un disque}}\\ \textbf{\underline{de rayon $r$} :}\\ \vskip 0.5cm ~\\ \hline \end{tabularx} \end{minipage} \end{multicols} \end{enumerate} \vskip 1.5cm \begin{exercice} Dans chacun des cas suivants, calculer l'aire du disque correspondant. On donnera la valeur \emph{exacte}, puis une valeur approchée au cm$^2$ près. \begin{multicols}{2} \begin{enumerate}[(a)] \item Disque de centre $O$ et de rayon $5$~cm. \item Disque de rayon $12$~cm. \item Disque de diamètre $14$~cm. \item Disque de demi-rayon $2$~cm. \end{enumerate} \end{multicols} \end{exercice} \end{document}