index.tex

% Présentation générale:
\documentclass[a4paper]{article}
% Voir les accents 8 bits dans le code:
\usepackage[latin1]{inputenc}
% Accents dans le fichier dvi:
\usepackage[LGR,T1]{fontenc}
% Les règles du français + \textgreek{\euro} pour euro:
\usepackage[francais,greek,frenchb]{babel}
% Quelques fonctionnalités utiles:
\usepackage{array,multicol,enumerate}
% Pour les graphiques:
\usepackage{graphicx,pst-all}
%%%%%%%%%%%%%%%%% Inutile, non ?:
% Bascule \emph :  
% \normalem=normal 
% \ULforem =soulignement avec retour à la ligne :
%\usepackage[normalem]{ulem}
% Spécial math
\usepackage{amsmath,amsfonts,amsthm,geometry}
%%%%%%%%%%%%%%%%% Inutile, non ?:                               
%\usepackage{color}
\setlength{\parindent}{0mm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% COMMONMACROS.TEX
 
% A virer ?
\def\d{$\diamond \,$}
% le symbole de multiplication
\def\*{\times}
% replit la ligne de pointillés (Merci Ahmed Kadi)
\newcommand{\dfill}{.\hspace{-2.75ex} \dotfill}
% La fameuse \trou de Olivier Ksiazenicki
% qui remplace un mot par un trou de la meme taille
\def\m@th{\mathsurround=0pt}
\def\trou#1{
        $\setbox0=\hbox{\textbf{#1}} \dp0=0pt \m@th 
        \underline{\hbox{\hskip\wd0}} 
        }
% La fameuse \qcm de Nicolas Poulain
% qui permet de faire des qcm
\newcommand{\QCM}[4]{
        \begin{tabular}[t]{p{13cm}c}
        #1 & \begin{pspicture}(-0.3,0)(1.5,0.5) 
        \pspolygon(0,0)(1.5,0)(1.5,-.5)(0,-.5)
        \psline(.5,0)(.5,-.5) \psline(1,0)(1,-.5)
        \uput[90](0.25,0){A}  \uput[90](0.75,0){B} \uput[90](1.25,0){C}
        \end{pspicture} \\
        A: #2 \qquad B: #3 \qquad C: #4 & \\
        \end{tabular}}
% Elle ne set pas souvent mais j'en ai bavé ;o)
\newcommand{\machine}[4]{
        \begin{pspicture}
        \rput(0,0){\rnode{A}{#1}}
        \rput(3,0.11){\rnode{B}{#2}}
        \psset{nodesep=5pt}
        \ncarc[arcangleA=25,arcangleB=25]{->}{A}{B}\mput*{\ovalnode{m}{#3}}
        \ncarc[arcangleA=25,arcangleB=25]{->}{B}{A}\mput*{\ovalnode{d}{#4}}
        \end{pspicture}
        \hskip 3.1cm}
% Ca peut toujours servir un petit carré ! (Merci Ahmed Kadi)
\newcommand{\smallbox}{
        \begin{pspicture}(.5,.5)
        \pspolygon(0,0)(.25,0)(.25,.25)(0,.25)
        \end{pspicture}}
 
% Marges 
\geometry{a4paper,left=1.5cm,right=1.5cm,top=1.5cm,bottom=1.5cm,noheadfoot}
% Exo
\newcounter{nexo}
\setcounter{nexo}{0}
\newcommand{\exo}{
        \stepcounter{nexo}
        {\textbf{$\triangleright$ Exercice \arabic{nexo} :}}
}
% Questions
\newenvironment{questions}{\begin{enumerate}[1 $\, \diamond$]}{\end{enumerate}}
 
% Begin 
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
 
% Présentation 
\begin{tabular}{|l|} 
        \hline
        {Nom-Prénom : \hfill  \hfill Mardi  12 Octobre 2004 } \\
        \centerline{ 4ème Activité } \\
        \hline 
\end{tabular}
 
%#############################################
\exo $ABC$ est un triangle rectangle en $C$ tel que $AC=5$ et $BC=9$.\\
$ROC$ est un triangle rectangle en $O$ tel que $RO=2.5$ et $OC=3.5$.
 Compléter.
 
\begin{pspicture}(8,2.5)
\pspolygon(0,0)(4,0)(4,2)
\uput[90](4,2){$A$}
\uput[0](4,0){$C$}
\uput[180](0,0){$B$}
\pspolygon(6,0)(9,0)(7,1.4)
\uput[180](6,0){$R$}
\uput[0](9,0){$C$}
\uput[90](7,1.4){$O$}
\end{pspicture}
 
\bigskip
 
\begin{tabular}{clccl}
$AB^2$ & $=AC^2+BC^2$ &\qquad \qquad\qquad & $\dots$ & $=\dots\dots\dots$ \\
$AB^2$ & $=5^2+9^2$ &\qquad \qquad\qquad & $\dots$ & $=\dots\dots\dots$\\
$AB^2$ & $=\dots\dots\dots$ &\qquad \qquad\qquad & $\dots$ & $=\dots\dots\dots$\\
$AB^2$ & $=\dots\dots\dots$ &\qquad \qquad\qquad & $\dots$ & $=\dots\dots\dots$\\
$AB$ & $=\dots\dots\dots$ &\qquad \qquad\qquad & $\dots$ & $=\dots\dots\dots$\\
$AB$ & $=\dots\dots\dots$ &\qquad \qquad\qquad & $\dots$ & $=\dots\dots\dots$\\
\end{tabular}\vskip 0.5cm%#############################################
\exo Calculer le périmètre de la figure $LUNE$, sachant que $LU=UN=6$cm et $NE=3$cm.
 
\begin{center}
\begin{pspicture}(4,3.5)
\pspolygon(0,0)(3,0)(0,3)
\pspolygon(4,1)(3,0)(0,3)
\psline(0.25,0)(0.25,0.25)(0,0.25)
\psline(3.2,0.2)(3,0.4)(2.8,0.2)
\uput[90](0,3){$L$}
\uput[180](0,0){$U$}
\uput[0]{1}(3,0){$N$}
\uput[0](4,1){$E$}
\end{pspicture}
\end{center}
\vskip 0.5cm%#############################################
\exo $ABOD$ est un rectangle de longueur 5cm et de largeur 4cm. $AM=1$cm.
\begin{enumerate}[{$\diamond $} 1 :]
\item Calculer $OM$, $ON$ et $MN$
\item Le triangle $OMN$ est-il rectangle ? Justifier
\end{enumerate}
 
\begin{center}
\psset{unit=0.75}
\begin{pspicture}(4,3)
\rput(7.2,0.5){
\pspolygon(0,0)(5,0)(5,4)(0,4)
\pspolygon(5,0)(0,2)(1,4)
\psline(0.1,0.9)(-0.1,1.1)
\psline(0.1,2.9)(-0.1,3.1)
\psline(0.1,1)(-0.1,1.2)
\psline(0.1,3)(-0.1,3.2)
\uput[180](0,0){$B$}
\uput[0](5,0){$O$}
\uput[0](5,4){$D$}
\uput[180](0,4){$A$}
\uput[90](1,4){$M$}
\uput[180](0,2){$N$}
}
\end{pspicture}
\end{center}\vskip 0.5cm%#############################################
\exo Calculer les longueurs $AB$ puis $BD$ en utilisant les données de la figure.
 
\begin{center}
\begin{pspicture}(6.23,2.3)
\rput{17}{
\pspolygon(0,0)(6.23,0)(6.23,-1.73)(1.73,0)(0,1.8)
\psline(0.75,-0.1)(0.8,0.1)
\psline(0.85,-0.1)(0.9,0.1)
\psline(6.13,-0.75)(6.33,-0.8)
\psline(6.13,-0.85)(6.33,-0.9)
\uput[180]{*0}(0,0){$A$}
\uput[80]{*0}(1.73,0){$B$}
\uput[0]{*0}(6.23,0){$C$}
\uput[0]{*0}(6.23,-1.73){$D$}
\uput[135]{*0}(0,1.8){$E$}
\pcline[linestyle=none](0,1.8)(1.73,0) \aput{:U}{$2.5$}
\pcline[linestyle=none](0,1.8)(0,0) \bput{:U}{$1.8$}
\pcline[linestyle=none](1.73,0)(6.23,0) \aput{:U}{$4.5$}}
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip
 
\vskip 0.5cm%#############################################
\exo $ABCD$ est un trapèze rectangle tel que $AD$ est perpendiculaire à $AB$,
$BD$ est perpandiculaire à $BC$, $AB=8$cm, $AD=6$cm et $DC=12.5$cm. Calculer $BC$.
 
\begin{center}
\begin{pspicture}(4.62,2.5)
\pspolygon(0,0)(0,2)(3.46,2)(4.62,0)
\psline(0,0)(3.46,2)
\uput[180](0,0){$D$}
\uput[180](0,2){$A$}
\uput[30](3.46,2){$B$}
\uput[0](4.62,0){$C$}
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip
 
\vskip 0.5cm\exo $ABCDS$ est une Pyramide régulière. Sa base est le carré $ABCD$ de côté $4,2$\, cm. $H$ est le point d'intersection des diagonales $AC$ et $BD$. $SH$ est la hauteur de cette Pyramide et $SH=2,8$\, cm. $M$ est le milieu du segment $[BC]$. 
 
 \begin{multicols}{2} 
 \begin{questions} 
 \item Calculer le volume de cette Pyramide 
 \item Dessiner en vraie grandeur le carré $ABCD$; placer les points $M$ et $H$. 
 \item Montrer que $MH=2,1$\, cm 
 \item Pourquoi $SHM$ est-il un triangle rectangle ? Dessiner $SHM$ 
 \item Calculer $SM$ 
 \item Dessiner en vraie grandeur un patron de la Pyramide $ABCDS$ 
 \item Calculer l'aire du triangle $SBC$ 
 \item Calculer la mesure de l'angle $\widehat{MSH}$ au dixième de degré près. 
 \end{questions} 
 \columnbreak 
 
  % Generated by eukleides 0.9.2
 \psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
 \psset{unit=1.0000cm}
 \pspicture*(-2.0000,-1.0000)(6.0000,4.2000)
 \uput{0.3000}[-90.0000](0.9405,-0.2129){$A$}
 \uput{0.3000}[-90.0000](4.6225,0.3217){$B$}
 \uput{0.3000}[-90.0000](3.0595,1.5810){$C$}
 \uput{0.3000}[-90.0000](-0.6225,1.0464){$D$}
 \uput{0.3000}[90.0000](2.0000,3.5031){$S$}
 \uput{0.3000}[115.0000](2.0000,0.6840){$H$}
 \uput{0.3000}[-55.0000](2.7815,0.0544){$M$}
 \pspolygon(0.9405,-0.2129)(4.6225,0.3217)(2.0000,3.5031)
 \pspolygon[linestyle=dotted](4.6225,0.3217)(3.0595,1.5810)(2.0000,3.5031)
 \pspolygon[linestyle=dotted](3.0595,1.5810)(-0.6225,1.0464)(2.0000,3.5031)
 \pspolygon(-0.6225,1.0464)(0.9405,-0.2129)(2.0000,3.5031)
 \psline[linestyle=dotted](2.0000,0.6840)(2.7815,0.0544)
 \psline[linestyle=dotted](0.9405,-0.2129)(3.0595,1.5810)
 \psline[linestyle=dotted](4.6225,0.3217)(-0.6225,1.0464)
 \endpspicture
 % End of figure
 \end{multicols}\vskip 0.5cm%#############################################
\exo 
\begin{questions}
\item Calculer les longueurs $RO$ puis $RS$
\item En déduire le périmètre du triangle $ORS$
\end{questions}
 
\begin{center}
\psset{unit=0.6}
\begin{pspicture}(0,-3)(6,0)
\rput{-25}(4,0.75){
\pspolygon(3,0)(6,0)(0,-4)
\pspolygon[linestyle=dashed](0,0)(3,0)(0,-4)
\psline[linestyle=dashed](0,-0.3)(0.3,-0.3)
\psline[linestyle=dashed](0.3,0)(0.3,-0.3)
\uput[90]{*0}(0,0){$V$}
\uput[45]{*0}(3,0){$O$}
\uput[0]{*0}(6,0){$S$}
\uput[180]{*0}(0,-4){$R$}
\pcline[linestyle=none](0,0)(3,0) \aput{:U}{3\ km}
\pcline[linestyle=none](3,0)(6,0) \aput{:U}{3\ km}
\pcline[linestyle=none](0,-4)(0,0) \aput{:U}{4\ km}
}
\end{pspicture}
\end{center}
\vskip 0.5cm\exo En utilisant les données de la figure :
\begin{questions}
\item Calculer la longueur du segment $[RS]$
\item Calculer la longueur du segment $[PE]$
\item Le triangle $RPE$ est-il rectangle ?
\end{questions}
 
\begin{center}
\begin{pspicture}(3,1)
\rput(2.5,0.5){
\psset{unit=0.6}
\pspolygon(0,0)(3,0)(3,4)
\pspolygon(3,0)(3,4)(9,0)
\psline(3.2,0)(3.2,0.2)
\psline(3,0.2)(3.2,0.2)
\uput[180](0,0){$R$}
\uput[135](3,0){$S$}
\uput[0](9,0){$E$}
\uput[90](3,4){$P$}
\pcline[offset=-9pt]{<->}(0,0)(9,0) \lput*{:U}{9\ cm}
\pcline[linestyle=none](0,0)(3,4) \aput{:U}{5\ cm}
\pcline[linestyle=none](3,0)(3,4) \aput{:U}{4\ cm}
\psset{unit=0.75}
}
\end{pspicture}
\end{center}\vskip 0.5cm%#############################################
\exo Calculer le périmètre de la figure $LUNE$, sachant que $LU=UN=6$cm et $NE=3$cm.
 
\begin{center}
\begin{pspicture}(4,3.5)
\pspolygon(0,0)(3,0)(0,3)
\pspolygon(4,1)(3,0)(0,3)
\psline(0.25,0)(0.25,0.25)(0,0.25)
\psline(3.2,0.2)(3,0.4)(2.8,0.2)
\uput[90](0,3){$L$}
\uput[180](0,0){$U$}
\uput[0]{1}(3,0){$N$}
\uput[0](4,1){$E$}
\end{pspicture}
\end{center}
\vskip 0.5cm\exo Dans la figure ci-contre, $I$ est le milieu de $[AB]$, $J$ est le milieu de $[AC]$, $K$ est le milieu de $[AD]$ et les droites $(BC)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires
 
\begin{center}
\begin{pspicture}(0.2,0.2)
\rput{20}(4,-2.25){
\pspolygon(0,2.5)(3,1.5)(2,0)(0,0)
\psline(0,0)(3,1.5)
\psline(1.5,2)(1.5,0.75)
\psline(1.5,0.75)(2.5,0.75)
\psline[linestyle=dashed](1.5,2)(2.5,0.75)
\psline[linestyle=dashed](0,2.5)(2,0)
\uput[180]{*0}(0,0){$C$}
\uput[180]{*0}(0,2.5){$B$}
\uput[0]{*0}(2,0){$D$}
\uput[0]{*0}(3,1.5){$A$}
\uput[90]{*0}(1.5,2){$I$}
\uput[0]{*0}(2.5,0.75){$K$}
\uput[77]{*0}(1.5,0.75){$J$}
\pcline[linestyle=none](0,2.5)(0,0) \bput{:U}{8 cm}
\pcline[linestyle=none](0,0)(2,0) \bput{:U}{6 cm}
}
\end{pspicture}
\end{center}
\begin{questions}
\item Montrer que $(IJ)$ est parallèle à $(BC)$
\item Montrer que $(JK)$ est parallèle à $(CD)$
\item Que peut-on dire des droites $(IJ)$ et $(JK)$ ?
\item Calculer la longueur $IK$ en justifiant bien.
\end{questions}\vskip 0.5cm%#############################################
\exo Un meuble a été fabriqué dans un atelier délimité par le rectangle $ABCD$ et dont la hauteur sous plafond est de $2.80$m.
Peut-on déplacer ce meuble dans l'atelier afin de l'adosser contre le mur $[CD]$ ? (à part démonter le meuble, tous les moyens sont bons \dots)
 
\begin{center}
\begin{pspicture}(9,3.8)
\pspolygon(0,0)(2,2)(3,2)(3,1.5)(6,1.5)(6.5,2)(9,2)(7,0)
\pspolygon(3,1.5)(6,1.5)(6.5,2)(6.5,3)(3.5,3)(3,2.5)
\psline(6.5,3)(6,2.5)(6,1.5)
\psline(6,2.5)(3,2.5)
\psline(4.5,1.7)(4.5,2.3)
\psdots(4.3,2)
\psdots(4.7,2)
\uput[-135](0,0){$A$}
\uput[135](2,2){$B$}
\uput[45](9,2){$C$}
\uput[-65](7,0){$D$}
\pcline[offset=-5pt]{<->}(0,0)(7,0) \bput{:U}{$6$m}
\pcline[offset=-5pt]{<->}(7,0)(9,2) \bput{:U}{$3$m}
\pcline[offset=+5pt]{<->}(3.5,3)(6.5,3) \aput{:U}{$2.85$m}
\pcline[offset=-5pt]{<->}(6.5,2)(6.5,3) \bput{0}{$0.8$m}
\pcline[offset=-4pt]{<->}(6,1.5)(6.5,2) \bput{0}{$1$m}
\end{pspicture}
\end{center}
\bigskip
\medskip\vskip 0.5cm%#############################################
\exo Les trois triangles suivants sont-ils rectangles ?
 
\begin{center}
\begin{pspicture}(15,2)
\pspolygon(0,0)(3,0.5)(2,1.8)
\pcline[linestyle=none](0,0)(3,0.5)  \bput{:U}{$7.5$cm}
\pcline[linestyle=none](2,1.8)(3,0.5) \aput{:U}{$4.5$cm}
\pcline[linestyle=none](0,0)(2,1.8) \aput{:U}{$6$cm}
\pspolygon(6,0)(9,0.5)(5.5,1.8)
\pcline[linestyle=none](6,0)(9,0.5)  \bput{:U}{$5$m}
\pcline[linestyle=none](5.5,1.8)(9,0.5) \aput{:U}{$6$m}
\pcline[linestyle=none](5.5,1.8)(6,0) \bput{:U}{$4$m}
\uput[0](11,1.5){$MNO$ avec $MO=3$cm,}
\uput[0](12.5,1.1){$NO=5$cm}
\uput[0](12.5,0.7){$MN=4$cm}
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip\vskip 0.5cm%#############################################
\exo Soit $ABC$ un triangle. $H$ est le pied de la hauteur issue 
de $A$ et $L$ est le pied de la hauteur issue de $B$. 
$I$ est le milieu du segment $[AB]$
\begin{enumerate}[{$\diamond $} 1 :]
\item Faire un dessin
\item Montrer que les points $A$, $H$, $L$ et $B$ sont cocycliques
\item Quelle est la nature du triangle $ILH$. Justifier.
\end{enumerate}\vskip 0.5cm%#############################################
\exo Utiliser les indications données sur le dessin pour répondre en justifiant bien
\begin{enumerate}[{$\diamond $} 1 :]
\item Quelle est la nature du triangle $RST$ ?
\item Quelle est la mesure de l'angle $\widehat{RST}$ ?
\item Déterminer le centre et le rayon du cercle $C$ circonscrit \\
au triangle $RST$
\item Le point $U$ appartient-il au cercle $C$ ?
\item Quelle est la nature du triangle $TSU$ ?
\item Que peut-on dire des quatre points $R$, $S$, $T$ et $U$ ?
\end{enumerate}
\psset{unit=0.3}
\begin{pspicture}(0.1,0.1)
\rput(37,6.8){
\pspolygon(0,0)(11.4315,6.6)(16.5,0)
\psdots[dotstyle=|,dotangle=20](4,0)
\psdots[dotstyle=|,dotangle=20](4.3,0)
\psdots[dotstyle=|,dotangle=20](12,0)
\psdots[dotstyle=|,dotangle=20](12.3,0)
\pswedge{2.5}{0}{30}
\uput[0]{15}(2.3,0.9){$30^{\circ}$}
\psdots(5.06,-6.6)
\psline(5.06,-6.6)(8.25,0)
\uput[180](0,0){$T$}
\uput[90](11.4315,6.6){$R$}
\uput[0](16.5,0){$S$}
\uput[-45](8.25,0){$I$}
\uput[0](5.06,-6.6){$U$}
\pcline[linestyle=none](0,0)(11.4315,6.6) \aput{:U}{13.2\ cm}
\pcline[linestyle=none](11.4315,6.6)(16.5,0) \aput{:U}{9.9\ cm}
\pcline[linestyle=none](0,0)(16.5,0) \aput{:U}{16.5\ cm}
\pcline[linestyle=none](5.06,-6.6)(8.25,0) \aput{:U}{8.25\ cm}
}
\end{pspicture}
\psset{unit=3}{}
\vskip .5cm
\vskip 0.5cm
\end{document}