\documentclass[12pt,a4paper]{article} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[dvips,margin=1.5cm]{geometry} \parindent0pt \usepackage{amsmath} \usepackage{graphicx} \input christ5.tex \title{Quelques exercices d'approfondissement} \author{Nicolas Roux} \date{\today} \begin{document} \maketitle \tableofcontents \section{Résolution d'équations du type $ax^2+bx+c$ (avec $a\neq0$)} {\small On sait factoriser les expressions du type $ax^2+bx+c$ (avec $a\neq0$) dans certaines conditions.\\ Il existe d'autres méthodes (plus complètes) pour déterminer si une expression de ce type est factorisable et pour la factoriser le cas échéant. On va déterminer cette méthode. \begin{enumerate} \item Montrer que $ax^2+bx+c=a\left[\left(x+\dfrac b{2a}\right)^2-\left(\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\right)\right]~~(1)$.\\ (On pourra développer puis réduire l'expression de droite pour arriver à l'expression de gauche.) \item $\bullet$ On sait factoriser les expressions du type $A^2-B^2$.\\ $\bullet$ On sait aussi qui si un nombre $n$ est positif alors on peut l'écrire comme le carré d'un nombre: $(\sqrt n)^2=n$; alors que si $n$ est négatif on ne le peut pas.\\ Dans la deuxième expression de l'égalité $(1)$, il faut s'intéresser à la partie $\left(\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\right)$. \item Si $\left(\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\right)<0$ alors on ne peut pas l'écrire comme étant le carré d'un nombre, on ne sait pas factoriser l'expression dans ce cas. \item Par contre, si $\left(\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\right)>0$, alors $\left(\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\right)=\left[\sqrt{\left(\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\right)}\right]^2$. \item Ce cas est intéressant car, en posant:\\ $A=\left(x+\dfrac b{2a}\right)$ et $B=\sqrt{\left(\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}\right)}$, l'expression de droite de l'égalité $(1)$ devient $a(A^2-B^2)$!\\ $$a(A^2-B^2)=a(A-B)(A+B)$$ \item Tout suivi? Alors on peut appliquer la méthode.\\ \underline{Exemple 1:} Factoriser, si possible, $x^2-3x+2$.\\ $\bullet$ $a=1$, $b=-3$ et $c=2$. (Il faut calculer $\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$, pour déterminer le signe de $\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}$.)\\ $\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}=\dfrac{(-3)^2-4(1)(2)}{4(1)^2}=\dfrac{9-8}{4}=\dfrac14>0$, on peut donc factoriser cette expression.\\ $\bullet$ $A=\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)=\left(x+\dfrac{-3}{2\times1}\right)=\left(x-\dfrac32\right)\quad$ et $\quad B=\sqrt{\dfrac14}=\dfrac12$\\ $\bullet$\\ $\Eqalign{x^2-3x+2&=1\left[\left(x-\dfrac32\right)-\dfrac12\right]\left[\left(x-\dfrac32\right)+\dfrac12\right]\cr x^2-3x+2&=\left(x-\dfrac42\right)\left(x-\dfrac22\right)\cr x^2-3x+2&=(x-2)(x-1)\cr}$\\ \underline{Exemple 2:} Factoriser, si possible, $x^2-x+2$.\\ $\bullet$ $a=1$, $b=-1$ et $c=2$.\\ $\bullet$ $\dfrac{b^2-4ac}{4a^2}=\dfrac{(-1)^2-4(1)(2)}{4(1)^2}=\dfrac{1-8}{4}=\dfrac{-7}4<0$, on ne peut pas factoriser cette expression (d'après 3.). \item Factoriser, si possible, $4x^2-4x-3$. \item Factoriser, si possible, $x^2-2x-2$. \item Factoriser, si possible, $3x^2-4x+2$. \end{enumerate}} \section{Initiation aux fractales} Voyez vous un quelconque rapport entre un chou fleur, les côtes de Bretagne, la surface de la lune ou les cours de la bourse ? Difficile ?\\ {\large \bf Partie 1}\\ Tous ces objets sont pourtant utilisés par des mathématiciens pour étudier et expliquer des courbes ou des surfaces étranges appelées fractales.\\ 1. Rechercher le mot \textit{fractale} dans une encyclopédie ou un dictionnaire et par la même occasion établir une biographie succincte sur un mathématicien célèbre : Benoît Mandelbrot, le père de nombreuses fractales.\\ 2. Au CDI, vous pourrez, sur Internet, afficher de belles fractales en couleur. Là encore, il faudra chercher un peu. (Joindre au devoir une copie accompagnée d'un petit texte sera très apprécié.)\\ {\large \bf Partie 2}\\ Mais passons aux choses sérieuses avec cette petite introduction modeste que nous devons à \\{\bf Mr Van Koch : Le flocon de neige}.\\ 1. Sur une belle feuille de papier blanche A4, construire un segment de $162\,mm$. Le partager en trois segments de même longueur . Le segment du milieu va vous servir maintenant de base pour construire un triangle équilatéral. Gommez ce segment qui vous a servi de base, vous avez sous vos yeux une ligne brisée de 4 segments.\\ Divisez de nouveau chaque segment en trois. Sur chaque segment du milieu construisez à nouveau un triangle équilatéral. Effacez tous les segments du milieu. Vous venez d'obtenir une "courbe" fractale d'ordre 2. Il ne vous reste plus qu'à recommencer le même processus : diviser chaque segment en trois puis sur le petit segment du milieu construire un triangle équilatéral ... Vous aurez sous les yeux la courbe d'ordre 3. Ce serait maintenant trop long de réaliser l'étape suivante.\\ 2. Vous avez maintenant compris le procédé. Je vous propose de recommencer la même chose en partant d'un grand triangle équilatéral de côté $162\,mm$ et donc de faire la même construction sur chaque côté. Vous obtiendrez un magnifique flocon de neige.\\ 3. Pour terminer, il serait intéressant de se pencher sur le périmètre de chaque courbe, à chaque stade de son évolution. Vous pourrez le faire en complétant le petit tableau suivant:\\ \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline Stade du flocon & Nombre de côtés & Longueurs d'un côté en $mm$& Périmètre du flocon en $mm$\\ \hline 0 & 3 & 162 & 486 \\\hline 1 & & & \\\hline 2 & & & \\\hline 3 & & & \\\hline 4 (non construit) & & & \\ \hline \end{tabular} ~\\ Deux questions se posent alors: \begin{enumerate} \item Comment va évoluer le périmètre de la courbe du flocon de neige quand on va continuer sa construction : "à l'infini"? \item La surface enfermée dans cette courbe n'est pas infinie puisqu'elle ne sort pas de la feuille de papier. Mais alors peut-on calculer son aire ? \\ Vous pouvez répondre à la première question. Pour la seconde, il faudra attendre quelques années. Patience... \end{enumerate} \section{Irrationnalité de $\sqrt2$} {\large \bf Première partie: Contraposée d'une propriété}\\ On a déjà rencontré, dans certains cas, la contraposée d'une propriété (exemple: dans un triangle de plus grand côté $[AB]$, si $AB^2\neq AC^2+BC^2$ alors le triangle n'est pas rectangle, qui est la contraposée du théorème de Pythagore). La contraposée d'une propriété 1 est une autre propriété 2 dont les conditions sont la négation des conclusions de la propriété 1 et les conclusions sont la négation des conditions de la propriété 1.\\ \exe\\ Propriété 1:\\ Si $\underbrace{\text{un nombre est divisible par dix}}_{\mbox{condition}}$, alors $\underbrace{\text{il se termine par 0}}_{\mbox{conclusion}}$.\\ Propriété 2:\\ Si $\underbrace{\text{un nombre ne se termine pas par 0}}_{\mbox{condition}}$, alors $\underbrace{\text{il n'est pas divisible par dix}}_{\mbox{conclusion}}$.\\ \rema\\ 1. Si une propriété est vraie alors sa contraposée est vraie.\\ 2. La négation de {\bf et} est {\bf ou} et inversement.\\ \underline{Attention !!!:} Ne pas confondre contraposée et réciproque.\\ Donner les réciproques et contraposées des propriétés suivantes, puis dire si elles sont vraies:\\ 1. Si une propriété est vraie alors sa contraposée est vraie.\\ 2. Si j'ai deux chemises alors j'ai au moins une chemise.\\ 3. Si deux droites sont perpendiculaires alors elles sont sécantes.\\ {\large \bf Deuxième partie: Raisonnement par l'absurde}\\ \begin{minipage}[l]{0.5\linewidth} Le raisonnement par l'absurde est une méthode pour démontrer.\\ \underline{Principe:}\\ On veut montrer que $(AB)$ et $(CD)$ ne sont pas parallèles.\\ \end{minipage} \begin{minipage}[l]{0.5\linewidth} \includegraphics{irrat.1} \end{minipage} \begin{minipage}[l]{0.4\linewidth} 1. On suppose quelque chose de faux dans l'énoncé. \end{minipage} ~\vrule~\begin{minipage}[l]{0.6\linewidth} Dans notre exemple, on suppose que $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles. \end{minipage}~\\~\\ \begin{minipage}[l]{0.4\linewidth} 2. Au cours de la démonstration, on constate une contradiction. \end{minipage} ~\vrule~\begin{minipage}[l]{0.6\linewidth} $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles, donc les angles alternes internes qu'elles forment avec la droite $(BC)$ ont même mesure, donc $\widehat{ABC}=\widehat{BCD}$.\\ De plus $\widehat{ABC}=180-140=40°$.\\ $\widehat{BCD}=30°$.\\ Donc $\widehat{ABC}\neq \widehat{BCD}$. \end{minipage}~\\~\\ \begin{minipage}[l]{0.4\linewidth} 3. S'il y a une contradiction, cela veut dire que l'énoncé est faux (ou qu'on a fait une erreur, mais ce n'est pas le sujet...). \end{minipage} ~\vrule~\begin{minipage}[l]{0.6\linewidth} On constate que $\widehat{ABC}\neq \widehat{BCD}$ et $\widehat{ABC}=\widehat{BCD}$, ce qui est contradictoire, donc la supposition est fausse donc les droites $(AB)$ et $(CD)$ ne sont pas parallèles.\\ \end{minipage} %\newpage {\large \bf Troisième partie: Irrationnalité de $\sqrt 2$}\\ \thispagestyle{empty} L'irrationnalité de $\sqrt 2$ semble avoir été découverte par les pythagoriciens (disciples de Pythagore). La démonstration proposée est très voisine de celle d'Euclide dans son ouvrage intitulé \textsl{\'Eléments}.\\ Raisonnons par l'absurde et supposons qu'il existe une fraction {\bf irréductible} $\dfrac p q$ telle que $\sqrt2=\dfrac p q$ avec $p$ et $q$ entiers. \begin{enumerate} \item Expliquer pourquoi alors $p^2=2q^2$. \item Montrer que si $p$ est pair alors $p^2$ est pair. \item Donner la contraposée de cette propriété. \item Montrer que si $p$ est impair alors $p^2$ est impair. \item Donner la contraposée de cette propriété. \item Le nombre $2q^2$ est-il pair ou impair? Justifier que $p$ est pair. \item Posons $p=2p'$.\\ Expliquer pourquoi: $q^2=2p'^2$. En déduire que $q$ est pair. \item On sait que $p$ est pair et que $\dfrac p q$ est irréductible. En déduire que $q$ est impair. \item Où est la contradiction? \item Conclure. \end{enumerate} \section{Nombre d'or} {\large \bf 0. Le nombre d'or}\\ Faire des recherches sur ce nombre (succinctes et abordables).\\ {\large \bf 1. L'équation $x^2-x-1=0~(E)$}\\ \begin{enumerate} \item Montrer que $\phi=\dfrac{1+\sqrt5}2$ est solution de $(E)$. \item Calculer une valeur approchée de $\phi$ à $10^{-3}$ près. \end{enumerate}~\\ {\large \bf 2. Suite de Fibonacci}\\ {\bf \normalsize Première partie}\\ La suite de nombres $1,2,3,4,5,6,\ldots$ est une suite de nombres bien connue. C'est une suite de nombres de 1\ier ~terme 1, de 2\ieme ~terme 2, etc...\\ Il existe bien d'autres suites de nombres, par exemple: \begin{enumerate} \item La suite de nombres $1,4,9,16,25,\ldots$\\ Déterminer les 6\ieme ~et 7\ieme ~termes. \item La suite de nombres $1,\dfrac12, \dfrac13, \dfrac14,\dfrac15,\ldots$\\ Déterminer les 6\ieme ~et 7\ieme ~termes. \item La suite de nombres $1,4,7,10,13,\ldots$\\ Déterminer les 6\ieme ~et 7\ieme ~termes. \end{enumerate}~\\ {\bf \normalsize Deuxième partie}\\ Parmi toutes ces suites, il y en a une un peu plus intéressante: la suite de Fibonacci: $1,1,2,3,5,8,13,21,34,\ldots$\\ \begin{enumerate} \item On calcule un terme en additionnant les deux termes précédents.\\ Déterminer les 10\ieme ~et 11\ieme ~termes.\\ \item Calcul des rapports de termes consécutifs (le plus grand au numérateur):\\ $\Eqalign{\dfrac11=\ldots~~ & \dfrac21=\ldots & \dfrac 32=\ldots~~ & \dfrac 53=\ldots & \dfrac 85=\ldots }$ \\ Calculer ces rapports (on donnera une valeur approchée à $10^{-3}$ si nécessaire), puis calculer les rapports suivants (en s'arrêtant au rapport de numérateur 89).\\ \item Que remarque-t-on?\\ \end{enumerate} {\large \bf 3. Fraction continue}\\ \begin{minipage}[l]{0.5\linewidth} $A=1+\dfrac1{1+1}$\\~\\ $C=1+\dfrac1{1+\dfrac1{1+\dfrac1{1+1}}}$ \end{minipage} \begin{minipage}[l]{0.5\linewidth} $B=1+\dfrac1{1+\dfrac1{1+1}}$\\~\\ $D=1+\dfrac1{1+\dfrac1{1+\dfrac1{1+\dfrac1{1+1}}}}$ \end{minipage}~\\~\\ \begin{minipage}[l]{0.5\linewidth} $E=1+\dfrac1{1+\dfrac1{1+\dfrac1{1+\dfrac1{1+\dfrac1{1+1}}}}}$ \end{minipage} \begin{minipage}[l]{0.5\linewidth} $F=1+\dfrac1{1+\dfrac1{1+\dfrac1{1+\dfrac1{1+\dfrac1{1+\dfrac1{1+1}}}}}}$ \end{minipage}~\\ \begin{enumerate} \item Calculer et donner les résultats sous forme de fractions irréductibles les nombres $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ et $F$ (on pourra remarquer que $B=1+\dfrac1{A}$, $C=1+\dfrac1{B}$...) . \item Donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ et $F$. \item Quelle remarque peut-on faire? \end{enumerate}~\\ {\large \bf 4. Racines imbriquées}\\ \begin{minipage}[l]{0.5\linewidth} $A=\sqrt{1+\sqrt 1}$\\ $C=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt 1}}}$ \end{minipage} \begin{minipage}[l]{0.5\linewidth} $B=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt 1}}$\\ $D=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt 1}}}}$ \end{minipage} \begin{minipage}[l]{0.5\linewidth} $E=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt 1}}}}}$ \end{minipage} \begin{minipage}[l]{0.5\linewidth} $F=\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt{1+\sqrt 1}}}}}}$ \end{minipage} \begin{enumerate} \item Calculer $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ et $F$ (on pourra remarquer que $B=\sqrt{1+A}$, $C=\sqrt{1+B}$...), on donnera une valeur approchée à $10^{-3}$ près.\\ \item Quelle remarque peut-on faire?\\ \end{enumerate} {\large \bf 5. Pentagone régulier}\\ {\bf \normalsize Première partie}\\ \begin{enumerate} \item Tracer un cercle de centre $O$, de rayon 10\,cm sur une feuille blanche (de dessin).\\ Tracer un rayon $[OA]$.\\ Placer le point $B$ sur le cercle tel que $\widehat{AOB}=72\degres$.\\ De même, placer le point $C(\neq A)$ sur le cercle tel que $\widehat{BOC}=72\degres$.\\ En utilisant le même principe, placer $D$ et $E$.\\ On obtient ainsi un pentagone régulier $ABCDE$ (5 côtés et 5 angles de même mesure). \item Mesurer $AC$, puis $CD$. Calculer $\dfrac{AC}{CD}$ (à $10^{-3}$ près).\\ Que remarque-t-on?\\ On supposera par la suite que $\dfrac{AC}{CD}=\phi~~\left(=\dfrac{1+\sqrt5}2~\text{pour rappel}\right)$. \end{enumerate}~\\ {\bf \normalsize Deuxième partie}\\ \begin{enumerate} \item Calculer $\widehat{COA}$. \item Calculer $\widehat{CAO}$. En déduire $\widehat{ACO}$. \item Calculer $\widehat{OCD}$. \item Soit $A'$ le milieu de $[CD]$, montrer que le triangle $OA'C$ est rectangle en $A'$. \item Calculer $\widehat{COA'}$, puis $\widehat{A'OA}$, en déduire que $A$, $O$ et $A'$ sont alignés. \item Calculer $\widehat{ACA'}$. \item En remarquant que $\dfrac{DC}{AC}=2\times \dfrac{A'C}{AC}$, calculer la valeur exacte de $\dfrac{A'C}{AC}$ (penser que $\dfrac{DC}{AC}$ est l'inverse de $\dfrac{AC}{DC}$). \item En déduire une valeur exacte de $\cos72\degres$. \end{enumerate}~\\ {\large \bf 6. Nombre d'or dans la vie de tous les jours}\\ Faire des recherches sur le théâtre d'\'Epidaure, sur les tournesols (en rapport avec la suite de Fibonacci). Trouver d'autres éléments en relation avec ce nombre. \end{document}