\begin{travail}{Probl\`{e}me}
\textcolor{red}{\textbf{(19 points)}}

Dans un rep\`{e}re d'origine le point $O$,
on d\'{e}cide que les points de coordonn\'{e}es enti\`{e}res $\left(a,b\right)$
repr\'{e}sentent les nombres qui s'\'{e}crivent $2^{a}\times3^{b}$.\\

Par exemple, le point $P\left(1;4\right)$ repr\'{e}sente le nombre $2^{1}\times3^{4}=162$.\\

\begin{enumerate}[1.]

\item
Tracer un rep\`{e}re d'origine le point $O$.

\begin{enumerate}[a.]

\item
Dans ce rep\`{e}re, placer le point $A\left(2;3\right)$.

\item
Quel nombre repr\'{e}sente le point $A$?

\item
Quelles sont les coordonn\'{e}es du point $B$ qui repr\'{e}sente le nombre $144$?

\item
Placer le point $B$ dans ce m\^{e}me rep\`{e}re.

\end{enumerate}

\item

\begin{enumerate}[a.]

\item
\'{E}tablir la liste des diviseurs du nombre $144$.

\item
Dans le rep\`{e}re, placer en vert les points qui repr\'{e}sentent ces diviseurs.

\end{enumerate}

\item

\begin{enumerate}[a.]

\item
\'{E}tablir la liste des diviseurs du nombre $108$.

\item
Dans le rep\`{e}re, placer en noir les points qui repr\'{e}sentent ces diviseurs.

\end{enumerate}

\item

\begin{enumerate}[a.]

\item
Par lecture graphique, \'{e}tablir la liste des diviseurs communs de $108$ et $144$.

\item
En d\'{e}duire le $PGCD$ de $108$ et $144$.

\end{enumerate}

\item

\begin{enumerate}[a.]

\item
Dans le rep\`{e}re, placer le point $C$ qui repr\'{e}sente le nombre $648$.

\item
Par lecture graphique, d\'{e}terminer le nombre de diviseurs de $648$.

\item
Par lecture graphique, d\'{e}terminer le $PGCD$ de $144$ et $648$.

\item
Retrouver ce $PGCD$ par le calcul.

\end{enumerate}

\item

\begin{enumerate}[a.]

\item
Dans le rep\`{e}re, placer le point $D$ repr\'{e}sentant le nombre $2^{5}\times3^{5}$.

\item
Calculer les nombres repr\'{e}sent\'{e}s par les points du quadrillage
situ\'{e}s sur le segment $[OD]$.

\item
Quelle remarque peut-on faire sur ces nombres?
Justifier.

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{travail}
