\documentclass{article}
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\begin{document}
\begin{leftbar}
3 explorateurs Loulou , Riri et Fifi dorment a coté d'un tas de cacahuètes et d'un singe:
\begin{itemize}
\item Loulou se réveille , il partage le tas de cacahuètes en 3 , il en reste 1 : il la donne au singe , mange sa part , remet tout en place et se recouche!
\item Riri se réveille , il partage le tas de cacahuètes en 3 , il en reste 1 : il la donne au singe , mange sa part , remet tout en place et se recouche!
\item Fini se réveille , il partage le tas de cacahuètes en 3 , il en reste 1 : il la donne au singe , mange sa part , remet tout en place et se recouche!
\item le lendemain matin ils se réveillent , partagent les cacahuètes restantes en 3 , il en reste 1 qu'ils donnent au singe\ldots
\end{itemize}
Après avoir mangé chacun leur part , ils se demandent combien il y avait de cacahuètes!! Aidez les!!!
\end{leftbar}
Appelons $x$ le nombre de cacahuètes au début de la nuit ; $a$ la part mangée par Loulou ; $b$ la part mangée par Riri ; $c$ la part mangée par Fifi et enfin $d$ la part mangée par chacun d'eux au matin.
\par
On peut donc écrire les égalités suivantes :
\begin{description}
\item[1\ier{} lever : Loulou]
\begin{equation}\label{eq1}
x=3\times a+1
\end{equation}
\item[2\ier{} lever : Riri] Au moment où se lève Riri, il reste $x-(a+1)$ cacahuètes ou $2a$ cacahuètes. En effet, d'après l'équation \ref{eq1}, $1=x-3a$ et $x-(a+1)=x-(a+x-3a)=2a$. Donc
\begin{equation}\label{eq2}
2a=3\times b+1
\end{equation}
et il reste maintenant $2b$ cacahuètes.
\item[3\ieme{} lever : Fifi] On a de la même façon que lors des 2 précédents levers,
\begin{equation}\label{eq3}
2b=3\times c+1
\end{equation}
Il reste alors maintenant $2c$ cacahuètes.
\item[4\ieme{} lever : Riri, Fifi et Loulou] On a alors
\begin{equation}\label{eq4}
2c=3\times d+1
\end{equation}
\end{description}
Exprimons maintenant $x$ en fonction de $d$. D'après l'équation \ref{eq2}, on a \begin{equation}\label{eq5}
a=\frac12(3b+1)
\end{equation}
puis d'après l'équation \ref{eq3}
\begin{equation}\label{eq6}
b=\frac12(3c+1)
\end{equation}
puis d'après l'équation \ref{eq4}
\begin{equation}\label{eq7}
b=\frac12(3c+1)
\end{equation}
En regroupant les équations \ref{eq5}, \ref{eq6} et \ref{eq7}, on peut écrire
$$\Eqalign{
x&=3a+1\cr
x&=3\times\frac12(3b+1)+1\cr
x&=3\times\frac12(3\times\frac12(3c+1)+1)+1\cr
x&=3\times\frac12(3\times\frac12(3\times\frac12(3d+1)+1)+1)+1\cr
}$$
Cette dernière équation se transformant en
\begin{equation}\label{eq8}
x=\frac{81}8d+\frac{65}8
\end{equation}
ou
\begin{equation}\label{eq9}
x=\frac{81d+65}8
\end{equation}
Pour obtenir un nombre entier de cacahuètes, il faut que $81d+65$ soit un multiple de 8. Donc, en écrivant
$$81d+65=(80+1)d+(64+1)=80d+64+d+1=8(10d+8)+(d+1)$$
$8(10d+8)$ étant déjà un multiple de 8, il faut que $d+1$ en soit un aussi. Par conséquent, la plus petite valeur possible pour $d$ est $d=7$. En réinjectant cette valeur dans l'équation \ref{eq8}, on trouve {\bf un nombre (minimum) total de cacahuètes égal à 79}.
\par Vérifions\\
\begin{center}
Départ : \rnode{A}{79}\kern3.5cm\rnode{B}{52}\kern3.5cm\rnode{C}{34}\kern3.5cm\rnode{D}{22}\kern3.5cm\rnode{E}{0} : Fin.
\end{center}
\ncline{->}{A}{B}
{\footnotesize
\naput{1\ier{} lever : Loulou}
\nbput{$-$27 cacahuètes (26+1)}
}
\ncline{->}{B}{C}
{\footnotesize
\naput{2\ieme{} lever : Riri}
\nbput{$-$18 cacahuètes (17+1)}
}
\ncline{->}{C}{D}
{\footnotesize
\naput{3\ieme{} lever : Fifi}
\nbput{$-$12 cacahuètes (11+1)}
}
\ncline{->}{D}{E}
{\footnotesize
\naput{4\ieme{} lever : Tous}
\nbput{$-$22 cacahuètes ($3\times7+1$)}
}


\end{document}