\documentclass[a4paper,12pt,dvips]{article} \parindent0pt \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[dvips,margin=8mm,noheadfoot]{geometry} \usepackage{array} \usepackage{fancybox,amsmath,amssymb,color,pifont,enumerate} \usepackage{graphicx} \pagestyle{empty} \newenvironment{myenumerate}{ \renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}} \def\labelenumi{{\bf \theenumi /}} \begin{enumerate}}{\end{enumerate}} \newcommand{\titrage}[2]{ {\Large #1}\hfill#2 \par\rule[+6pt]{\linewidth}{0.5mm} \par } \newcommand{\defin}[1] {\begin{center} \Ovalbox{\begin{minipage}{17cm} \begin{tabular}{p{2.5cm}p{13cm}}\textbf{Définition : }& {#1} \end{tabular}\end{minipage}} \end{center} } \newcommand{\propr}[1] {\begin{center} \doublebox{\begin{minipage}{17cm} \begin{tabular}{p{2.5cm}p{13cm}}\textbf{Propriété : }& {#1} \end{tabular}\end{minipage}} \end{center} } \begin{document} \parskip0pt \titrage{Autour de la droite d'Euler d'un triangle avec le logiciel {\sc Cabri}.}{} \section{Droite d'EULER} \subsection{Construction du centre du cercle circonscrit} \begin{myenumerate} \item Lancer le logiciel Cabri en suivant : {\footnotesize{\ovalbox{\texttt{Programmes}}\,$\blacktriangleright$\ovalbox{\texttt{\'Educatif}}\, $\blacktriangleright$\ovalbox{\texttt{Mathématiques}}\, $\blacktriangleright$\ovalbox{\texttt{Cabri-géomètre II}}}} \item Construire un triangle $ABC$ quelconque (mais assez grand) avec la fonction "\texttt{Segment}" $\includegraphics[height=0.7cm,width=0.7cm]{segment.eps}$ \item Construire la médiatrice du côté $[AB]$ : fonction "\texttt{Médiatrice}" $\includegraphics[height=0.7cm,width=0.7cm]{mediatri.eps}$ \item Construire la médiatrice du côté $[BC]$. \item Construire la médiatrice du côté $[AC]$. \item Créer le point d'intersection de ces trois médiatrices. On le nommera $O$ : fonction "\texttt{point}" $\includegraphics[height=0.7cm,width=0.7cm]{point.eps}$ \item Masquer les trois médiatrices : fonction "\texttt{Cacher/Montrer}" $\includegraphics[height=0.7cm,width=0.7cm]{boutcach.eps}$ \end{myenumerate} \subsection{Construction de l'orthocentre} \begin{myenumerate} \item {\bf Sur le même triangle}, construire la hauteur issue de A : c'est la perpendiculaire à $(BC)$ passant par $A$ : fonction "\texttt{Droite perpendiculaire}" $\includegraphics[height=0.7cm,width=0.7cm]{perpend.eps}$ \item Construire la hauteur issue de $B$ : c'est la perpendiculaire à $(AC)$ passant par $B$. \item Construire la hauteur issue de $C$ : c'est la perpendiculaire à $(AB)$ passant par $C$. \item Que constate-t-on ? Faire varier la forme de $ABC$ en déplaçant successivement $A$, $B$ et $C$ puis conclure. \item Créer et nommer le point d'intersection de ces trois hauteurs. On le nommera $H$. \item Masquer les trois hauteurs. \end{myenumerate} \subsection{Construction du centre de gravité} \begin{myenumerate} \item On rappelle la définition d'une médiane : dans un triangle, la médiane est une droite qui passe par un sommet et par le milieu du côté opposé à ce sommet. \begin{enumerate}[a/] \item Construire le milieu de $[AB]$ : fonction "\texttt{Milieu}" $\includegraphics[height=0.7cm,width=0.7cm]{milieu.eps}$ ({\itshape cliquer sur l'icône et cliquer une fois sur le segment $[AB]$}) \item Tracer la droite qui passe par ce milieu et $C$. La médiane relative au côté $[AB]$ est construite. \end{enumerate} \item \begin{enumerate}[a/] \item Construire le milieu de $[AC]$. \item Tracer la droite qui passe par ce milieu et $B$. La médiane relative au côté $[AC]$ est construite. \end{enumerate} \item \begin{enumerate}[a/] \item Construire le milieu de $[BC]$. \item Tracer la droite qui passe par ce milieu et $A$. La médiane relative au côté $[BC]$ est construite. \end{enumerate} \item Que constate-t-on ? Faire varier la forme de $ABC$ en déplaçant successivement $A$, $B$ et $C$ puis conclure. \item Créer et nommer le point d'intersection de ces trois médianes. On le nommera $G$. \item Masquer les trois médianes. \end{myenumerate} \subsection{Droite d'EULER} \begin{myenumerate} \item Que peut-on dire des points $O$, $G$ et $H$ ? Faire varier la forme de $ABC$ en déplaçant successivement $A$, $B$ et $C$ pour vous en convaincre. \item Poser la question à Cabri : fonction "\texttt{Aligné ?}" $\includegraphics[height=0.7cm,width=0.7cm]{milieu.eps}$ ({\itshape cliquer sur l'icône puis cliquer une fois sur le premier point, une fois sur le deuxième, une fois sur le troisième et afficher la réponse en cliquant une fois en dehors du dessin.}) \item Afficher les longueurs $OG$ et $GH$ : fonction "\texttt{Distance et longueur}" $\includegraphics[height=0.7cm,width=0.7cm]{distance.eps}$ \item Que constate-t-on ? Faire varier la forme de $ABC$ en déplaçant successivement $A$, $B$ et $C$ puis conclure. \end{myenumerate} \section{Cercle des neuf points} \subsection{Pieds des hauteurs} \begin{myenumerate} \item faire réapparaître les trois hauteurs du triangle $ABC$. \item Créer et nommer le pied de la hauteur issue de $A$ : c'est l'intersection de cette hauteur avec $(BC)$. On note ce point $P$. \item Créer et nommer le pied de la hauteur issue de $B$ : c'est l'intersection de cette hauteur avec $(AC)$. On note ce point $Q$. \item Créer et nommer le pied de la hauteur issue de $C$ : c'est l'intersection de cette hauteur avec $(AB)$. On note ce point $R$. \end{myenumerate} \subsection{Milieux de segments} \begin{myenumerate} \item Créer et nommer le milieu du segment $[AH]$ : on le nomme $H1$. fonction "\texttt{Milieu}" $\includegraphics[height=0.7cm,width=0.7cm]{milieu.eps}$ ({\itshape cliquer sur l'icône et cliquer une fois sur la première extrémité du segment et une fois sur la deuxième extrémité.}) \item Créer et nommer le milieu du segment $[BH]$ : on le nomme $H2$. \item Créer et nommer le milieu du segment $[CH]$ : on le nomme $H3$. \item Masquer de nouveau les trois hauteurs. \end{myenumerate} \subsection{Tracé du Cercle} \begin{myenumerate} \item Que peut-on dire des points $H1$, $H2$, $H3$, $P$, $Q$ $R$ et des milieux des trois côtés ? Faire varier la forme de $ABC$ en déplaçant successivement $A$, $B$ et $C$ pour vous en convaincre. \item Créer et nommer le milieu du segment $[OH]$ : on le nomme $W$. \item Tracer le cercle de centre $W$ et passant par $H1$ : fonction "\texttt{Cercle}" $\includegraphics[height=0.7cm,width=0.7cm]{cercle.eps}$ ({\itshape utilisation de la fonction "\texttt{Cercle}" : cliquer sur l'icône ci-dessus puis cliquer une fois sur le centre du cercle et une autre fois sur le point où doit passer le cercle.}) \item Que peut-on dire des points $H1$, $H2$, $H3$, $P$, $Q$ $R$ et des milieux des trois côtés ? Faire varier la forme de $ABC$ en déplaçant successivement $A$, $B$ et $C$ pour vous en convaincre. \item Assurez-vous de cela en posant 8 fois la question à Cabri : fonction "\texttt{Appartient ?}" $\includegraphics[height=0.7cm,width=0.7cm]{appartie.eps}$ ({\itshape cliquer sur l'icône puis cliquer une fois sur le point, une fois sur le cercle et afficher la réponse en cliquant une fois en dehors du dessin.}) \end{myenumerate} \section{Un autre cercle des neuf points} \subsection{Symétriques de l'orthocentre par symétrie centrale} \begin{myenumerate} \item Construire le symétrique de $H$ par rapport au milieu du segment $[AB]$. On le nommera $H'1$. Fonction "\texttt{Symétrie centrale}" $\includegraphics[height=0.7cm,width=0.7cm]{symcentr.eps}$ ({\itshape cliquer sur l'icône puis cliquer une fois sur le point et une fois sur le centre de symétrie.}) \item Construire le symétrique de $H$ par rapport au milieu du segment $[BC]$. On le nommera $H'2$. \item Construire le symétrique de $H$ par rapport au milieu du segment $[AC]$. On le nommera $H'3$. \end{myenumerate} \subsection{Symétriques de l'orthocentre par symétrie axiale} \begin{myenumerate} \item Construire le symétrique de $H$ par rapport à la droite $(AB)$. On le nommera $H''1$. Fonction "\texttt{Symétrie axiale}" $\includegraphics[height=0.7cm,width=0.7cm]{symortho.eps}$ ({\itshape cliquer sur l'icône puis cliquer une fois sur le point et une fois sur l'axe de symétrie.}) \item Construire le symétrique de $H$ par rapport à la droite $(BC)$. On le nommera $H''2$. \item Construire le symétrique de $H$ par rapport à la droite $(AC)$. On le nommera $H''3$. \end{myenumerate} \subsection{Tracé du cercle} \begin{myenumerate} \item Tracer le cercle circonscrit à $ABC$, c'est-à-dire le cercle de centre $O$ et passant par $A$ : fonction "\texttt{Cercle}" $\includegraphics[height=0.7cm,width=0.7cm]{cercle.eps}$ ({\itshape utilisation de la fonction "\texttt{Cercle}" : cliquer sur l'icône ci-dessus puis cliquer une fois sur le centre du cercle et une autre fois sur le point où doit passer le cercle.}) \item Que peut-on dire des points $A$, $B$, $C$, $H'1$, $H'2$, $H'3$, $H''1$, $H''2$, $H''3$ ? Faire varier la forme de $ABC$ en déplaçant successivement $A$, $B$ et $C$ pour vous en convaincre. \item Assurez-vous de cela en posant 6 fois la question à Cabri : fonction "\texttt{Appartient ?}" $\includegraphics[height=0.7cm,width=0.7cm]{appartie.eps}$ ({\itshape cliquer sur l'icône puis cliquer une fois sur le point, une fois sur le cercle et afficher la réponse en cliquant une fois en dehors du dessin.}) \end{myenumerate} \end{document}