index.tex

\documentclass[a4paper, 11 pt, dvips]{article}
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\rfoot{\textit{\footnotesize{Cours statistiques\\ classe de 4\textsuperscript{ème} - année 2002-2003}}}
\rhead{}\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}
 
\begin{document}
\centerline{\shadowbox{\parbox{12 cm}{\centering\textsc{\large Statistiques}}}}
\section*{Références au programme}
\subsection*{Programme officiel}
{\scriptsize {\begin{center}\begin{tabular}{|p{4cm}|p{6.5cm}|p{6.5cm}|}
\hline \multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Contenus}}&\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Compétences exigibles}}&\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Commentaires}}\\\hline
Effectifs cumulés, fréquences cumulées.
Moyennes pondérées.
&Calculer des effectifs cumulés, des
fréquences cumulées.\par Calculer la moyenne d'une série statistique.
\par Calculer une valeur approchée de la
moyenne d'une série statistique regroupée
en classes d'intervalles
&L'élève sera confronté à des situations courantes
où la méthode de calcul est à remettre
en cause : par exemple, les différences constatées
entre la moyenne annuelle des notes d'un
élève calculée à partir de l'ensemble des notes
de l'année ou à partir de la moyenne des
moyennes trimestrielles.
\\Initiation à l'utilisation de tableurs grapheurs.& &Les tableurs-grapheurs, utilisés dès la 5\textsuperscript{ème} en
technologie, introduisent une nouvelle manière
de désigner une variable : par l'emplacement
de la cellule où elle se trouve dans un tableau. 
Cette nouveauté est un enrichissement pour
des utilisations dont on pourra donner des
exemples. Pour les graphiques des choix successifs
sont proposés, ils conduisent naturellement
à examiner leur pertinence pour l'illustration
d'une situation donnée. 
   \\ \hline \end{tabular}\end{center}}}
\subsection*{Textes d'accompagnement}
\begin{multicols}{2}\noindent{\scriptsize{Au collège, l'enseignement de statistique descriptive a pour
objectif de familiariser progressivement les élèves avec la démarche consistant à synthétiser, sous forme numérique ou
graphique, des informations recueillies sur l'ensemble des éléments
d'une population. L'essentiel de l'activité des élèves
consiste à exploiter, de façon raisonnée, des documents
adaptés à chaque classe, afin de développer leur autonomie
dans ce domaine ; ces documents gagnent à être choisis en
concertation avec d'autres disciplines.\\
Pour faciliter l'interprétation et l'analyse critique des résultats
obtenus, chaque apprentissage est étalé sur deux années de
collège. Ainsi, en classe de 5\textsuperscript{ème}, on poursuit la présentation de
relevés statistiques sous forme de tableaux ou de graphiques
abordée en classe de 6\textsuperscript{ème}, en s'intéressant à la pertinence du
choix des classes et du mode de représentation graphique
retenus. De même, les notions d'effectifs et de fréquences
introduites en classe de 5\textsuperscript{ème} trouvent un prolongement en classe
de 4\textsuperscript{ème}, avec les effectifs cumulés et les fréquences cumulées.
Avec la moyenne d'une série statistique, qui ne constitue pas
une réelle nouveauté pour les élèves, on aborde en classe
de 4\textsuperscript{ème} une nouvelle phase de la synthèse des informations
recueillies. Le programme insiste sur la distinction entre le cas
où l'on dispose de données sur l'ensemble des éléments de la
population étudiée et celui où les données concernent un
regroupement de la population en classes d'intervalles ; dans
ce dernier cas, la méthode mise en oeuvre ne permet d'obtenir
qu'une valeur approchée de la moyenne de la population.
Sans introduire de nouveaux indicateurs de la tendance
centrale d'une population, il peut être intéressant de faire observer
aux élèves, dès la classe de 4\textsuperscript{ème}, que la moyenne d'une
population dont les éléments sont rangés par ordre croissant
ne sépare pas ceux-ci, en général, en deux parties de même
effectif.\\
En 5\textsuperscript{ème} et en 4\textsuperscript{ème}, la partie statistique fait intervenir d'autres
rubriques du programme, les activités numériques et graphiques
s'appuyant très largement sur la proportionnalité ; elle
peut donc contribuer à donner du sens à ce concept dont
l'acquisition est un des objectifs de l'enseignement des
mathématiques au collège.\\
L'utilisation de tableurs-grapheurs offre la possibilité de limiter,
à propos de quelques exemples nécessaires à une bonne
compréhension des règles mises en jeu, le temps consacré à
la réalisation manuelle des diagrammes figurant au
programme. Avec ces logiciels, il est aussi possible de mener
expérimentalement la recherche d'une répartition en classes,
adaptée au problème posé, en visualisant rapidement les
différentes allures des diagrammes associés.
}}
 
\end{multicols}
\newpage
\section{Effectifs et fréquences}
\begin{tabular}{p{2.5cm}p{14cm}}
{\textbf{Définition}}& Dans un tableau statistique, l'{\textbf{effectif}} est le nombre de réponses associées à chaque valeur.\par
 L'ensemble des valeurs et des effectifs forme une {\textbf{série statistique}}.\par
En divisant l'effectif d'une valeur par l'effectif total, on obtient la {\textbf{fréquence}}.\par
En multipliant par 100 la fréquence, on obtient la {\textbf{fréquence en pourcentage}}.\\
\end{tabular}\\[0.2cm]
 
{\textbf{Exemple :}} La standardiste d'une radio FM a noté le nombre d'appels téléphoniques reçus par tranches d'heures au cours 
d'une matinée. Elle obtient les résultats suivants :\\[0.2cm]
\begin{center}\begin{tabular}{|m{3.5cm}|c|c|c|c|c|}
\hline Tranches horaires&9h-10h&10h-11h&11h-12h&12h-13h& {\textbf{Total}}\\\hline
Effectifs\par(nombres d'appels)&19&37&46&28&{\textbf{130}}\\\hline
Fréquences&0,146&0,285&0,354&0,215&{\textbf{1}}\\\hline
Fréquences en \% &14,6&28,5&35,4&21,5&{\textbf{100}}\\\hline\end{tabular}\end{center}
\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau.
\item Représenter cette série statistique par un diagramme circulaire
\end{enumerate}
{\textbf{Réponse à la question 2 :}\\
Pour construire un diagramme circulaire, il faut calculer les mesures des angles de chaque valeur. Les angles au centre du disque
 sont proportionnels aux effectifs donc il s'agit de compléter un tableau de proportionnalité. Sachant qu'un tour complet mesure 360°
 et que celui-ci doit représenter l'effectif total 130, il faut compléter le tableau suivant :\\[0.2cm]
\begin{center}\begin{tabular}{|m{3.5cm}|c|c|c|c|c|}
\hline Tranches horaires&9h-10h&10h-11h&11h-12h&12h-13h& {\textbf{Total}}\\\hline
Effectifs\par(nombres d'appels)&19&37&46&28&{\textbf{130}}\\\hline
Mesures d'angles au centre en degrés &52,6&102,5&127,4&77,5&{\textbf{360}}\\\hline\end{tabular}\end{center}
\begin{minipage}{10cm}On obtient alors le diagramme suivant : \end{minipage}\hfill\begin{minipage}{7cm}\includegraphics{coursstats4eme.1}\end{minipage}
\section{Effectifs et fréquences cumulés}
\begin{tabular}{p{2.5cm}p{14cm}}
{\textbf{Définition}}& Lorsque les valeurs sont rangées dans l'ordre croissant, on obtient {\textbf{l'effectif cumulé croissant}} d'une valeur
en additionnant son effectif à ceux qui le précèdent (on additionne à partir de la gauche du tableau).
\par De la même manière, les {\textbf{fréquences cumulées croissantes}} s'obtiennent en divisant 
l'effectif cumulé croissant par l'effectif total.
\par Pour obtenir les effectifs ou les fréquences {\textbf{cumulés décroissants}}, on additionne à partir de la droite du tableau.\\
\end{tabular}\\[0.6cm]
{\textbf{Remarque :}} les effectifs cumulés croissants indiquent quel est l'effectif de la série dont la valeur est inférieure à une valeur donnée.\\
{\textbf{Exemple :}} On reprend l'exemple précédent :
\begin{center}\begin{tabular}{|m{3.5cm}|c|c|c|c|}
\hline Tranches horaires&9h-10h&10h-11h&11h-12h&12h-13h\\\hline
Effectifs\par(nombres d'appels)&19&37&46&28\\\hline
Effectifs {\textbf{cumulés croissants}}&{\textbf{19}}&19 + 37 = {\textbf{56}}&
19 + 37 + 46 = {\textbf{102}}&{\textbf{Total des appels : 130}}\\\hline
\end{tabular}\\[0.2cm]
\begin{tabular}{|m{3.5cm}|c|c|c|c|}
\hline Tranches horaires&9h-10h&10h-11h&11h-12h&12h-13h\\\hline
Fréquences en \%&14,6&28,5&35,4&21,5\\\hline
Fréquences {\textbf{cumulées décroissantes}}&{\textbf{Total des appels : 100}}&28,5 + 35,4 + 21,5 = {\textbf{85,4}}&
35,4 + 21,5 = {\textbf{56,9}}&21,5 \\\hline
\end{tabular}\end{center}
\section{Moyenne}
\begin{tabular}{p{2.5cm}p{14cm}}
{\textbf{Définition}}& La {\textbf{moyenne}} d'une série statistique est le quotient de la somme de toutes les valeurs par l'effectif total de cette série :\par
$${\displaystyle{{\mbox{moyenne}} = \frac{{\mbox{somme de toutes les valeurs}}}{{\mbox{effectif total de la série}}}}}$$\\
\end{tabular}\\
{\textbf{Exemple :}} Dans une usine, sept employés calculent le salaire moyen (en \textgreek{\euro}) des salaires de leur atelier.
$$\frac{760 + 825 + 915 + 990 + 1065 + 1160 + 1296}{7}\approx 1002$$
Le salaire moyen des  employés de cet atelier s'élève environ à 1002 \textgreek{\euro}.
\section{Moyenne pondérée}
\begin{tabular}{p{2.5cm}p{14cm}}
{\textbf{Définition}}& La {\textbf{moyenne pondérée}} d'une série statistique est le quotient de la somme des  valeurs, affectées chacune de leur coefficient,par la somme totale des coefficients.
\\\end{tabular}\\[0.1cm]
{\textbf{Exemple :}} Dans une classe de 28 élèves, les notes à un devoir se répartissent de la manière suivante :\\[0.2cm]
\begin{tabular}{|m{2.5cm}|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline Notes&6&7&8&9&10&11&12&13&15&17\\\hline Effectifs& \color{red} 2&\color{red} 1&\color{red} 2&\color{red} 4&\color{red} 6&\color{red} 3&\color{red} 3&\color{red} 3&\color{red} 2&\color{red} 2\\\hline\end{tabular}
\\[0.1cm]
Nous représentons cette série par un diagramme en barres (FIG.~\ref{illustration}).
\begin{center}\begin{pspicture}(0,0)(13,8.5)
\psline{->}(0,0)(13.5,0)
\multido{\n=1+1}{7}{\psline[linecolor=red](0,\n)(13,\n)}
\psline{->}(0,0)(0,8)
\multido{\n=1+1}{7}{\uput{0.2}[180](0,\n){\textcolor{red}\n}}
\uput{0.2}[270](1,0){6}\uput{0.2}[270](2,0){7}
\uput{0.2}[270](3,0){8}\uput{0.2}[270](4,0){9}
\uput{0.2}[270](5,0){10}\uput{0.2}[270](6,0){11}\uput{0.2}[270](7,0){12}
\uput{0.2}[270](8,0){13}\uput{0.2}[270](9,0){14}\uput{0.2}[270](10,0){15}
\uput{0.2}[270](11,0){16}\uput{0.2}[270](12,0){17}
%\psset{fillcolor=Blue}
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue](0.7,0)(1.3,2)\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue](1.7,0)(2.3,1)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue](2.7,0)(3.3,2)\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue](3.7,0)(4.3,4)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue](4.7,0)(5.3,6)\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue](5.7,0)(6.3,3)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue](6.7,0)(7.3,2)\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue](7.7,0)(8.3,3)
\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue](9.7,0)(10.3,2)\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=blue](11.7,0)(12.3,2)
\uput{0.2}[180](0,7.5){{\textit{Effectifs}}}\uput{0.2}[270](13,0){{\textit{Notes}}}
\end{pspicture}\end{center}
\caption[pspicture]{\label{illustration} {\textbf{Diagramme en barres :}} La hauteur des barres est égale aux effectifs}
 ~\\Pour calculer la moyenne, on effectue le calcul suivant :
$$\frac{6\times\textcolor{red}{2}+7\times\textcolor{red}{1}+8\times\textcolor{red}{2}+9\times\textcolor{red}{4}+10\times\textcolor{red}{6}+11\times\textcolor{red}{3}+
12\times\textcolor{red}{3}+13\times\textcolor{red}{3}+15\times\textcolor{red}{2}+17\times\textcolor{red}{2}}{2+1+2+4+6+3+3+3+2+2}=\frac{303}{28}\approx10,8$$
Pour calculer la moyenne pondérée d'une série de valeurs, il faut :\begin{itemize}
\item calculer les produits de chaque valeur par leur coefficient ;
\item calculer la somme de ces produits ;
\item puis diviser le résultat par la somme des coefficients.
\end{itemize}
\section{Répartition en classes et moyenne}
Il arrive dans certains cas qu'une série statistique soit répartie en classes, c'est-à-dire que l'on prend des intervalles de valeurs :
\\{\textbf{Exemple : }} Le tableau ci-dessous présente la répartition de 2000 adultes suivant leur taille :\\[0.4cm]
\begin{tabular}{|m{3cm}|c|c|c|c|}\hline
Tailles en cm &$\left[140\, ; 150\right[$&$\left[150\, ; 160\right[$&$\left[160\, ; 170\right[$&
$\left[170\, ; 195\right[$\\\hline Effectifs&48&397&913&642\\\hline\end{tabular}\\[0.4cm]
Il est impossible a priori de calculer la moyenne de cette série puisqu'on ne connait pas les valeurs des tailles et leurs effectifs. On considère alors que la valeur au centre de la classe va représenter la classe.
 On calcule alors la moyenne pondérée pour obtenir une valeur approchée de la moyenne de la série.\\[0.4cm]
\begin{tabular}{|m{3cm}|c|c|c|c|}\hline
Tailles en cm &$\left[140\, ; 150\right[$&$\left[150\, ; 160\right[$&$\left[160\, ; 170\right[$&
$\left[170\, ; 195\right[$\\\hline Centre de la classe&145&155&165&182,5\\\hline Effectifs&48&397&913&642\\\hline\end{tabular}\\[0.4cm]
Pour calculer la taille moyenne, on effectue le calcul suivant :$$\frac{145\times48+155\times397+165\times913+145\times642}{2000}\approx168$$
La taille moyenne de ce groupe d'adultes est d'environ 168 cm.
\section{Eléments historiques et culturels}
{\emph{Les activités statistiques remontent à la plus haute Antiquité et correspondent à des recueils de données chiffrées. Le mot 
"statistique" appartient au langage administratif et apparaît en 1664 dans les premières enquêtes lancées par Colbert, ministre de
Louis XIV, pour recenser la population, les fermages et les animaux sur toute la France. Connaître et expliquer les phénomènes sociaux
et économiques nécessite le besoin de représenter pour visualiser, d'où diverses formes de graphiques, en barres ou en secteurs,
 mais aussi le besoin de résumer la masse de données recueillies. Plusieurs paramètres sont alors créés : le "mode" (valeur apparaissant le plus 
 fréquemment) et des "moyennes".\\
C'est à l'astronomie que l'on doit l'origine de ces concepts. Les Babyloniens et les Grecs avaient repéré la position de certaines 
étoiles et la périodicité de leur mouvement après un grand nombre de mesures et calculs. Tycho Brahé (1546-1601) fait, lui aussi,
 de multiples observation d'une même quantité pour en estimer une valeur la plus juste possible. Il cherche à éliminer le maximum 
d'erreurs dans ses observations et calculs et, pour estimer la valeur qui lui paraît la plus juste possible, il utilise la moyenne 
arithmétique.
\\Les sondages n'arriveront que plus tard au début du XIX\textsuperscript{ème} lorsque des méthodes de relevés partiels permettront de rendre 
compte aussi précisément des phénomènes.}}
\end{document}