index.tex

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\newcommand{\propr}[1] {\begin{center}
\doublebox{\begin{minipage}{17cm}
\begin{tabular}{p{2.5cm}p{13cm}}\textbf{Propriété : }& {#1}
\end{tabular}\end{minipage}}
\end{center}
} \newcommand{\cadre}[1] {\begin{center}
\shadowbox{\begin{minipage}{17cm}
\begin{tabular}{p{15cm}} {#1}
\end{tabular}\end{minipage}}
\end{center}
}
 
\newcommand{\defin}[1] {\begin{center} \Ovalbox{\begin{minipage}{17cm}
\begin{tabular}{p{2.5cm}p{13cm}}\textbf{Définition : }& {#1}
\end{tabular}\end{minipage}}
\end{center}
} \renewcommand{\baselinestretch}{1.5}
\begin{document}
\centerline{\shadowbox{\parbox{12 cm}{\centering\textsc{\large Leçon
n°10 : Périmètres et aires}}}}
 
\tableofcontents
\section*{Références au programme}
\subsection*{Objectifs de la partie <<Grandeurs et mesures>>}
\begin{multicols}{2}{\scriptsize{
\begin{itemize}
\item se familiariser avec l'usage des grandeurs les plus courantes
(longueurs, angles, aires, volumes, durées) ;
\item connaître et utiliser les périmètres, aires et volumes des
figures planes et des solides étudiés ;
\item calculer avec les unités relatives aux grandeurs étudiées et
avec les unités de quelques grandeurs quotients et grandeurs produits.
\end{itemize}
Plus précisément :
\begin{itemize}
\item de compléter les connaissances relatives aux longueurs, aux
masses et aux durées ;
\item de consolider la notion d'angle, à partir des premières
expériences de l'école primaire ;
\item d'assurer la maîtrise de la notion d'aire (distinguée de celle
de périmètre) et celle du système d'unités de mesure des aires ;
\item de mettre en place la notion de volume et commencer l'étude du
système d'unités de mesure des volumes.
 
\end{itemize} 
Le vocabulaire et les notations nouvelles ($\approx$ , \% , $\in$ ,
$[AB]$ , $(AB)$ , $[AB)$ , $AB$, $\widehat{AOB}$) sont introduits au
fur et à mesure de leur utilité, et non au départ d'un
apprentissage. \par Les exemples d'activité incluant les technologies
nouvelles d'information et de communication ont été renforcés dans la
présentation du programme afin de mieux prendre en compte les
compétences à développer dans le cadre du niveau 2 du Brevet
informatique et internet. La mention $[B2i]$ signale dans le programme
les points particulièrement propices au développement de ces
compétences.\par En continuité avec le travail effectué à l'école
élémentaire, cette rubrique s'appuie sur la résolution de problèmes
souvent empruntés à la vie courante. Elle permet d'aborder l'histoire
des sciences, d'assurer des liens avec les autres disciplines, en
particulier la technologie et les sciences de la vie et de la Terre,
de réinvestir les connaissances acquises en mathématiques, mais aussi
d'en construire de nouvelles. Par exemple, le recours aux longueurs et
aux aires permet d'enrichir le travail sur les nombres non entiers et
les opérations étudiées en classe de sixième. Il est important que les
élèves disposent de références concrètes pour certaines grandeurs et
soient capables d'estimer une mesure (ordre de grandeur).
L'utilisation d'unités dans les calculs sur les grandeurs est
légitime.  Elle est de nature à en faciliter le contrôle et à en
soutenir le sens. A travers les activités sur les longueurs, les aires
et les volumes, les élèves peuvent élaborer et utiliser un premier
répertoire de formules.
 
 }}\end{multicols} \newpage {\scriptsize
 {\begin{center}\begin{longtable}{|p{4cm}|p{6.5cm}|p{6.5cm}|} \hline
 \multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Contenus}}&\multicolumn{1}{c|}{\textbf{Capacités
 attendues}}&\multicolumn{1}{c|}{\textbf{Commentaires}}\\\hline {\bf
 Longueurs}&&\\ Périmètre.& \begin{itemize}
\item Comparer des périmètres
\item Calculer le périmètre d'un polygone.
\end{itemize}&
Les activités de comparaison des périmètres peuvent faire intervenir
diverses méthodes : report de longueurs sur une demi-droite, recours à
la mesure, utilisation d'un raisonnement. La comparaison de périmètres
sans les mesurer est particulièrement importante pour assurer le sens
de cette notion. \\ &\begin{itemize}
\item Connaître et utiliser la formule donnant la longueur d'un
cercle.
\end{itemize}&Il s'agit en sixième d'introduire le nombre $\pi$ ; c'est l'occasion de proposer 
une activité basée sur un événement scientifique de portée
historique. Des activités de mesurage permettent de conjecturer
l'existence d'une relation de proportionnalité entre la longueur du
cercle et le rayon.\par Certains travaux sur les périmètres conduisent
à décrire des situations mettant implicitement en jeu des fonctions,
notamment à travers l'utilisation de formules. Des expressions telles
que <<en fonction de>>, <<est fonction de>> peuvent être ainsi
utilisées ; par exemple : exprimer le périmètre d'un carré en fonction
de la longueur $a$ de son côté. \par Le travail sur les périmètres est
également favorable à une première initiation aux écritures littérales
dans l'élaboration par les élèves d'une formule exprimant le périmètre
d'une figure en fonction d'une ou deux longueurs désignées par une ou
deux lettres. \par Toute définition de la notion de fonction est
exclue. \\ {\bf Aires : mesure, comparaison et calcul d'aires
}&\begin{itemize}
\item Comparer des aires.
\item Déterminer l'aire d'une surface à partir d'un pavage simple.
\end{itemize}&Poursuivant le travail effectué à l'école élémentaire, les élèves sont 
confrontés à des problèmes dans lesquels il faut :
\begin{itemize}
\item comparer des aires à l'aide de reports, de décompositions, de
découpages et de recompositions, sans perte ni chevauchement ;
\item déterminer des aires à l'aide de quadrillage et d'encadrements.
\end{itemize}\\
& \begin{itemize}
\item Différencier périmètre et aire. \end{itemize}&Certaines
activités proposées conduisent les élèves à comprendre notamment que
leurs sens de variation ne sont pas toujours similaires. \\
&\begin{itemize}
\item Connaître et utiliser la formule donnant l'aire d'un
rectangle.\end{itemize}&Au cycle 3 de l'école élémentaire, les élèves
ont calculé l'aire d'un rectangle dont l'un des côtés au moins était
de dimension entière. En sixième, le résultat est généralisé au cas de
rectangles dont les dimensions sont des décimaux [cf. § 2.Nombres et
calcul].  \\\hline \end{longtable}\end{center}}}
\subsection*{Documents d'accompagnement}
\begin{multicols}{2}{\scriptsize{{\bf Articulation école-collège}%\begin{itemize}
\paragraph*{\bf Grandeurs et mesures}~\par
Le nouveau programme de l'école primaire insiste sur la nécessité de
travailler la compréhension des grandeurs, par des activités de
comparaison, de classement et de rangement, préalablement à leur
mesure et à l'utilisation de formules.\par Les élèves qui arrivent en
Sixième ont étudié les unités légales de longueur, de masse et de
contenance (système métrique).  Lorsque des unités agraires
interviennent, les correspondances avec les unités légales sont
fournies aux élèves. Ils savent calculer le périmètre d'un rectangle,
mais le calcul du périmètre du cercle à l'aide d'une formule n'est pas
au programme du cycle 3 et l'introduction du nombre $\pi$ relève du
collège.\par La notion d'aire est en cours de construction à la fin de
l'école élémentaire, le travail visant d'abord la maîtrise de la
grandeur (distinction entre aire et périmètre). Les élèves sont aussi
entraînés à déterminer des aires par pavage et dénombrement, sans que
l'unité d'aire soit forcément un carré. Le travail sur les formules
est limité à l'aire du rectangle.  En sixième, le travail sur les
aires est repris dans le même esprit pour consolider et stabiliser les
connaissances des élèves et pour y intégrer celles du programme de
sixième.\par La notion de volume a pu être approchée à propos de
problèmes de contenance mais les élèves n'ont aucune connaissance des
unités de volumes (autres que celles relatives aux contenances) et
aucune compétence relative aux calculs de volume à partir des
dimensions d'un solide. {\bf La construction des connaissances
relatives au volume relèvent du collège} (construction de la grandeur,
maîtrise des unités et des calculs de volumes).\par Le travail sur les
angles reste très limité au cycle 3. Seul un travail de comparaison à
partir de gabarit est proposé, ainsi qu'une première approche de leur
mesure avec l'angle droit comme unité : le demi-angle droit, le quart
d'angle droit sont utilisés. {\bf Mais la question générale de la
mesure des angles et l'apprentissage de l'utilisation du rapporteur
relèvent du collège} : le degré comme unité d'angle comme la mesure de
l'angle droit (90°) sont des connaissances du programme de
sixième.\par Pour les calculs de durée, les élèves utilisent des
procédures adaptées à chaque cas. Par exemple, la recherche de la
durée de circulation d'un train parti à 13 heures 50 minutes et arrivé
à 15 heures 10 minutes peut être obtenue de la façon suivante : de 13
heures 50 minutes à 14 heures, il y a 10 minutes ; de 14 heures à 15
heures, il s'écoule une heure et il reste 10 minutes pour aller de 15
heures à 15 heures 10 minutes ; soit au total 1 heure 20 minutes. Les
calculs posés en colonne ne sont pas indispensables.}}
\end{multicols}
\newpage \centerline{\shadowbox{\parbox{12
cm}{\centering\textsc{\large Leçon n°10 : Périmètres et aires}}}}
\section{Périmètre et aire}
\subsection{Propriété d'une figure}
\defin{Le périmètre d'une figure est la longueur de son contour}
\paragraph*{Exemple : }
$$\includegraphics[scale=0.8]{aire.1}$$ Pour calculer le périmètre
d'un polygone, on {\bf additionne les longueurs} de chacun de ses
côtés : le périmètre du polygone $ABCDE$ est la longueur de la ligne
rouge : $p=AB+BC+CD+DE+EA=3+2,5+2+2,5+3,5=13,5 cm $.
\paragraph*{$lhd$} Pour calculer le périmètre d'une figure, les longueurs des côtés doivent être exprimées dans la {\bf\textcolor{red}{même unité}}.
\paragraph*{Comparaison de périmètres :} Pour comparer les périmètres des figures sans utiliser de mesure, on peut reporter la longueur de chacun des côtés sur une demi-droite avec le compas.
$$\includegraphics[scale=0.7]{aire.2}$$ Le quadrilatère $RSTU$ a un
périmètre inférieur à celui du triangle $ABC$.
\subsection{Surface et aire d'une figure, mesure}
\defin{\begin{itemize}
\item[\textbullet] Une ligne qui se referme sur elle-même délimite
{\bf\textcolor{red}{une surface}} ;
\item[\textbullet] la mesure de la surface (dans une unité choisie)
s'appelle {\bf\textcolor{red}{l'aire}} ;
\item[\textbullet] Pour connaître l'aire d'une figure, on calcule la
quantités d'{\bf unités d'aires} qui recouvrent cette surface.
\end{itemize}}
\paragraph*{Exemple :}
$$\includegraphics{aire.4}$$
On recouvre ce triangle avec les losanges comme unité d'aire. On compte 6 unités et quatre demi unités. L'aire du triangle est donc de 8 unités d'aires.%d
\paragraph*{Méthode : } Pour mesurer l'aire d'une figure :
\begin{itemize}
\item[\textbullet] on choisit une unité d'aire ;
\item[\textbullet] on recouvre la surface par des pavés unités ;
\item[\textbullet] on compte le nombre de pavés unités.
\end{itemize}
$$\includegraphics{aire.3}$$ Quand c'est possible, on mesure l'aire en
utilisant un pavage : la figure bleue a une aire de 8 unités
d'aires. En revanche pour le disque, on ne peut donner qu'un
encadrement : entre 16 et 36 unités d'aires.
\paragraph*{$\lhd$} L'aire change dès que l'on change d'unité d'aire
(si on prend deux carreaux comme unité d'aire, les aires sont deux
fois plus petites).{\bf\textcolor{red}{Il est donc important de
toujours préciser l'unité choisie}}.
\subsection{Propriétés des périmètres et des aires}
\propr{Des figures de formes différentes peuvent avoir la même aire.}
\paragraph*{Exemple :} il suffit d'enlever un "bout" de la figure et de la replacer ailleurs : la nouvelle figure a une forme différente mais elle a la même aire.
\propr{Le périmètre et l'aire d'une figure varient indépendamment l'un
de l'autre. Cela signifie, par exemple, que deux figures peuvent avoir
la même aire et des périmètres différents.}
\paragraph*{Exemple :}
$$\includegraphics{aire.5}$$
\begin{center}\begin{tabular}{|*{6}{c|}}\cline{2-6}
\multicolumn{1}{c|}{}& figure \ding{172}&figure \ding{173}&figure
\ding{174}&figure \ding{175}&figure \ding{176}\\\hline
Aire&&&&&\\\hline Périmètre&&&&&\\\hline
\end{tabular}\end{center}
\section{Formules de périmètres}
\begin{center}\begin{tabular}{|*{4}{c|}}
\hline {\bf Rectangle}&{\bf Losange}&{\bf Carré}&{\bf Triangle
équilatéral}\\\hline &&&\\
\includegraphics{aire.6}&\includegraphics{aire.7}&\includegraphics{aire.8}&\includegraphics{aire.9}\\&&&\\\hline
$\begin{array}{rcl} \mathscr{P}&=&(L\times 2)+(l\times 2)\\
\mathscr{P}&=&(L+l)\times 2\\\end{array}$& $\mathscr{P}=c\times 4=4c$&
$\mathscr{P}=c\times 4=4c$&$\mathscr{P}=c\times 3=3c$\\\hline
\end{tabular}\end{center}
 
\section{Longueur d'un cercle}
\propr{La longueur $l$ d'un cercle de diamètre $d$ est donnée par la
formule :
$$l=\pi\times d\kern1cm \mbox{où $\pi $ (pi) est un nombre proche de
3,14.}$$}
 
\begin{minipage}{8cm}
$$\includegraphics{aire.10}$$
\end{minipage}\hfill\begin{minipage}{8cm}$$\includegraphics{aire.11}$$
 
\end{minipage}\\
\paragraph*{Exemple :}
\begin{itemize}
\item[\textbullet] on calcule la {\bf valeur exacte} de la longueur
d'un cercle de diamètre 5 cm :
$$l=\pi \times 5\kern0.5cm \mbox{ou}\kern0.5cm l=5\times \pi\,
\mbox{cm}$$
\item[\textbullet] on calcule une {\bf valeur approchée} de $l$ en
remplaçant $\pi$ par 3,14 dans le calcul :
$$\pi\approx 3,14 \kern0.5cm \mbox{et}\kern0.5cm l\approx 5\times 3,14
\kern0.5cm \mbox{donc}\kern0.5cm l\approx 15,70\, \mbox{cm}$$
\end{itemize}
Comme on ne connaît pas de valeur exacte de $\pi$, dans les calculs on
prend souvent 3,14 come valeur approchée de ce nombre. La touche
\ovalbox{$\pi$} de la calculatrice permet de donner plus de chiffres :
\verb+3,141592654+.
\section{Unités usuelles d'aires}
\defin{L'{\bf unité d'aire usuelle} est le {\bf mètre carré} ( noté
m$^2$), qui représente l'aire d'un carré de côté 1 m. On utilise aussi
ses \textcolor{red}{multiples} (km$^2$, hm$^2$, dam$^2$) et ses
\textcolor{blue}{sous-multiples} (dm$^2$, cm$^2$, mm$^2$).}
\cadre{{\itshape Méthode pour changer d'unité d'aire}
\begin{itemize}
\item[\textbullet] Pour passer d'une unité d'aire à l'unité
immédiatement {\bf inférieure}, on {\bf multiplie par 100} ;
\item[\textbullet] Pour passer d'une unité d'aire à l'unité
immédiatement {\bf supérieure}, on {\bf divise par 100} ;
\end{itemize}}
\begin{sidewaystable}
\begin{center}
{\bf {\large {\textsc{Tableau des unités d'aire}}}}\\[3em]
\begin{tabular}{|c|*{3}{c|c|}>{\columncolor{yellow}}c|>{\columncolor{yellow}}c|*{3}{c|c|}}\cline{2-15}
\multicolumn{1}{c|}{}&\multicolumn{6}{c|}{\textcolor{red}{\bf
Multiples}}&\multicolumn{2}{>{\columncolor{yellow}}c|}{\bf
Unité}&\multicolumn{6}{c|}{\textcolor{blue}{\bf
Sous-multiples}}\\\multicolumn{1}{c|}{}&\multicolumn{6}{c|}{}&\multicolumn{2}{>{\columncolor{yellow}}c|}{\bf
de base}&\multicolumn{6}{c|}{}\\\hline
 
{\bf
Unités}&\multicolumn{2}{c|}{kilomètre}&\multicolumn{2}{c|}{hectomètre}&\multicolumn{2}{c|}{décamètre}&\multicolumn{2}{>{\columncolor{yellow}}c|}{mètre}&\multicolumn{2}{c|}{décimètre}&\multicolumn{2}{c|}{centimètre}&\multicolumn{2}{c|}{millimètre}\\
&\multicolumn{2}{c|}{carré}&\multicolumn{2}{c|}{carré}&\multicolumn{2}{c|}{carré}&\multicolumn{2}{>{\columncolor{yellow}}c|}{carré}&\multicolumn{2}{c|}{carré}&\multicolumn{2}{c|}{carré}&\multicolumn{2}{c|}{carré}\\\hline
Abréviation&\multicolumn{2}{c|}{km$^2$}&\multicolumn{2}{c|}{hm$^2$}&\multicolumn{2}{c|}{dam$^2$}&\multicolumn{2}{>{\columncolor{yellow}}c|}{m$^2$}&\multicolumn{2}{c|}{dm$^2$}&\multicolumn{2}{c|}{cm$^2$}&\multicolumn{2}{c|}{mm$^2$}\\\hline
{\bf Unités
agraires}&\multicolumn{2}{c|}{}&\multicolumn{2}{c|}{hectare
(ha)}&\multicolumn{2}{c|}{are
(a)}&\multicolumn{2}{>{\columncolor{yellow}}c|}{centiare
(ca)}&\multicolumn{2}{c|}{}&\multicolumn{2}{c|}{}&\multicolumn{2}{c|}{}\\\hline
Valeur en m$^2$&\multicolumn{2}{c|}{1\,000\,000
m$^2$}&\multicolumn{2}{c|}{10\,000 m$^2$}&\multicolumn{2}{c|}{100
m$^2$}&\multicolumn{2}{>{\columncolor{yellow}}c|}{1
m$^2$}&\multicolumn{2}{c|}{0,01 m$^2$}&\multicolumn{2}{c|}{0,000\,1
m$^2$}&\multicolumn{2}{c|}{0,000\,001 m$^2$}\\\hline &
\multicolumn{1}{c|}{\textcolor{white}{zeros}}&\multicolumn{1}{c|}{} &
\multicolumn{1}{c|}{\textcolor{white}{zeros}}&\multicolumn{1}{c|}{} &
\multicolumn{1}{c|}{\textcolor{white}{zero}}&\multicolumn{1}{c|}{} &
\multicolumn{1}{>{\columncolor{yellow}}c}{\textcolor{yellow}{zeros}}&\multicolumn{1}{|>{\columncolor{yellow}}c|}{}
& \multicolumn{1}{c|}{\textcolor{white}{zer\,}}&\multicolumn{1}{c|}{}
& \multicolumn{1}{c|}{\textcolor{white}{zero}}&\multicolumn{1}{c|}{}&
\multicolumn{1}{c|}{\textcolor{white}{zeros}}&\multicolumn{1}{c|}{}\\
& \multicolumn{1}{c|}{\textcolor{white}{zeros}}&\multicolumn{1}{c|}{}
& \multicolumn{1}{c|}{\textcolor{white}{zeros}}&\multicolumn{1}{c|}{}
& \multicolumn{1}{c|}{\textcolor{white}{zero}}&\multicolumn{1}{c|}{} &
\multicolumn{1}{>{\columncolor{yellow}}c}{\textcolor{yellow}{zeros}}&\multicolumn{1}{|>{\columncolor{yellow}}c|}{}
& \multicolumn{1}{c|}{\textcolor{white}{zer\,}}&\multicolumn{1}{c|}{}
& \multicolumn{1}{c|}{\textcolor{white}{zero}}&\multicolumn{1}{c|}{}&
\multicolumn{1}{c|}{\textcolor{white}{zeros}}&\multicolumn{1}{c|}{}\\
& \multicolumn{1}{c|}{\textcolor{white}{zeros}}&\multicolumn{1}{c|}{}
& \multicolumn{1}{c|}{\textcolor{white}{zeros}}&\multicolumn{1}{c|}{}
& \multicolumn{1}{c|}{\textcolor{white}{zero}}&\multicolumn{1}{c|}{} &
\multicolumn{1}{>{\columncolor{yellow}}c}{\textcolor{yellow}{zeros}}&\multicolumn{1}{|>{\columncolor{yellow}}c|}{}
& \multicolumn{1}{c|}{\textcolor{white}{zer\,}}&\multicolumn{1}{c|}{}
& \multicolumn{1}{c|}{\textcolor{white}{zero}}&\multicolumn{1}{c|}{}&
\multicolumn{1}{c|}{\textcolor{white}{zeros}}&\multicolumn{1}{c|}{}\\\hline
 
 
\end{tabular}
\end{center}
\end{sidewaystable}
\section{Aires de polygones}
\subsection{Formules d'aires}
\begin{center}\begin{tabular}{|*{3}{c|}}
\hline {\bf Rectangle}&{\bf Carré}&{\bf Triangle
rectangle}\\\hline&&\\
\includegraphics{aire.12}&\includegraphics{aire.13}&\includegraphics{aire.14}\\&&\\\hline
&&\\ $\mathscr{A}=\textcolor{red}{L}\times
\textcolor{blue}{l}$&$\mathscr{A}=\textcolor{red}{c}\times
\textcolor{red}{c}=\textcolor{red}{c}^{\textcolor{red}{2}}$&$\mathscr{A}=\frac{\textcolor{red}{a}\times
\textcolor{blue}{b}}{2}$\\&&\\\hline
\end{tabular}\end{center}
\subsection{Calcul d'aire}
\cadre{Pour calculer l'aire d'un polygone, on cherche à décomposer sa
surface en rectangles, carrés et triangles rectangles.}
$$\includegraphics{aire.15}$$
 
 
\end{document}