\documentclass[a4paper,10pt]{article} \usepackage[]{persopc} \geometry{hmargin=1.5cm, vmargin=1cm} \everymath{\displaystyle} \begin{document} \titre{Généralités sur les fonctions}{Première S} \fcours{Algèbre-Analyse} \section{Rappels} \subsection{Définition} \begin{definition} \hfill \\ $D$ désigne un sous-ensemble de $\R$ (en général un intervalle ou une réunion d'intervalles de $\R$), {\bf définir une fonction} $f$ de $D$ dans $\R$, c'est associer à chaque réel $x$ de $D$, un unique réel (c'est-à-dire un et un seul) noté $f(x)$.\\ On dit que $D$ est {\bf l'ensemble de définition} de $f$ ou bien que $f$ est définie sur $D$.\\ L'unique réel, $f(x)$, associé à $x$, s'appelle l'image de $x$ par la fonction $f$.\\ $b$ désigne un réel, tout réel $x$ (s'il en existe), tel que $f(x)=b$ s'appelle un antécédent de $x$ par la fonction $f$. \end{definition} \noindent {\bf Remarques}~: \begin{itemize} \item On peut utiliser un diagramme pour schématiser cette association~: $$ \begin{array}{llll} f~: & D & \longrightarrow & \R \\ & x & \longmapsto & f(x) \end{array} $$ \item Lorsque l'ensemble de définition n'est pas précisé, il est, par convention, constitué de tous les réels $x$ qui ont une image par la fonction. Lorsque l'on recherche tous ces réels $x$ on dit que l'on détermine l'ensemble de définition de la fonction. \item Il faut remarquer l'importance de l'article défini dans l'expression "l'image" et de l'article indéfini dans l'expression "un antécédent". (De façon générale, sans une bonne maîtrise d'au moins une langue vivante, faire des mathématiques est illusoire$\ldots$) \end{itemize} \subsection{Courbe représentative} \parbox[t]{10cm}{ \begin{definition} $f$ est une fonction définie sur un ensemble $D$. \begin{itemize} \item La {courbe représentative} de $f$ dans un repère (cartésien) orthogonal \rep est l'ensemble des points $M$ de coordonnées $(x;f(x))$ avec $x$ élément de $D$. Ainsi, dire que $M(x;y)$ appartient à cette courbe équivaut à dire que $x \in D$ et $y=f(x)$. \item La relation $y=f(x)$ est appelée {\bf l'équation cartésienne} de cette courbe dans le repère \rep. Cette équation permet de savoir si un point quelconque du plan appartient ou non à cette courbe. \end{itemize} \end{definition} } \parbox[t]{6cm}{ \begin{center} \includegraphics[scale=1]{fig1sc_fonc.1} \end{center} } \subsection{Sens de variation} \begin{theoreme} $f$ est une fonction d\'{e}finie sur un intervalle $I$ de $\R$. \begin{multicols}{2} \begin{itemize} \item On dit que $f$ est {\bf croissante} sur $I$ si quels que soient les réels $u$ et $v$ de $I$, \begin{center} $u < v$ implique $f(u) \leqslant f(v)$ \end{center} \item On dit que $f$ est {\bf décroissante} sur $I$ si quels que soient les réels $u$ et $v$ de $I$, \begin{center} $u < v$ implique $f(u) \geqslant f(v)$ \end{center} \item On dit que $f$ est {\bf monotone} sur $I$ si elle est croissante ou d\'{e}croissante sur $I$ \end{itemize} \begin{itemize} \item On dit que $f$ est {\bf strictement croissante} sur $I$ si quels que soient les réels $u$ et $v$ de $I$, \begin{center} $u < v$ implique $f(u) < f(v)$ \end{center} \item On dit que $f$ est {\bf strictement décroissante} sur $I$ si quels que soient les réels $u$ et $v$ de $I$, \begin{center} $u < v$ implique $f(u) > f(v)$ \end{center} \item On dit que $f$ est {\bf strictement monotone} sur $I$ si elle est strictement croissante ou strictement d\'{e}croissante sur $I$ \end{itemize} \end{multicols} \begin{center} \parbox[t]{8cm}{ fonction strictement croissante \\ \includegraphics[scale=1]{fig1sc_fonc.2} } \parbox[t]{8cm}{ \hspace{1em} fonction strictement décroissante \\ \includegraphics[scale=1]{fig1sc_fonc.3} } \end{center} \end{theoreme} \subsection{Fonctions de référence} On appelle, en seconde, fonctions de r\'{e}f\'{e}rences, les six fonctions suivantes~: \vspace{1em} \begin{tabular}{l|l} $f_{1}$ d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par $f_{1}(x)=ax+b$ & $f_{4}$ d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par $f_{4}(x)=\vert x \vert$\\ $f_{2}$ d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par $f_{2}(x)=x^{2}$ & $f_{5}$ d\'{e}finie sur $[0;+\infty[$ par $f_{5}(x)=\sqrt{x}$\\ $f_{3}$ d\'{e}finie sur $\mathbb{R}-\{0\}$ par $f_{3}(x)=\frac{1}{x}$ & $f_{6}$ d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ par $f_{6}(x)=x^{3}$\\ \end{tabular} \vspace{1em} Vous devez \^{e}tre capables d'esquisser tr\`{e}s rapidement la courbe repr\'{e}sentative de chacune de ces fonctions dans un rep\`{e}re orthogonal, et de reconna\^{\i}tre la courbe repr\'{e}sentative de chacune de ces fonctions. \begin{definition} Une fonction $f$ d\'{e}finie sur $D$ est paire si quel que soit $x$ dans $D$, alors $-x$ est aussi dans $D$ et $f(-x)=f(x)$. Dans ce cas la courbe repr\'{e}sentant $f$ dans un rep\`{e}re orthogonal est sym\'{e}trique par rapport \`{a} l'axe des ordonn\'{e}es. \end{definition} \begin{definition} Une fonction $f$ d\'{e}finie sur $D$ est impaire si quel que soit $x$ dans $D$, alors $-x$ est aussi dans $D$ et $f(-x)=-f(x)$. Dans ce cas la courbe repr\'{e}sentant $f$ dans un rep\`{e}re orthogonal est sym\'{e}trique par rapport \`{a} l'origine du rep\`{e}re. \end{definition} \subsubsection{Fonction affine} \parbox[t]{10cm}{ \begin{definition} Une fonction affine est une fonction $f: x \longmapsto ax+b$ d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$ où $a$ et $b$ sont deux réels fixés. \end{definition} \begin{propriete} \hfill \begin{itemize} \item Si $a>0$, $f$ est strictement {\bf croissante sur $\R$}. \item Si $a<0$, $f$ est strictement {\bf d\'{e}croissante sur $\R$}. \item Si $a=0$, $f$ est {\bf constante sur $\R$}. \end{itemize} \end{propriete} \begin{definition} La courbe repr\'{e}sentant une fonction affine dans un rep\`{e}re orthogonal est une {\bf droite}.(parallèle à l'axe des abscisses lorsque $a=0$) \end{definition} } \hspace{1em} \parbox[t]{8cm}{ \begin{center} Cas $a>0$ \\ \includegraphics[scale=0.6]{affinec.1} \end{center} \begin{center} Cas $a<0$ \\ \includegraphics[scale=0.6]{affined.1} \end{center} } \subsubsection{Fonction "carr\'{e}"} \parbox[t]{10cm}{ \begin{definition} C'est la fonction $f: x \longmapsto x^{2}$ d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$. \end{definition} \begin{propriete} \hfill \begin{itemize} \item $f$ est strictement {\bf croissante sur $[0;+\infty[$}, ce qui signifie que \\ {\bf{deux r\'{e}els positifs sont rang\'{e}s dans le m\^{e}me ordre que leurs carr\'{e}s.}} \item $f$ est strictement {\bf d\'{e}croissante sur $]\infty;0]$}, ce qui signifie que \\ {\bf{deux r\'{e}els n\'{e}gatifs sont rang\'{e}s dans l' ordre contraire de leurs carr\'{e}s.}} \item $f$ est une fonction paire car pour tout $x$ r\'{e}el, $(-x)^{2}=x^{2}$. \end{itemize} \item Son tableau de variations est~: \begin{center} \begin{tabular}{|c|ccccc|} \hline $x$& $-\infty$ & & $0$ & & $+\infty$ \\ \hline & & & & & \\ $f$ & & $\searrow$ & & $\nearrow$ & \\ & & & $0$ & & \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{propriete} } \hspace{1em} \parbox[t]{8cm}{ \begin{definition} La courbe repr\'{e}sentant la fonction "carr\'{e}" dans un rep\`{e}re orthogonal est appel\'{e}e une {\bf parabole} \end{definition} \begin{center} \includegraphics[scale=0.6]{carree.1} \end{center} } \subsubsection{Fonction "inverse"} \parbox[t]{10cm}{ \begin{definition} C'est la fonction $f: x \longmapsto \frac{1}{x}$ d\'{e}finie sur \\ $]-\infty;0[ \cup ]0;+\infty[$. \end{definition} \begin{propriete} \hfill \begin{itemize} \item $f$ est strictement {\bf d\'{e}croissante sur $]0;+\infty[$}, ce qui signifie que \\ {\bf{deux r\'{e}els strictement positifs sont rang\'{e}s dans l'ordre inverse de leurs inverses.}} \item $f$ est strictement {\bf d\'{e}croissante sur $]\infty;0]$}, ce qui signifie que \\ {\bf{deux r\'{e}els strictement n\'{e}gatifs sont rang\'{e}s dans l'ordre contraire de leurs inverses.}} \item $f$ est une fonction impaire car pour tout $x$ r\'{e}el non nul, $\frac{1}{-x}=-\frac{1}{x}$. \end{itemize} \item Son tableau de variations est~:\\ \unitlength=1em $$ \begin{array}{|c|cc||cc|} \hline x & -\infty & \multicolumn{2}{c}{0\phantom{jh}} & +\infty \\ \hline & 0 \begin{picture}(1,1) \put(0.2,0){\vector(1,-1){2}} \end{picture} & & \begin{picture}(1,1) \put(0.2,0){\vector(1,-1){2}} \end{picture} & \\ f(x) & & & & \\ & & & & 0 \\ \hline \end{array} $$ \end{propriete} } \hspace{1em} \parbox[t]{8cm}{ \begin{definition} La courbe repr\'{e}sentant la fonction "inverse" dans un rep\`{e}re orthogonal est appel\'{e}e une {\bf hyperbole}, et chacun des deux "morceaux" de la courbe est appel\'{e} une branche de l'hyperbole. \end{definition} \begin{center} \includegraphics[scale=1]{inverse.1} \end{center} } \subsubsection{Fonction valeur absolue} \parbox[t]{10cm}{ \begin{definition} C'est la fonction $f: x \longmapsto \vert x \vert$ d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$. (Si $x \geq 0$ alors $\vert x \vert = x$ et si $x < 0$ alors $\vert x \vert = -x$) \end{definition} \begin{propriete} \hfill \begin{itemize} \item $f$ est une fonction affine par morceaux. \item $f$ est strictement {\bf croissante sur $[0;+\infty[$}, ce qui signifie que \\ {\bf{deux r\'{e}els positifs sont rang\'{e}s dans le m\^{e}me ordre que leurs valeurs absolues}} \item $f$ est strictement {\bf d\'{e}croissante sur $]\infty;0]$}, ce qui signifie que \\ {\bf{deux r\'{e}els n\'{e}gatifs sont rang\'{e}s dans l' ordre contraire de leurs valeurs absolues.}} \item $f$ est une fonction paire car pour tout $x$ r\'{e}el on a $\vert -x \vert = \vert x \vert$. \end{itemize} \item Son tableau de variations est~: \begin{center} \begin{tabular}{|c|ccccc|} \hline $x$& $-\infty$ & & $0$ & & $+\infty$ \\ \hline & & & & & \\ $f$ & & $\searrow$ & & $\nearrow$ & \\ & & & $0$ & & \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{propriete} } \hspace{1em} \parbox[t]{8cm}{ \begin{definition} La courbe repr\'{e}sentant la fonction "carr\'{e}" dans un rep\`{e}re orthogonal est la réunion de deux demi-droites. \end{definition} \begin{center} \includegraphics[scale=1]{valabs.1} \end{center} } \subsubsection{Fonction "racine carr\'{e}e"} \parbox[t]{10cm}{ \begin{definition} C'est la fonction $f: x \longmapsto \sqrt{x}$ d\'{e}finie sur $[0;+\infty[$. \end{definition} \begin{propriete} \hfill \begin{itemize} \item $f$ est strictement {\bf croissante sur $[0;+\infty[$}, ce qui signifie que \\ {\bf{deux r\'{e}els positifs sont rang\'{e}s dans le m\^{e}me ordre que leurs racines carr\'{e}es.}} \end{itemize} \item Son tableau de variations est~: \begin{center} \begin{tabular}{|c|cccc|} \hline $x$& $0$ & & &$+\infty$ \\ \hline & & & & \\ & & & $\nearrow$ & \\ $f$ & & & & \\ & $0$ & & & \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{propriete} } \hspace{1em} \parbox[t]{8cm}{ \begin{center} \includegraphics[scale=0.8]{racine.1} \end{center} } \subsubsection{Fonction "cube"} \parbox[t]{10cm}{ \begin{definition} C'est la fonction $f: x \longmapsto x^{3}$ d\'{e}finie sur $\mathbb{R}$. \end{definition} \begin{propriete} \hfill \begin{itemize} \item $f$ est strictement {\bf croissante sur $\mathbb{R}$}, ce qui signifie que \\ {\bf{deux r\'{e}els sont rang\'{e}s dans le m\^{e}me ordre que leurs cubes.}} \item $f$ est une fonction impaire car pour tout $x$ r\'{e}el, $(-x)^{3}=-x^{3}$. \end{itemize} \item Son tableau de variations est~: \begin{center} \begin{tabular}{|c|ccccc|} \hline $x$& $-\infty$ & & $0$ & & $+\infty$ \\ \hline & & & & & \\ & & & & $\nearrow$ & \\ $f$ & & & $0$ & & \\ & & $\nearrow$ & & & \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{propriete} } \hspace{1em} \parbox[t]{8cm}{ \begin{definition} La courbe repr\'{e}sentant la fonction "cube" dans un rep\`{e}re orthogonal est appel\'{e}e une {\bf cubique} \end{definition} \begin{center} \includegraphics[scale=1]{cube.1} \end{center} } \section{Opérations sur les fonctions} \subsection{Opérations algébriques sur les fonctions} \begin{definition} Dire que deux fonctions $f$ et $g$ sont égales, signifie qu'elles ont le même ensemble de définition, $\mathcal{D}$, et que pour tout $x$ de $\mathcal{D}$, $f(x)=g(x)$. On note alors $f=g$. \end{definition} \noindent {\bf Remarques}~:\\ Par exemple, les fonctions $f~: x \longmapsto \vert x \vert$ et $g~: x \longmapsto \sqrt{x^{2}}$ sont égales car elles sont toutes les deux définies sur $\R$ et pour tout $x$ de $\R$, $f(x)=g(x)$.\\ En revanche les fonctions $f~: x \longmapsto x^{2}+3$ et $f~: x \longmapsto \frac{x^{3}+3x}{x}$ ne sont pas égales car $f(x)=g(x)$ pour tout $x \not= 0$ mais $g$ n'est pas définie en $0$ alors que $f$ l'est. %=============================================================================================== \exo{} Dans chacun des cas suivants, dites si les fonctions $f$ et $g$ sont égales ou non~: \begin{enumerate} \item $f(x)=\frac{x^{2}+6x+9}{(x+1)(x-1)}$ et $g(x)=\frac{(x+3)^{2}}{x^{2}-1}$ \item $f(x)=\frac{x^{2}-4}{x+2}$ et $g(x)=x-2$ \item $f(x)=\sqrt{(x-3)^{2}}$ et $g(x)=\vert x-3 \vert$ \end{enumerate} %=============================================================================================== \begin{definition} $f$ et $g$ sont deux fonctions définies respectivement sur $\mathcal{D}_{f}$ et $\mathcal{D}_{g}$. Lorsque $x$ appartient à la fois à $\mathcal{D}_{f}$ et à $\mathcal{D}_{g}$, $x$ a une image par $f$ et une image par $g$. Les opérations algébriques (somme, produit,$\ldots$) que l'on peut effectuer avec $f(x)$ et $g(x)$ induisent naturellement des opérations algébriques sur les fonctions. \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline opération \rule[2mm]{0mm}{0mm} \rule[-2mm]{0mm}{0mm} & notation & définition & définie pour \\ \hline somme \rule[2mm]{0mm}{0mm} \rule[-2mm]{0mm}{0mm}& $f+g$ & $x \longmapsto f(x)+g(x)$ & \\ \cline{1-3} différence \rule[2mm]{0mm}{0mm} \rule[-2mm]{0mm}{0mm}& $f-g$ & $x \longmapsto f(x)-g(x)$ & $x \in \mathcal{D}_{f} \cap \mathcal{D}_{g}$ \\ \cline{1-3} produit \rule[2mm]{0mm}{0mm} \rule[-2mm]{0mm}{0mm}& $fg$ &$x \longmapsto f(x)g(x)$ & \\ \hline quotient \rule[5mm]{0mm}{0mm} \rule[-3mm]{0mm}{0mm}& $\frac{f}{g}$ & $x \longmapsto \frac{f(x)}{g(x)}$ & $x \in \mathcal{D}_{f} \cap \mathcal{D}_{g}$ et $g(x) \not= 0$\\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{definition} \noindent {\bf Exemple}~: \\ La somme des fonctions $f~: x \longmapsto 3x+1$ et $g~: x \longmapsto -3x^{2}$ est la fonction $h~: x \longmapsto -3x^{2}+3x+1$. %=============================================================================================== \exo{} $f$ est la fonction définie sur $\intfo{0}{+\infty}$ par $f(x)=\sqrt{x}$ et $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=x^{2}$. \begin{enumerate} \item Déterminez l'ensemble de définition et l'image de $x$ pour chacune des fonctions suivantes~: $f+g$ ; $fg$ ; $f-g$ ; $\frac{f}{g}$. \item Écrivez $h~: x \longmapsto \frac{1}{x^{2}}+2\sqrt{x}-3x^{4}$ comme la somme de fonctions usuelles. \end{enumerate} %=============================================================================================== \subsection{Fonctions polynômes} \begin{definition}\hfill \\ $a$ est un réel et $n$ un entier naturel.\\ La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=ax^n$ est appelée {\bf fonction monôme} de coefficient $a$ . Lorsque $a$ est non nul, $n$ est le degré de cette fonction monôme.\\ Par abus de langage, l'expression $ax^n$ (c'est-à-dire $f(x)$) est appelée {\bf monôme} de coefficient $a$ et de degré $n$ si $a$ est non nul.\\ Une {\bf fonction polynôme} est une somme de fonctions monômes. Si $p$ est une fonction polynôme, par abus de langage, $p(x)$ est appelé polynôme. \end{definition} \noindent {\bf Exemple}~: \\ La fonction $p$ définie sur $\R$ par $p(x)=x^{4}-2x^{2}+10$ est une fonction polynôme.\\ \noindent {\bf Remarques}~: \begin{itemize} \item $p$ est une fonction polynôme non nulle. Si $p(x)$ comporte plusieurs monômes de même degré, on les regroupe en effectuant leur addition. On dit que l'on {\bf réduit} le polynôme. Habituellement, on { \bf ordonne} ensuite les différents monômes en les rangeant dans l'ordre des puissances décroissantes. Il existe alors un monôme de degré le plus élevé~: c'est le {\bf degré} de la fonction polynôme $p$ (ou du polynôme $p(x)$).\\ Ainsi, l'écriture générale d'un polynôme de degré $5$ est de la forme $ax^{5}+bx^{4}+cx^{2}+dx+e$ où $a,b,c,d,e$ sont des réels fixés.\\ Toute fonction affine est une fonction polynôme de degré $1$,\\ La fonction "carrée" est une fonction polynôme de degré $2$.\\ \item La somme, le produit, la différence de deux fonctions polynômes est encore une fonction polynôme. En revanche le quotient de deux fonctions polynômes n'est pas en général une fonction polynôme~: on dit que c'est une {\bf fonction rationnelle}. \end{itemize} \subsection{Composition de fonctions} \noindent {\bf Exemple}~: \\ $f$ et $g$ sont les fonctions définies respectivement sur $\R$ et $\intfo{0}{+\infty}$ par $f(x)=x^{2}$ et $g(x)=\sqrt{x}$.\\ Pour tout réel $x$, $f(x)$ appartient à $\intfo{0}{+\infty}$ donc on peut calculer l'image de $f(x)$ par $g(x)$, $g(f(x))=\sqrt{x^{2}}$. On obtient ainsi une nouvelle fonction qui à $x$ associe $\sqrt{x^{2}}$ définie sur $\R$ que l'on appelle la composée de $f$ suivie de $g$. \\ Plus généralement, \begin{theoreme} Soient $f$ et $g$ deux fonctions d\'{e}finies respectivement sur $\mathcal{D}_{f}$ et $\mathcal{D}_{g}$. \\ La fonction $g \circ f$ (lire $g$ "rond" $f$) est la fonction d\'{e}finie par $(g\circ f)(x)=g(f(x))$.\\ Cette fonction est d\'{e}finie sur l'ensemble des réels $x$ appartenant à $\mathcal{D}_{f}$ tels que $f(x)$ appartient à $\mathcal{D}_{g}$. \end{theoreme} \noindent {\bf Remarques}~: \begin{itemize} \item L'ensemble de d\'{e}finition de $g \circ f$ est donc \`{a} \'{e}tudier au cas par cas. \item De fa\c{c}on g\'{e}n\'{e}rale on a $g \circ f \not= f\circ g$. (Consid\'{e}rez par exemple les fonctions $f$ et $g$ d\'{e}finies sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=x^2$ et $g(x)=2x$ ) \item On dit que la fonction $g \circ f$ est la compos\'{e}e de $f$ suivie de $g$. (En effet on applique d'abord $f$ pour calculer $f(x)$ puis ensuite on applique $g$ pour calculer $g(f(x))$). \end{itemize} \section{Compléments sur le sens de variation} \subsection{Sens de variation d'une somme de fonctions} \begin{theoreme}\hfill \\ La somme de deux fonctions strictement croissantes sur un intervalle $I$ est une fonction strictement croissante sur $I$.\\ La somme de deux fonctions strictement décroissantes sur un intervalle $I$ est une fonction strictement décroissante sur $I$. \end{theoreme} \begin{preuve} \noindent Démontrons la première assertion de ce théorème.\\ $a$ et $b$ sont deux réels de $I$ tels que $a < b$. $f$ et $g$ sont strictement croissantes sur $I$ donc $f(a) < f(b)$ et $g(a) < g(b)$. En additionnant membre à membre ces deux inégalités on obtient $f(a)+g(a) < f(b)+g(b)$, ce qui prouve que $f+g$ est strictement croissante sur $I$. \end{preuve} \noindent {\bf Remarque}~:\\ On ne peut pas, en général, avec les hypothèses précédentes, en déduire les sens de variations de $f-g$ ou de $fg$ de ceux de $f$ et $g$. \subsection{Sens de variation de $u+\lambda$ et $\lambda u$} \noindent $u$ est une fonction définie sur un intervalle $I$ et $\lambda$ un réel. $u+\lambda$ et $\lambda u$ sont les fonctions définies sur $I$ respectivement par $x \longmapsto u(x)+ \lambda$ et $x \longmapsto \lambda u(x)$. \begin{theoreme}\hfill \\ $u$ et $u +\lambda$ ont le même sens de variation sur $I$.\\ Si $\lambda >0$, $u$ et $\lambda u$ ont le même sens de variation sur $I$.\\ Si $\lambda <0$, $u$ et $\lambda u$ ont des sens de variation contraires sur $I$. \end{theoreme} \begin{preuve} immédiat. \end{preuve} \noindent {\bf Exemple}~:\\ $a$ est un réel non nul, \begin{itemize} \item lorsque $a>0$, la fonction $x \longmapsto ax^{2}$ a même sens de variation que la fonction $x \longmapsto x^{2}$. \item lorsque $a<0$, la fonction $x \longmapsto ax^{2}$ varie en sens contraire de la fonction $x \longmapsto x^{2}$. \end{itemize} On admet de plus que la courbe de toute fonction $x \longmapsto ax^{2}$ est une parabole. Il en résulte que, \begin{itemize} \item lorsque $a>0$, la fonction $x \longmapsto ax^{2}$ est représentée par une parabole tournée vers le haut. \item lorsque $a<0$, la fonction $x \longmapsto ax^{2}$ est représentée par une parabole tournée vers le bas. \end{itemize} \subsection{Sens de variation d'une fonction composée} \begin{theoreme} $f$ et $g$ sont deux fonctions d\'{e}finies respectivement sur des intervalles $I$ et $J$ et strictement monotones sur ces intervalles. On suppose que pour tout $x \in J$ on a $g(x)\in I$ (afin de pouvoir composer $g$ suivie de $f$). Dans ces conditions la fonction $f \circ g$ est d\'{e}finie sur $J$ et: \begin{enumerate} \item Lorsque $f$ et $g$ ont le m\^{e}me sens de variation, alors $f \circ g$ est strictement croissante sur $J$ \item Lorsque $f$ et $g$ ont des sens de variation diff\'{e}rents alors $f \circ g$ est strictement d\'{e}croissante sur $J$ \end{enumerate} \end{theoreme} preuve : \begin{itemize} \item Premier cas : $f$ et $g$ ont le m\^{e}me sens de variation.\\ Consid\'{e}rons deux r\'{e}els $a$ et $b$ dans $J$ tels que $a < b$. \begin{enumerate} \item Supposons $f$ et $g$ strictement croissantes, $f$ sur $I$ et $g$ sur $J$.\\ Puisque $g$ est strictement croissante sur $J$, on a $a<b$ donc $g(a)<g(b)$.\\ Puisque $f$ est strictement croissante sur $I$, on a $g(a)<g(b)$ donc $f(g(a))<f(g(b))$\\ Conclusion : Quels que soient $a$ et $b$ dans $J$ avec $a<b$ alors $f(g(a))<f(g(b))$ donc $f\circ g$ est strictement croissante sur $J$. \item Supposons $f$ et $g$ strictement d\'{e}croissantes, $f$ sur $I$ et $g$ sur $J$.\\ Puisque $g$ est strictement d\'{e}croissante sur $J$, on a $a<b$ donc $g(a)>g(b)$.\\ Puisque $f$ est strictement d\'{e}croissante sur $I$, on a $g(a)>g(b)$ donc $f(g(a))<f(g(b))$\\ Conclusion : Quels que soient $a$ et $b$ dans $J$ avec $a<b$ alors $f(g(a))<f(g(b))$ donc $f\circ g$ est strictement croissante sur $J$. \end{enumerate} \item Deuxi\`{e}me cas : $f$ et $g$ ont des sens de variation diff\'{e}rents.\\ Consid\'{e}rons deux r\'{e}els $a$ et $b$ dans $J$ tels que $a < b$. \begin{enumerate} \item Supposons $f$ strictement croissante sur $I$ et $g$ strictement d\'{e}croissante sur $J$.\\ Puisque $g$ est strictement d\'{e}croissante sur $J$, on a $a<b$ donc $g(a)>g(b)$.\\ Puisque $f$ est strictement croissante sur $I$, on a $g(a)>g(b)$ donc $f(g(a))>f(g(b))$\\ Conclusion : Quels que soient $a$ et $b$ dans $J$ avec $a<b$ alors $f(g(a))>f(g(b))$ donc $f\circ g$ est strictement d\'{e}croissante sur $J$. \item Supposons $f$ strictement d\'{e}croissante sur $I$ et $g$ strictement croissante sur $J$.\\ Puisque $g$ est strictement croissante sur $J$, on a $a<b$ donc $g(a)<g(b)$.\\ Puisque $f$ est strictement d\'{e}croissante sur $I$, on a $g(a)<g(b)$ donc $f(g(a))>f(g(b))$\\ Conclusion : Quels que soient $a$ et $b$ dans $J$ avec $a<b$ alors $f(g(a))>f(g(b))$ donc $f\circ g$ est strictement d\'{e}croissante sur $J$. \end{enumerate} \end{itemize} \section{Fonctions associées et courbes représentatives} \noindent $u$ est une fonction définie sur un ensemble $D$ et $\lambda$ un réel. $\mathcal{C}$ est la courbe de $u$ dans un repère orthogonal \rep du plan. \begin{theoreme} \hfill \begin{itemize} \item La courbe, dans le repère \rep, de la fonction $x~\longmapsto -u(x)$ est l'image de $\mathcal{C}$ par la réflexion d'axe, l'axe des ordonnées. \item La courbe, dans le repère \rep, de la fonction $x~\longmapsto u(-x)$ est l'image de $\mathcal{C}$ par la réflexion d'axe, l'axe des abscisses. \item La courbe, dans le repère \rep, de la fonction $x~\longmapsto \vert u(x) \vert $ coïncide avec $\mathcal{C}$ lorsque celle-ci est au-dessus de l'axe des abscisses et est l'image de $\mathcal{C}$ par la réflexion d'axe, l'axe des abscisses, lorsque $\mathcal{C}$ est en-dessous de l'axe des abscisses. \item La courbe, dans le repère \rep, de la fonction $x~\longmapsto u(x)+\lambda$ est l'image de $\mathcal{C}$ par la translation de vecteur $\lambda \vect{\jmath}$. \item La courbe, dans le repère \rep, de la fonction $x~\longmapsto u(x+\lambda)$ est l'image de $\mathcal{C}$ par la translation de vecteur $-\lambda \vect{\imath}$. \end{itemize} \end{theoreme} \begin{preuve} détaillée en exercice. \end{preuve} \end{document}