\documentclass[11pt,a4paper]{article} \usepackage{persopc} \geometry{hmargin=1.5cm, vmargin=1cm} \begin{document} \titre{Équations et inéquations du second degré}{$1$\up{ere}S} \fcours{Second degré} \section{Résolution de l'équation du second degré} % \subsection{Exercices d'approche} % \exo{} % \input{1stie_secdegre1.tex} % \exo{} % \input{1stie_secdegre2.tex} % \exo{} % \input{1stie_secdegre3.tex} % \exo{} % \input{1stie_secdegre4.tex} \subsection{Définition, vocabulaire} Une {\bf équation du second degré}, à une inconnue $x$, est une équation qui peut s'écrire sous la forme {\boldmath $ax^{2}+bx+c~=~0$}, où $a, b, c$ sont trois réels donnés, $a$ étant différent de zéro. \\ Un trinôme du second degré est un polynôme de degré $2$.\\ % Toute expression, fonction de $x$, qui peut s'écrire $ax^{2}+bx+c$ où $a, b, % c$ sont trois réels donnés, $a \not= 0$, est un {\bf trinôme du second % degré} (en $x$).\\ {\bf Résoudre, dans $\R$, l'équation} {\boldmath $ax^{2}+bx+c=0$} ; c'est trouver tous les nombres réels $u$ tels que $au^{2}+bu+c~=~0$. Un tel nombre est dit {\bf solution} ou {\bf racine} de l'équation ou encore {\bf racine} ou {\bf zéro} du trinôme $ax^{2}+bx+c$.\\ Si $f$ est un trinôme du second degré définie par $f(x)=ax^{2}+bx+c$, résoudre $ax^{2}+bx+c=0$ c'est déterminer les événtuels antécédents de $0$ par $f$. \subsection{Résolution de l'équation du second degré} \subsubsection{Principe de résolution sur deux exemples} \begin{enumerate} \item On souhaite résoudre dans $\R$, $3x^{2}-5x-4=0$.\\ Posons $f(x)=3x^{2}-5x-4$, alors pour tout réel $x$,\\ $f(x)=3\left[x^{2}-\frac{5}{3}x-\frac{4}{3}\right]$, \\ or $x^{2}-\frac{5}{3}x$ est le début d'un carré, car $x^{2}-\frac{5}{3}x= \left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}-\frac{25}{36}$. \\ Ainsi pour tout réel $x$,\\ $f(x)= 3\left[\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}-\frac{25}{36}-\frac{4}{3}\right]$\\ $f(x)=3\left[\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}-\frac{73}{36}\right]$\\ $f(x)=3\left[\left(x-\frac{5}{6}-\frac{\sqrt{73}}{6}\right) \left(x-\frac{5}{6}+\frac{\sqrt{73}}{6}\right)\right]$\\ $f(x)=3\left[\left(x-\frac{5+\sqrt{73}}{6}\right) \left(x-\frac{5-\sqrt{73}}{6}\right)\right]$.\\ Il en résulte que $f(x)=0$ équivaut à $x=\frac{5+\sqrt{73}}{6}$ ou à $x=\frac{5-\sqrt{73}}{6}$. De plus on a obtenu une factorisation de $f(x)$. \item On souhaite résoudre dans $\R$, $2x^{2}+3x+4=0$.\\ Posons $f(x)=2x^{2}+3x+4$, alors pour tout réel $x$,\\ $f(x)=2\left[x^{2}+\frac{3}{2}x+2\right]$, \\ or $x^{2}+\frac{3}{2}x$ est le début d'un carré, car $x^{2}+\frac{3}{2}x= \left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}-\frac{9}{16}$. \\ Ainsi pour tout réel $x$,\\ $f(x)= 2\left[\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}-\frac{9}{16}+2\right]$\\ $f(x)=2\left[\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}+\frac{23}{16}\right]$\\ Il est clair qu'avec cette factorisation de $ f(x)$ l'équation $f(x)=0$ n'a pas de solution dans $\R$. \end{enumerate} \subsubsection{Cas général} Posons $f(x)=ax^{2}+bx+c$, $a\not=0$. \begin{enumerate} \item $1$\up{ere} étape~: Forme canonique de $f(x)$\\ Puisque $a\not=0$, $f(x)=a\left(x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)$ ; or $x^{2}+\frac{b}{a}x=\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{b^{2}}{4a^{2}}$ car $x^{2}+\frac{b}{a}x$ est le début du développement de $\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}$.\\ Donc $f(x)=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{b^{2}}{4a^{2}}+ \frac{c}{a}\right]=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{b^{2}}{4a^{2}}+ \frac{4ac}{4a^{2}}\right]= a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}\right]$\\ Cette dernière écriture de $f(x)$ sous la forme $a[(x+\square)^{2}-\bigcirc]$ est la {\bf forme canonique de $f(x)$}. \item $1$\up{ieme} étape~: Résolution\\ On pose $\Delta=b^{2}-4ac$, ainsi $f(x)=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{\Delta}{4a^{2}}\right]$. \begin{itemize} \item Si $\Delta < 0$, alors $\frac{\Delta}{4a^{2}}<0$, le nombre entre crochets est strictement positif donc l'équation $f(x)=0$ n'a pas de solution. \item Si $\Delta=0$, alors $f(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}$, ainsi $f(x)=0$ équivaut à $a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}=0$ équivaut à $x+\frac{b}{2a}=0$ soit $x=-\frac{b}{2a}$. \item Si $\Delta < 0$, alors $\Delta=(\sqrt{\Delta})^{2}$ et $f(x)= a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}- \frac{(\sqrt{\Delta})^{2}}{4a^{2}}\right]=a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}- \sqrt{\frac{\Delta}{2a}}^{2}\right]=\\ a\left(x+\frac{b}{2a}+ \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x+\frac{b}{2a}- \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}\right)= a\left(x-\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\right)\left(x+\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\right)$.\\ Si l'on pose $x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$, alors $f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})$.\\ Puisque $a \not= 0$, l'équation $f(x)=0$ a donc deux solutions distinctes $x_{1}$ et $x_{2}$. \end{itemize} \end{enumerate} \begin{definition} \hfill \begin{enumerate} \item Le nombre $b^{2}-4ac$ est appelé discriminant de l'équation du second degré $ax^{2}+bx+c=0$ ou du trinôme $ax^{2}+bx+c$. On le note $\Delta$ (lire "delta"). \item L'expression $a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{\Delta}{4a^{2}}\right]$ est la forme canonique de $f(x)$. \end{enumerate} \end{definition} \begin{theoreme} \label{un} Racine de l'équation $ax^{2}+bx+c=0$\\ Lorsque $\Delta <0$, l'équation n'a pas de racine.\\ Lorsque $\Delta=0$, l'équation a une racine, $-\frac{b}{2a}$.\\ Lorsque $\Delta >0$, l'équation a deux racines distinctes~: $$ x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}, \, x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} $$ \end{theoreme} {\bf Comment résoudre des équations du second degré~?} \begin{enumerate} \item En général, mais pas toujours (voir plus bas), on calcule le discriminant $\Delta$ et on utilise les formules du théorème.\\[1em] \begin{tabular}{|p{5cm}|p{5cm}|p{5cm}|} \hline $x^{2}-3x+4=0$ & \rule[-8pt]{0pt}{20pt} $3x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{48}=0$ & $3x^{2}-x-4=0$ \\ \hline $a=1$, $b=-3$, $c=4$ $\Delta=(-3)^{2}-4\times 1\times 4=-7$ $\Delta < 0$, pas de solution. & $a=3$, $b=-\frac{7}{2}$, $c=\frac{49}{48}$ $\Delta=\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}-4\times 3 \times \frac{49}{48}=0$ $\Delta =0$,une solution $-\frac{b}{2a}=\frac{7}{12}$. & $a=3$, $b=-1$, $c=-4$ $\Delta=(-1)^{2}-4\times 3 \times (-4)=49$ $\Delta >0$, deux solutions~: $x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=-1$ $x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{4}{3}$\\ \hline \end{tabular} \item Il n'est pas toujours utile (ni judicieux) de calculer $\Delta$, c' est le cas des équations suivantes~: \begin{multicols}{3} \begin{itemize} \item[$\bullet$] $4x^{2}-5=0$ \item[$\bullet$] $7x^{2}+3x=0$ \item[$\bullet$] $-3(x-1)(x+2)=0$ \end{itemize} \end{multicols} \end{enumerate} \section{Comment relier les racines et les coefficients du trinôme~?} \begin{propriete} \hfill \begin{itemize} \item Lorsque l'équation $ax^{2}+bx+c=0$, $a\not=0$ a deux racines $x_{1}$ et $x_{2}$, alors \fbox{$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}$} et \fbox{$x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$}. \item Lorsque l'équation $ax^{2}+bx+c=0$ a une seule solution $x_{0}$, alors \fbox{$x_{0}+x_{0}=-\frac{b}{a}$} et \fbox{$x_{0}x_{0}=\frac{c}{a}$}. \end{itemize} \end{propriete} \begin{preuve} \noindent $x_{1}+x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}+\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2b}{2a} =-\frac{b}{a}$ et $x_{1}\times x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\times \frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{b^{2}-\Delta}{4a^{2}}=\frac{4ac}{4a^{2}}=\frac{c}{a}$.\\ Le calcul est trivial pour le deuxième cas. \end{preuve} \noindent {\bf Remarque}~: Il est utile de retenir que si on connaît a priori une racine alors on peut savoir à l'aide de ces formules si c'est la seule ou non et, dans ce cas, obtenir la valeur de la deuxième.\\ Par exemple, si on remarque que $1$ est racine de l'équation $x^{2}-3x+4=0$ comme $x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}=4$ alors $4$ est aussi solution de l'équation. Comme elle en a au plus deux la résolution est terminée. \section{Factorisation et signe du trinôme} \subsection{Factorisation du trinôme} D'après la démonstration du théorème $\ref{un}$ on peut établir le théorème suivant~: \begin{theoreme} Notons $f(x)=ax^{2}+bx+c$, $a\not=0$ \begin{itemize} \item Lorsque $\Delta<0$, la factorisation de $f(x)$ (à coefficients réels) n'est pas possible. \item Lorsque $\Delta=0$, $f(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}$ est la forme factorisée de $f(x)$. \item Lorsque $\Delta>0$, l'équation $f(x)=0$ a deux racines distinctes $x_{1}$ et $x_{2}$ et $f(x)=a(x-x_{1})(x-x_{2})$ est la forme factorisée de $f(x)$. \end{itemize} \end{theoreme} \subsection{Signe du trinôme} % \exo{} % \input{1stie_secdegre5.tex} \begin{theoreme} \hfill \begin{enumerate} \item Lorsque $\Delta < 0$, $f(x)$ est toujours du signe de $a$. \item Lorsque $\Delta = 0$, $f(x)$ est du signe de $a$ sauf lorsque $x=-\frac{b}{2a}$ auquel cas $f(x)=0$. \item Lorsque $\Delta > 0$, $f(x)$ est du signe de $a$ {\bf sauf } lorsque $x$ est entre les solutions de $f(x)=0$ où $f(x)$ est du signe de $-a$. \end{enumerate} \end{theoreme} \begin{preuve} \begin{itemize} \item Cas $\Delta < 0$~: la forme canonique de $f(x)$ est $a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}-\frac{\Delta}{4a^{2}}\right]$. Comme $\Delta<0$ le nombre entre crochets est strictement positif, donc $f(x)$ est du signe de $a$ pour tout $x$. \item Cas $\Delta=0$~: la forme factorisée de $f(x)$ est $a\left[\left(x+\frac{b}{2a}\right)^{2}\right]$ donc $f(x)$ est du signe de $a$ sauf pour $x=-\frac{b}{2a}$ où il est nul. \item Cas $\Delta >0$~: la forme factorisée de $f(x)$ est $a(x-x_{1})(x-x_{2})$ où $x_{1}$ et $x_{2}$ sont les solutions de l'équation $f(x)=0$. Si, par exemple, $x_{1}$ est la plus petite de ces deux racines on obtient le tableau de signes suivant~:\\ \begin{tabular}{|c|ccc|ccc|ccc|} \hline $x$ & $-\infty$ & &\multicolumn{2}{c}{$x_{1}$} & & \multicolumn{2}{c}{$x_{2}$} & & $+\infty$ \\ \hline $a$ & & signe de $a$ & & & signe de $a$ & & & signe de $a$ & \\ \hline $x-x_{1}$ & & $-$ & \multicolumn{2}{c}{$0$} & $+$ & & & $+$ & \\ \hline $x-x_{2}$ & &$-$ & & & $-$ & \multicolumn{2}{c}{$0$} & $+$ & \\ \hline $(x-x_{1})(x-x_{2})$ & & $+$ & \multicolumn{2}{c}{$0$}& $-$ & \multicolumn{2}{c}{$0$} & $+$ & \\ \hline $f(x)$ & & signe de $a$ & \multicolumn{2}{c}{$0$}& signe de $-a$ & \multicolumn{2}{c}{$0$} & signe de $a$ & \\ \hline \end{tabular} \end{itemize} \end{preuve} \section{Fonction trinôme du second degré} \begin{theoreme} \hfill \\ La courbe représentative, dans le plan muni d'un repère orthogonal \rep, de la fonction trinôme du second degré $f~:~x\longmapsto ax^{2}+bx+c$, est une parabole. Cette parabole est "tournée vers le haut" si $a>0$ et "tournée vers le bas" si $a<0$. Son sommet a pour abscisse $-\frac{b}{2a}$ et la droite d'equation $x=-\frac{b}{2a}$ est un axe de symétrie de cette courbe. \end{theoreme} \begin{preuve} détaillée en cours. \end{preuve} \noindent {\bf Remarque}~: la rédaction de ce théorème sous-entend que le vecteur $\vect{j}$ du repère est dirigé vers le haut.\\ Ainsi le signe de $a$ nous renseigne sur l'allure de la courbe. Le signe de $\Delta$ nous renseigne sur le nombre de points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses. En effet~: \begin{itemize} \item[$\bullet$] si $\Delta <0$, l'équation $f(x)=0$ n'a pas de solutions donc la courbe ne coupe pas l'axe des abscisses. \item[$\bullet$] si $\Delta=0$, l'équation $f(x)=0$ a une solution donc la courbe et l'axe des abscisses n'ont qu'un point commun. \item[$\bullet$] si $\Delta >0$, l'équation $f(x)=0$ a deux solutions donc la courbe coupe l'axe des abscisses en deux points. \end{itemize} Le tableau suivant illustre les cas possibles~: \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline & $\Delta >0$ & $\Delta =0$ & $\Delta <0$ \\ \hline factorisation de $f(x)$ & $a(x-x_{1})(x-x_{2})$ & $a(x-x_{0})^{2}$ & pas de factorisation \\ \hline équation $f(x)=0$ & $2$ solutions $x_{1}$ et $x_{2}$ & une solution $x_{0}$ & pas de solution \\ \hline \rule[0pt]{0pt}{2.2cm} \raisebox{0.8cm}[0pt][0pt]{signe de $f(x)$} & \includegraphics[scale=0.6]{fig1sc_secdegre.1} & \raisebox{0.3cm}[0pt][0pt]{\includegraphics[scale=0.6]{fig1sc_secdegre.2}} & \raisebox{0.7cm}[0pt][0pt]{\includegraphics[scale=0.6]{fig1sc_secdegre.3}} \\ \hline \rule[0pt]{0pt}{2.2cm} \raisebox{1.1cm}[0pt][0pt]{courbes pour $a>0$} & \includegraphics[scale=0.7]{fig1sc_secdegre.4} & \includegraphics[scale=0.7]{fig1sc_secdegre.5} & \includegraphics[scale=0.7]{fig1sc_secdegre.6} \\ \hline \rule[0pt]{0pt}{2.2cm} \raisebox{1.1cm}[0pt][0pt]{courbes pour $a<0$} & \includegraphics[scale=0.7]{fig1sc_secdegre.7} & \includegraphics[scale=0.7]{fig1sc_secdegre.8} & \includegraphics[scale=0.7]{fig1sc_secdegre.9} \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{document}