\documentclass[a4paper,12pt,dvips]{article} \usepackage[]{persolatin} \geometry{hmargin=1cm, vmargin=1.5cm} %\everymath{\displaystyle} \begin{document} \titre{Terminale S}{Dérivation} \section{Rappels ou presque...} \subsection{Nombre dérivé. Fonction dérivée} $f$ est une fonction définie sur $\mathcal{D}_{f}$ et $a$ est un nombre de $\mathcal{D}_{f}$. \begin{definition} \hfill \\ Dire que la fonction $f$ {\bf est dérivable au point} $a$ signifie que la fonction $h~\longmapsto~\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ admet une limite réelle $l$ en zéro ou bien, de façon équivalente que la fonction $x~\longmapsto~\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ admet une limite réelle $l$ en $a$.\\ Cette limite $l$ est appelée {\bf le nombre dérivé} de $f$ au point $a$. On le note $f'(a)$. \end{definition} \subsection{Notation différentielle} Lorsque $f$ est dérivable en $x$, $\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f'(x)$.\\ En sciences physiques, une variation (pour nous une différence) s'écrit souvent en utilisant le symbole $\Delta$. Par exemple pour écrire une variation du temps on utilise l'expression $\Delta t$. \\ Avec cette notation, puisque $h$ exprime la différence entre $x+h$ et $x$, on peut le noter $\Delta x$. De même puisque $f(x+h)-f(x)$ exprime une différence d'ordonnée que l'on note souvent $y$ on peut le noter $\Delta y$. \\ L'égalité précédente s'écrit alors \fbox{$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x)$}. \\ On est alors conduit à traduire cette égalité, par "passage à la limite", en écrivant $\frac{dy}{dx}=f'(x)$. (Dans l'esprit on peut retenir que l'expression $dx$ exprime un $\Delta x$ infiniment petit$....$) C'est la {\bfseries notation différentielle} du nombre dérivé.\\ Fréquemment, on confond, par abus de langage, $y$ et $f$, la notation différentielle s'écrit alors $\frac{df}{dx}=f'(x)$. Cette notation est souvent utilisée en sciences physiques.\\ On peut écrire, suivant le contexte, $dy=f'(x)dx$ ou $df=f'(x)dx$. %Autre version selon oles commentaires du programme officiel.... %Lorsque $f$ est dérivable en $x$, posons $\epsilon (h)= \frac{f(x+h)-f(x)}{h} -f'(x)$ alors \fbox{$\lim_{h \to 0} \epsilon (h) = 0$}. Par réécriture on obtient l'égalité \fbox{$f(x+h)-f(x)=hf'(x)+h\epsilon (h)$}.\\ %En sciences physiques, une variation (pour nous une différence) s'écrit souvent en utilisant le symbole $\Delta$. Par exemple pour écrire une variation du temps on utilise l'expression $\Delta t$. \\ %Avec cette notation, puisque $h$ exprime la différence entre $x+h$ et $x$, on peut le noter $\Delta x$. De même puisque $f(x+h)-f(x)$ exprime une différence d'ordonnée que l'on note souvent $y$ on peut le noter $\Delta y$. \\ %L'égalité précédente s'écrit alors \fbox{$\Delta y=\Delta x f'(x) + \Delta x \epsilon( \Delta x)$ \qquad [1]} avec $\lim_{\Delta x \to 0} \epsilon (\Delta x) = 0$. \\ %Mais dans cette égalité lorsque $\Delta x$ tend vers zéro, le terme $\Delta x \epsilon( \Delta x)$ tend vers $0$. On est alors conduit à traduire par "passage à la limite" cette égalité par la relation symbolique $dy=f'(x)dx$. (Dans l'esprit on peut retenir que l'expression $dx$ ($dy$) exprime un $\Delta x$ infiniment petit$....$)\\ % Il ne faut pas longtemps ensuite pour avoir envie d'écrire $\frac{dy}{dx}=f'(x)$. C'est la {\bfseries notation différentielle} du nombre dérivé.\\ %Fréquemment, on confond, par abus de langage, $y$ et $f$, la notation différentielle s'écrit alors $\frac{df}{dx}=f'(x)$. Cette notation est souvent utilisée en sciences physiques. \subsection{Approximation affine locale.Tangente} \begin{definition} $\mathcal{C}_{f}$ est la courbe d'une fonction $f$ qui est dérivable au point $a$.\\ La {\bf tangente à} $\mathcal{C}_{f}$ {\bf au point} $A(a;f(a))$ est la droite qui passe par $A$ et dont le coefficient directeur est $f'(a)$.\\ Elle se conçoit comme la "position limite" des sécantes $(AM)$ (cf figure) lorsque $M$ tend vers $A$ sur la courbe. \end{definition} \begin{center} \includegraphics[scale=0.4]{fig1sc_deriv.3} \hspace{4em} \includegraphics[scale=0.4]{fig1sc_deriv.2} \end{center} \begin{propriete} Une équation de la tangente à $\mathcal{C}_{f}$ au point $A(a;f(a))$ est~: $$ y=f'(a)(x-a)+f(a) $$ \end{propriete} \begin{definition} $f'(a)(x-a)+f(a)$ (resp. $f'(a)h+f(a)$){\bf est l'approximation affine locale de} $f(x)$ (resp. $f(a+h)$)pour $x$ voisin de $a$ (resp. $h$ voisin de $0$). Autrement dit, $f(x)-f(a)\approx (x-a)f'(a)$ pour $x$ voisin de $a$ (resp. $f(a+h)-f(a) \approx hf'(a)$ pour $h$ voisin de zéro).\\ Avec la notation utilisée en sciences physiques, cela peut s'écrire, $\Delta y \approx f'(a) \Delta x$ ou encore $ \frac{\Delta y}{\Delta x} \approx f'(a)$ lorsque lorsque $\Delta x$ est voisin de zéro. \\ Tout ceci ne fait qu'exprimer le fait que $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(a)$ \end{definition} \subsection{Dérivées des fonctions usuelles. Formules de dérivation} \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|} \hline \parbox[b]{5cm}{\hfil $f$ est définie sur $I$ \hfil \hfil $f(x)=\ldots$ \hfil} & \parbox[b]{5cm}{\hfil $f'$ est définie sur $J$ \hfil \hfil $f'(x)=\ldots$ \hfil} \\ \hline \parbox[b]{5cm}{ $I=\mathbb{R}$ \raisebox{1ex}{\phantom{p}} $f(x)=mx+p$ Cas particuliers~: $I=\mathbb{R}$ $f(x)=p$ $I=\mathbb{R}$ $f(x)=x$} & \parbox[b]{5cm}{$J=\mathbb{R}$ $f'(x)=m$ Cas particuliers~: $J=\mathbb{R}$ $f'(x)=0$ $J=\mathbb{R}$ $f'(x)=1$} \\ \hline \parbox[b]{5cm}{$I=\mathbb{R}$ \raisebox{1ex}{\phantom{p}} $f(x)=x^{2}$} & \parbox[b]{5cm}{$J=\mathbb{R}$ $f'(x)=2x$} \\ \hline \parbox[b]{5cm}{$I=[0;+\infty[$ \raisebox{1ex}{\phantom{p}} $f(x)=\sqrt{x}$} & \parbox[b]{5cm}{$J=]0+\infty[$ \raisebox{1ex}{\phantom{p}} $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$} \\ \hline \parbox[b]{5cm}{$I=\mathbb{R}$ \raisebox{1ex}{\phantom{p}} $f(x)=x^{3}$} & \parbox[b]{5cm}{$J=\mathbb{R}$ $f'(x)=3x^{2}$} \\ \hline \parbox[b]{5cm}{$I=\mathbb{R}^{*}$ \raisebox{1ex}{\phantom{p}} $f(x)=\frac{1}{x}$} & \parbox[b]{5cm}{$J=\mathbb{R}^{*}$ $f'(x)=-\frac{1}{x^{2}}$ \raisebox{-1ex}{\phantom{p}}} \\ \hline \parbox[b]{5cm}{$I=\mathbb{R}$ \raisebox{1ex}{\phantom{p}} $f(x)=\vert x \vert$} & \parbox[b]{7cm}{$J=\mathbb{R}^{*}$ \raisebox{1ex}{\phantom{p}} $f'(x)= \left\lbrace \begin{array}{l} f'(x)=1 \textnormal{ si } x > 0 \\ f'(x)=-1 \textnormal{ si } x < 0 \end{array} \right. $} \\ \hline \parbox[b]{5cm}{$I=\mathbb{R}$ si $n>0$ et $I=\mathbb{R}^{*}$ si $n<0$ $f(x)=x^{n}$ avec $n \in \mathbb{Z}^{*} \backslash \{1\}$}& \parbox[b]{5cm}{$J=\mathbb{R}$ si $n>0$ et $J=\mathbb{R}^{*}$ si $n<0$ $f'(x)=nx^{n-1}$ }\rule{0cm}{0.8cm} \\ \hline \parbox[b]{5cm}{$I=\mathbb{R}$ \raisebox{1ex}{\phantom{p}} $f(x)=\cos x$} & \parbox[b]{5cm}{$J=\mathbb{R}$ $f'(x)=-\sin x$} \\ \hline \parbox[b]{5cm}{$I=\mathbb{R}$ \raisebox{1ex}{\phantom{p}} $f(x)=\sin x$} & \parbox[b]{5cm}{$J=\mathbb{R}$ $f'(x)=\cos x $} \\ \hline \end{tabular} \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \parbox[b]{2cm}{Fonction} & $u+v$ & $uv$ & $ku$ ($k$ constante) & \raisebox{-2ex}{\phantom{p}} $\frac{1}{v}$ \raisebox{2ex}{\phantom{l}} & $\frac{u}{v}$ & $u(ax+b)$\\ \hline \raisebox{-2ex}{\phantom{p}} \parbox[c]{2cm}{Fonction dérivée} \raisebox{2ex}{\phantom{l}} & $u'+v'$ & $u'v+uv'$ & $ku'$ & $\frac{-v'}{v^{2}}$ & $\frac{u'v-uv'}{v^{2}}$ & $au'(ax+b)$ \\ \hline \end{tabular} \end{center} \subsection{Application au variations. Extremums locaux} \begin{theoreme} (admis)\\ $f$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$, et sa fonction dérivée est $f'$. \begin{itemize} \item Si $f'$ est {\bf strictement positive sur} $I$, sauf peut-être en quelques points où elle s'annule, alors $f$ est {strictement croissante sur} $I$. \item Si $f'$ est {\bf strictement négative sur} $I$, sauf peut-être en quelques points où elle s'annule, alors $f$ est {strictement décroissante sur} $I$. \item Si $f'$ est {\bf nulle sur} $I$ alors $f$ est {\bf constante} sur $I$. \end{itemize} \end{theoreme} \begin{definition} $f$ est une fonction définie sur $D$ et $c$ est un point de $D$ distinct des extrémités. Dire que $f(c)$ est un {\bf maximum (resp minimum) local de} $f$ en $c$ signifie que pour tout $x$ d'un intervalle ouvert $I'$, contenant $c$ et inclus dans $D$, $f(x) \leq f(c)$ (resp $f(x) \geq f(c)$) \end{definition} \noindent {\bf Remarque}~: Extremum à une extrémité~:\\ Si $D=\intf{a}{b}$, dire que $f(a)$ est un maximum local (par exemple) de $f$ en $a$ signifie que $f(x) \leq f(a)$ pour tout $x$ d'un intervalle $\intfo{a}{\alpha}$ avec $\alpha \leq b$. \begin{theoreme}(admis) $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ et $c$ un point distinct des extrémités de $I$. Si $f(c)$ est un extremum local alors $f'(c)=0$ \end{theoreme} \section{Dérivée d'une fonction composée} \subsection{Théorème fondamental} \begin{theoreme} $g$ est une fonction dérivable sur un intervalle $J$. $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$, et pour tout $x$ de $I$, $u(x)$ appartient à $J$.\\ Alors la fonction $f$ définie par $f(x)=g(u(x))$ est dérivable sur $I$ et pour tout $x$ de $I$, $f'(x)=g'(u(x))\times u'(x)$.\\ Autrement dit, $$ (g \circ u)'=(g' \circ u) \times u' $$ \end{theoreme} \ifpreuve \begin{preuve} Il s'agit de prouver que, pour tout $a \in I$, $\frac{g(u(x))-g(u(a))}{x-a}$ admet une limite réelle $l$ lorsque $x$ tend vers $a$.\\ $a \in I$, notons $b=u(a)$ et $t(x)=\frac{g(u(x))-g(u(a))}{x-a}$ pour tout $x \in I$ distinct de $a$. Il est clair que $t(x)=0$ si $u(x)=u(a)$.\\ $g$ est dérivable en $b$, introduisons alors la fonction $\phi~: J \longmapsto \R$ définie par $ \left\lbrace \begin{array}{llll} \phi(y) & = &\frac{g(y)-g(b)}{y-b} & \textnormal{ si } y \not= b \\ \phi(b) & = & g'(b) & \end{array} \right. $ cette fonction, du fait de la dérivabilité de $g$ en $b$, est continue en $b$.\\ Alors pour tout $x \in I$ distinct de $a$, $\phi\left[u(x)\right] \times \frac{u(x)-u(a)}{x-a}= \left\lbrace \begin{array}{ll} t(x) & \textnormal{ si } u(x) \not= u(a) \\ 0=t(x) & \textnormal{ si } u(x)=u(a) \end{array} \right. $. Donc pour tout $x \in I$ distinct de $a$, $t(x)=\phi\left[u(x)\right] \times \frac{u(x)-u(a)}{x-a}$\\ Ainsi $\lim_{x \to a} t(x)=\lim_{x \to a} \phi\left[u(x)\right] \times \frac{u(x)-u(a)} {x-a}$. Mais comme $u$ et $g$ sont continues respectivement en $a$ et $b$, par composition de limites $\lim_{x \to a} \phi\left[u(x)\right]=g'(b)$. Ensuite comme $u$ est dérivable en $a$, $\lim_{x \to a} \frac{u(x)-u(a)}{x-a}=u'(a)$. Par multiplication on obtient alors $\lim_{x \to a} t(x)=g'(b) \times u'(a)$ . Puisque $b=u(a)$ cela s'écrit donc $\lim_{x \to a} t(x)=g'(u(a)) \times u'(a)$. \end{preuve} \fi \subsection{Applications} \begin{theoreme} Dérivation de $\sqrt{u}$\\ $u$ est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle $I$. Alors la fonction $\sqrt{u}$ est dérivable sur $I$ et $$ \sqrt{u}'=\frac{u'}{2\sqrt{u}} $$ \end{theoreme} \ifpreuve \begin{preuve} On applique le théorème précédent avec $g$ la fonction racine et $J=\into{0}{+\infty}$. \end{preuve} \fi \noindent {\bfseries Remarque~:}Ce type de fonction peut-être dérivable en un $\alpha$ tel que $u(\alpha)=0$, on a recourt à la définition pour étudier ce cas particulier... \begin{theoreme} Dérivation de $u^{n}$, $n$ entier relatif non nul\\ $u$ est une fonction (qui ne s'annule pas sur $I$ si $n<0$ ) dérivable sur un intervalle $I$. Alors la fonction $u^{n}$ est dérivable sur $I$ et $$ (u^{n})'=nu'u^{n-1} $$ \end{theoreme} \ifpreuve \begin{preuve} On applique le théorème précédent avec $g$ la fonction $x\longmapsto x^{n}$ et $J=\R^{\ast}$ si $n<0$ ou $J=\R$ sinon. \end{preuve} \fi \section{Dérivées successives} $f$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$. Sa fonction dérivée $f'$ ou $f^{(1)}$ s'appelle sa {\bfseries dérivée première (ou d'ordre 1)} de $f$.\\ Lorsque $f'$ est dérivable sur $I$, sa fonction dérivée est notée $f''$ ou $f^{(2)}$ ; elle est appelée {\bfseries dérivée seconde (ou d'ordre 2)} de $f$.\\ Par itération, pour tout entier naturel $n \geq 2$, on définit, lorsque c'est possible, $f^{(n)}$, la fonction {\bfseries dérivée n-ième (ou d'ordre n)} de $f$ comme étant la dérivée de la fonction {\bfseries dérivée (n-1)-ième (ou d'ordre n-1)} de $f$. \section{Limites et taux de variations} TD $5$page $74$.\\ On parvient quelques fois à lever une indétermination "$\frac{0}{0}$"en utilisant la définition du nombre dérivé après avoir procédé à d'habiles réécritures....\\ On cherche à écrire $f(x)$ sous la forme $\frac{g(x)-g(a)}{x-a}$ avec $g$ dérivable en $a$, alors $\lim_{x \to a} f(x)=g'(a)$.\\ Par exemple, on remarque que pour tout $x \not= \frac{\pi}{2}$, $\frac{\cos x}{x-\frac{\pi}{2}}=\frac{\cos x-\cos \frac{\pi}{2}} {x-\frac{\pi}{2}}$. \\ Comme la fonction cosinus est dérivable sur $\R$ donc en $\frac{\pi}{2}$, $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x-\cos \frac{\pi}{2}}{x-\frac{\pi}{2}} =\cos' \frac{\pi}{2} =-\sin \frac{\pi}{2}=-1$. \\ Il en résulte que $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{x-\frac{\pi}{2}}=-1$. \section{Tangente verticale} (Généralisation de ce qui a été vu pour la fonction racine en zéro)\\ TD $3$ page $72$\\ $f$ est une fonction continue mais non dérivable en un point $a$ de $\mathcal{D}_{f}$ telle que $\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\pm \infty$ (la limite en $a$ peut être à gauche ou à droite).\\ Géométriquement cela signifie que les coefficients directeurs des sécantes issues du point $A(a;f(a))$ sur $\mathcal{C}_{f}$ se "rapprochent" de la droite d'équation $x=a$. Cela conduit à dire que la courbe de $f$ admet une tangente verticale au point $A(a;f(a))$. \begin{center} \includegraphics[scale=1]{figTsc_deriv.1} \end{center} \section{Dérivée à gauche et à droite ; point anguleux} Lorsqu'une fonction $f$ est continue sur un intervalle contenant $a$ et lorsque la fonction $x \longmapsto \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ admet une limite réelle $l$ à droite en $a$, on dit que la fonction $f$ est {\bfseries dérivable à droite} en $a$. On note $f_{d}^{'}(a)$ le nombre $l$, que l'on appelle le nombre dérivé de $f$ à droite en $a$.\\ De la même façon on définit la dérivabilité à gauche en $a$ et on note $f_{g}^{'}(a)$ le nombre dérivé à gauche.\\ Géométriquement la courbe représentative de $f$ admet une demi-tangente à droite (resp. à gauche) en $A(a;f(a))$. Le coefficient directeur de la demi-tangente à droite (resp. à gauche) est $f_{d}^{'}(a)$ (resp. $f_{g}^{'}(a)$).\\ Lorsque $f_{d}^{'}(a) \not= f_{g}^{'}(a)$, on dit que $A$ est un {\bfseries point anguleux}. \begin{center} \includegraphics[scale=1]{figTsc_deriv.2} \end{center} \section{Primitives d'une fonction} \subsection{Définition. Lien entre deux primitives} \begin{definition} $f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$. Une primitive de $f$ sur $I$ est une fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que pour tout $x \in I$, $$ F'(x)=f(x). $$ \end{definition} \noindent {\bfseries Exemples}~: \begin{itemize} \itemm $ \begin{array}[t]{llll} F_1~:&\R & \longrightarrow & \R \\ & x & \longmapsto & 2x \end{array} $ et $ \begin{array}[t]{llll} F_2~:& \R & \longrightarrow & \R \\ & x & \longmapsto & 2x-4 \end{array} $ sont des primitives de $ \begin{array}[t]{llll} f~:& \R & \longrightarrow & \R \\ & x & \longmapsto & 2 \end{array} $ \itemm $ \begin{array}[t]{llll} H~:& \R & \longrightarrow & \R \\ & x & \longmapsto & \sin x \end{array} $ est une primitive de $ \begin{array}[t]{llll} h~:& \R & \longrightarrow & \R \\ & x & \longmapsto & \cos x \end{array} $ \itemm $ \begin{array}[t]{llll} G~:&\into{0}{+\infty} & \longrightarrow & \R \\ & x & \longmapsto & -\frac{1}{x} \end{array} $ est une primitive de $g~: \begin{array}[t]{lll} \into{0}{+\infty} & \longrightarrow & \R \\ x & \longmapsto & \frac{1}{x^2} \end{array} $ \end{itemize} \begin{theoreme}(admis pour l'instant...) Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet une primitive sur $I$. \end{theoreme} \noindent {\bfseries Remarques}~: \begin{itemize} \itemm Attention une fonction non continue sur $I$ peut avoir une primitive sur $I$. En effet, la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(0)=0$ et $f(x)=2x \sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}$ pour $x \not=0$ n'est pas continue en zéro. Cependant c'est, en tout point de $\R$ la dérivée de la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(0)=0$ et $F(x)=x^2 \sin \frac{1}{x}$ qui est donc une de ses primitives. \itemm L'hypothèse $I$ est un intervalle est essentielle... \end{itemize} %====================================================================== \exo{} Dans chacun des cas suivants, prouvez que $f$ admet une primitive et donnez-en une. \begin{enumerate} \item $ \begin{array}[t]{llll} f~: & \R & \longrightarrow & \R \\ & x & \longmapsto & 3x \end{array} $ \item $ \begin{array}[t]{llll} f~:& \R & \longrightarrow & \R \\ & x & \longmapsto & x^2 \end{array} $ \item $ \begin{array}[t]{llll} f~:& \R & \longrightarrow & \R \\ & x & \longmapsto & 2x^2+3x-4 \end{array} $ \end{enumerate} %====================================================================== \begin{theoreme} $f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$. Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, alors $f$ admet une infinité de primitives. Toute autre primitive de $f$ sur $I$ est définie par $G(x)=F(x)+k$ où $k$ est une constante réelle. \end{theoreme} \ifpreuve \begin{preuve} $F$ est dérivable sur $I$ et $F'=f$. La fonction $G$ est aussi dérivable sur $I$ avec $G'=F'=f$; Donc $G$ est une primitive de $f$ sur $I$.\\ Réciproquement, si $G$ est une primitive de $f$ sur $I$ alors $G'=f=F'$ d'où $G'-F'=0$. La dérivée de $G-F$ est donc nulle sur l'intervalle $I$ ainsi $G-F$ est constante sur $I$~: il existe un réel $k$ tel que pour tout $x \in I$, $G(x)-F(x)=k$, d'où le résultat. \end{preuve} \fi %======================================================================= \exo{} Dans chacun des cas suivants, déterminez les primitives de $f$. Pouvez-vous en donner une qui s'annule en $2$~? \begin{enumerate} \item $ \begin{array}[t]{llll} f~:& \R & \longrightarrow & \R \\ & x & \longmapsto & 3x^2-4x+7 \end{array} $ \item $ \begin{array}[t]{llll} f~:& \R & \longrightarrow & \R \\ & t & \longmapsto & -5t^3+3t^2+8 \end{array} $ \end{enumerate} %======================================================================= \begin{corollaire} $f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$.\\ $x_0$ est un réel donné dans $I$ et $y_0$ un réel quelconque.\\ Alors il existe une primitive et une seule $G$ de $f$ sur $I$ telle que $G(x_0)=y_0$. \end{corollaire} \ifpreuve \begin{preuve} En effet, si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, toute autre primitive $G$ est définie par $G(x)=F(x)+k$ où $k$ est un réel. Comme $G(x_0)=y_0$ équivaut à $k=y_0-F(x_0)$. La fonction définie par $G(x)=F(x)+y_0-F(x_0)$ répond au problème. La valeur de $k$ est unique d'où le résultat. \end{preuve} \fi %======================================================================= \exo{} $f$ est la fonction définie sur $R$ par $f(x)=\cos x$. Déterminez la primitve de $f$ qui s'annule en $\frac{\pi}{6}$. %======================================================================= \subsection{Techniques de calculs de primitives} \subsubsection{Primitives de fonctions usuelles} Les opérations sur les fonctions dérivables et la définition d'une primitive conduisent aux résultats suivants déjà mis en place dans les exemples précédents~: \begin{itemize} \itemm Si $F$ et $G$ sont des primitives des fonctions $f$ et $g$ sur un intervalle $I$, alors $F+G$ est une primitive de $f+g$ sur $I$. \itemm Si $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur un intervalle $I$ et $\lambda$ un réel, alors $\lambda F$ est une primitive de $\lambda f$ sur $I$. \end{itemize} De même, les résultats connus sur les dérivées des fonctions usuelles donnent "par lecture inverse" le tableau suivant~: \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline \hspace{1cm} fonction $f$ \hspace{1cm} &\hspace{1cm} primitive $F$ \hspace{1cm} & \hspace{1cm}sur l'intervalle $I=...$ \hspace{1cm}\\ \hline $a$ (constante) & $ax$ & $\R$ \\ \hline $x^{\alpha}$ ($\alpha \not= -1$) & $\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}$ & $\R$ si $\alpha \geq 0$, $\R_{+}^{*}$ ou $\R_{-}^{*}$ si $\alpha < -1$.\\ \hline $\frac{1}{\sqrt{x}}$ & $2\sqrt{x}$ & $\into{0}{+\infty}$\\ \hline $\frac{1}{x}$ & $\ln x$ & $\into{0}{+\infty}$\\ \hline % $e^{x}$ & $e^{x}$ & $\R$ \\ % \hline $\sin x$ & $-\cos x$ & $\R$ \\ \hline $\cos x$ & $\sin x$ & $\R$ \\ \hline $1+\tan^2 x=\frac{1}{\cos^2 x}$ & $\tan x$ & $\into{-\frac{\pi}{2}+k\pi} {\frac{\pi}{2}+k\pi} (k \in \Z)$ \\ \hline \end{tabular} \end{center} \subsubsection{Formules générales} Le tableau suivant résume divers cas d'exploitation de la dérivée d'une fonction composée pour l'expression d'une primitive.\\ Dans chaque cas, $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$. \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|} \hline \hspace{1cm} fonction $f$ \hspace{1cm} & \hspace{1cm} primitive $F$ \hspace{1cm} & \hspace{1cm} remarques \hspace{1cm} \\ \hline $u'u^{\alpha}$ ($\alpha \not= -1$) & $\frac{1}{n+1}u^{\alpha +1}$ & Lorsque $\alpha <-1$ alors $u$ ne doit pas s'annuler.\\ \hline $\frac{u'}{\sqrt{u}}$ & $2\sqrt{u}$ & $u>0$ sur $I$\\ % \hline % $\frac{u'}{u}$ & $\ln \vert u \vert$ & $u>0$ ou $u>0$ sur $I$\\ % \hline % $u'e^u$ & $e^u$ & \\ \hline $x \longmapsto u(ax+b)$ ($a \not=0$) & $x \longmapsto \frac{1}{a}U(ax+b)$ & $U$ primitve de $u$ sur $I$. \\ \hline \end{tabular} \end{center} \end{document}