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\chapter[All you \dots{} VECTOR SPACES \dots]{All you ever wanted to know about\\
VECTOR SPACES	\\
but were too afraid to ask!}
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\section{Exemples d'espaces vectoriels}
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$\R^n$, $\C^n$, $\K^n$$\K$ est un corps.

L'ensemble des suites à valeurs réelles, à valeurs complexes.

L'ensemble des fonctions définies sur un intervalle $I\subset\R$, à valeurs réelles,
complexes, ou à valeurs dans $\R^n$, dans $\C^n$. Plus généralement, l'ensemble
des fonctions définies sur un ensemble quelconque $X$, à valeurs dans $E$, un
$\K$-espace vectoriel quelconque.

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\section{Applications linéaires}
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Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels sur le même corps commutatif $\K$; une
application $u : E\to F$ est \emph{linéaire} si, et seulement si,
$$
\qqs(\vc x,\vc y)\in E^2,\ \qqs(\lambda,\mu)\in\K^2,\
u(\lambda\vc x+\mu\vc y)=\lambda\,u(\vc x)+\mu\,u(\vc y)
$$

L'ensemble de toutes les applications linéaires de $E$ vers $F$ est un
$\K$-espace vectoriel; il est noté~$\mathcal{L}(E,F)$.

L'\emph{image} de $u$ est $\im(u)=u(E)=\ens{\vc y\in F}{\exists\vc x\in E,\ \vc
y=u(\vc x)}$.

Le \emph{noyau} de $u$ est $\ker(u)=\ens{\vc x\in E}{u(\vc x)=\vc 0}$.

Un \emph{isomorphisme} de $E$ sur $F$ est une application linéaire et bijective.

Un \emph{endomorphisme} de $E$ est une application linéaire de $E$ vers $E$.
L'ensemble des endomorphismes de $E$ muni de l'addition et de la composition des
applications est une $\K$-algèbre; il est noté $\mathcal{L}(E)$.

Un \emph{automorphisme} de $E$ est un endomorphisme  bijectif de $E$.
L'ensemble des automorphismes de $E$ muni de la composition des
applications est un groupe non commutatif; il est noté $\mathcal{GL}(E)$.



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\section{Comment montrer que $F$ est $\K$-espace vectoriel?}
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En montrant l'une des propositions suivantes :
\begin{quote}
\begin{itemize}
	\item $F$ est un $\K$-sous-espace vectoriel d'un $\K$-espace vectoriel connu
$E$, soit
\begin{itemize}
	\item $\vc 0\in F$;
	\item $\qqs(\lambda,\mu)\in\K^2,\ \qqs(\vc x,\vc y),\ \vc x\in F\et\vc y\in
F\implique \lambda\vc x+\mu\vc y\in F$;
\end{itemize}
	\item $F$ est le sous-espace vectoriel engengré par une famille $(\vc
v_1,\dots,\vc v_p)$ de vecteurs, \ie{} $F$ est l'ensemble des combinaisons
linéaires $\sum_{k=1}^p\lambda_k\vc x_k$ avec $(\lambda_1,\dots,\vc\lambda_p)\in\K^p$;
	\item $F$ est le noyau d'une certaine application linéaire;
	\item	$F$ est l'image d'une certaine application linéaire.
\end{itemize}
\end{quote}


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\section{Comment montrer l'égalité de deux sous-espaces vectoriels $F$ et $G$?}
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En utilisant l'une des propositions suivantes :
\begin{quote}
\begin{itemize}
	\item la double inclusion : $F\subset G$ \textbf{et} $G\subset F$;
	\item \textbf{une} inclusion suffit si on possède un reseignement sur la
dimension :
$$
\dim(F)=\dim(G)\et F\subset G\implique  F=G
$$
\end{itemize}
\end{quote}


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\section{Comment montrer que la famille $(\vc v_1,\dots,\vc v_p)$ est une base
de~$E$?}
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En utilisant l'une des propositions suivantes :
\begin{quote}
\begin{itemize}
	\item la définition : la famille $(\vc v_1,\dots,\vc v_p)$ est une famille
\emph{libre} \textbf{et} \emph{génératrice} de $E$;
	\item \textbf{une} seule propriété suffit si on possède un renseignement sur la
dimension :
$$
\left.
\begin{array}{l}
	\dim(E)=p 	\\
	\text{la famille $(\vc v_1,\dots,\vc v_p)$ est libre}
\end{array}
\right\}
\implique\text{la famille $(\vc v_1,\dots,\vc v_p)$ est une base;}
$$
$$
\left.
\begin{array}{l}
	\dim(E)=p 	\\
	\text{la famille $(\vc v_1,\dots,\vc v_p)$ est génératrice}
\end{array}
\right\}
\implique\text{la famille $(\vc v_1,\dots,\vc v_p)$ est une base.}
$$
\end{itemize}
\end{quote}

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\section{Comment calculer la dimension d'un sous-espace vectoriel?}
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En utilisant l'une des propriétés suivantes :
\begin{quote}
\begin{itemize}
	\item la dimension de $E$ est le cardinal, \ie{} le nombre d'éléments, d'une base de $E$;
	\item si $E=F\oplus G$, alors $\dim E=\dim F+\dim G$;
	\item si $E=F\times G$, alors $\dim E=\dim F+\dim G$;
	\item si $E=F+G$, alors $\dim E=\dim F+\dim G-\dim F\inter G$;
	\item si $E$ et $F$ sont isomorphes, alors $\dim E=\dim F$;
	\item si $F$ est l'image ou le noyau d'une application linéaire
$u\in\mathcal{L}(E,G)$, on utilise :
$$
\dim E=\dim(\im u)+\dim(\ker u)
$$
\end{itemize}
\end{quote}


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\section{Comment démontrer que $E=F\oplus G$?}
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En utilisant l'une des propriétés suivantes :
\begin{quote}
\begin{itemize}
	\item la définition :
$$
\qqs\vc x\in E,\ \exists!(\vc y,\vc z)\in F\times G,\ \vc x=\vc y+\vc z
$$
	\item la caractérisation : $E=F+G$ \textbf{et} $F\inter G=\{\vc 0\}$;
	\item \textbf{une} seule propriété suffit si on possède un renseignement sur la
dimension :
$$
\left.
\begin{array}{l}
	\dim(E)=\dim(F)+\dim(G) 	\\
	E=F+G
\end{array}
\right\}
\implique E=F\oplus G\text{;}
$$
$$
\left.
\begin{array}{l}
	\dim(E)=\dim(F)+\dim(G) 	\\
	F\inter G=\{\vc 0\}
\end{array}
\right\}
\implique E=F\oplus G\text{;}
$$
\end{itemize}
\end{quote}


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\section{Comment calculer le rang de la famille $(\vc v_1,\dots,\vc v_p)$?}
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En utilisant l'une des propriétés suivantes :
\begin{quote}
\begin{itemize}
	\item la définition : le rang d'une famille de vecteurs est la dimension de
l'espace vectoriel engendré par cette famille, soit
$$
\rg(\vc v_1,\dots,\vc v_p)=\dim\bigl(\text{Vect}\{\vc v_1,\dots,\vc v_p\}\bigr)
$$
	\item si la famille $(\vc v_1,\dots,\vc v_p)$ est libre, alors $\rg(\vc v_1,\dots,\vc
v_p)=p$; 
	\item si le vecteur $\vc v_p$ est combinaison linéaire des vecteurs $\vc
v_1,\dots,\vc v_{p-1}$, alors
$$
\rg(\vc v_1,\dots,\vc v_p)=\rg(\vc v_1,\dots,\vc v_{p-1})
$$
	\item soit $\mathcal{B}=(\vc e_1,\dots,\vc e_n)$ une base de $E$ et $V_j$ la
matrice colonne des composantes de $\vc v_j$ relativement à $\mathcal{B}$,
$V_j=\mat(\vc v_j)$, alors :
$$
\rg(\vc v_1,\dots,\vc v_p)=\rg(V_1,\dots,V_p)
$$
	\item les manipulations sur les lignes $L_{i_0}\leftarrow
L_{i_0}+\sum_{i>i_0}\lambda_i L_i$ laisse le rang invariant;
	\item les manipulations sur les colonnes $C_{j_0}\leftarrow
C_{j_0}+\sum_{j>j_0}\lambda_j C_j$ laisse le rang invariant;
	\item	le rang est le nombre de pivots non nuls de la matrice obtenue à la fin
de la méthode du pivot de Gauss.
\end{itemize}
\end{quote}

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\section{Comment calculer la matrice d'une application linéaire?}
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	Rappelons la définition de la matrice de l'application linéaire
$u\in\mathcal{L}(E,F)$ relativement aux bases $\mathcal{B}=(\vc e_1,\dots,\vc
e_p)$ de $E$ et $\mathcal{C}=(\vc f_1,\dots,\vc f_n)$ de $F$ : si $A_j$ est la
matrice colonne des composantes du vecteur $u(\vc e_j)$ relativement à la base
$\mathcal{C}$, alors
$$
\Mat{B}{C}(u)=[a_{i,j}]_{\substack{1\leq i\leq n\\1\leq j\leq p}}
=(A_1,\dots,A_n)\in\MnpK
$$

Si $u\in\mathcal{L}(E)$ est un endomorphisme de $E$, on prend
$\mathcal{B}=\mathcal{C}$ et
$$
\mat(u)=[a_{i,j}]_{\substack{1\leq i\leq n\\1\leq j\leq n}}
=(A_1,\dots,A_n)\in\MnK
$$

Comment calculer la matrice d'une application linéaire? En utilisant l'une des
propriétés suivantes :
\begin{quote}
\begin{itemize}
	\item la définition, voir ci-dessus;
	\item	si $u=\lambda v+\mu w$, alors $\mat(u)=\lambda\mat(v)+\mu\mat(v)$;
	\item si $u=v\rond w$, alors $\mat(u)=\mat(v)\times\mat(w)$;
	\item utilisation d'une matrice de changement de bases
$P=\mat(\mathcal{B}')=(F_1,\dots,F_n)$$F_j=\mat(\vc e'_j)$ est la matrice
colonne des composantes du $j$\ieme{} vecteur $\vc e'_j$ de la nouvelle base
$\mathcal{B}'$ de $E$, relativement à la base $\mathcal{B}$ alors :
$$
\mat[B'](u)=A'=P^{-1}AP=\mat[B'](\mathcal{B})\mat(u)\mat(\mathcal{B'})
$$
	\item plus généralement, en posant $P=\mat(\mathcal{B'})$ et
$Q=\mat[C](\mathcal{C'})$, alors :
$$
\Mat{B'}{C'}(u)=A'=Q^{-1}AP=\mat[C'](\mathcal{C})\Mat{B}{C}(u)\mat(\mathcal{B'})
$$
\end{itemize}
\end{quote}