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Fichier TeX
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\chapter{Continuité en dimension finie}
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\minitoc
\newpage



        Dans ce chapitre, $E$ est un espace vectoriel de dimension \emph{finie} muni d'une
norme notée $\norme{\ }$ .





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\section{Topologie d'un espace vectoriel normé de dimension finie}
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%-------------------------------------------------------------------------------
\subsection{Parties ouvertes, parties fermées}
%-------------------------------------------------------------------------------
\begin{Df}[Partie ouverte, partie fermée]\mbox{}\\
%
        Une partie $O$ de $E$ est dite \emph{ouverte} si, et seulement si, $O$ est
la partie vide ou si tout point de $O$ est centre d'une boule ouverte (non
vide) contenue dans $O$.
$$
O\text{ est une partie ouverte }\iff
\qqs \vc x\in O,\ \exists r>0,\ \Bo xr\subset O
$$

        Une partie $F$ de $E$ est dite \emph{fermée} si, et seulement si,
son complémentaire (dans $E$) est une partie ouverte.
\end{Df}

\begin{NB}
        Ces notions sont indépendantes de la norme choisie sur $E$; en effet, si
$\Norme$ est
une autre norme sur $E$, il existe deux nombres strictement positifs $\alpha$ et
$\beta$ tels que $\alpha\Norme\leq\norme{\ }\leq\beta\Norme$, ce qui implique
les inclusions :
$$
\mathcal{B}_{\Norme}(\vc a,\ra r\beta)\subset \Bo ar\subset
\mathcal{B}_{\Norme}(\vc a,\ra r\alpha)
$$
\end{NB}

\begin{Prop}[Exemples de parties ouvertes et de parties fermées]\mbox{}\\
%
$\emptyset$ et $E$ sont des parties à la fois ouvertes et fermées;
toute boule ouverte est une partie ouverte;
toute boule fermée est une partie fermée.
\end{Prop}

\begin{proof}
        Que $\emptyset$ et $E$ soient à la fois des parties ouvertes et
fermées est évident, mais bizarre.
        
        Soit $\vc x\in\Bo ar$; alors $\Bo x{r-\norme{\vc x-\vc a}}\subset \Bo
ar$ (faire un dessin), car
\begin{multline*}
\qqs \vc y\in\Bo x{r-\norme{\vc x-\vc a}}
        \norme{\vc y-\vc x}<r-\norme{\vc x-\vc a} \implique                             \\
\norme{\vc y-\vc a}=\norme{(\vc y-\vc x)+(\vc x-\vc a)}\leq
        \norme{\vc y-\vc x}+\norme{\vc x-\vc a}<r-\norme{\vc x-\vc a}+\norme{\vc x-\vc a}=r
\end{multline*}

        Soit $\vc x\not\in\Bf ar$; alors $\Bo x{\norme{\vc x-\vc a}-r}\subset
\complement \Bf ar$ (faire un dessin),  car
\begin{multline*}
\qqs \vc y\in\Bo x{\norme{\vc x-\vc a}-r}
        \norme{\vc y-\vc x}<\norme{\vc x-\vc a}-r \implique                                     \\
\norme{\vc y-\vc a}=\norme{(\vc y-\vc x)+(\vc x-\vc a})\geq
        \norme{\vc a-\vc x}-\norme{\vc y-\vc a}>
        \norme{\vc a-\vc x}-(\norme{\vc x-\vc a} -r) =r 
\end{multline*}
\end{proof}
%--------------------------------------------------



%-------------------------------------------------------------------------------
\subsection{Réunion et intersection}
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\begin{Prop}[Réunion et intersection de parties ouverts et de
parties fermées]\mbox{}\\
%
        Toute réunion de parties ouvertes est une partie ouverte; toute
intersection d'un nombre \emph{fini} de parties ouvertes est une partie ouverte.

        Toute intersection de parties fermées est une partie fermée; toute
réunion d'un nombre fini de parties fermées est une partie fermée.
\end{Prop}

\begin{proof}\alaligne

        Soient $(O_i)_{i\in I}$ une famille de parties ouvertes et
$x\in\cup_{i\in I}O_i$; il existe un indice $i_0\in I$ tel que $\vc x\in I_{i_0}$
et puisque $O_{i_0}$ est une partie ouverte, il existe $r_0>0$ tel que $\Bo x{r_0}
\subset O_{i_0}\subset\cup_{i\in I}O_i$.

        Soit $(O_i)_{i\in \Intf 1n}$ une famille \emph{finie} de parties ouvertes; alors
$$
\vc x\in\bigcap_{i=1}^n O_i \iff\qqs i\in\Intf 1n,\ \vc x\in O_i
\implique
\qqs i\in\Intf 1n,\ \exists r_i>0,\ \Bo x{r_i}\subset O_i
$$
En posant $r=\min\ens{r_i}{i\in\Intf 1n}$, $r$ est un nombre réel strictement
positif, et on obtient $\Bo xr\subset\Bo x{r_i}
\subset O_i$ pour tout $i$; ainsi $\Bo xr\subset\bigcap_{i=1}^n O_i$.

        La démonstration se fait par passage au complémentaire en utilisant les
relations :
\begin{equation}
        \complement\biggl(\bigcup_{i=1}^n F_i\biggr)=
                        \bigcap_{i=1}^n \complement F_i\qquad
        \complement\biggl(\bigcap_{i\in I} F_i\biggr)=\bigcup_{i\in I}\complement F_i
\end{equation}
\end{proof}
%--------------------------------------------------

%-------------------------------------------------------------------------------
\subsection{Points adhérents, points intérieurs}
%-------------------------------------------------------------------------------
\begin{Df}[Point adhérent]\mbox{}\\
%
  Un élément $\vc a\in E$ est dit \emph{adhérent} à la partie $A$ si,
et seulement si, toute boule ouverte de centre $\vc a$ rencontre $A$.
\end{Df}

\begin{Df}[Point intérieur]\mbox{}\\
%
  Un élément $\vc a\in E$ est dit \emph{intérieur} à la partie $A$
si, et seulement si, il existe une boule ouverte de centre $\vc a$
contenue dans $A$.
\end{Df}

\begin{Df}[Voisinage d'un point]\mbox{}\\
%
        Une partie $A$ de $E$ est appelée \emph{voisinage du point}~$\vc a$
si, et seulement si, $\vc a$ est un~point intérieur à~$A$.
\end{Df}

\begin{Prop}[Exemples de points adhérent et intérieur]{}\hspace*{\fill}
\begin{prop}
        \item Tout point de $A$ est adhérent à $A$; tout point intérieur à $A$
appartient à $A$.
        \item $\vc a$ est adhérent à $A$ si, et seulement si, $\vc a$ n'est
pas intérieur à $\complement A$;
        \item Soit $O$ une partie ouverte; alors $\vc a$ est intérieur à $O$
si, et seulement si, $\vc a$ appartient à $O$, \ie{}~$O$~est une
partie ouverte si, et seulement si, $O$ contient tous ses points
intérieurs.
        \item Soit $F$ une partie fermée; alors $\vc a$ est adhérent à $F$ si, et seulement si, $\vc a$
appartient à $F$, \ie{}~$F$~est une partie fermée si, et seulement si, $F$ contient tous
ses points adhérents.
\end{prop}      
\end{Prop}

\begin{proof}\mbox{}
%
\begin{demprop}
        \monitem Il suffit de remarquer que le centre d'une boule appartient à cette boule.
        
        \monitem        $\vc a$ est adhérent à $A$      ssi $\qqs r>0$, $\Bo ar$ rencontre $A$,
                si, et seulement si, $\qqs r>0$, $\Bo ar$ n'est pas contenue dans le
complémentaire de $A$, si, et seulement si,     $\vc a$ n'est pas intérieur à
$\complement A$. 

        \monitem        $\vc a$ est adhérent à $A$      si, et seulement si, $\qqs r>0$,
$\Bo ar$ rencontre $A$ si, et seulement si, $\qqs r>0$, $\Bo ar$ n'est
pas contenue dans le complémentaire de 
$A$ si, et seulement si, $\vc a$ n'est pas intérieur à $\complement A$.
        \monitem Par passage au complémentaire et contraposée.
        \monitem Simple.
        \monitem Par passage au complémentaire.
\end{demprop}
\end{proof}
%--------------------------------------------------

%-------------------------------------------------------------------------------
\subsection{Caractérisation séquentielle}
%-------------------------------------------------------------------------------
\begin{Th}[Caractérisation séquentielle des points adhérents]\mbox{}
%
        Soit $A$ une partie de $E$; alors $\vc a$ est adhérent à $A$ si, et seulement si, $\vc a$ est
limite d'une suite d'éléments de $A$.
\end{Th}

\begin{proof}\mbox{}\\
%
        \CN $\vc a$ est adhérent à $A$ si, et seulement si, $\qqs r>0$, $\Bo
ar\cap A$ n'est pas vide, donc  $\qqs n\in\N$,
$\exists \vc u_n\in\Bo a{\ra 1{n+1}}\cap
A$       et $(\vc u_n)_n$ est une suite de $A$ telle que $\norme{\vc u_n-\vc
a}<\ra1{n+1}$ donc de limite $\vc a$.\\
%
        \CS Soit $(\vc u_n)_n$ une suite de limite $\vc a$; pour
tout $\eps>0$, il existe un rang à partir duquel $\norme{\vc u_n-\vc a}<\eps$,
\ie{} à partir duquel $\vc u_n\in\Bo a\eps$, ce qui montre que $A\cap\Bo
a\eps\neq\emptyset$ pour tout $\eps>0$.
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{Ex}
        Si $A$ est une partie bornée de $\R$, $\sup A$ et $\inf A$ sont deux points
adhérents à $A$.
\end{Ex}

\begin{Th}[Caractérisation séquentielle des points intérieurs]\mbox{}\\
%
        Soit $A$ une partie de $E$; alors $\vc a$ est un point intérieur à $A$
si, et seulement si, toute suite de $E$ qui converge vers $\vc a$ est
à valeurs dans $A$ à partir d'un certain rang.
\end{Th}

\begin{proof}
        Par passage au complémentaire et contraposée : $\vc a$ est intérieur à
$A$ si, et seulement si, $\vc a$ n'est pas adhérent à $\complement A$ si, et seulement si,      toute suite de
$E$ de limite $\vc a$ est à valeurs dans $A$ à partir d'un certain rang.
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{Th}[Caractérisation séquentielle des parties fermées]\mbox{}\\
%
        Une partie $F$ de $E$ est fermée si, et seulement si, toute
suite convergente à valeurs dans $F$ a sa limite dans $F$.
\end{Th}

\begin{proof}\alaligne\\
%
        \CN Soit $(\vc u_n)_n$ une suite de $F$ de limite $\vc a$;
alors, $\vc a$ est adhérent à $F$ et appartient à $F$ puisque $F$ est fermé.\\
%
        \CS Soit $\vc a$ un point adhérent à $F$; il existe une
suite de $F$ de limite $\vc a$, donc $\vc a\in F$ et $F$ est une partie fermée.
\end{proof}



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\section{Limite d'une application}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

{
\indent
        On considère dans cette section deux espaces vectoriels normés
$(E,\norme{\ })$ et
$(F,\Norme)$. Si $A$ est une partie de $E$, l'ensemble des applications de $A$ 
vers $F$ est noté $\FIE[A,F]$.
}


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\subsection{Limite d'une application en un point}
%-------------------------------------------------------------------------------
\begin{Df}[Limite d'une application en un point]\mbox{}\\
%
        Soient $\vc f\in\FIE[A,F]$ et $\vc a$~un~point adhérent à $A$; on dit que $\vc f$
\emph{admet} $\vc b$, un élément de $F$, \emph{comme limite au point} $\vc a$
si, et seulement si,
\begin{center}
\shadowbox{$\dsp
                \qqs\eps>0,\ \exists\eta>0,\ \qqs x\in A,\ \norme{\vc x-\vc a}<\eta\implique
                \Norme\bigl(\vc f(\vc x)-\vc b\bigr)<\eps
        $}
\end{center}
\end{Df}

\begin{Th}[Unicité de la limite]
        Le vecteur $\vc b$ de la définition précédente est unique; on le note
        $$
        \vc b=\lim_{\vc a}\vc f=\lim_{\vc x\to\vc a}\vc f(\vc x)=
        \lim_{\substack{\vc x\to\vc a   \\      \vc x\in A}}    \vc f(\vc x)
        \text{ ou }\vc f(\vc x)\tend[\vc x\to\vc a]\vc b
        $$
        On dit alors que $\vc f$ \emph{admet une limite au point} $\vc a$.
\end{Th}

\begin{proof}
        On suppose l'existence de deux vecteurs $\vc b_1$ et $\vc b_2$ de $F$
vérifiant la définition; alors
\begin{equation}
        \qqs\eps>0,\ \exists(\eta_1,\eta_2)\in{\R_+^*}^2,\ \qqs x\in A,
        \begin{cases}
\norme{\vc x-\vc a}<\eta_1 &\implique \Norme\bigl(\vc f(\vc x)-\vc b_1\bigr)<\eps \\
\norme{\vc x-\vc a}<\eta_2 &\implique \Norme\bigl(\vc f(\vc x)-\vc b_2\bigr)<\eps 
        \end{cases}
\end{equation}
ainsi, $\norme{\vc x-\vc a}<\min(\eta_1,\eta_2)\implique
\Norme(\vc b_1-\vc b_2)\leq
\Norme\bigl(\vc f(\vc x)-\vc b_1\bigr)+\Norme\bigl(\vc f(\vc x)-\vc b_2\bigr)<
2\eps$ ce qui montre que $\Norme(\vc b_1-\vc b_2)=0$, \ie{} $\vc b_1=\vc b_2$.
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{NBs}
        Si $\vc a\in A$ et si $\vc f$ admet $\vc b$ pour limite en $\vc a$,
alors $\vc b$ vaut nécessairement $\vc f(\vc a)$.

        L'existence d'une limite pour $\vc f$ en $\vc a$ ne dépend pas des normes
choisies sur $E$ et $F$.
\end{NBs}


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\subsection{Limite et coordonnées}
%-------------------------------------------------------------------------------

        Soit $\mathcal{B}=(\vc e_1,\vc e_2,\dots,\vc e_q)$ une base de $F$; pour $\vc{x}\in
A$, on pose
\begin{equation}
        \vc f(\vc x)=\sum_{k=1}^q f_k(\vc x)\,\vc e_k
\end{equation}
À $\vc f\in\FIE[A,F]$, on fait correspondre $p$ fonctions numériques
$f_k\in\mathcal{F}(A,\K)$, ce
sont les fonctions coordonnées de $\vc f$ relatives à la base $\mathcal{B}$.

        Par exemple, si $F=\MnpK$, $\vc f(\vc x)$ est une matrice de taille $n\times
p$ et les $np$ fonctions coordonnées relatives à la base canonique sont
les  coefficients de cette matrice. 

\begin{Th}[Caractérisation de la limite à l'aide des composantes]\mbox{}\\
%
        $\vc f$ admet une limite en $\vc a$ si, et seulement si, pour
tout $k\in\Intf 1q$, $f_k$ admet une limite en $\vc a$, et dans ce cas :
$$
\lim_{\vc a}\vc f=\sum_{k=1}^q(\lim_{\vc a} f_k)\,\vc e_k
$$
\end{Th}

\begin{proof}
        Puisque la notion de limite est indépendante de la norme
choisie, on utilise
sur $F$ une norme adaptée à la base $\mathcal{B}$, par exemple
$\Norme_\infty(\vc y)=\sup\ens{|y_k|}{j\in\Intf 1q}$
où les $y_k$ sont les composantes de $\vc y$ dans la base
$\mathcal{B}$. Si $\vc b= \lim_{\vc a}\vc f=\sum_{k=1}^q b_j\vc e_k$,
on~a :
\begin{equation}
        \Norme_\infty\bigl(\vc f(\vc x)-\vc b\bigr)=
                \sup_k\{|f_k(\vc x)-b_k|\}<\eps\iff\qqs k\in\Intf 1q,\ |f_k(\vc x)-b_k|<\eps
\end{equation}
ce qui donne :

\begin{equation}
        \vc f(\vc x)\tend[\vc a]\vc b
                \iff\qqs k\in\Intf 1q,\ f_k(\vc x)\tend[\vc a]b_k
\end{equation}
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{Cor}[Cas des fonctions complexes]
        Soit $f : A\to\C$; $f$ admet une limite en $\vc a$ si, et seulement
si, $\RE(f)$ et $\IM(f)$ admettent une limite en $\vc a$ et dans ce cas :
$$
\lim_{\vc a} f=\lim_{\vc a}\RE(f)+i\lim_{\vc a}\IM(f)
$$      
\end{Cor}


%--------------------------------------------------
\subsection{Limite et suites}
%--------------------------------------------------
\begin{Th}[Caractérisation séquentielle des limites]\mbox{}\\
%
        Soient $\vc f\in\FIE[A,F]$ et $\vc a$~un~point de $E$ adhérent à $A$;
        \begin{prop}
                \item si $\vc f$ admet une limite en $\vc a$, alors pour toute suite $(\vc
x_n)_n$ de $A$ de limite $\vc a$, la suite $\bigl(\vc f(\vc
x_n)\bigr)_n$ converge vers $\lim_{\vc a}\vc f$;
        \item si l'image par $\vc f$ de toute suite d'éléments de $A$ convergeant vers
$\vc a$ est une suite convergente, alors $\vc f$ admet une limite en $\vc a$,
limite commune de toutes ces suites.
        \end{prop}
\end{Th}

\begin{proof}\mbox{}
%
\begin{demprop}
        \monitem Soient $\vc b=\lim_{\vc a}\vc f$ et $(\vc x_n)_n$ une suite 
de $A$ de limite $\vc a$. Pour tout $\eps>0$, il existe $\eta>0$ tel que
$\norme{\vc x-\vc a}<\eta$ implique $\Norme\bigl(\vc f(\vc x)-\vc b\bigr)<\eps$.
Soit $N\in\N$ le rang à partir duquel $\norme{\vc x_n-\vc a}<\eta$; ainsi
\begin{equation}
        \qqs n\in\N,\ n>N \implique \norme{\vc x_n-\vc a}<\eta \et
        \Norme\bigl(\vc f(\vc x_n)-\vc b\bigr)<\eps
\end{equation}
ce qui montre que
$\lim_n\vc x_n=\vc a\implique
        \lim_n\vc f(\vc x_n)=\vc b=\lim_{\vc a}\vc f$

        \monitem Soient $(\vc x_n)_n$ et $(\vc y_n)_n$ deux suites de $A$ 
de limite $\vc a$, telles que les suites $\bigl(\vc f(\vc x_n)\bigr)_n$ et
$\bigl(\vc f(\vc y_n)\bigr)_n$ soient convergentes; alors la suite $(\vc z_n)_n$
définie par $\vc z_{2p}=\vc x_p$ et $\vc z_{2p+1}=\vc y_p$ converge vers $\vc a$
et donc, par hypothèse, la suite $\bigl(\vc f(\vc z_n)\bigr)_n$ converge et
\begin{equation}
\begin{split}
        \lim_n\vc f(\vc z_n)
                &=\lim_p\vc f(\vc z_{2p})=\lim_p\vc f(\vc x_p)                                                                                                                  \\
                &=\lim_p\vc f(\vc z_{2p+1})=\lim_p\vc f(\vc y_p)
\end{split}
\end{equation}
ce qui montre que les images par $\vc f$ de toutes les suites de limite  $\vc a$
ont une limite commune, limite que l'on note $\vc b$.

        Supposons que $\vc f$ n'admette pas $\vc b$ pour limite en $\vc a$; alors
\begin{gather}
        \exists\eps>0,\ \qqs\eta>0,\ \exists \vc x\in A,\
                \norme{\vc x-\vc a}<\eta \et \Norme\bigl(\vc f(\vc x)-\vc b\bigr)\geq\eps               \\
        \text{donc }\qqs n\in\N,\ \exists \vc x_n\in A,\
                \norme{\vc x_n-\vc a}<\ra1{n+1} \et \Norme\bigl(\vc f(\vc x_n)-\vc b\bigr)\geq\eps
\end{gather}
Ainsi est construite une suite $(\vc x_n)_n$ d'éléments de $A$, de limite $\vc
a$ et dont l'image par $\vc f$ n'admet pas $\vc b$ pour limite, ce qui est
contradictoire. 
\end{demprop}
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{Ex}
        L'application $f : (x_1,x_2)\in\R^2\setminus\{\vc 0\}
\mapsto\dra{x_1x_2}{x_1^2+x_2^2}$  n'a pas de limite en $\vc 0$.
\end{Ex}



%--------------------------------------------------
\subsection{Extension de la notion de limite}
%--------------------------------------------------
\begin{Df}[Limite infinie]
        On dit que la fonction \emph{réelle} $f$ admet $+\infty$ pour limite en $\vc
a$ si, et seulement si,
$$
\qqs M>0,\ \exists\eta>0,\ \qqs x\in A,\ \norme{\vc x-\vc a}<\eta\implique
        f(\vc x)>M
$$
On écrit alors $\dsp\lim_{\vc a}  f=\lim_{\vc x\rightarrow\vc a}f(\vc 
x)=+\infty$
ou $\dsp f(\vc x)\tend[\vc x\rightarrow\vc a]+\infty$.

De même, $f$ admet $-\infty$ pour limite en $\vc a$ si, et seulement si, 
$$
\qqs M<0,\ \exists\eta>0,\ \qqs x\in A,\ \norme{\vc x-\vc a}<\eta\implique
        f(\vc x)<M
$$
\end{Df}

\begin{Df}[Limite à l'infini]
        Soit $\vc f$ une application d'un intervalle non majoré $I\subset\R$ à valeurs
dans $F$; on dit que $\vc f$ admet $\vc b$ pour limite en $+\infty$ si, et seulement si,
$$
\qqs\eps>0,\ \exists M>0,\ \qqs x\in I,\ x>M\implique
        \Norme\bigl(\vc f(x)-\vc b\bigr)<\eps
$$
On écrit alors $\dsp\lim_{+\infty} \vc f =\lim_{x\to +\infty}\vc 
f(x)=\vc b$
ou $\dsp \vc f(x)\tend[x\rightarrow +\infty]\vc b$.

Si $I$ est maintenant un intervalle non minoré, $\vc f$ admet $\vc b$ pour
limite en $-\infty$, si, et seulement si,
$$
\qqs\eps>0,\ \exists M<0,\ \qqs x\in I,\ x<M\implique
        \Norme\bigl(\vc f(x)-\vc b\bigr)<\eps
$$
\end{Df}

\begin{NB}
        Le théorème de caractérisation séquentielle s'étend sans difficulté dans ces
cas. On a par exemple : $f$ admet $+\infty$ pour limite en $\vc a$ si, et
seulement si, l'image par $f$ de toute suite d'éléments de $A$
convergeant vers $\vc a$, a pour limite $+\infty$.

        De même s'étend sans difficulté la caractérisation à l'aide des coordonnées.
\end{NB}


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\subsection{Opérations algébriques}
%--------------------------------------------------

\begin{Prop}[Combinaison linéaire]\mbox{}\\
%
        Soit $\vc a$ un point de $E$ adhérent à $A$; le sous-ensemble
des applications de $A$ à valeurs dans $F$ qui admettent une
limite en $\vc a$ est un $\K$-espace vectoriel et
$\vc f\mapsto\lim_{\vc a}\vc f$ est une application linéaire sur
cet espace.
\end{Prop}

\begin{proof}
        On utilise la caractérisation séquentielle. Soient $(\vc x_n)_n$ une suite de
$A$ de limite $\vc a$, $\vc f$ et $\vc g$ deux applications qui admettent une
limite en $\vc a$, $\lambda$ et $\mu$ deux scalaires; alors
\begin{equation}
        (\lambda\vc f+\mu \vc g)(\vc x_n)=\lambda\vc f(\vc x_n)+\mu\vc g(\vc x_n)\tend
        \lambda\lim_{\vc a}\vc f+\mu\lim_{\vc a}\vc g
\end{equation}
Puisque $(\vc x_n)_n$ est une suite quelconque de limite $\vc a$, $\lambda\vc
f+\mu \vc g$ admet une limite en $\vc a$ et
\begin{equation}
        \lim_{\vc a}(\lambda\vc f+\mu\vc g)=\lambda\lim_{\vc a}\vc f+
                \mu\lim_{\vc a}\vc g
\end{equation}
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{Prop}[Produit]\mbox{}\\
%
        Soient $f$ et $g$ deux fonctions numériques qui admettent une
limite en $\vc a$, point adhérent à $A$; alors le produit $fg$ admet une
limite en $\vc a$ et
$$
\lim_{\vc a}fg=\lim_{\vc a}f\,\lim_{\vc a}g
$$
\end{Prop}

\begin{proof}
        On utilise $(fg)(\vc x_n)=f(\vc x_n)g(\vc x_n)\tend
        \lim_{\vc a}f\,\lim_{\vc a}g$$(\vc x_n)_n$ est une suite
quelconque de $A$ de limite $\vc a$.
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{Prop}[Inverse]\mbox{}\\
%
        Soit $f$ une fonction numérique qui admet une limite \emph{non nulle}
en $\vc a$, alors $\ra1f$ admet une limite en $\vc a$ et
$$
\lim_{\vc a}\ra1f=\ra1{\lim_{\vc a}f}
$$
\end{Prop}

\begin{proof}
        On utilise $(\ra1f)(\vc x_n)=\ra1{f(\vc x_n)}\tend
        \ra1{lim_{\vc a}f}$$(\vc x_n)_n$ est une suite
quelconque de $A$ de limite~$\vc a$.
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{Th}[Composition]\mbox{}\\
%
        Soient $A\subset E$, $B\subset F$, $\vc a$ un point de $E$ adhérent à $A$,
$\vc f$ une application de $A$ vers $B$ et $\vc g$ une application de $B$ vers
$G$.
\begin{prop}
        \item Si $\vc f$ admet $\vc b$ pour limite en $\vc a$, alors $\vc b$ est
adhérent à $B$;
        \item si de plus, $\vc g$ admet $\vc c$ pour limite en $\vc b$, alors
$\vc g\circ\vc f$ admet $\vc c$ pour limite en $\vc a$.
\end{prop}
\end{Th}

\begin{proof}\alaligne
\begin{demprop}
        \monitem Soit $(\vc x_n)_n$ une suite de $A$ de limite $\vc a$; alors $\bigl(\vc
f(\vc x_n)\bigr)_n$ est une suite de $B$ de limite $\vc b$ qui est donc adhérent
à $B$.
        \monitem Soit $(\vc x_n)_n$ une suite quelconque de $A$ de limite $\vc a$; alors
$\bigl(\vc f(\vc x_n)\bigr)_n$ est une suite de $B$ de limite $\vc b$ et donc
$\bigl(\vc g\bigl(\vc f(\vc x_n)\bigr)\bigr)_n$ est une suite  de limite $\vc
c$, ce qui montre que $\vc g\circ\vc f$ admet $\vc c$ comme limite en $\vc a$.
\end{demprop}
\end{proof}
%--------------------------------------------------


%--------------------------------------------------
\subsection{Relations de comparaison}
%--------------------------------------------------
        Soient $A$ une partie de $E$, $\vc a$ un point adhérent à $A$, $\vc f$ une
application de $A$ vers $F$ et $\varphi$ une application de $A$ dans $\K$. Dans
la pratique, $\varphi$ est une application à valeurs réelles positives.

\begin{Df}[Domination]
        On dit que $\vc f$ est \emph{dominée} par $\varphi$ en $\vc a$ si, et seulement si,
$$
\exists r>0,\ \exists M>0,\ \qqs\vc x\in A\setminus\{\vc a\},\
\norme{\vc x-\vc a}<r\implique\Norme\bigl(\vc f(\vc x)\bigr)\leq M|\varphi(\vc x)|
$$
On écrit alors : $\dsp\vc f\buildrel{=}_{\vc a}^{}\OO{\varphi}$
\end{Df}
Si $\varphi$ ne s'annule pas sur $A\setminus\{\vc a\}$, on a
\begin{equation}
        \vc f\buildrel{=}_{\vc a}^{}\OO{\varphi}
                \iff\ra1\varphi\vc f\text{ est bornée au voisinage de $\vc a$}
\end{equation}

\begin{Df}[Négligeabilité]
        On dit que $\vc f$ est \emph{négligeable} devant $\varphi$ en $\vc a$ si, et seulement si,
$$
\qqs\eps>0,\ \exists \eta >0,\ \qqs\vc x\in A\setminus\{\vc a\},\
\norme{\vc x-\vc a}<\eta\implique\Norme\bigl(\vc f(\vc x)\bigr)\leq \eps|\varphi(\vc x)|
$$
On écrit alors : $\dsp\vc f\buildrel{=}_{\vc a}^{}\oo{\varphi}$
\end{Df}
Si $\varphi$ ne s'annule pas sur $A\setminus\{\vc a\}$, on a
\begin{equation}
        \vc f\buildrel{=}_{\vc a}^{}\oo{\varphi}
                \iff\ra1\varphi\vc f\text{ admet $\vc 0$ pour limite en $\vc a$}
\end{equation}

\begin{Ex}
        Soit $f : x\mapsto\exp\bigl(-(x+iy)^2\bigr)$; alors :
$$
\qqs(\alpha,y)\in\R^2,\ f(x)\buildrel{=}_{+\infty}^{}\oo{x^{-\alpha}}
$$
car $|x^\alpha f(x)|=x^\alpha|\exp(-x^2+y^2-2ixy)|=x^\alpha e^{-x^2}e^{y^2}
\tend[x\to+\infty]0$
\end{Ex}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Continuité}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

        On considère deux espaces vectoriels normés $(E,\norme{\ })$ et $(F,\Norme)$,
$A$ une partie de $E$ et $\vc f$ une application de $A$ à valeurs dans $F$.




%-------------------------------------------------------------------------------
\subsection{Généralités}
%-------------------------------------------------------------------------------
\begin{Dfs}[Continuité en un point, sur une partie]\mbox{}\\
%
        Soit $\vc a\in A$; on dit que $\vc f$ est \emph{continue} en $\vc a$
si, et seulement si, $\vc{f}$ admet une limite en $\vc{a}$; dans ce
cas, cette limite est nécessairement $\vc{f}(\vc{a})$.

        Soit $B\subset A$; on dit que $\vc f$ est continue sur $B$ si,
et seulement si, $\vc f$ est continue en tout point de $B$.

        On dit que $\vc f$ est continue (sans autre précision) si $\vc f$ est
continue sur $A$.

        Les applications continues sur $A$ à valeurs dans $F$
sont notées $\CIE[A,F]$ ou encore $\CkIE[A,F]0$.
\end{Dfs}


%-------------------------------------------------------------------------------
\subsection{Caractérisation de la continuité}
%-------------------------------------------------------------------------------

\begin{Th}[Caractérisation de la continuité à l'aide des composantes]\mbox{}\\
%
        Soient $f_1$, $f_2$,\dots, $f_p$ les composantes de $\vc f$ relatives
à une base donnée de $F$; alors
\begin{prop}
        \item $\vc f$ est continue en $\vc a$ si, et seulement si, toutes les applications
$f_j$ sont continues en $\vc a$;
        \item $\vc f$ est continue sur $B\subset A$ si, et seulement si, toutes les
applications $f_j$ sont continues sur $B$.
\end{prop}
\end{Th}

\begin{Th}[Caractérisation de la continuité à l'aide de suites]\mbox{}\\
%
        $\vc f$ est continue en $\vc a$ si, et seulement si, l'image
par $\vc f$ de toute suite d'éléments de $A$ convergeant vers
$\vc a$ est une suite convergente.
\end{Th}

\begin{Ex}
        Une base étant fixée, l'application $j$\up{ème} coordonnée $\vc
x\mapsto x_j$ est continue.
\end{Ex}


%-------------------------------------------------------------------------------
\subsection{Continuité et applications lipschitziennes}
%-------------------------------------------------------------------------------

\begin{Th}[Continuité des applications lipschitziennes]\mbox{}\\
%
        Si $\vc f$ est une application lipschitzienne sur $A$, alors $\vc f$
est continue sur $A$.   La réciproque est fausse.
\end{Th}

\begin{proof}
        Soit $k$ le rapport de Lipschitz de $\vc f$ :
$$
\qqs(\vc x,\vc y)\in A^2,\ \Norme\bigl( \vc f(\vc x)-\vc f(\vc y) \bigr)
\leq k\norme{\vc x-\vc y}
$$
Alors
\begin{multline}
        \qqs \vc a\in A,\ \qqs\eps>0,\ \exists \eta=\ra\eps k>0,                                                        \\
        \qqs\vc x\in A,\ \norme{\vc x-\vc a}\leq\eta\implique
                \Norme\bigl( \vc f(\vc x)-\vc f(\vc a) \bigr)\leq
                k\norme{\vc x-\vc a}\leq k\eta=\eps
\end{multline}

        La fonction $f : x\mapsto\ra1x$ est continue sur $\into 0{+\infty}$
mais n'est pas lipschitzienne car
$$
\sup_{x\neq y}|\ra{f(x)-f(y)}{x-y}|=\sup_{x\neq y}\ra1{xy}=+\infty
$$
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{NB}
        Le lecteur attentif remarquera que dans le cas d'une application
lipschitzienne le nombre $\eta=\ra\eps k$ est indépendant du point $\vc
a\in A$ considéré; ce nombre ne dépend que de $\eps$, et aussi de $k$,
donc de $\vc f$.
\end{NB}



%-------------------------------------------------------------------------------
\subsection{Opérations algébriques}
%-------------------------------------------------------------------------------

\begin{Prop}[Restriction]
        Si $\vc f$ est continue (sur $A$) et $B\subset A$, alors $\vc f$ est
continue sur~$B$.
\end{Prop}


\begin{Prop}[Prolongement]
        Soit $\vc a\in E\setminus A$ adhérent à $A$; $\vc f$ admet un
prolongement $\tilde{\vc{f}}$ continu à $A\cup\{\vc a\}$ si, et
seulement si, $\vc f$ admet
une limite en $\vc a$. Si c'est le cas, le prolongement est unique et
$\tilde{\vc{f}}(\vc a)=\lim_{\vc a}\vc f$.
\end{Prop}


\begin{Prop}[Combinaison linéaire]
        Soient $\vc f$ et $\vc g$ sont deux applications continues en $\vc a$ et
$\lambda$ et $\mu$ deux scalaires; alors l'application $\lambda\vc f+\mu\vc g$
est continue en $\vc a$.

        L'ensemble $\CIE[A,F]$ des applications continues de $A$ vers $F$ est un
$\K$-espace vectoriel.
\end{Prop}


\begin{Prop}[Produit]
        Soient $f$ et $g$ deux applications numériques (\ie{} à valeurs
dans $\K$) et continues en $\vc a$; alors le produit $f\,g$ est
continue en $\vc a$.

        L'ensemble $\CIE[A]$ des applications numériques continues sur $A$ est une
$\K$-algèbre.
\end{Prop}


\begin{Prop}[Inverse]
        Soit $f$ une application numérique continue en $\vc a$ telle
que $f(\vc a)\neq 0$; alors la fonction $1/f$ est définie
sur un voisinage de $\vc a$ et est continue en $\vc a$.
\end{Prop}

\begin{Prop}[Composition]
        Soient $\vc f\in\CIE[A,F]$ et $\vc g\in\mathcal{C}(B,G)$ telles que $\vc f$
soit à valeurs dans $B$; alors $\vc g\circ\vc f$ est continue sur $A$.
\end{Prop}

\begin{Th}[Continuité des applications polynomiales]\mbox{}\\
%
        Notons $(x_1,x_2,\dots,x_p)$ les coordonnées de $\vc x$ dans une base
donnée de $E$; alors toute application polynomiale en les coordonnées
$x_j$ est continue.
\end{Th}

\begin{proof}
        Les applications coordonnées sont continues; les monômes sont
continues (produit de fonctions continues); les applications
polynomiales sont continues (combinaison linéaire d'applications continues).
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{Exs}\alaligne

        $M\mapsto\det M$ est continue sur $\MnK$ car fonction polynomiale des
coefficients $m_{ij}$ de $M$.

        $M\mapsto\com(M)$ (matrice des cofacteurs) est continue sur $\MnK$ car
ses composantes, \ie{} les coefficients de $\com(M)$, sont polynomiales
en les coefficients $m_{ij}$ de $M$.

        De même $M\mapsto\trans MM$ est continue sur $\MnK$.
\end{Exs}


%-------------------------------------------------------------------------------
\subsection{Image réciproque de parties ouverte et fermée}
%-------------------------------------------------------------------------------
\begin{Df}[Image réciproque d'une partie]\mbox{}\\
%
        Soit $\vc f\in\FIE[A,F]$; pour toute partie $B\subset F$, on appelle
\emph{image réciproque} de $B$ par $\vc f$ le sous-ensemble de $A$ noté
$\vc f^{<-1>}(B)$ et défini par :
\begin{center}
\shadowbox{$\dsp
                        \vc f^{<-1>}(B)=\ens{\vc x\in A}{\vc f(\vc x)\in B}
                        $}
\end{center}
Attention à ne pas confondre l'image réciproque avec l'application
réciproque qui est notée $\vc f^{-1}$.
\end{Df}

\begin{Prop}[Règles de calcul]
        On a les égalités suivantes :
\begin{gather*}
        \complement\bigl(\vc f^{<-1>}(B)\bigr)=\vc f^{<-1>}(\complement B)              \\
        \vc f^{<-1>}\bigl(\bigcup_{i\in I} B_i\bigr)=
                \bigcup_{i\in I}\vc f^{<-1>}(B_i)                                                                                                                                               \\
        \vc f^{<-1>}\bigl(\bigcap_{i\in I} B_i\bigr)=
                \bigcap_{i\in I}\vc f^{<-1>}(B_i)
\end{gather*}
\end{Prop}

\begin{proof}\alaligne

\begin{demprop}
        \monitem $\vc x\in\complement\bigl(\vc f^{<-1>}(B)\bigr)\iff
                \vc x\not\in \vc f^{<-1>}(B) \iff \vc f(\vc x)\not\in B \iff
                \vc f(\vc x)\in\complement B \iff
                \vc x\in\vc f^{<-1>}(\complement B)$

        \monitem $\vc x\in\vc f^{<-1>}\bigl(\bigcup_{i\in I} B_i\bigr) \iff
                \vc f(\vc x)\in \bigcup_{i\in I} B_i \iff
                \exists i_0\in I,\ \vc f(\vc x)\in B_{i_0} \iff
                \exists i_0\in I,\ \vc x\in \vc f^{<-1>}\bigl(B_{i_0}\bigr) \iff
                \vc x\in\bigcup_{i\in I}\vc f^{<-1>}(B_i)$

        \monitem $\vc x\in\vc f^{<-1>}\bigl(\bigcap_{i\in I} B_i\bigr) \iff
                \vc f(\vc x)\in \bigcap_{i\in I} B_i \iff
                \qqs i\in I,\ \vc f(\vc x)\in B_i \iff
                \qqs i\in I,\ \vc x\in\vc f^{<-1>}( B_i) \iff
                \vc x\in\bigcap_{i\in I}\vc f^{<-1>}(B_i)$
\end{demprop}
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{Th}[Image réciproque d'ouverts et de fermés]\mbox{}\\
%
        Soit $\vc f$ une fonction \emph{continue} de $E$ vers $F$; alors
\begin{prop}
        \item l'image réciproque de toute partie fermée de $F$ est une
partie fermée de $E$;
        \item l'image réciproque de toute partie ouverte de $F$ est une
partie ouverte de $E$.
\end{prop}
\end{Th}

\begin{proof}\alaligne
\begin{demprop}
        \monitem Utilisation de la caractérisation séquentielle des fermés. Soient
$B$ une partie fermée de $F$ et $(\vc u_n)_n$ une suite de $\vc
f^{<-1>}(B)$ de limite $\vc a$; il s'agit de montrer que $\vc a\in\vc
f^{<-1>}(B)$. Puisque $\vc f$ est continue, la suite $\bigl(\vc f(\vc
u_n)\bigr)_n$ de $B$ admet $\vc f(\vc a)$ pour limite et comme $B$ est
une partie fermée, $\vc f(\vc a)\in B$.

        \monitem Soit $O$ une partie ouverte de $F$; $B=\complement O$ est une
partie fermée de $F$ et $\vc f^{<-1>}(B)=\complement\vc f^{<-1>}(O)$,
complémentaire d'une partie ouverte, est une partie fermée.
\end{demprop}
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{Cor}[Cas des fonctions réelles]
        Soient $f\in\CIE[E,\R]$ et $\alpha\in\R$; alors :
        \begin{prop}
                \item les parties $\ens{\vc x\in E}{f(\vc x)=\alpha}$,
                        $\ens{\vc x\in E}{f(\vc x)\leq\alpha}$,
                        $\ens{\vc x\in E}{f(\vc x)\geq\alpha}$ sont des parties fermées de $E$;
                \item les parties $\ens{\vc x\in E}{f(\vc x)<\alpha}$,
                        $\ens{\vc x\in E}{f(\vc x)>\alpha}$ sont des parties ouvertes de $E$.
        \end{prop}
\end{Cor}

\begin{proof}{}\hspace*{\fill}
\begin{demprop}
        \monitem $\{\alpha\}$, $\intfo\alpha{+\infty}$ et $\intof{-\infty}\alpha$
sont des parties fermées de $\R$.
        \monitem $\into\alpha{+\infty}$ et $\into{-\infty}\alpha$
sont des parties ouvertes de $\R$.
\end{demprop}
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{Exs}
        Ce corollaire est l'arme (presque) absolue pour démontrer que des
parties sont ouvertes ou sont fermées.

        $F : (x,y)\mapsto \dra{x^2}{a^2}+\dra{y^2}{b^2}$ est continue sur $\R^2$
car polynomiale en $x$ et $y$; on en tire donc que :
\begin{itemize}
        \item l'ellipse $(\mathcal{E})=\ens{(x,y)\in\R^2}{F(x,y)=1}$ est une  
                partie fermée de~$\R^2$;
        \item l'intérieur de $(\mathcal{E})$, $\ens{(x,y)\in\R^2}{F(x,y)<1}$,
                est une partie ouverte de~$\R^2$;
        \item l'extérieur de $(\mathcal{E})$, $\ens{(x,y)\in\R^2}{F(x,y)>1}$,
                est une partie ouverte de~$\R^2$.                                                                                                                       
\end{itemize}

        $\GLnK$ est une partie ouverte de $\MnK$ car image réciproque de la
partie ouverte $\K\setminus\{0\}$ par l'application continue déterminant.

        $O(n)$ est une partie fermée de $\MnK$ car image réciproque du fermé
$\{I_n\}$ par l'application continue $M\mapsto\trans M M$.
\end{Exs}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Compacité}
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%-------------------------------------------------------------------------------
\subsection{Généralités}
%-------------------------------------------------------------------------------

\begin{Df}[Partie compacte]
        Une partie $A$ de $E$ est dite \emph{compacte} si, et seulement si, $A$ est une partie
fermée et bornée.
\end{Df}

\begin{NBs}
        Cette définition n'est valable que pour les $\K$-espaces vectoriels de
dimension \emph{finie}.

        La notion de compacité est indépendante de la norme choisie.    
\end{NBs}

\begin{Exs}\alaligne 

        Les boules fermées sont des parties compactes; les segments de
$\R$ sont des parties compactes.

        La sphère unité $\ens{\vc x\in E}{\norme{\vc x}=1}$ est une
partie fermée, image réciproque du fermé $\{1\}$ par l'application
continue $\norme{\ }$, et bornée; c'est donc une partie compacte.

        Les ellipses sont des parties compactes de $\R^2$; les
hyperboles et les paraboles n'en sont pas (parties non bornées).

        $O(n)$ est une partie fermée de $\Mn{\R}$ et bornée car $P=(p_{ij})\in
O(n)$ 
vérifie $\sum_i{p_{ij}}^2 = 1$ pour tout $j$; $O(n)$ est donc une partie
compacte.

        $SO(n)$ est une partie fermée, intersection de deux parties
fermées $O(n)$ et $\ens{M\in\Mn{\R}}{\det M=1}$, et bornée, donc compacte.
\end{Exs}

%-------------------------------------------------------------------------------
\subsection{Compacité et application continue}
%-------------------------------------------------------------------------------

\begin{Th}[Image continue d'un compact]\mbox{}\\
%
        L'image (directe) d'une partie compacte par une application continue
est une partie compacte.
\end{Th}

\begin{proof}
        La démonstration est admise.
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{Th}[Existence d'extrema]
        Toute application à valeurs réelles et continue sur une partie compacte
est bornée et atteint ses bornes.
\end{Th}

\begin{proof}
        Soient $A$ une partie compacte de $E$ et $\vc f\in\CIE[A,\R]$. $\vc
f(A)$ est une partie compacte de $\R$, donc $\sup\vc f(A)$ existe ($\vc
f(A)$ est bornée), est adhérent à $\vc f(A)$, donc appartient à $\vc
f(A)$ ($\vc f(A)$ est une partie fermée). Ainsi, il existe $\vc a\in A$
tel que $\sup\vc f(A)=\vc f(\vc a)$

        La démonstration est identique pour la borne inférieure.
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{Ex}
        Existe-t-il un triangle dont les sommets sont placés sur une ellipse
donnée et dont le périmètre est maximum ?

        L'ellipse se paramètre par $t\in\intf0{2\pi}\mapsto(a\cos t,b\sin t) = M(t)$
et le périmètre $p$ d'un triangle dont les sommets $M_1$, $M_2$ et
$M_3$ sont placés sur l'ellipse, est l'application définie par :
\begin{multline}
p(t_1,t_2,t_3)=\norme{M_1M_2}+\norme{M_2M_3}+\norme{M_3M_1}     \\
=\sum_{i=1}^3 \sqrt{a^2(\cos t_{i+1}-\cos t_i)^2 + 
        b^2(\sin t_{i+1}-\sin t_i)^2}
\end{multline}
où on a posé $t_4=t_1$. $p$ est une application continue sur le compact
${\intf0{2\pi}}^3$; elle atteint son maximum et la réponse à la question
posée est : oui! Quant à la détermination effective du ou des triangles
de périmètre maximum, c'est une autre question!
\end{Ex}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Continuité des applications linéaires et bilinéaires}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{Th}[Continuité des applications linéaires]\mbox{}\\
%
        Soient $(E,\norme{\ })$ et $(F,\Norme)$ deux $\K$-espaces vectoriels de
dimension finie; alors toute application linéaire $\vc u\in\Lin EF$ est continue.

        De plus, il existe $k>0$ tel que
$\qqs\vc x\in E,\ \Norme\bigl( \vc u(\vc x)\bigr)\leq k\norme{\vc x}$
et $\vc u$ est $k$-lipschitzienne.
\end{Th}

\begin{proof}
        Les composantes de $\vc u$ relatives à une base de $F$ sont des
polynômes du premier degré en les composantes de $\vc x$ relatives à une
base de $E$ :
\begin{equation}
        \qqs\vc x\in E,\ \vc u(\vc x)=\sum_{j=1}^p x_j\vc u(\vc e_j)
\end{equation}
ce qui assure la continuité de $\vc u$.

        La sphère unité $S=\ens{\vc x\in E}{\norme{\vc x}=1}$ de $E$ étant une
partie compacte, on pose
$$
k=\sup\ens{\Norme\bigl(\vc u(\vc x)\bigr)}{\vc x\in S}
$$
et pour tout $\vc x$ non nul
\begin{equation}
        \Norme\bigl(\vc u(\vc x)\bigr)=
        \norme{\vc x}\Norme\bigl(\vc u(\ra1{\norme{\vc x}}\vc x)\bigr)
        \leq\norme{\vc x}k
\end{equation}
et vu la linéarité de $\vc u$, on a
\begin{equation}
        \qqs(\vc x,\vc y)\in E^2,\ \Norme\bigl(\vc u(\vc x)-\vc u(\vc y)\bigr)=
        \Norme\bigl(\vc u(\vc x - \vc y)\bigr)\leq k\norme{\vc x-\vc y}
\end{equation}
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{NBs}
        L'hypothèse de dimension finie pour $F$ n'a pas été utilisée.

        L'hypothèse de dimension finie pour $E$ est indispensable. Soient
$E=\Ckab[01]{\infty}$ muni de la norme de la convergence uniforme
et $D$ la dérivation. $D$ est un endomorphisme de $E$ non continue.
Posons $f_n : x\mapsto\ra1n\sin(nx)$; on obtient ${\norme{f_n}}_\infty\leq\ra1n$ et
${\norme{D\,f_n}}_\infty=\sup_{x\in\intf01}|\cos(nx)|=1$, ce qui montre
que la suite $(f_n)_n$ tend vers la fonction nulle, tandis que la suite
$(D\,f_n)_n$ n'admet pas la fonction nulle pour limite.
\end{NBs}


\begin{Th}[Continuité des applications bilinéaires]\mbox{}\\
%
        Soient $(E,\norme{\ }_E)$, $(F,\norme{\ }_F)$ et $(G,\Norme)$
trois  $\K$-espaces vectoriels de
dimension finie;  alors toute application bilinéaire $\vc B$ de $E\times
F$ dans $G$ est continue.

        De plus, il existe $k>0$ tel que
$\qqs(\vc x,\vc y)\in E\times F,\ \Norme\bigl( \vc B(\vc x,\vc y)\bigr)
\leq k\norme{\vc x}_E\norme{\vc y}_F$
\end{Th}

\begin{proof}
        Soient $(\vc e_j)_{1\leq j\leq p}$ et $(\vc f_k)_{1\leq k\leq q}$ des
bases respectives de $E$ et $F$. Pour tout $\vc x\in E$ et tout $\vc y\in
F$  on a :
\begin{equation}
        \vc B(\vc x,\vc y)
        =\vc B(\sum_{j=1}^p x_j\vc e_j,\sum_{k=1}^q y_k\vc f_k) 
        = \sum_{\substack{1\leq j\leq p \\ 1\leq k\leq q}}
                                        x_j y_k \vc B(\vc e_j,\vc f_k)
\end{equation}
ce qui assure la continuité de $\vc B$ car ses composantes sont
polynomiales (de degré deux) en les composantes de $\vc x$ et de $\vc
y$.

        $E\times F$ est normé par
$\norme{\cdot}=\sup\{\norme{\cdot}_E,\norme{\cdot}_F\}$ et la partie
$$
S=\ens{(\vc x,\vc y)\in E\times F}{\norme{\vc x}_E=\norme{\vc y}_F=1}
$$
est une partie compacte de $E\times F$.
On pose $k=\sup_{(\vc x,\vc y)\in S}\{\Norme\bigl(\vc
B(\vc x,\vc y)\bigr)\}$ et pour tout $\vc x$ et tout $\vc y$ non nuls
\begin{equation}
        \Norme\bigl(\vc B(\vc x,\vc y)\bigr)=
        \norme{\vc x}_E\norme{\vc y}_F\Norme\biggl(
                \vc B\Bigl(\ra1{\norme{\vc x}_E}\vc x,\ra1{\norme{\vc y}_F}\vc y\Bigr)\biggr)
        \leq\norme{\vc x}_E\norme{\vc y}_Fk
\end{equation}
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{Exs}
        $(\lambda,\vc x)\mapsto\lambda\vc x$ est bilinéaire de $\K\times E$
dans $E$, donc continue et
\begin{equation*}
        \lambda_n\tend\lambda\et\vc x_n\tend\vc x\implique
        \lambda_n\vc x_n\tend\lambda\vc x
\end{equation*}

        $(\vc u,\vc v)\mapsto \vc u\circ \vc v$ est bilinéaire de $\lin E\times\lin E$ dans
$\lin E$, donc continue et
\begin{equation*}
        \vc u_n\tend\vc u\et\vc v_n\tend\vc v\implique
        \vc u_n\circ\vc v_n\tend\vc u\circ\vc v
\end{equation*}

        On a la même propriété pour le produit matriciel $(A,B)\mapsto AB$
\begin{equation*}
        A_n\tend A\et B_n\tend B\implique A_nB_n\tend AB
\end{equation*}
\end{Exs}