%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \chapter{Continuité en dimension finie} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \minitoc \newpage Dans ce chapitre, $E$ est un espace vectoriel de dimension \emph{finie} muni d'une norme notée $\norme{\ }$ . %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Topologie d'un espace vectoriel normé de dimension finie} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %------------------------------------------------------------------------------- \subsection{Parties ouvertes, parties fermées} %------------------------------------------------------------------------------- \begin{Df}[Partie ouverte, partie fermée]\mbox{}\\ % Une partie $O$ de $E$ est dite \emph{ouverte} si, et seulement si, $O$ est la partie vide ou si tout point de $O$ est centre d'une boule ouverte (non vide) contenue dans $O$. $$ O\text{ est une partie ouverte }\iff \qqs \vc x\in O,\ \exists r>0,\ \Bo xr\subset O $$ Une partie $F$ de $E$ est dite \emph{fermée} si, et seulement si, son complémentaire (dans $E$) est une partie ouverte. \end{Df} \begin{NB} Ces notions sont indépendantes de la norme choisie sur $E$; en effet, si $\Norme$ est une autre norme sur $E$, il existe deux nombres strictement positifs $\alpha$ et $\beta$ tels que $\alpha\Norme\leq\norme{\ }\leq\beta\Norme$, ce qui implique les inclusions : $$ \mathcal{B}_{\Norme}(\vc a,\ra r\beta)\subset \Bo ar\subset \mathcal{B}_{\Norme}(\vc a,\ra r\alpha) $$ \end{NB} \begin{Prop}[Exemples de parties ouvertes et de parties fermées]\mbox{}\\ % $\emptyset$ et $E$ sont des parties à la fois ouvertes et fermées; toute boule ouverte est une partie ouverte; toute boule fermée est une partie fermée. \end{Prop} \begin{proof} Que $\emptyset$ et $E$ soient à la fois des parties ouvertes et fermées est évident, mais bizarre. Soit $\vc x\in\Bo ar$; alors $\Bo x{r-\norme{\vc x-\vc a}}\subset \Bo ar$ (faire un dessin), car \begin{multline*} \qqs \vc y\in\Bo x{r-\norme{\vc x-\vc a}} \norme{\vc y-\vc x}<r-\norme{\vc x-\vc a} \implique \\ \norme{\vc y-\vc a}=\norme{(\vc y-\vc x)+(\vc x-\vc a)}\leq \norme{\vc y-\vc x}+\norme{\vc x-\vc a}<r-\norme{\vc x-\vc a}+\norme{\vc x-\vc a}=r \end{multline*} Soit $\vc x\not\in\Bf ar$; alors $\Bo x{\norme{\vc x-\vc a}-r}\subset \complement \Bf ar$ (faire un dessin), car \begin{multline*} \qqs \vc y\in\Bo x{\norme{\vc x-\vc a}-r} \norme{\vc y-\vc x}<\norme{\vc x-\vc a}-r \implique \\ \norme{\vc y-\vc a}=\norme{(\vc y-\vc x)+(\vc x-\vc a})\geq \norme{\vc a-\vc x}-\norme{\vc y-\vc a}> \norme{\vc a-\vc x}-(\norme{\vc x-\vc a} -r) =r \end{multline*} \end{proof} %-------------------------------------------------- %------------------------------------------------------------------------------- \subsection{Réunion et intersection} %------------------------------------------------------------------------------- \begin{Prop}[Réunion et intersection de parties ouverts et de parties fermées]\mbox{}\\ % Toute réunion de parties ouvertes est une partie ouverte; toute intersection d'un nombre \emph{fini} de parties ouvertes est une partie ouverte. Toute intersection de parties fermées est une partie fermée; toute réunion d'un nombre fini de parties fermées est une partie fermée. \end{Prop} \begin{proof}\alaligne Soient $(O_i)_{i\in I}$ une famille de parties ouvertes et $x\in\cup_{i\in I}O_i$; il existe un indice $i_0\in I$ tel que $\vc x\in I_{i_0}$ et puisque $O_{i_0}$ est une partie ouverte, il existe $r_0>0$ tel que $\Bo x{r_0} \subset O_{i_0}\subset\cup_{i\in I}O_i$. Soit $(O_i)_{i\in \Intf 1n}$ une famille \emph{finie} de parties ouvertes; alors $$ \vc x\in\bigcap_{i=1}^n O_i \iff\qqs i\in\Intf 1n,\ \vc x\in O_i \implique \qqs i\in\Intf 1n,\ \exists r_i>0,\ \Bo x{r_i}\subset O_i $$ En posant $r=\min\ens{r_i}{i\in\Intf 1n}$, $r$ est un nombre réel strictement positif, et on obtient $\Bo xr\subset\Bo x{r_i} \subset O_i$ pour tout $i$; ainsi $\Bo xr\subset\bigcap_{i=1}^n O_i$. La démonstration se fait par passage au complémentaire en utilisant les relations : \begin{equation} \complement\biggl(\bigcup_{i=1}^n F_i\biggr)= \bigcap_{i=1}^n \complement F_i\qquad \complement\biggl(\bigcap_{i\in I} F_i\biggr)=\bigcup_{i\in I}\complement F_i \end{equation} \end{proof} %-------------------------------------------------- %------------------------------------------------------------------------------- \subsection{Points adhérents, points intérieurs} %------------------------------------------------------------------------------- \begin{Df}[Point adhérent]\mbox{}\\ % Un élément $\vc a\in E$ est dit \emph{adhérent} à la partie $A$ si, et seulement si, toute boule ouverte de centre $\vc a$ rencontre $A$. \end{Df} \begin{Df}[Point intérieur]\mbox{}\\ % Un élément $\vc a\in E$ est dit \emph{intérieur} à la partie $A$ si, et seulement si, il existe une boule ouverte de centre $\vc a$ contenue dans $A$. \end{Df} \begin{Df}[Voisinage d'un point]\mbox{}\\ % Une partie $A$ de $E$ est appelée \emph{voisinage du point}~$\vc a$ si, et seulement si, $\vc a$ est un~point intérieur à~$A$. \end{Df} \begin{Prop}[Exemples de points adhérent et intérieur]{}\hspace*{\fill} \begin{prop} \item Tout point de $A$ est adhérent à $A$; tout point intérieur à $A$ appartient à $A$. \item $\vc a$ est adhérent à $A$ si, et seulement si, $\vc a$ n'est pas intérieur à $\complement A$; \item Soit $O$ une partie ouverte; alors $\vc a$ est intérieur à $O$ si, et seulement si, $\vc a$ appartient à $O$, \ie{}~$O$~est une partie ouverte si, et seulement si, $O$ contient tous ses points intérieurs. \item Soit $F$ une partie fermée; alors $\vc a$ est adhérent à $F$ si, et seulement si, $\vc a$ appartient à $F$, \ie{}~$F$~est une partie fermée si, et seulement si, $F$ contient tous ses points adhérents. \end{prop} \end{Prop} \begin{proof}\mbox{} % \begin{demprop} \monitem Il suffit de remarquer que le centre d'une boule appartient à cette boule. \monitem $\vc a$ est adhérent à $A$ ssi $\qqs r>0$, $\Bo ar$ rencontre $A$, si, et seulement si, $\qqs r>0$, $\Bo ar$ n'est pas contenue dans le complémentaire de $A$, si, et seulement si, $\vc a$ n'est pas intérieur à $\complement A$. \monitem $\vc a$ est adhérent à $A$ si, et seulement si, $\qqs r>0$, $\Bo ar$ rencontre $A$ si, et seulement si, $\qqs r>0$, $\Bo ar$ n'est pas contenue dans le complémentaire de $A$ si, et seulement si, $\vc a$ n'est pas intérieur à $\complement A$. \monitem Par passage au complémentaire et contraposée. \monitem Simple. \monitem Par passage au complémentaire. \end{demprop} \end{proof} %-------------------------------------------------- %------------------------------------------------------------------------------- \subsection{Caractérisation séquentielle} %------------------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[Caractérisation séquentielle des points adhérents]\mbox{} % Soit $A$ une partie de $E$; alors $\vc a$ est adhérent à $A$ si, et seulement si, $\vc a$ est limite d'une suite d'éléments de $A$. \end{Th} \begin{proof}\mbox{}\\ % \CN $\vc a$ est adhérent à $A$ si, et seulement si, $\qqs r>0$, $\Bo ar\cap A$ n'est pas vide, donc $\qqs n\in\N$, $\exists \vc u_n\in\Bo a{\ra 1{n+1}}\cap A$ et $(\vc u_n)_n$ est une suite de $A$ telle que $\norme{\vc u_n-\vc a}<\ra1{n+1}$ donc de limite $\vc a$.\\ % \CS Soit $(\vc u_n)_n$ une suite de limite $\vc a$; pour tout $\eps>0$, il existe un rang à partir duquel $\norme{\vc u_n-\vc a}<\eps$, \ie{} à partir duquel $\vc u_n\in\Bo a\eps$, ce qui montre que $A\cap\Bo a\eps\neq\emptyset$ pour tout $\eps>0$. \end{proof} %-------------------------------------------------- \begin{Ex} Si $A$ est une partie bornée de $\R$, $\sup A$ et $\inf A$ sont deux points adhérents à $A$. \end{Ex} \begin{Th}[Caractérisation séquentielle des points intérieurs]\mbox{}\\ % Soit $A$ une partie de $E$; alors $\vc a$ est un point intérieur à $A$ si, et seulement si, toute suite de $E$ qui converge vers $\vc a$ est à valeurs dans $A$ à partir d'un certain rang. \end{Th} \begin{proof} Par passage au complémentaire et contraposée : $\vc a$ est intérieur à $A$ si, et seulement si, $\vc a$ n'est pas adhérent à $\complement A$ si, et seulement si, toute suite de $E$ de limite $\vc a$ est à valeurs dans $A$ à partir d'un certain rang. \end{proof} %-------------------------------------------------- \begin{Th}[Caractérisation séquentielle des parties fermées]\mbox{}\\ % Une partie $F$ de $E$ est fermée si, et seulement si, toute suite convergente à valeurs dans $F$ a sa limite dans $F$. \end{Th} \begin{proof}\alaligne\\ % \CN Soit $(\vc u_n)_n$ une suite de $F$ de limite $\vc a$; alors, $\vc a$ est adhérent à $F$ et appartient à $F$ puisque $F$ est fermé.\\ % \CS Soit $\vc a$ un point adhérent à $F$; il existe une suite de $F$ de limite $\vc a$, donc $\vc a\in F$ et $F$ est une partie fermée. \end{proof} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Limite d'une application} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% { \indent On considère dans cette section deux espaces vectoriels normés $(E,\norme{\ })$ et $(F,\Norme)$. Si $A$ est une partie de $E$, l'ensemble des applications de $A$ vers $F$ est noté $\FIE[A,F]$. } %------------------------------------------------------------------------------- \subsection{Limite d'une application en un point} %------------------------------------------------------------------------------- \begin{Df}[Limite d'une application en un point]\mbox{}\\ % Soient $\vc f\in\FIE[A,F]$ et $\vc a$~un~point adhérent à $A$; on dit que $\vc f$ \emph{admet} $\vc b$, un élément de $F$, \emph{comme limite au point} $\vc a$ si, et seulement si, \begin{center} \shadowbox{$\dsp \qqs\eps>0,\ \exists\eta>0,\ \qqs x\in A,\ \norme{\vc x-\vc a}<\eta\implique \Norme\bigl(\vc f(\vc x)-\vc b\bigr)<\eps $} \end{center} \end{Df} \begin{Th}[Unicité de la limite] Le vecteur $\vc b$ de la définition précédente est unique; on le note $$ \vc b=\lim_{\vc a}\vc f=\lim_{\vc x\to\vc a}\vc f(\vc x)= \lim_{\substack{\vc x\to\vc a \\ \vc x\in A}} \vc f(\vc x) \text{ ou }\vc f(\vc x)\tend[\vc x\to\vc a]\vc b $$ On dit alors que $\vc f$ \emph{admet une limite au point} $\vc a$. \end{Th} \begin{proof} On suppose l'existence de deux vecteurs $\vc b_1$ et $\vc b_2$ de $F$ vérifiant la définition; alors \begin{equation} \qqs\eps>0,\ \exists(\eta_1,\eta_2)\in{\R_+^*}^2,\ \qqs x\in A, \begin{cases} \norme{\vc x-\vc a}<\eta_1 &\implique \Norme\bigl(\vc f(\vc x)-\vc b_1\bigr)<\eps \\ \norme{\vc x-\vc a}<\eta_2 &\implique \Norme\bigl(\vc f(\vc x)-\vc b_2\bigr)<\eps \end{cases} \end{equation} ainsi, $\norme{\vc x-\vc a}<\min(\eta_1,\eta_2)\implique \Norme(\vc b_1-\vc b_2)\leq \Norme\bigl(\vc f(\vc x)-\vc b_1\bigr)+\Norme\bigl(\vc f(\vc x)-\vc b_2\bigr)< 2\eps$ ce qui montre que $\Norme(\vc b_1-\vc b_2)=0$, \ie{} $\vc b_1=\vc b_2$. \end{proof} %-------------------------------------------------- \begin{NBs} Si $\vc a\in A$ et si $\vc f$ admet $\vc b$ pour limite en $\vc a$, alors $\vc b$ vaut nécessairement $\vc f(\vc a)$. L'existence d'une limite pour $\vc f$ en $\vc a$ ne dépend pas des normes choisies sur $E$ et $F$. \end{NBs} %------------------------------------------------------------------------------- \subsection{Limite et coordonnées} %------------------------------------------------------------------------------- Soit $\mathcal{B}=(\vc e_1,\vc e_2,\dots,\vc e_q)$ une base de $F$; pour $\vc{x}\in A$, on pose \begin{equation} \vc f(\vc x)=\sum_{k=1}^q f_k(\vc x)\,\vc e_k \end{equation} À $\vc f\in\FIE[A,F]$, on fait correspondre $p$ fonctions numériques $f_k\in\mathcal{F}(A,\K)$, ce sont les fonctions coordonnées de $\vc f$ relatives à la base $\mathcal{B}$. Par exemple, si $F=\MnpK$, $\vc f(\vc x)$ est une matrice de taille $n\times p$ et les $np$ fonctions coordonnées relatives à la base canonique sont les coefficients de cette matrice. \begin{Th}[Caractérisation de la limite à l'aide des composantes]\mbox{}\\ % $\vc f$ admet une limite en $\vc a$ si, et seulement si, pour tout $k\in\Intf 1q$, $f_k$ admet une limite en $\vc a$, et dans ce cas : $$ \lim_{\vc a}\vc f=\sum_{k=1}^q(\lim_{\vc a} f_k)\,\vc e_k $$ \end{Th} \begin{proof} Puisque la notion de limite est indépendante de la norme choisie, on utilise sur $F$ une norme adaptée à la base $\mathcal{B}$, par exemple $\Norme_\infty(\vc y)=\sup\ens{|y_k|}{j\in\Intf 1q}$ où les $y_k$ sont les composantes de $\vc y$ dans la base $\mathcal{B}$. Si $\vc b= \lim_{\vc a}\vc f=\sum_{k=1}^q b_j\vc e_k$, on~a : \begin{equation} \Norme_\infty\bigl(\vc f(\vc x)-\vc b\bigr)= \sup_k\{|f_k(\vc x)-b_k|\}<\eps\iff\qqs k\in\Intf 1q,\ |f_k(\vc x)-b_k|<\eps \end{equation} ce qui donne : \begin{equation} \vc f(\vc x)\tend[\vc a]\vc b \iff\qqs k\in\Intf 1q,\ f_k(\vc x)\tend[\vc a]b_k \end{equation} \end{proof} %-------------------------------------------------- \begin{Cor}[Cas des fonctions complexes] Soit $f : A\to\C$; $f$ admet une limite en $\vc a$ si, et seulement si, $\RE(f)$ et $\IM(f)$ admettent une limite en $\vc a$ et dans ce cas : $$ \lim_{\vc a} f=\lim_{\vc a}\RE(f)+i\lim_{\vc a}\IM(f) $$ \end{Cor} %-------------------------------------------------- \subsection{Limite et suites} %-------------------------------------------------- \begin{Th}[Caractérisation séquentielle des limites]\mbox{}\\ % Soient $\vc f\in\FIE[A,F]$ et $\vc a$~un~point de $E$ adhérent à $A$; \begin{prop} \item si $\vc f$ admet une limite en $\vc a$, alors pour toute suite $(\vc x_n)_n$ de $A$ de limite $\vc a$, la suite $\bigl(\vc f(\vc x_n)\bigr)_n$ converge vers $\lim_{\vc a}\vc f$; \item si l'image par $\vc f$ de toute suite d'éléments de $A$ convergeant vers $\vc a$ est une suite convergente, alors $\vc f$ admet une limite en $\vc a$, limite commune de toutes ces suites. \end{prop} \end{Th} \begin{proof}\mbox{} % \begin{demprop} \monitem Soient $\vc b=\lim_{\vc a}\vc f$ et $(\vc x_n)_n$ une suite de $A$ de limite $\vc a$. Pour tout $\eps>0$, il existe $\eta>0$ tel que $\norme{\vc x-\vc a}<\eta$ implique $\Norme\bigl(\vc f(\vc x)-\vc b\bigr)<\eps$. Soit $N\in\N$ le rang à partir duquel $\norme{\vc x_n-\vc a}<\eta$; ainsi \begin{equation} \qqs n\in\N,\ n>N \implique \norme{\vc x_n-\vc a}<\eta \et \Norme\bigl(\vc f(\vc x_n)-\vc b\bigr)<\eps \end{equation} ce qui montre que $\lim_n\vc x_n=\vc a\implique \lim_n\vc f(\vc x_n)=\vc b=\lim_{\vc a}\vc f$ \monitem Soient $(\vc x_n)_n$ et $(\vc y_n)_n$ deux suites de $A$ de limite $\vc a$, telles que les suites $\bigl(\vc f(\vc x_n)\bigr)_n$ et $\bigl(\vc f(\vc y_n)\bigr)_n$ soient convergentes; alors la suite $(\vc z_n)_n$ définie par $\vc z_{2p}=\vc x_p$ et $\vc z_{2p+1}=\vc y_p$ converge vers $\vc a$ et donc, par hypothèse, la suite $\bigl(\vc f(\vc z_n)\bigr)_n$ converge et \begin{equation} \begin{split} \lim_n\vc f(\vc z_n) &=\lim_p\vc f(\vc z_{2p})=\lim_p\vc f(\vc x_p) \\ &=\lim_p\vc f(\vc z_{2p+1})=\lim_p\vc f(\vc y_p) \end{split} \end{equation} ce qui montre que les images par $\vc f$ de toutes les suites de limite $\vc a$ ont une limite commune, limite que l'on note $\vc b$. Supposons que $\vc f$ n'admette pas $\vc b$ pour limite en $\vc a$; alors \begin{gather} \exists\eps>0,\ \qqs\eta>0,\ \exists \vc x\in A,\ \norme{\vc x-\vc a}<\eta \et \Norme\bigl(\vc f(\vc x)-\vc b\bigr)\geq\eps \\ \text{donc }\qqs n\in\N,\ \exists \vc x_n\in A,\ \norme{\vc x_n-\vc a}<\ra1{n+1} \et \Norme\bigl(\vc f(\vc x_n)-\vc b\bigr)\geq\eps \end{gather} Ainsi est construite une suite $(\vc x_n)_n$ d'éléments de $A$, de limite $\vc a$ et dont l'image par $\vc f$ n'admet pas $\vc b$ pour limite, ce qui est contradictoire. \end{demprop} \end{proof} %-------------------------------------------------- \begin{Ex} L'application $f : (x_1,x_2)\in\R^2\setminus\{\vc 0\} \mapsto\dra{x_1x_2}{x_1^2+x_2^2}$ n'a pas de limite en $\vc 0$. \end{Ex} %-------------------------------------------------- \subsection{Extension de la notion de limite} %-------------------------------------------------- \begin{Df}[Limite infinie] On dit que la fonction \emph{réelle} $f$ admet $+\infty$ pour limite en $\vc a$ si, et seulement si, $$ \qqs M>0,\ \exists\eta>0,\ \qqs x\in A,\ \norme{\vc x-\vc a}<\eta\implique f(\vc x)>M $$ On écrit alors $\dsp\lim_{\vc a} f=\lim_{\vc x\rightarrow\vc a}f(\vc x)=+\infty$ ou $\dsp f(\vc x)\tend[\vc x\rightarrow\vc a]+\infty$. De même, $f$ admet $-\infty$ pour limite en $\vc a$ si, et seulement si, $$ \qqs M<0,\ \exists\eta>0,\ \qqs x\in A,\ \norme{\vc x-\vc a}<\eta\implique f(\vc x)<M $$ \end{Df} \begin{Df}[Limite à l'infini] Soit $\vc f$ une application d'un intervalle non majoré $I\subset\R$ à valeurs dans $F$; on dit que $\vc f$ admet $\vc b$ pour limite en $+\infty$ si, et seulement si, $$ \qqs\eps>0,\ \exists M>0,\ \qqs x\in I,\ x>M\implique \Norme\bigl(\vc f(x)-\vc b\bigr)<\eps $$ On écrit alors $\dsp\lim_{+\infty} \vc f =\lim_{x\to +\infty}\vc f(x)=\vc b$ ou $\dsp \vc f(x)\tend[x\rightarrow +\infty]\vc b$. Si $I$ est maintenant un intervalle non minoré, $\vc f$ admet $\vc b$ pour limite en $-\infty$, si, et seulement si, $$ \qqs\eps>0,\ \exists M<0,\ \qqs x\in I,\ x<M\implique \Norme\bigl(\vc f(x)-\vc b\bigr)<\eps $$ \end{Df} \begin{NB} Le théorème de caractérisation séquentielle s'étend sans difficulté dans ces cas. On a par exemple : $f$ admet $+\infty$ pour limite en $\vc a$ si, et seulement si, l'image par $f$ de toute suite d'éléments de $A$ convergeant vers $\vc a$, a pour limite $+\infty$. De même s'étend sans difficulté la caractérisation à l'aide des coordonnées. \end{NB} %-------------------------------------------------- \subsection{Opérations algébriques} %-------------------------------------------------- \begin{Prop}[Combinaison linéaire]\mbox{}\\ % Soit $\vc a$ un point de $E$ adhérent à $A$; le sous-ensemble des applications de $A$ à valeurs dans $F$ qui admettent une limite en $\vc a$ est un $\K$-espace vectoriel et $\vc f\mapsto\lim_{\vc a}\vc f$ est une application linéaire sur cet espace. \end{Prop} \begin{proof} On utilise la caractérisation séquentielle. Soient $(\vc x_n)_n$ une suite de $A$ de limite $\vc a$, $\vc f$ et $\vc g$ deux applications qui admettent une limite en $\vc a$, $\lambda$ et $\mu$ deux scalaires; alors \begin{equation} (\lambda\vc f+\mu \vc g)(\vc x_n)=\lambda\vc f(\vc x_n)+\mu\vc g(\vc x_n)\tend \lambda\lim_{\vc a}\vc f+\mu\lim_{\vc a}\vc g \end{equation} Puisque $(\vc x_n)_n$ est une suite quelconque de limite $\vc a$, $\lambda\vc f+\mu \vc g$ admet une limite en $\vc a$ et \begin{equation} \lim_{\vc a}(\lambda\vc f+\mu\vc g)=\lambda\lim_{\vc a}\vc f+ \mu\lim_{\vc a}\vc g \end{equation} \end{proof} %-------------------------------------------------- \begin{Prop}[Produit]\mbox{}\\ % Soient $f$ et $g$ deux fonctions numériques qui admettent une limite en $\vc a$, point adhérent à $A$; alors le produit $fg$ admet une limite en $\vc a$ et $$ \lim_{\vc a}fg=\lim_{\vc a}f\,\lim_{\vc a}g $$ \end{Prop} \begin{proof} On utilise $(fg)(\vc x_n)=f(\vc x_n)g(\vc x_n)\tend \lim_{\vc a}f\,\lim_{\vc a}g$ où $(\vc x_n)_n$ est une suite quelconque de $A$ de limite $\vc a$. \end{proof} %-------------------------------------------------- \begin{Prop}[Inverse]\mbox{}\\ % Soit $f$ une fonction numérique qui admet une limite \emph{non nulle} en $\vc a$, alors $\ra1f$ admet une limite en $\vc a$ et $$ \lim_{\vc a}\ra1f=\ra1{\lim_{\vc a}f} $$ \end{Prop} \begin{proof} On utilise $(\ra1f)(\vc x_n)=\ra1{f(\vc x_n)}\tend \ra1{lim_{\vc a}f}$ où $(\vc x_n)_n$ est une suite quelconque de $A$ de limite~$\vc a$. \end{proof} %-------------------------------------------------- \begin{Th}[Composition]\mbox{}\\ % Soient $A\subset E$, $B\subset F$, $\vc a$ un point de $E$ adhérent à $A$, $\vc f$ une application de $A$ vers $B$ et $\vc g$ une application de $B$ vers $G$. \begin{prop} \item Si $\vc f$ admet $\vc b$ pour limite en $\vc a$, alors $\vc b$ est adhérent à $B$; \item si de plus, $\vc g$ admet $\vc c$ pour limite en $\vc b$, alors $\vc g\circ\vc f$ admet $\vc c$ pour limite en $\vc a$. \end{prop} \end{Th} \begin{proof}\alaligne \begin{demprop} \monitem Soit $(\vc x_n)_n$ une suite de $A$ de limite $\vc a$; alors $\bigl(\vc f(\vc x_n)\bigr)_n$ est une suite de $B$ de limite $\vc b$ qui est donc adhérent à $B$. \monitem Soit $(\vc x_n)_n$ une suite quelconque de $A$ de limite $\vc a$; alors $\bigl(\vc f(\vc x_n)\bigr)_n$ est une suite de $B$ de limite $\vc b$ et donc $\bigl(\vc g\bigl(\vc f(\vc x_n)\bigr)\bigr)_n$ est une suite de limite $\vc c$, ce qui montre que $\vc g\circ\vc f$ admet $\vc c$ comme limite en $\vc a$. \end{demprop} \end{proof} %-------------------------------------------------- %-------------------------------------------------- \subsection{Relations de comparaison} %-------------------------------------------------- Soient $A$ une partie de $E$, $\vc a$ un point adhérent à $A$, $\vc f$ une application de $A$ vers $F$ et $\varphi$ une application de $A$ dans $\K$. Dans la pratique, $\varphi$ est une application à valeurs réelles positives. \begin{Df}[Domination] On dit que $\vc f$ est \emph{dominée} par $\varphi$ en $\vc a$ si, et seulement si, $$ \exists r>0,\ \exists M>0,\ \qqs\vc x\in A\setminus\{\vc a\},\ \norme{\vc x-\vc a}<r\implique\Norme\bigl(\vc f(\vc x)\bigr)\leq M|\varphi(\vc x)| $$ On écrit alors : $\dsp\vc f\buildrel{=}_{\vc a}^{}\OO{\varphi}$ \end{Df} Si $\varphi$ ne s'annule pas sur $A\setminus\{\vc a\}$, on a \begin{equation} \vc f\buildrel{=}_{\vc a}^{}\OO{\varphi} \iff\ra1\varphi\vc f\text{ est bornée au voisinage de $\vc a$} \end{equation} \begin{Df}[Négligeabilité] On dit que $\vc f$ est \emph{négligeable} devant $\varphi$ en $\vc a$ si, et seulement si, $$ \qqs\eps>0,\ \exists \eta >0,\ \qqs\vc x\in A\setminus\{\vc a\},\ \norme{\vc x-\vc a}<\eta\implique\Norme\bigl(\vc f(\vc x)\bigr)\leq \eps|\varphi(\vc x)| $$ On écrit alors : $\dsp\vc f\buildrel{=}_{\vc a}^{}\oo{\varphi}$ \end{Df} Si $\varphi$ ne s'annule pas sur $A\setminus\{\vc a\}$, on a \begin{equation} \vc f\buildrel{=}_{\vc a}^{}\oo{\varphi} \iff\ra1\varphi\vc f\text{ admet $\vc 0$ pour limite en $\vc a$} \end{equation} \begin{Ex} Soit $f : x\mapsto\exp\bigl(-(x+iy)^2\bigr)$; alors : $$ \qqs(\alpha,y)\in\R^2,\ f(x)\buildrel{=}_{+\infty}^{}\oo{x^{-\alpha}} $$ car $|x^\alpha f(x)|=x^\alpha|\exp(-x^2+y^2-2ixy)|=x^\alpha e^{-x^2}e^{y^2} \tend[x\to+\infty]0$ \end{Ex} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Continuité} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% On considère deux espaces vectoriels normés $(E,\norme{\ })$ et $(F,\Norme)$, $A$ une partie de $E$ et $\vc f$ une application de $A$ à valeurs dans $F$. %------------------------------------------------------------------------------- \subsection{Généralités} %------------------------------------------------------------------------------- \begin{Dfs}[Continuité en un point, sur une partie]\mbox{}\\ % Soit $\vc a\in A$; on dit que $\vc f$ est \emph{continue} en $\vc a$ si, et seulement si, $\vc{f}$ admet une limite en $\vc{a}$; dans ce cas, cette limite est nécessairement $\vc{f}(\vc{a})$. Soit $B\subset A$; on dit que $\vc f$ est continue sur $B$ si, et seulement si, $\vc f$ est continue en tout point de $B$. On dit que $\vc f$ est continue (sans autre précision) si $\vc f$ est continue sur $A$. Les applications continues sur $A$ à valeurs dans $F$ sont notées $\CIE[A,F]$ ou encore $\CkIE[A,F]0$. \end{Dfs} %------------------------------------------------------------------------------- \subsection{Caractérisation de la continuité} %------------------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[Caractérisation de la continuité à l'aide des composantes]\mbox{}\\ % Soient $f_1$, $f_2$,\dots, $f_p$ les composantes de $\vc f$ relatives à une base donnée de $F$; alors \begin{prop} \item $\vc f$ est continue en $\vc a$ si, et seulement si, toutes les applications $f_j$ sont continues en $\vc a$; \item $\vc f$ est continue sur $B\subset A$ si, et seulement si, toutes les applications $f_j$ sont continues sur $B$. \end{prop} \end{Th} \begin{Th}[Caractérisation de la continuité à l'aide de suites]\mbox{}\\ % $\vc f$ est continue en $\vc a$ si, et seulement si, l'image par $\vc f$ de toute suite d'éléments de $A$ convergeant vers $\vc a$ est une suite convergente. \end{Th} \begin{Ex} Une base étant fixée, l'application $j$\up{ème} coordonnée $\vc x\mapsto x_j$ est continue. \end{Ex} %------------------------------------------------------------------------------- \subsection{Continuité et applications lipschitziennes} %------------------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[Continuité des applications lipschitziennes]\mbox{}\\ % Si $\vc f$ est une application lipschitzienne sur $A$, alors $\vc f$ est continue sur $A$. La réciproque est fausse. \end{Th} \begin{proof} Soit $k$ le rapport de Lipschitz de $\vc f$ : $$ \qqs(\vc x,\vc y)\in A^2,\ \Norme\bigl( \vc f(\vc x)-\vc f(\vc y) \bigr) \leq k\norme{\vc x-\vc y} $$ Alors \begin{multline} \qqs \vc a\in A,\ \qqs\eps>0,\ \exists \eta=\ra\eps k>0, \\ \qqs\vc x\in A,\ \norme{\vc x-\vc a}\leq\eta\implique \Norme\bigl( \vc f(\vc x)-\vc f(\vc a) \bigr)\leq k\norme{\vc x-\vc a}\leq k\eta=\eps \end{multline} La fonction $f : x\mapsto\ra1x$ est continue sur $\into 0{+\infty}$ mais n'est pas lipschitzienne car $$ \sup_{x\neq y}|\ra{f(x)-f(y)}{x-y}|=\sup_{x\neq y}\ra1{xy}=+\infty $$ \end{proof} %-------------------------------------------------- \begin{NB} Le lecteur attentif remarquera que dans le cas d'une application lipschitzienne le nombre $\eta=\ra\eps k$ est indépendant du point $\vc a\in A$ considéré; ce nombre ne dépend que de $\eps$, et aussi de $k$, donc de $\vc f$. \end{NB} %------------------------------------------------------------------------------- \subsection{Opérations algébriques} %------------------------------------------------------------------------------- \begin{Prop}[Restriction] Si $\vc f$ est continue (sur $A$) et $B\subset A$, alors $\vc f$ est continue sur~$B$. \end{Prop} \begin{Prop}[Prolongement] Soit $\vc a\in E\setminus A$ adhérent à $A$; $\vc f$ admet un prolongement $\tilde{\vc{f}}$ continu à $A\cup\{\vc a\}$ si, et seulement si, $\vc f$ admet une limite en $\vc a$. Si c'est le cas, le prolongement est unique et $\tilde{\vc{f}}(\vc a)=\lim_{\vc a}\vc f$. \end{Prop} \begin{Prop}[Combinaison linéaire] Soient $\vc f$ et $\vc g$ sont deux applications continues en $\vc a$ et $\lambda$ et $\mu$ deux scalaires; alors l'application $\lambda\vc f+\mu\vc g$ est continue en $\vc a$. L'ensemble $\CIE[A,F]$ des applications continues de $A$ vers $F$ est un $\K$-espace vectoriel. \end{Prop} \begin{Prop}[Produit] Soient $f$ et $g$ deux applications numériques (\ie{} à valeurs dans $\K$) et continues en $\vc a$; alors le produit $f\,g$ est continue en $\vc a$. L'ensemble $\CIE[A]$ des applications numériques continues sur $A$ est une $\K$-algèbre. \end{Prop} \begin{Prop}[Inverse] Soit $f$ une application numérique continue en $\vc a$ telle que $f(\vc a)\neq 0$; alors la fonction $1/f$ est définie sur un voisinage de $\vc a$ et est continue en $\vc a$. \end{Prop} \begin{Prop}[Composition] Soient $\vc f\in\CIE[A,F]$ et $\vc g\in\mathcal{C}(B,G)$ telles que $\vc f$ soit à valeurs dans $B$; alors $\vc g\circ\vc f$ est continue sur $A$. \end{Prop} \begin{Th}[Continuité des applications polynomiales]\mbox{}\\ % Notons $(x_1,x_2,\dots,x_p)$ les coordonnées de $\vc x$ dans une base donnée de $E$; alors toute application polynomiale en les coordonnées $x_j$ est continue. \end{Th} \begin{proof} Les applications coordonnées sont continues; les monômes sont continues (produit de fonctions continues); les applications polynomiales sont continues (combinaison linéaire d'applications continues). \end{proof} %-------------------------------------------------- \begin{Exs}\alaligne $M\mapsto\det M$ est continue sur $\MnK$ car fonction polynomiale des coefficients $m_{ij}$ de $M$. $M\mapsto\com(M)$ (matrice des cofacteurs) est continue sur $\MnK$ car ses composantes, \ie{} les coefficients de $\com(M)$, sont polynomiales en les coefficients $m_{ij}$ de $M$. De même $M\mapsto\trans MM$ est continue sur $\MnK$. \end{Exs} %------------------------------------------------------------------------------- \subsection{Image réciproque de parties ouverte et fermée} %------------------------------------------------------------------------------- \begin{Df}[Image réciproque d'une partie]\mbox{}\\ % Soit $\vc f\in\FIE[A,F]$; pour toute partie $B\subset F$, on appelle \emph{image réciproque} de $B$ par $\vc f$ le sous-ensemble de $A$ noté $\vc f^{<-1>}(B)$ et défini par : \begin{center} \shadowbox{$\dsp \vc f^{<-1>}(B)=\ens{\vc x\in A}{\vc f(\vc x)\in B} $} \end{center} Attention à ne pas confondre l'image réciproque avec l'application réciproque qui est notée $\vc f^{-1}$. \end{Df} \begin{Prop}[Règles de calcul] On a les égalités suivantes : \begin{gather*} \complement\bigl(\vc f^{<-1>}(B)\bigr)=\vc f^{<-1>}(\complement B) \\ \vc f^{<-1>}\bigl(\bigcup_{i\in I} B_i\bigr)= \bigcup_{i\in I}\vc f^{<-1>}(B_i) \\ \vc f^{<-1>}\bigl(\bigcap_{i\in I} B_i\bigr)= \bigcap_{i\in I}\vc f^{<-1>}(B_i) \end{gather*} \end{Prop} \begin{proof}\alaligne \begin{demprop} \monitem $\vc x\in\complement\bigl(\vc f^{<-1>}(B)\bigr)\iff \vc x\not\in \vc f^{<-1>}(B) \iff \vc f(\vc x)\not\in B \iff \vc f(\vc x)\in\complement B \iff \vc x\in\vc f^{<-1>}(\complement B)$ \monitem $\vc x\in\vc f^{<-1>}\bigl(\bigcup_{i\in I} B_i\bigr) \iff \vc f(\vc x)\in \bigcup_{i\in I} B_i \iff \exists i_0\in I,\ \vc f(\vc x)\in B_{i_0} \iff \exists i_0\in I,\ \vc x\in \vc f^{<-1>}\bigl(B_{i_0}\bigr) \iff \vc x\in\bigcup_{i\in I}\vc f^{<-1>}(B_i)$ \monitem $\vc x\in\vc f^{<-1>}\bigl(\bigcap_{i\in I} B_i\bigr) \iff \vc f(\vc x)\in \bigcap_{i\in I} B_i \iff \qqs i\in I,\ \vc f(\vc x)\in B_i \iff \qqs i\in I,\ \vc x\in\vc f^{<-1>}( B_i) \iff \vc x\in\bigcap_{i\in I}\vc f^{<-1>}(B_i)$ \end{demprop} \end{proof} %-------------------------------------------------- \begin{Th}[Image réciproque d'ouverts et de fermés]\mbox{}\\ % Soit $\vc f$ une fonction \emph{continue} de $E$ vers $F$; alors \begin{prop} \item l'image réciproque de toute partie fermée de $F$ est une partie fermée de $E$; \item l'image réciproque de toute partie ouverte de $F$ est une partie ouverte de $E$. \end{prop} \end{Th} \begin{proof}\alaligne \begin{demprop} \monitem Utilisation de la caractérisation séquentielle des fermés. Soient $B$ une partie fermée de $F$ et $(\vc u_n)_n$ une suite de $\vc f^{<-1>}(B)$ de limite $\vc a$; il s'agit de montrer que $\vc a\in\vc f^{<-1>}(B)$. Puisque $\vc f$ est continue, la suite $\bigl(\vc f(\vc u_n)\bigr)_n$ de $B$ admet $\vc f(\vc a)$ pour limite et comme $B$ est une partie fermée, $\vc f(\vc a)\in B$. \monitem Soit $O$ une partie ouverte de $F$; $B=\complement O$ est une partie fermée de $F$ et $\vc f^{<-1>}(B)=\complement\vc f^{<-1>}(O)$, complémentaire d'une partie ouverte, est une partie fermée. \end{demprop} \end{proof} %-------------------------------------------------- \begin{Cor}[Cas des fonctions réelles] Soient $f\in\CIE[E,\R]$ et $\alpha\in\R$; alors : \begin{prop} \item les parties $\ens{\vc x\in E}{f(\vc x)=\alpha}$, $\ens{\vc x\in E}{f(\vc x)\leq\alpha}$, $\ens{\vc x\in E}{f(\vc x)\geq\alpha}$ sont des parties fermées de $E$; \item les parties $\ens{\vc x\in E}{f(\vc x)<\alpha}$, $\ens{\vc x\in E}{f(\vc x)>\alpha}$ sont des parties ouvertes de $E$. \end{prop} \end{Cor} \begin{proof}{}\hspace*{\fill} \begin{demprop} \monitem $\{\alpha\}$, $\intfo\alpha{+\infty}$ et $\intof{-\infty}\alpha$ sont des parties fermées de $\R$. \monitem $\into\alpha{+\infty}$ et $\into{-\infty}\alpha$ sont des parties ouvertes de $\R$. \end{demprop} \end{proof} %-------------------------------------------------- \begin{Exs} Ce corollaire est l'arme (presque) absolue pour démontrer que des parties sont ouvertes ou sont fermées. $F : (x,y)\mapsto \dra{x^2}{a^2}+\dra{y^2}{b^2}$ est continue sur $\R^2$ car polynomiale en $x$ et $y$; on en tire donc que : \begin{itemize} \item l'ellipse $(\mathcal{E})=\ens{(x,y)\in\R^2}{F(x,y)=1}$ est une partie fermée de~$\R^2$; \item l'intérieur de $(\mathcal{E})$, $\ens{(x,y)\in\R^2}{F(x,y)<1}$, est une partie ouverte de~$\R^2$; \item l'extérieur de $(\mathcal{E})$, $\ens{(x,y)\in\R^2}{F(x,y)>1}$, est une partie ouverte de~$\R^2$. \end{itemize} $\GLnK$ est une partie ouverte de $\MnK$ car image réciproque de la partie ouverte $\K\setminus\{0\}$ par l'application continue déterminant. $O(n)$ est une partie fermée de $\MnK$ car image réciproque du fermé $\{I_n\}$ par l'application continue $M\mapsto\trans M M$. \end{Exs} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Compacité} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %------------------------------------------------------------------------------- \subsection{Généralités} %------------------------------------------------------------------------------- \begin{Df}[Partie compacte] Une partie $A$ de $E$ est dite \emph{compacte} si, et seulement si, $A$ est une partie fermée et bornée. \end{Df} \begin{NBs} Cette définition n'est valable que pour les $\K$-espaces vectoriels de dimension \emph{finie}. La notion de compacité est indépendante de la norme choisie. \end{NBs} \begin{Exs}\alaligne Les boules fermées sont des parties compactes; les segments de $\R$ sont des parties compactes. La sphère unité $\ens{\vc x\in E}{\norme{\vc x}=1}$ est une partie fermée, image réciproque du fermé $\{1\}$ par l'application continue $\norme{\ }$, et bornée; c'est donc une partie compacte. Les ellipses sont des parties compactes de $\R^2$; les hyperboles et les paraboles n'en sont pas (parties non bornées). $O(n)$ est une partie fermée de $\Mn{\R}$ et bornée car $P=(p_{ij})\in O(n)$ vérifie $\sum_i{p_{ij}}^2 = 1$ pour tout $j$; $O(n)$ est donc une partie compacte. $SO(n)$ est une partie fermée, intersection de deux parties fermées $O(n)$ et $\ens{M\in\Mn{\R}}{\det M=1}$, et bornée, donc compacte. \end{Exs} %------------------------------------------------------------------------------- \subsection{Compacité et application continue} %------------------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[Image continue d'un compact]\mbox{}\\ % L'image (directe) d'une partie compacte par une application continue est une partie compacte. \end{Th} \begin{proof} La démonstration est admise. \end{proof} %-------------------------------------------------- \begin{Th}[Existence d'extrema] Toute application à valeurs réelles et continue sur une partie compacte est bornée et atteint ses bornes. \end{Th} \begin{proof} Soient $A$ une partie compacte de $E$ et $\vc f\in\CIE[A,\R]$. $\vc f(A)$ est une partie compacte de $\R$, donc $\sup\vc f(A)$ existe ($\vc f(A)$ est bornée), est adhérent à $\vc f(A)$, donc appartient à $\vc f(A)$ ($\vc f(A)$ est une partie fermée). Ainsi, il existe $\vc a\in A$ tel que $\sup\vc f(A)=\vc f(\vc a)$ La démonstration est identique pour la borne inférieure. \end{proof} %-------------------------------------------------- \begin{Ex} Existe-t-il un triangle dont les sommets sont placés sur une ellipse donnée et dont le périmètre est maximum ? L'ellipse se paramètre par $t\in\intf0{2\pi}\mapsto(a\cos t,b\sin t) = M(t)$ et le périmètre $p$ d'un triangle dont les sommets $M_1$, $M_2$ et $M_3$ sont placés sur l'ellipse, est l'application définie par : \begin{multline} p(t_1,t_2,t_3)=\norme{M_1M_2}+\norme{M_2M_3}+\norme{M_3M_1} \\ =\sum_{i=1}^3 \sqrt{a^2(\cos t_{i+1}-\cos t_i)^2 + b^2(\sin t_{i+1}-\sin t_i)^2} \end{multline} où on a posé $t_4=t_1$. $p$ est une application continue sur le compact ${\intf0{2\pi}}^3$; elle atteint son maximum et la réponse à la question posée est : oui! Quant à la détermination effective du ou des triangles de périmètre maximum, c'est une autre question! \end{Ex} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Continuité des applications linéaires et bilinéaires} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{Th}[Continuité des applications linéaires]\mbox{}\\ % Soient $(E,\norme{\ })$ et $(F,\Norme)$ deux $\K$-espaces vectoriels de dimension finie; alors toute application linéaire $\vc u\in\Lin EF$ est continue. De plus, il existe $k>0$ tel que $\qqs\vc x\in E,\ \Norme\bigl( \vc u(\vc x)\bigr)\leq k\norme{\vc x}$ et $\vc u$ est $k$-lipschitzienne. \end{Th} \begin{proof} Les composantes de $\vc u$ relatives à une base de $F$ sont des polynômes du premier degré en les composantes de $\vc x$ relatives à une base de $E$ : \begin{equation} \qqs\vc x\in E,\ \vc u(\vc x)=\sum_{j=1}^p x_j\vc u(\vc e_j) \end{equation} ce qui assure la continuité de $\vc u$. La sphère unité $S=\ens{\vc x\in E}{\norme{\vc x}=1}$ de $E$ étant une partie compacte, on pose $$ k=\sup\ens{\Norme\bigl(\vc u(\vc x)\bigr)}{\vc x\in S} $$ et pour tout $\vc x$ non nul \begin{equation} \Norme\bigl(\vc u(\vc x)\bigr)= \norme{\vc x}\Norme\bigl(\vc u(\ra1{\norme{\vc x}}\vc x)\bigr) \leq\norme{\vc x}k \end{equation} et vu la linéarité de $\vc u$, on a \begin{equation} \qqs(\vc x,\vc y)\in E^2,\ \Norme\bigl(\vc u(\vc x)-\vc u(\vc y)\bigr)= \Norme\bigl(\vc u(\vc x - \vc y)\bigr)\leq k\norme{\vc x-\vc y} \end{equation} \end{proof} %-------------------------------------------------- \begin{NBs} L'hypothèse de dimension finie pour $F$ n'a pas été utilisée. L'hypothèse de dimension finie pour $E$ est indispensable. Soient $E=\Ckab[01]{\infty}$ muni de la norme de la convergence uniforme et $D$ la dérivation. $D$ est un endomorphisme de $E$ non continue. Posons $f_n : x\mapsto\ra1n\sin(nx)$; on obtient ${\norme{f_n}}_\infty\leq\ra1n$ et ${\norme{D\,f_n}}_\infty=\sup_{x\in\intf01}|\cos(nx)|=1$, ce qui montre que la suite $(f_n)_n$ tend vers la fonction nulle, tandis que la suite $(D\,f_n)_n$ n'admet pas la fonction nulle pour limite. \end{NBs} \begin{Th}[Continuité des applications bilinéaires]\mbox{}\\ % Soient $(E,\norme{\ }_E)$, $(F,\norme{\ }_F)$ et $(G,\Norme)$ trois $\K$-espaces vectoriels de dimension finie; alors toute application bilinéaire $\vc B$ de $E\times F$ dans $G$ est continue. De plus, il existe $k>0$ tel que $\qqs(\vc x,\vc y)\in E\times F,\ \Norme\bigl( \vc B(\vc x,\vc y)\bigr) \leq k\norme{\vc x}_E\norme{\vc y}_F$ \end{Th} \begin{proof} Soient $(\vc e_j)_{1\leq j\leq p}$ et $(\vc f_k)_{1\leq k\leq q}$ des bases respectives de $E$ et $F$. Pour tout $\vc x\in E$ et tout $\vc y\in F$ on a : \begin{equation} \vc B(\vc x,\vc y) =\vc B(\sum_{j=1}^p x_j\vc e_j,\sum_{k=1}^q y_k\vc f_k) = \sum_{\substack{1\leq j\leq p \\ 1\leq k\leq q}} x_j y_k \vc B(\vc e_j,\vc f_k) \end{equation} ce qui assure la continuité de $\vc B$ car ses composantes sont polynomiales (de degré deux) en les composantes de $\vc x$ et de $\vc y$. $E\times F$ est normé par $\norme{\cdot}=\sup\{\norme{\cdot}_E,\norme{\cdot}_F\}$ et la partie $$ S=\ens{(\vc x,\vc y)\in E\times F}{\norme{\vc x}_E=\norme{\vc y}_F=1} $$ est une partie compacte de $E\times F$. On pose $k=\sup_{(\vc x,\vc y)\in S}\{\Norme\bigl(\vc B(\vc x,\vc y)\bigr)\}$ et pour tout $\vc x$ et tout $\vc y$ non nuls \begin{equation} \Norme\bigl(\vc B(\vc x,\vc y)\bigr)= \norme{\vc x}_E\norme{\vc y}_F\Norme\biggl( \vc B\Bigl(\ra1{\norme{\vc x}_E}\vc x,\ra1{\norme{\vc y}_F}\vc y\Bigr)\biggr) \leq\norme{\vc x}_E\norme{\vc y}_Fk \end{equation} \end{proof} %-------------------------------------------------- \begin{Exs} $(\lambda,\vc x)\mapsto\lambda\vc x$ est bilinéaire de $\K\times E$ dans $E$, donc continue et \begin{equation*} \lambda_n\tend\lambda\et\vc x_n\tend\vc x\implique \lambda_n\vc x_n\tend\lambda\vc x \end{equation*} $(\vc u,\vc v)\mapsto \vc u\circ \vc v$ est bilinéaire de $\lin E\times\lin E$ dans $\lin E$, donc continue et \begin{equation*} \vc u_n\tend\vc u\et\vc v_n\tend\vc v\implique \vc u_n\circ\vc v_n\tend\vc u\circ\vc v \end{equation*} On a la même propriété pour le produit matriciel $(A,B)\mapsto AB$ \begin{equation*} A_n\tend A\et B_n\tend B\implique A_nB_n\tend AB \end{equation*} \end{Exs}