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Fichier TeX
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\chapter{\'Equations différentielles linéaires}
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\minitoc
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\section{Le premier ordre}
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\subsection{Un peu de vocabulaire}
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\begin{Df}[\'Equation différentielle linéaire du
premier ordre]\alaligne

        On appelle \emph{équation différentielle linéaire du
premier ordre}, une équation du type :
$$
x'=a(t)\,x+b(t)\qquad (\mathcal{E})
$$$a$ et $b$ sont des fonctions continues d'un intervalle $I$ à
valeurs dans $\K$, $\K$ étant l'un des corps $\R$ ou $\C$.
\end{Df}

\begin{Df}[\'Equation homogène]\alaligne

        On appelle \emph{équation homogène} ou encore \emph{équation
sans second membre} associée à $(\mathcal{E})$, l'équation :
$$
x'=a(t)\,x \qquad (\mathcal{H})
$$
\end{Df}

\begin{NB}
                Dans ces définitions, le coefficient de $x'$ vaut 1 : on dit
alors que l'équation est \emph{normalisée} ou encore \emph{résolue en}
$x'$.

    Si ce n'est pas le cas, on divise l'équation par le
coefficient de $x'$. Par exemple, $t\,x'+x=1$ doit s'écrire
$x'=-t^{-1}\,x+t^{-1}$ et l'intervalle $I$ considéré est l'un des
deux intervalles $\into{-\infty}{0}$ et $\into{0}{+\infty}$.

                Tous les théorèmes de cette section sont relatifs à des équations
\emph{normalisées}. 
\end{NB}

\begin{Df}[$J$-solution]\alaligne

        Si $J$ est un sous-intervalle de $I$, une \emph{$J$-solution}
de $(\mathcal{E})$ (resp. $(\mathcal{H)}$, est une fonction $x$
de classe $\mathcal{C}^1$ sur $J$ telle que :
$$
\forall t\in J,\ x'(t) = a(t)\,x(t)+b(t)\quad \bigl(\textrm{resp.}\ x'(t)=x(t) \bigr)
$$
\end{Df}

\begin{NB}
        Si $J_1$ est un sous-intervalle de $J$, la restriction à $J_1$ de
toute $J$-solution de 
$(\mathcal{E})$ (resp. $(\mathcal{H})$), est une
$J_1$-solution de $(\mathcal{E})$ (resp. $(\mathcal{H})$).
\end{NB}

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\subsection{Résolution de l'équation homogène}
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\subsubsection{Le résultat}
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\begin{Th}[fondamental]\alaligne

        Toutes les solutions de $(\mathcal{H})$  sont définies sur $I$, ce
sont des $I$-solutions.

        L'ensemble des $I$-solutions de $(\mathcal{H})$ constituent une droite
vectorielle sur $\K$ dirigée par la fonction 
$$
t\in I\mapsto
\exp\bigl(A(t)\bigr)
$$$A$ est une primitive de $a$ sur $I$.

\Reponse{$\dps
x \text{ est une $I$-solution de } (\mathcal{H})
\iff
\exists k\in\K,\ \forall t\in I,\ x(t)=k\,\exp\bigl(A(t)\bigr)
$}
\end{Th}

\begin{proof}
Il suffit de démontrer que $t\in I\mapsto x(t)\,\exp\bigl(-A(t)\bigr)$ est
une fonction constante, si, et seulement si, $x$ est solution de $(\mathcal{H})$. Or
$$
\begin{aligned}
        \qqs t\in I,\ \ra d{dt}\Bigl(x(t)\,\exp\bigl(-A(t)\bigr)\Bigr)
        &= x'(t)\,\exp\bigl(-A(t)\bigr) - x(t)\,A'(t)\,\exp\bigl(-A(t)\bigr)                                                                                             \\
  &= \bigl(x'(t) - a(t)\,x(t)\bigr)\exp\bigl(-A(t)\bigr)
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
        x\textnormal{ est solution de }\mathcal{H}
  &\iff x' =a(t)x   \\
  &\iff \ra{d}{dt}\Bigl(x(t)\,\exp\bigl(-A(t)\bigr)\Bigr) = 0 \qquad
                \textnormal{ ($\exp\bigl(- A(t)\bigr)$ ne s'annule pas)}                  \\
        &\iff \exists k\in\K, \forall t\in I, x(t)\,\exp\bigl(-A(t)\bigr) = k
\end{aligned}
$$
car une fonction dont la dérivée est nulle sur un \textbf{intervalle} 
est constante.
\end{proof}

\begin{NBs}\alaligne

        Toute solution de $(\mathcal{H})$ nulle en un point de $I$ est
identiquement nulle sur $I$.

        Deux solutions de $(\mathcal{H})$ qui coïncident en un point de
$I$, sont identiques sur $I$.

        Les $I$-solutions de l'équation différentielle $x'+a(t)\,x=0$ sont les fonctions
$$
t\in I\mapsto k\,\exp\bigl(-A(t)\bigr)
$$$A$ est une primitive de $a$ sur $I$ et $k$ une constante de $\K$.
\end{NBs}


%--------------------------------------------------
\subsubsection{Le problème de Cauchy}
%--------------------------------------------------

Pour toute donnée initiale $(t_0,x_0)\in I\times \K$, il existe
une unique solution $x$ de $(\mathcal{H})$ telle que $x(t_0)=x_0$,
à savoir
$$
x :t\in I\mapsto x(t)=x_0\exp\biggl(\int_{t_0}^t a(u)\,\dt[u]\biggr)
$$

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\subsection{Résolution de l'équation complète}
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\subsubsection{Le principe}
%--------------------------------------------------

\begin{Th}
    Soit $X$ une $I$-solution de $(\mathcal{E})$; alors, $x$ est
une $I$-solution de $(\mathcal{E})$ si, et seulement si, $x-X$ est
une $I$-solution de $(\mathcal{H})$. 
\end{Th}

\begin{proof}
On a $X' = a(t)X+b(t)$ et
$$
\begin{aligned}
        (x-X)'=a(t)(x-X)
        &\iff x'-X'=x'-\bigl(a(t)\,X+b(t)\bigr)=a(t)(x-X)                            \\
        &\iff x' = a(t)x +b(t)                                \\
        &\iff x\textnormal{ est une $I$-solution de }(\mathcal{E})
\end{aligned}
$$
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{NB}
    On obtient les $I$-solutions de $(\mathcal{E})$ en ajoutant à
une  $I$-solution (particulière) de $(\mathcal{E})$ une
$I$-solution (quelconque) de $(\mathcal{H})$.
\end{NB}

        Comment trouver cette solution particulière? C'est l'objet de la méthode
de la variation de la constante.


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\subsubsection{Méthode de la variation de la constante}
%--------------------------------------------------

On pose $x=z\,\exp(A)$, soit $z(t)=x(t)\exp\bigl(A(t)\bigr)$ pour $t\in I$
(on effectue un \emph{changement de fonction inconnue}); $z$
est une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$ si, et
seulement si, $x$ est une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ sur
$I$, et, pour tout $t\in I$,
$$
\begin{aligned}
x'(t) = a(t)x(t)+b(t)
        &\iff z'(t)\exp\bigl(A(t)\bigr) + z(t)\,A'(t)\,\exp\bigl(A(t)\bigr)=
                 a(t)z(t)\exp\bigl(A(t)\bigr)+b(t)                \\
        &\iff z'(t)\exp\bigl(A(t)\bigr)=b(t)                      \\
\end{aligned}
$$
Ainsi $x$ est solution de $(\mathcal{E})$ si, et seulement si, $z$
est solution de $z'\exp(A)=c$, {}\ie
$$
\exists k\in\K,\ \forall t\in I,\
z(t)=\int_{t_0}^t \exp\bigl(-A(u)\bigr)c(u)\,\dt[u] + k
$$
Remarquez que $z$ est une primitive (sur $I$) de la
fonction continue (sur $I$) $t\mapsto c(t)\exp\bigl(-A(t)\bigr)$,
ce qui donne le 

\begin{Th}
        Toute solution de $(\mathcal{E})$  est définie sur $I$.

        L'ensemble des $I$-solutions de $(\mathcal{E})$ constituent une droite
affine sur $\K$. 

\begin{Bminipage}{.9\linewidth}
\begin{multline*}
x \text{ est une $I$-solution de } (\mathcal{E})        \iff              \\
\exists k\in\K,\ \forall t\in I,\
        x(t)=\biggl(\int_{t_0}^t \exp\bigl(-A(u)\bigr)c(u)\,\dt[u] +k \biggr)
        \exp\bigl(A(t)\bigr)
\end{multline*}
\end{Bminipage}
\end{Th}

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\subsubsection{Le problème de Cauchy}
%--------------------------------------------------

Pour toute donnée initiale $(t_0,x_0)\in I\times \K$, il existe
une unique solution $x$ de $(\mathcal{E})$ telle que $x(t_0)=x_0$,
à savoir
$$
t\in I\mapsto \biggl(\int_{t_0}^t \exp\bigl(-A(u)\bigr)c(u)\,\dt[u] +x_0 \biggr)
                                                        \exp\bigl(A(t)\bigr)
\textrm{ avec }A(t)=\int_{t_0}^t a(u)\,\dt[u]
$$

\begin{NBs}
        Deux solutions de $(\mathcal{E})$ qui coïncident en un point de
$I$, sont identiques sur $I$.

        Si $J$ est un sous-intervalle de $I$, toute $J$-solution de
$(\mathcal{E})$ se prolonge en une unique $I$-solution de
$(\mathcal{E})$.
\end{NBs}

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\subsubsection{Principe de superposition des solutions}
%--------------------------------------------------

\begin{Prop}
    Si $x_1$ est solution de $x' = a(t)\,x + b_1(t)$ et
    $x_2$ solution de $x' = a(t)\,x + b_2(t)$, alors $(x_1+x_2)$
est solution de $x' = a(t)\,x + \bigl(b_1(t)+b_2(t)\bigr)$
\end{Prop}

\begin{proof}
$$
\begin{aligned}
        (x_1+x_2)'=x_1'+x_2'
        &= \bigl(a(t)\,x_1 +b_1\bigr)+\bigl(a(t)\,x_2+b_2\bigr)  \\
        &= a(t)\bigl(x_1+x_2\bigr) +(b_1+b_2) 
\end{aligned}
$$
\end{proof}
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\section{Le deuxième ordre à coefficients constants}
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\subsection{Un peu de vocabulaire}
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\begin{Df}[\'Equation linéaire du deuxième ordre à
coefficients  constants]\alaligne

        On appelle \emph{équation différentielle linéaire du
deuxième ordre à coefficients constants}, une équation du type :
$$
x''+a\,x'+b\,x=c(t)\qquad (\mathcal{E})
$$$a$ et $b$ sont des scalaires de  $\K$ et $c$ une fonction
continue d'un intervalle $I$ à valeurs dans $\K$.
\end{Df}

\begin{Df}[\'Equation homogène]\alaligne

        On appelle \emph{équation homogène associée à }
$(\mathcal{E})$, l'équation
$$
x''+a\,x'+b\,x=0 \qquad (\mathcal{H})
$$
\end{Df}

\begin{Df}[$J$-solution]\alaligne

        Si $J$ est un sous-intervalle de $I$, une \emph{$J$-solution}
de $(\mathcal{E})$ est une fonction $x$
de classe $\mathcal{C}^2$ sur $J$ telle que :
$$
\forall t\in J,\ \quad x''(t) + a\,x'(t) +b\,x(t)=c(t)
$$
\end{Df}

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\subsection{Résolution de l'équation homogène}
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\subsubsection{\'Equation caractéristique}
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\begin{Prop}
    $t\in\R\mapsto \exp(rt)$ est une $\R$-solution de $(\mathcal{H})$
si, et seulement si,
$r$ est solution de $r^2+ar+b=0$; cette équation est appelée
\emph{équation caractéristique}.
\end{Prop}

\begin{proof}
    Puisque $x(t)=\exp(rt)$, on obtient $x'(t)=r\,\exp(rt)$  et $x''(t)=r^2\exp(rt)$.
Alors, $0=x''(t)+ax'(t)+bx(t)=(\exp rt)(r^2+a\,r+b)\iff r^2+a\,r+b=0$ car
$\forall t\in \R$, $\exp(rt)\not = 0$.
\end{proof}
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%--------------------------------------------------
\subsubsection{Dimension de l'espace des solutions}
%--------------------------------------------------

\begin{Th}
    Les solutions de $(\mathcal{H})$ sont définies sur $\R$, ce
sont des $\R$-solutions; elles constituent un $\K$-espace
vectoriel de dimension 2.
\end{Th}
\begin{proof}
        Soit $r$ une solution de l'équation caractéristique $r^2+ar+b=0$. On utilise
le changement de fonction : $ x=\exp(rt)y $. En dérivant et en substituant $x$
dans l'équation, on trouve :
\begin{align*}
x'      &=      r\exp(rt)y+\exp(rt)y'           \\
x''     &=      r^2\exp(rt)y+2r\exp(rt)y'+\exp(rt)y''           \\
0       &=      \bigl(r^2\exp(rt)y+2r\exp(rt)y'+\exp(rt)y''\bigr)+
                                a\bigl(r\exp(rt)y+\exp(rt)y'\bigr)+b\exp(rt)y           \\
        &=      (r^2+ar+b)\exp(rt)y+(2r+a)\exp(rt)y'+\exp(rt)y''        \\
        &=      0+(2r+a)\exp(rt)y'+\exp(rt)y''
\end{align*}
La fonction $x$ est donc solution de $(\mcal{H})$ si, et seulement si,
$(2r+a)y'+y''=0$.

        Si $r$ est une racine simple de l'équation caractéristique, $2r+a$ n'est pas
nul, et
\begin{align*}
(2r+a)&y'+y''=0                 \\
&\iff   \exists k_1\in\K,\ \qqs t\in\R,\ y'(t)=k_1\exp\bigl(-(2r+a)t\bigr)      \\
&\iff   \exists (k_1,k_2)\in\K^2,\ \qqs t\in\R,\ y(t)=-\ra{k_1}{2r+a}\exp\bigl(-(2r+a)t\bigr)+k_2 \\
&\iff   \exists (\lambda_1,k_2)\in\K^2,\ \qqs t\in\R,\
                x(t)=\exp(rt)y(t)=\lambda_1\exp\bigl(-(r+a)t\bigr)+k_2\exp(rt)  \\
\end{align*}
Rappelons que $-(r+a)$ est l'autre racine (simple) de l'équation caractéristique.

        Si $r$ est une racine double de l'équation caractéristique, $2r+a$ est nul,
et
\begin{align*}
y''=0   &\iff   \exists(k_1,k_2)\in\K^2,\ \qqs t\in\R,\ y(t)=k_1+k_2t           \\
        &\iff   \exists(k_1,k_2)\in\K^2,\ \qqs t\in\R,\ x(t)=\exp(rt)y(t)=(k_1+k_2t)\exp(rt)
\end{align*}
\end{proof}

%--------------------------------------------------
\subsubsection{Le cas complexe}
%--------------------------------------------------

\begin{Prop}
    Soit $\Delta=a^2-4b$ le discriminant de l'équation caractéristique.
    
    Si $\Delta\not=0$, l'équation caractéristique possède
deux racines distinctes $r_1$ et $r_2$ et les deux fonctions non 
proportionnelles $t\mapsto\exp(r_1t)$ et $t\mapsto\exp(r_2t)$
constituent une base de l'espace des $\R$-solutions de $(\mathcal{H})$.

\Reponse[Bflushleft]{
$\dps 
\Delta\not=0 :
$
                \\
$\dps
x\text{ est une $\R$-solution de }(\mathcal{H})
\iff
\exists(k_1,k_2)\in\C^2, \forall t\in\R, x(t)=k_1\exp(r_1t)+k_2\exp(r_2t)
$
}

    Si $\Delta=0$, l'équation caractéristique possède
une racine double $r$. Dans ce cas, $t\mapsto t\exp rt$ est une
$\R$-solution de $(\mathcal{H})$ et les deux fonctions non
proportionnelles $t\mapsto\exp(rt)$ et $t\mapsto t\exp(rt)$
constituent une base de l'espace des solutions de $(\mathcal{H})$.

\Reponse[Bflushleft]{
$\dps \Delta=0 :$
\\
$\dps 
x\textit{ est une $\R$-solution de }(\mathcal{H})
\iff
\exists(k_1,k_2)\in\C^2, \forall t\in\R, x(t)=(k_1+k_2t)\exp(rt)
$
}       
\end{Prop}

%--------------------------------------------------
\subsubsection{Le cas réel}
%--------------------------------------------------

\begin{Prop}
     Si $\Delta>0$, l'équation caractéristique possède
deux racines réelles distinctes $r_1$ et $r_2$ et les deux fonctions non
proportionnelles $t\mapsto\exp(r_1t)$ et $t\mapsto\exp(r_2t)$
constituent une base de l'espace des $\R$-solutions de $(\mathcal{H})$.

\Reponse[Bflushleft]{
$\dps \Delta>0 : $
\\
$\dps 
x\textit{ est une $\R$-solution de }(\mathcal{H})
\iff
\exists(k_1,k_2)\in\R^2, \forall t\in\R, x(t)=k_1\exp(r_1t)+k_2\exp(r_2t)
$
}

    Si $\Delta<0$, l'équation caractéristique possède
deux racines complexes conjuguées $r_1=\alpha+i\beta$ et
$r_2=\alpha-i\beta$ avec $\beta\not=0$,  et les deux fonctions non
proportionnelles $t\mapsto\exp(\alpha t)\cos(\beta t)$ et
$t\mapsto\exp(\alpha t)\sin(\beta t)$
constituent une base de l'espace des solutions de $(\mathcal{H})$.

\Reponse[Bflushleft]{
$\dps \Delta<0 : $
\\
$\dps x\textit{ est une $\R$-solution de }(\mathcal{H})$
\\
$\dps
\phantom{x\textit{ est une $\R$}}
\iff
\exists(k_1,k_2)\in\R^2, \forall t\in\R,
        x(t)=\bigl(k_1\cos(\beta t)+k_2\sin(\beta t)\bigr)\exp(\alpha t)
$
}

    Si $\Delta=0$, l'équation caractéristique possède
une racine double réelle $r$; les deux fonctions non
proportionnelles $t\mapsto\exp(rt)$ et $t\mapsto t\exp(rt)$
constituent une base de l'espace des $\R$-solutions de~$(\mathcal{H})$.

\Reponse[Bflushleft]{
$\dps \Delta=0 :$
\\
$\dps
x\textit{ est une $\R$-solution de }(\mathcal{H})
\iff
\exists(k_1,k_2)\in\R^2, \forall t\in\R, x(t)=(k_1+k_2t)\exp(rt)
$
}
\end{Prop}


%---------------------------------------------------------------------
\subsection{Résolution de l'équation complète}
%---------------------------------------------------------------------

%--------------------------------------------------
\subsubsection{Le principe}
%--------------------------------------------------

\begin{Th}
    Soit $X$ une $I$-solution de $(\mathcal{E})$; alors, $x$ est
une $I$-solution de $(\mathcal{E})$
si, et seulement si, $x-X$ est une $I$-solution de $(\mathcal{H})$
\end{Th}

\begin{proof}
On a $X'' + a\,X'+b\,X=c(t)$ et
$$
\begin{aligned}
(x-X)''+a(x-X)'+b(x-X)
        &= x'' + ax'+bx-(X''+aX'+bX)                                                                                                                                                            \\
        &= x'' + ax'+bx-c(t)                                                                                                                                                                                            \\
        &= 0                                                                                                                                                                                                                                                            \\
        &\iff x\textnormal{ est une $I$-solution de }(\mathcal{E})
\end{aligned}
$$
\end{proof}
%--------------------------------------------------


\begin{NB}
    On obtient les $I$-solutions de $(\mathcal{E})$ en ajoutant à une $I$-solution
(particulière) de $(\mathcal{E})$ une $I$-solution quelconque de $(\mathcal{H})$.
\end{NB}

%--------------------------------------------------
\subsubsection{Principe de superposition des solutions}
%--------------------------------------------------

\begin{Prop}
        Soient $c_1$ et $c_2$ deux fonctions continues sur le même
intervalle $I$.

    Si $x_1$ est une $I$-solution de $x'' + a\,x'+b\,x = c_1(t)$ et
    $x_2$ une $I$-solution de $x'' + a\,x'+b\,x = c_2(t)$, alors $(x_1+x_2)$
est une $I$-solution de $x'' + a\,x'+b\,x = c_1(t)+c_2(t)$
\end{Prop}
\begin{proof}
   $$ \begin{aligned}
        (x_1+x_2)'' + a(x_1+x_2)'+b(x_1+x_2) &= (x''_1+a\,x'_1+b\,x_1)
+(x''_2+a\,x'_2+b\,x_2) \\
                                    &= c_1(t) +c_2(t)
    \end{aligned}
    $$
\end{proof}

\subsubsection{Passage du complexe au réel}
\begin{Prop}
    Si $X$ est une $I$-solution de $x''+a\,x'+b\,x=c(t)$, alors $\conjug X$ est
une $I$-solution de $x''+\conjug a x'+\conjug b x=\conjug{c(t)}$.

        Si les scalaires $a$ et $b$ sont  \emph{réels} et $X$
une $I$-solution de  $x''+a\,x'+b\,x=c(t)$, alors $\RE(X)$ (resp. $\IM(X)$) est
une $I$-solution de $x''+a\,x'+b\,x=\RE\big(c(t)\big)$ (resp.
$x''+a\,x'+b\,x=\IM\big(c(t)\big)$).
\end{Prop}

\begin{proof}
        On a $\conjug X'=\conjug{X'}$ et $\conjug X''=\conjug{X''}$. De
même $\RE(X')=\RE(X)'$, $\RE(X'')=\RE(X)''$, $\IM(X')=\IM(X)'$ et
$\IM(X'')=\IM(X)''$.
\end{proof}

%--------------------------------------------------
\subsubsection{Recherche d'une solution particulière dans le cas
d'un second membre de la forme $P(t)\exp(\mu t), P\in\K[X], \mu\in\K$.}
%--------------------------------------------------

\begin{Prop}
        Dans ce cas, les solutions de $(\mathcal{E})$ sont définies sur $\R$.
        
        Si $\mu$ n'est pas racine de l'équation caractéristique, on
recherche une solution particulière de $(\mathcal{E})$ sous la forme
$$
X(t)=Q(t)\exp(\mu t)\textit{ avec }Q\in\K[X]\textit{ et }\deg
Q=\deg P
$$

    Si $\mu$ est racine simple de l'équation caractéristique, on
recherche une solution particulière de $(\mathcal{E})$ sous la forme
$$
X(t)=Q(t)\exp(\mu t)\textit{ avec }Q\in\K[X]\textit{ et }\deg
Q=\deg P+1
$$
ou mieux
$$
X(t)=t\,Q_1(t)\exp(\mu t)\textit{ avec }Q_1\in\K[X]\textit{ et }\deg
Q_1=\deg P
$$

    Si $\mu$ est racine double de l'équation caractéristique, on
recherche une solution particulière de $(\mathcal{E})$ sous la forme
$$
X(t)=Q(t)\exp(\mu t)\textit{ avec }Q\in\K[X]\textit{ et }\deg
Q=\deg P+2
$$
ou mieux sous la forme
$$
X(t)=t^2\,Q_2(t)\exp(\mu t)\textit{ avec }Q_2\in\K[X]\textit{ et }\deg
Q_2 =\deg P
$$
ou mieux encore, on pose $x=z\,\exp(\mu t)$ et on recherche
l'équation différentielle vérifiée par la fonction $z$ (on trouve $z''=P(t)$). 
\end{Prop}

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\section{Le deuxième ordre à coefficients non constants}
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\subsection{Un peu de vocabulaire}
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\begin{Df}[\'Equation linéaire du deuxième ordre à
coefficients non constants]\alaligne

        On appelle \emph{équation différentielle linéaire du
deuxième ordre à coefficients non constants}, une équation du type :
$$
x''+a(t)\,x'+b(t)\,x=c(t)\qquad (\mathcal{E})
$$$a$, $b$ et $c$ sont des fonctions
continues d'un même intervalle $I$ à valeurs dans $\K$, où $\K$ désigne l'un des 
corps $\R$ ou $\C$. 
\end{Df}

\begin{Df}[\'Equation homogène]\alaligne

        On appelle \emph{équation homogène associée à }
$(\mathcal{E})$, l'équation
$$
x''+a(t)\,x'+b(t)\,x=0 \qquad (\mathcal{H})
$$
\end{Df}

\begin{NB}
                Dans ces définitions, le coefficient de $x''$ vaut 1 : on dit
alors que l'équation est \emph{normalisée} ou encore \emph{résolue en}
$x''$.

    Si ce n'est pas le cas, on divise l'équation par le
coefficient de $x''$. Par exemple, $t^2\,x''+x=1$ doit s'écrire
$x''+t^{-2}x=t^{-2}$ et l'intervalle $I$ considéré est l'un des
deux intervalles $\into{-\infty}{0}$ et $\into{0}{+\infty}$.

        Tous les théorèmes de cette section sont relatifs à des équations
\emph{normalisées}. 
\end{NB}

\begin{Df}[$J$-solution]\alaligne

        Si $J$ est un sous-intervalle de $I$, une \emph{$J$-solution}
de $(\mathcal{E})$ est une fonction $x$
de classe $\mathcal{C}^2$ sur $J$ telle que :
$$
\forall t\in J,\ \quad x''(t) + a(t)\,x'(t) +b(t)\,x(t)=c(t)
$$
\end{Df}

%--------------------------------------------------
\subsection{Le problème de Cauchy}
%--------------------------------------------------

\begin{Df}[Conditions initiales]\alaligne

        Une \emph{condition initiale} d'une équation différentielle du deuxième
ordre est un triplet $(t_0,x_0,x'_0)$ de $I\times\K^2$, ce qui correspond
à l'instant initial $t_0$, à la position initiale $x_0$ et à la vitesse 
initiale~$x'_0$. 
\end{Df}

\begin{Df}[Problème de Cauchy]\alaligne

        La fonction $x$ est \emph{solution du problème de Cauchy} de condition
initiale $(t_0,x_0,x'_0)$ si $x$ est une $I$-solution de l'équation
différentielle $(\mathcal{E})$ avec
$$
x(t_0)=x_0\qquad\et\qquad x'(t_0)=x'_0
$$
\end{Df}

\begin{Th}[Cauchy-Lipschitz]\alaligne

        Pour tout triplet $(t_0,x_0,x'_0)\in I\times\K^2$, il existe une unique
$I$-solution de $(\mathcal{E})$ (resp. $(\mathcal{H})$) au problème de Cauchy de
condition initiale $(t_0,x_0,x'_0)$.
        
\end{Th}

\begin{Th}[Structure des solutions de $(\mathcal{E})$ et de $(\mathcal{H})$]\alaligne

        Si $x_1$ et $x_2$ sont deux solutions de l'équation avec second membre
$(\mathcal{E})$,  $x_1-x_2$ est solution de l'équation homogène $(\mathcal{H})$,
\ie() les solutions de $(\mathcal{E})$ sont les sommes des solutions de
$(\mathcal{H})$ et d'une solution de $(\mathcal{E})$.

        L'ensemble $\mcal{S}_\mcal{H}$ des solutions de $(\mathcal{H})$ est un
$\K$-espace vectoriel de dimension deux.

\end{Th}

\begin{proof}
        On a les identités pour tout $t\in I$
\begin{align*}
x''_1(t)+a(t)x'_1(t)+b(t)x_1(t)&=c(t)           \\
x''_2(t)+a(t)x'_2(t)+b(t)x_2(t)&=c(t)           \\
\end{align*}
Par différence, on obtient, en utilisant la linéarité de la dérivation,
\begin{align*}
0       &=      \bigl(x''_1(t)-x''_2(t)\bigr) +
                                a(t)\bigl(x'_1(t)-x'_2(t)\bigr) + b(t)\bigl(x_1(t)-x_2(t)\bigr) \\
        &=(x_1-x_2)''(t)+a(t)(x_1-x_2)'(t)+b(t)(x_1-x_2)(t)
\end{align*}

        L'application qui, à une solution $x$ de $(\mcal{H})$, fait correspondre le
couple $\bigl(x(t_0),x'(t_0)\bigr)\in\K^2$, est une application linéaire. Le
théorème de Cauchy-Lipschitz montre que cette application linéaire est une
bijection. Ainsi, $\mcal{S}_\mcal{H}$ et $\K^2$ sont isomorphes et ont donc même
dimension. 
\end{proof}

\begin{NB}
        L'ensemble $\mcal{S}_\mcal{E}$ des solutions de l'équation différentielle
$(\mcal{E})$ est un sous-espace affine de $\CkIE[I,\K]{2}$ de dimension 2 et de
direction le $\K$-espace vectoriel $\mcal{S}_\mcal{H}$ des solutions de
l'équation différentielle $(\mcal{H})$.
\end{NB}

%--------------------------------------------------
\subsection{Résolution de $(\mcal{E})$ quand on connaît une solution de
$(\mcal{H})$ qui ne s'annule pas sur $I$}
%--------------------------------------------------

Soit $h$ une solution de $(\mcal{H})$ \emph{qui ne s'annule pas sur} $I$; on
effectue le changement de fonction inconnue :
$$
y=\ra{x}{h(t)}\iff x=h(t)y
$$
Ainsi, par dérivation,
\begin{align*}
x'      &=      h'(t)y+h(t)y'           \\
x''     &=      h''(t)y+2h'(t)y'+h(t)y''
\end{align*}
En substituant $x$ dans $(\mcal{E})$, on obtient
\begin{align*}
c(t)    &=      x''+a(t)x'+b(t)x                                                                                                                                                                                \\
                        &=      \bigl(h''(t)y+2h'(t)y'+h(t)y''\bigr)+a(t)\bigl(h'(t)y+h(t)y'\bigr)+b(t)h(t)y                                                            \\
                        &=      h(t)y''+\bigl(2h'(t)+a(t)h(t)\bigr)y'+\bigl(h''(t)+a(t)h'(t)+b(t)h(t)\bigr)     \\
                        &=      h(t)y''+\bigl(2h'(t)+a(t)h(t)\bigr)y'+0
\end{align*}
et $x$ est solution de $(\mcal{E})$ si, et seulement si, $y$ est solution de
$h(t)y''+\bigl(2h'(t)+a(t)h(t)\bigr)y'=c(t)$, \ie{} solution d'une équation
différentielle linéaire du premier ordre en la variable $y'$, équation que l'on
sait résoudre à l'aide de deux quadratures.

\Reponse{$
x=h(t)\,y\text{ est solution de $(\mcal{E})$}
\iff
\left\{
\begin{array}{l}
        y'=z            \\
        \dps z'+\Bigl(2\ra{h'(t)}{h(t)}+a(t)\Bigr)z=\ra{c(t)}{h(t)}
\end{array}
\right.
$}

\begin{NB}
        Les deux intégrations successives donnent l'existence de deux constantes pour 
$x$, ce qui montre que l'ensemble des solutions de $(\mcal{E})$ dépend de deux
constantes. 

\end{NB}

%--------------------------------------------------
\subsection{Wronskien de deux applications}
%--------------------------------------------------

\begin{Df}[Wronskien de deux applications]\alaligne

        On appelle \emph{wronskien} des applications $h_1$ et $h_2$ de classe
$\mcal{C}^1$ sur l'intervalle $I$ et à valeurs dans $\K$, l'application
$w(h_1,h_2)$ définie par
$$
\qqs t\in I,\ w(h_1,h_2)(t)=
\det
\begin{pmatrix}
h_1(t)  &       h_2(t)  \\
h'_1(t) &       h'_2(t)
\end{pmatrix}
=h_1(t)h'_2(t)-h'_1(t)h_2(t)
$$

\end{Df}
\begin{NBs}
        Le wronskien $w(h_1,h_2)$ est une application continue sur $I$.

        Deux applications proportionnelles ont un wronskien identiquement nul.
\end{NBs}
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\begin{Prop}[Wronskien de deux solutions de $(\mcal{H})$]\alaligne

        Soient $h_1$ et $h_2$ deux solutions de $(\mcal{H})$; ou bien le wronskien
$w(h_1,h_2)$ est identiquement nul sur $I$ et les fonctions
$h_1$ et $h_2$ sont proportionnelles, ou bien le wronskien $w(h_1,h_2)$ ne
s'annule pas sur $I$ et $(h_1,h_2)$ constituent une base de $\mcal{S}_\mcal{H}$.
        
\end{Prop}
\begin{proof}
        Puisque $h_1$ et $h_2$ sont de classe $\mcal{C}^2$, $w(h_1,h_2)$ est une
fonction de classe $\mcal{C}^1$ et, par dérivation
\begin{align*}
w(h_1,h_2)'     &=      (h_1h'_2-h'_1h_2)' = (h'_1h'_2+h_2h''_2)-(h''_2h_2+h'_1h'_2)    \\
                                                &=      h_1h''_2-h''_1h_2
                =       h_1\bigl(-a(t)h'_2-b(t)h_2\bigr)-\bigl(-a(t)h'_1-b(t)h_1\bigr)h_2                               \\
                                                &=      -a(t)\bigl(h_1h'_2-h'_1h_2\bigr)                                \\
                                                &=-a(t)w(h_1,h_2)
\end{align*}
Ainsi $w(h_1,h_2)(t)=w(h_1,h_2)(t_0)\exp\bigl(\int_{t_0}^t -a(u)\,\dt[u]\bigr)$
et $w(h_1,h_2)$ est soit identiquement nul, soit ne s'annule pas sur $I$.

        Si $h_1$ et $h_2$ ne sont pas proportionnelles, $(h_1,h_2)$ constituent une
base de $\mcal{S}_\mcal{H}$ (la dimension est 2). L'isomorphisme
$h\mapsto\bigl(h(t_0),h'(t_0)\bigr)$ de $\mcal{S}_\mcal{H}$ sur $\K^2$ montre
les couples $\bigl(h_1(t_0),h'_1(t_0)\bigr)$ et $\bigl(h_2(t_0),h'_2(t_0)\bigr)$
forment une base de $\K^2$, et $w(h_1,h_2)(t_0)$ est non nul.
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

%----------------------------------------------------------------------
\begin{Prop}[Expression d'une fonction à l'aide d'une base de $\mcal{S}_\mcal{H}$]\alaligne

        Soient $(h_1,h_2)$ une base de $\mcal{S}_\mcal{H}$; pour toute fonction
numérique $f$ de classe $\mcal{C}^2$ sur $I$, il existe un unique couple
$(g_1,g_2)$ de fonctions numériques de classe $\mcal{C}^1$ sur $I$, tel que
$$
\qqs t\in I,\ f(t)=h_1(t)g_1(t)+h_2(t)g_2(t)
\qquad\et\qquad f'(t)=h'_1(t)g_1(t)+h'_2(t)g_2(t)
$$
ou, ce qui est équivalent,
$$
\qqs t\in I,\ f(t)=h_1(t)g_1(t)+h_2(t)g_2(t)
\qquad\et\qquad 0=h_1(t)g'_1(t)+h_2(t)g'_2(t)
$$
\end{Prop}
\begin{proof}
        Rappelons que la matrice $\bigl(\begin{smallmatrix} a & b \\c & d
\end{smallmatrix} \bigr)$ est inversible si, et seulement si, $ad-bc\neq0$, et,
dans ce cas,
$$
\begin{pmatrix} a       &       c       \\      b       &       d       \end{pmatrix}^{-1}=
\ra1{ad-bc}\begin{pmatrix}      d       &       -c      \\      -b      &       a       \end{pmatrix}
$$

        Il suffit de résoudre le système linéaire, pour tout $t\in I$,
\begin{align*}
f(t)    &=      h_1(t)g_1(t)+h_2(t)g_2(t)               \\
f'(t)   &=      h'_1(t)g_1(t)+h'_2(t)g_2(t)
\end{align*}
que l'on écrit matriciellement
$$
\begin{pmatrix}
f(t)    \\      f'(t)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
h_1(t)  &       h_2(t)  \\      h'_1(t) &       h'_2(t)
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
g_1(t)  \\      g_2(t)
\end{pmatrix}
$$
Puisque le wronskien $w(h_1,h_2)(t)$ ne s'annule pas sur $I$, il vient
$$
\begin{pmatrix}
g_1(t)  \\      g_2(t)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
h_1(t)  &       h_2(t)  \\      h'_1(t) &       h'_2(t)
\end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix}
f(t)    \\      f'(t)
\end{pmatrix}
=\ra1{w(h_1,h_2)(t)}
\begin{pmatrix}
h'_2(t) &       -h_2(t) \\      -h'_1(t)        &       h_1(t)
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
f(t)    \\      f'(t)
\end{pmatrix}
$$
On constate que les fonctions $g_1$ et $g_2$ sont uniques et de classe
$\mcal{C}^1$ sur $I$.

        En dérivant l'identité $\qqs t\in I,\ f(t)=h_1(t)g_1(t)+h_2(t)g_2(t)$, on
obtient :
$$
f'(t)=h'_1(t)g_1(t)+h'_2(t)g_2(t)+h_1(t)g'_1(t)+h_2(t)g'_2(t)
$$
On a donc l'équivalence, pour tout $t\in I$,
$$
f'(t)=h'_1(t)g_1(t)+h'_2(t)g_2(t)
\iff
0=h_1(t)g'_1(t)+h_2(t)g'_2(t)
$$
\end{proof}
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%--------------------------------------------------
\subsection{Résolution de $(\mcal{E})$ quand on connaît une base de
$\mcal{S}_\mcal{H}$; méthode de variation \emph{des} constantes}
%--------------------------------------------------

        Soient $(h_1,h_2)$ une base de $\mcal{S}_\mcal{H}$. La proposition précédente
montre que l'on peut rechercher les solutions  $x$ de $(\mcal{E})$ sous la forme
$$
x=h_1(t)y_1+h_2(t)y_2
$$
avec les conditions équivalentes : 
$$
x'=h'_1(t)y_1+h'_2(t)y_2 \iff 0\equiv h_1(t)y'_1+h_2(t)y'_2
$$
En dérivant et en substituant dans l'équation $(\mcal{E})$, on obtient
\begin{align*}
x''             &=      h''_1(t)y_1+h''_2(t)y_2+h'_1(t)y'_1+h'_2(t)y'_2                                         \\
c(t)    &=      x''+a(t)x'+b(t)x                        \\
        &=      \bigl(h''_1(t)y_1+h''_2(t)y_2+h'_1(t)y'_1+h'_2(t)y'_2\bigr)
                        +       a(t)\bigl(h'_1(t)y_1+h'_2(t)y_2\bigr)                                                                                           \\
        &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad +b(t)\bigl(h_1(t)y_1+h_2(t)y_2\bigr)            \\
        &=      \bigl(h''_1(t)+a(t)h'_1(t)+b(t)h_1(t)\bigr)y_1
                        +\bigl(h''_2(t)+a(t)h'_2(t)+b(t)h_2(t)\bigr)y_2                                                         \\
        &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad +\bigl(h'_1(t)y'_1+h'_2(t)y'_2\bigr)    \\
        &=0+0+  h'_1(t)y'_1+h'_2(t)y'_2
\end{align*}
Les fonctions inconnues $y_1$ et $y_2$ sont solutions du système linéaire
\begin{align*}
\qqs t\in I,\qquad\qquad
0                       &=      h_1(t)y'_1+h_2(t)y'_2           \\
c(t)    &=      h'_1(t)y'_1+h'_2(t)y'_2
\end{align*}
ce qui donne, pour tout $t\in I$,
\begin{gather*}
\begin{pmatrix} 0       \\      c(t)    \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} h_1(t)  &       h_2(t)  \\      h'_1(t) &       h'_2(t) \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} y'_1    \\      y'_2    \end{pmatrix}           \\[2ex]
\iff            \\[1ex]
\begin{pmatrix} y'_1    \\      y'_2    \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} h_1(t)  &       h_2(t)  \\      h'_1(t) &       h'_2(t) \end{pmatrix}^{-1}
\begin{pmatrix} 0       \\      c(t)    \end{pmatrix}
=
\ra1{w(h_1,h_2)(t)}
\begin{pmatrix} h'_2(t) &       -h_2(t) \\      -h'_1(t)        &       h_1(t)  \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0       \\      c(t)    \end{pmatrix}
\end{gather*}
d'où l'expression des fonctions $y'_1$ et $y'_2$ :
$$
\qqs t\in I,\
y'_1(t)=\ra{-c(t)h_2(t)}{h_1(t)h'_2(t)-h'_1(t)h_2(t)}
\quad\et\quad
y'_2(t)=\ra{c(t)h_1(t)}{h_1(t)h'_2(t)-h'_1(t)h_2(t)}
$$
Deux intégrations donnent $y_1$ et $y_2$, et donc $x$.

\begin{NB}
        Le problème de la résolution de l'équation différentielle linéaire du deuxième
ordre est donc la détermination d'une solution, qui ne s'annule pas, de l'équation
homogène associée, ou de la détermination de deux solutions non proportionnelles
de cette même équation.

        Il a été démontré qu'il n'existe pas de méthode générale permettant la
détermination de telles solutions, d'où l'intérêt de pouvoir donner des
résultats théoriques sur certain type d'équations, et de pouvoir effectuer des
calculs numériques \emph{rapides} et \emph{soignés}.
        
\end{NB}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: