%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \chapter{\'Equations différentielles linéaires} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \minitoc \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Le premier ordre} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %--------------------------------------------------------------------- \subsection{Un peu de vocabulaire} %--------------------------------------------------------------------- \begin{Df}[\'Equation différentielle linéaire du premier ordre]\alaligne On appelle \emph{équation différentielle linéaire du premier ordre}, une équation du type : $$ x'=a(t)\,x+b(t)\qquad (\mathcal{E}) $$ où $a$ et $b$ sont des fonctions continues d'un intervalle $I$ à valeurs dans $\K$, $\K$ étant l'un des corps $\R$ ou $\C$. \end{Df} \begin{Df}[\'Equation homogène]\alaligne On appelle \emph{équation homogène} ou encore \emph{équation sans second membre} associée à $(\mathcal{E})$, l'équation : $$ x'=a(t)\,x \qquad (\mathcal{H}) $$ \end{Df} \begin{NB} Dans ces définitions, le coefficient de $x'$ vaut 1 : on dit alors que l'équation est \emph{normalisée} ou encore \emph{résolue en} $x'$. Si ce n'est pas le cas, on divise l'équation par le coefficient de $x'$. Par exemple, $t\,x'+x=1$ doit s'écrire $x'=-t^{-1}\,x+t^{-1}$ et l'intervalle $I$ considéré est l'un des deux intervalles $\into{-\infty}{0}$ et $\into{0}{+\infty}$. Tous les théorèmes de cette section sont relatifs à des équations \emph{normalisées}. \end{NB} \begin{Df}[$J$-solution]\alaligne Si $J$ est un sous-intervalle de $I$, une \emph{$J$-solution} de $(\mathcal{E})$ (resp. $(\mathcal{H)}$, est une fonction $x$ de classe $\mathcal{C}^1$ sur $J$ telle que : $$ \forall t\in J,\ x'(t) = a(t)\,x(t)+b(t)\quad \bigl(\textrm{resp.}\ x'(t)=x(t) \bigr) $$ \end{Df} \begin{NB} Si $J_1$ est un sous-intervalle de $J$, la restriction à $J_1$ de toute $J$-solution de $(\mathcal{E})$ (resp. $(\mathcal{H})$), est une $J_1$-solution de $(\mathcal{E})$ (resp. $(\mathcal{H})$). \end{NB} %--------------------------------------------------------------------- \subsection{Résolution de l'équation homogène} %--------------------------------------------------------------------- %-------------------------------------------------- \subsubsection{Le résultat} %-------------------------------------------------- \begin{Th}[fondamental]\alaligne Toutes les solutions de $(\mathcal{H})$ sont définies sur $I$, ce sont des $I$-solutions. L'ensemble des $I$-solutions de $(\mathcal{H})$ constituent une droite vectorielle sur $\K$ dirigée par la fonction $$ t\in I\mapsto \exp\bigl(A(t)\bigr) $$ où $A$ est une primitive de $a$ sur $I$. \Reponse{$\dps x \text{ est une $I$-solution de } (\mathcal{H}) \iff \exists k\in\K,\ \forall t\in I,\ x(t)=k\,\exp\bigl(A(t)\bigr) $} \end{Th} \begin{proof} Il suffit de démontrer que $t\in I\mapsto x(t)\,\exp\bigl(-A(t)\bigr)$ est une fonction constante, si, et seulement si, $x$ est solution de $(\mathcal{H})$. Or $$ \begin{aligned} \qqs t\in I,\ \ra d{dt}\Bigl(x(t)\,\exp\bigl(-A(t)\bigr)\Bigr) &= x'(t)\,\exp\bigl(-A(t)\bigr) - x(t)\,A'(t)\,\exp\bigl(-A(t)\bigr) \\ &= \bigl(x'(t) - a(t)\,x(t)\bigr)\exp\bigl(-A(t)\bigr) \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} x\textnormal{ est solution de }\mathcal{H} &\iff x' =a(t)x \\ &\iff \ra{d}{dt}\Bigl(x(t)\,\exp\bigl(-A(t)\bigr)\Bigr) = 0 \qquad \textnormal{ ($\exp\bigl(- A(t)\bigr)$ ne s'annule pas)} \\ &\iff \exists k\in\K, \forall t\in I, x(t)\,\exp\bigl(-A(t)\bigr) = k \end{aligned} $$ car une fonction dont la dérivée est nulle sur un \textbf{intervalle} est constante. \end{proof} \begin{NBs}\alaligne Toute solution de $(\mathcal{H})$ nulle en un point de $I$ est identiquement nulle sur $I$. Deux solutions de $(\mathcal{H})$ qui coïncident en un point de $I$, sont identiques sur $I$. Les $I$-solutions de l'équation différentielle $x'+a(t)\,x=0$ sont les fonctions $$ t\in I\mapsto k\,\exp\bigl(-A(t)\bigr) $$ où $A$ est une primitive de $a$ sur $I$ et $k$ une constante de $\K$. \end{NBs} %-------------------------------------------------- \subsubsection{Le problème de Cauchy} %-------------------------------------------------- Pour toute donnée initiale $(t_0,x_0)\in I\times \K$, il existe une unique solution $x$ de $(\mathcal{H})$ telle que $x(t_0)=x_0$, à savoir $$ x :t\in I\mapsto x(t)=x_0\exp\biggl(\int_{t_0}^t a(u)\,\dt[u]\biggr) $$ %--------------------------------------------------------------------- \subsection{Résolution de l'équation complète} %--------------------------------------------------------------------- %-------------------------------------------------- \subsubsection{Le principe} %-------------------------------------------------- \begin{Th} Soit $X$ une $I$-solution de $(\mathcal{E})$; alors, $x$ est une $I$-solution de $(\mathcal{E})$ si, et seulement si, $x-X$ est une $I$-solution de $(\mathcal{H})$. \end{Th} \begin{proof} On a $X' = a(t)X+b(t)$ et $$ \begin{aligned} (x-X)'=a(t)(x-X) &\iff x'-X'=x'-\bigl(a(t)\,X+b(t)\bigr)=a(t)(x-X) \\ &\iff x' = a(t)x +b(t) \\ &\iff x\textnormal{ est une $I$-solution de }(\mathcal{E}) \end{aligned} $$ \end{proof} %-------------------------------------------------- \begin{NB} On obtient les $I$-solutions de $(\mathcal{E})$ en ajoutant à une $I$-solution (particulière) de $(\mathcal{E})$ une $I$-solution (quelconque) de $(\mathcal{H})$. \end{NB} Comment trouver cette solution particulière? C'est l'objet de la méthode de la variation de la constante. %-------------------------------------------------- \subsubsection{Méthode de la variation de la constante} %-------------------------------------------------- On pose $x=z\,\exp(A)$, soit $z(t)=x(t)\exp\bigl(A(t)\bigr)$ pour $t\in I$ (on effectue un \emph{changement de fonction inconnue}); $z$ est une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$ si, et seulement si, $x$ est une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ sur $I$, et, pour tout $t\in I$, $$ \begin{aligned} x'(t) = a(t)x(t)+b(t) &\iff z'(t)\exp\bigl(A(t)\bigr) + z(t)\,A'(t)\,\exp\bigl(A(t)\bigr)= a(t)z(t)\exp\bigl(A(t)\bigr)+b(t) \\ &\iff z'(t)\exp\bigl(A(t)\bigr)=b(t) \\ \end{aligned} $$ Ainsi $x$ est solution de $(\mathcal{E})$ si, et seulement si, $z$ est solution de $z'\exp(A)=c$, {}\ie $$ \exists k\in\K,\ \forall t\in I,\ z(t)=\int_{t_0}^t \exp\bigl(-A(u)\bigr)c(u)\,\dt[u] + k $$ Remarquez que $z$ est une primitive (sur $I$) de la fonction continue (sur $I$) $t\mapsto c(t)\exp\bigl(-A(t)\bigr)$, ce qui donne le \begin{Th} Toute solution de $(\mathcal{E})$ est définie sur $I$. L'ensemble des $I$-solutions de $(\mathcal{E})$ constituent une droite affine sur $\K$. \begin{Bminipage}{.9\linewidth} \begin{multline*} x \text{ est une $I$-solution de } (\mathcal{E}) \iff \\ \exists k\in\K,\ \forall t\in I,\ x(t)=\biggl(\int_{t_0}^t \exp\bigl(-A(u)\bigr)c(u)\,\dt[u] +k \biggr) \exp\bigl(A(t)\bigr) \end{multline*} \end{Bminipage} \end{Th} %-------------------------------------------------- \subsubsection{Le problème de Cauchy} %-------------------------------------------------- Pour toute donnée initiale $(t_0,x_0)\in I\times \K$, il existe une unique solution $x$ de $(\mathcal{E})$ telle que $x(t_0)=x_0$, à savoir $$ t\in I\mapsto \biggl(\int_{t_0}^t \exp\bigl(-A(u)\bigr)c(u)\,\dt[u] +x_0 \biggr) \exp\bigl(A(t)\bigr) \textrm{ avec }A(t)=\int_{t_0}^t a(u)\,\dt[u] $$ \begin{NBs} Deux solutions de $(\mathcal{E})$ qui coïncident en un point de $I$, sont identiques sur $I$. Si $J$ est un sous-intervalle de $I$, toute $J$-solution de $(\mathcal{E})$ se prolonge en une unique $I$-solution de $(\mathcal{E})$. \end{NBs} %-------------------------------------------------- \subsubsection{Principe de superposition des solutions} %-------------------------------------------------- \begin{Prop} Si $x_1$ est solution de $x' = a(t)\,x + b_1(t)$ et $x_2$ solution de $x' = a(t)\,x + b_2(t)$, alors $(x_1+x_2)$ est solution de $x' = a(t)\,x + \bigl(b_1(t)+b_2(t)\bigr)$ \end{Prop} \begin{proof} $$ \begin{aligned} (x_1+x_2)'=x_1'+x_2' &= \bigl(a(t)\,x_1 +b_1\bigr)+\bigl(a(t)\,x_2+b_2\bigr) \\ &= a(t)\bigl(x_1+x_2\bigr) +(b_1+b_2) \end{aligned} $$ \end{proof} %-------------------------------------------------- %--------------------------------------------------------------------- \section{Le deuxième ordre à coefficients constants} %--------------------------------------------------------------------- %-------------------------------------------------- \subsection{Un peu de vocabulaire} %-------------------------------------------------- \begin{Df}[\'Equation linéaire du deuxième ordre à coefficients constants]\alaligne On appelle \emph{équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients constants}, une équation du type : $$ x''+a\,x'+b\,x=c(t)\qquad (\mathcal{E}) $$ où $a$ et $b$ sont des scalaires de $\K$ et $c$ une fonction continue d'un intervalle $I$ à valeurs dans $\K$. \end{Df} \begin{Df}[\'Equation homogène]\alaligne On appelle \emph{équation homogène associée à } $(\mathcal{E})$, l'équation $$ x''+a\,x'+b\,x=0 \qquad (\mathcal{H}) $$ \end{Df} \begin{Df}[$J$-solution]\alaligne Si $J$ est un sous-intervalle de $I$, une \emph{$J$-solution} de $(\mathcal{E})$ est une fonction $x$ de classe $\mathcal{C}^2$ sur $J$ telle que : $$ \forall t\in J,\ \quad x''(t) + a\,x'(t) +b\,x(t)=c(t) $$ \end{Df} %--------------------------------------------------------------------- \subsection{Résolution de l'équation homogène} %--------------------------------------------------------------------- %-------------------------------------------------- \subsubsection{\'Equation caractéristique} %-------------------------------------------------- \begin{Prop} $t\in\R\mapsto \exp(rt)$ est une $\R$-solution de $(\mathcal{H})$ si, et seulement si, $r$ est solution de $r^2+ar+b=0$; cette équation est appelée \emph{équation caractéristique}. \end{Prop} \begin{proof} Puisque $x(t)=\exp(rt)$, on obtient $x'(t)=r\,\exp(rt)$ et $x''(t)=r^2\exp(rt)$. Alors, $0=x''(t)+ax'(t)+bx(t)=(\exp rt)(r^2+a\,r+b)\iff r^2+a\,r+b=0$ car $\forall t\in \R$, $\exp(rt)\not = 0$. \end{proof} %-------------------------------------------------- %-------------------------------------------------- \subsubsection{Dimension de l'espace des solutions} %-------------------------------------------------- \begin{Th} Les solutions de $(\mathcal{H})$ sont définies sur $\R$, ce sont des $\R$-solutions; elles constituent un $\K$-espace vectoriel de dimension 2. \end{Th} \begin{proof} Soit $r$ une solution de l'équation caractéristique $r^2+ar+b=0$. On utilise le changement de fonction : $ x=\exp(rt)y $. En dérivant et en substituant $x$ dans l'équation, on trouve : \begin{align*} x' &= r\exp(rt)y+\exp(rt)y' \\ x'' &= r^2\exp(rt)y+2r\exp(rt)y'+\exp(rt)y'' \\ 0 &= \bigl(r^2\exp(rt)y+2r\exp(rt)y'+\exp(rt)y''\bigr)+ a\bigl(r\exp(rt)y+\exp(rt)y'\bigr)+b\exp(rt)y \\ &= (r^2+ar+b)\exp(rt)y+(2r+a)\exp(rt)y'+\exp(rt)y'' \\ &= 0+(2r+a)\exp(rt)y'+\exp(rt)y'' \end{align*} La fonction $x$ est donc solution de $(\mcal{H})$ si, et seulement si, $(2r+a)y'+y''=0$. Si $r$ est une racine simple de l'équation caractéristique, $2r+a$ n'est pas nul, et \begin{align*} (2r+a)&y'+y''=0 \\ &\iff \exists k_1\in\K,\ \qqs t\in\R,\ y'(t)=k_1\exp\bigl(-(2r+a)t\bigr) \\ &\iff \exists (k_1,k_2)\in\K^2,\ \qqs t\in\R,\ y(t)=-\ra{k_1}{2r+a}\exp\bigl(-(2r+a)t\bigr)+k_2 \\ &\iff \exists (\lambda_1,k_2)\in\K^2,\ \qqs t\in\R,\ x(t)=\exp(rt)y(t)=\lambda_1\exp\bigl(-(r+a)t\bigr)+k_2\exp(rt) \\ \end{align*} Rappelons que $-(r+a)$ est l'autre racine (simple) de l'équation caractéristique. Si $r$ est une racine double de l'équation caractéristique, $2r+a$ est nul, et \begin{align*} y''=0 &\iff \exists(k_1,k_2)\in\K^2,\ \qqs t\in\R,\ y(t)=k_1+k_2t \\ &\iff \exists(k_1,k_2)\in\K^2,\ \qqs t\in\R,\ x(t)=\exp(rt)y(t)=(k_1+k_2t)\exp(rt) \end{align*} \end{proof} %-------------------------------------------------- \subsubsection{Le cas complexe} %-------------------------------------------------- \begin{Prop} Soit $\Delta=a^2-4b$ le discriminant de l'équation caractéristique. Si $\Delta\not=0$, l'équation caractéristique possède deux racines distinctes $r_1$ et $r_2$ et les deux fonctions non proportionnelles $t\mapsto\exp(r_1t)$ et $t\mapsto\exp(r_2t)$ constituent une base de l'espace des $\R$-solutions de $(\mathcal{H})$. \Reponse[Bflushleft]{ $\dps \Delta\not=0 : $ \\ $\dps x\text{ est une $\R$-solution de }(\mathcal{H}) \iff \exists(k_1,k_2)\in\C^2, \forall t\in\R, x(t)=k_1\exp(r_1t)+k_2\exp(r_2t) $ } Si $\Delta=0$, l'équation caractéristique possède une racine double $r$. Dans ce cas, $t\mapsto t\exp rt$ est une $\R$-solution de $(\mathcal{H})$ et les deux fonctions non proportionnelles $t\mapsto\exp(rt)$ et $t\mapsto t\exp(rt)$ constituent une base de l'espace des solutions de $(\mathcal{H})$. \Reponse[Bflushleft]{ $\dps \Delta=0 :$ \\ $\dps x\textit{ est une $\R$-solution de }(\mathcal{H}) \iff \exists(k_1,k_2)\in\C^2, \forall t\in\R, x(t)=(k_1+k_2t)\exp(rt) $ } \end{Prop} %-------------------------------------------------- \subsubsection{Le cas réel} %-------------------------------------------------- \begin{Prop} Si $\Delta>0$, l'équation caractéristique possède deux racines réelles distinctes $r_1$ et $r_2$ et les deux fonctions non proportionnelles $t\mapsto\exp(r_1t)$ et $t\mapsto\exp(r_2t)$ constituent une base de l'espace des $\R$-solutions de $(\mathcal{H})$. \Reponse[Bflushleft]{ $\dps \Delta>0 : $ \\ $\dps x\textit{ est une $\R$-solution de }(\mathcal{H}) \iff \exists(k_1,k_2)\in\R^2, \forall t\in\R, x(t)=k_1\exp(r_1t)+k_2\exp(r_2t) $ } Si $\Delta<0$, l'équation caractéristique possède deux racines complexes conjuguées $r_1=\alpha+i\beta$ et $r_2=\alpha-i\beta$ avec $\beta\not=0$, et les deux fonctions non proportionnelles $t\mapsto\exp(\alpha t)\cos(\beta t)$ et $t\mapsto\exp(\alpha t)\sin(\beta t)$ constituent une base de l'espace des solutions de $(\mathcal{H})$. \Reponse[Bflushleft]{ $\dps \Delta<0 : $ \\ $\dps x\textit{ est une $\R$-solution de }(\mathcal{H})$ \\ $\dps \phantom{x\textit{ est une $\R$}} \iff \exists(k_1,k_2)\in\R^2, \forall t\in\R, x(t)=\bigl(k_1\cos(\beta t)+k_2\sin(\beta t)\bigr)\exp(\alpha t) $ } Si $\Delta=0$, l'équation caractéristique possède une racine double réelle $r$; les deux fonctions non proportionnelles $t\mapsto\exp(rt)$ et $t\mapsto t\exp(rt)$ constituent une base de l'espace des $\R$-solutions de~$(\mathcal{H})$. \Reponse[Bflushleft]{ $\dps \Delta=0 :$ \\ $\dps x\textit{ est une $\R$-solution de }(\mathcal{H}) \iff \exists(k_1,k_2)\in\R^2, \forall t\in\R, x(t)=(k_1+k_2t)\exp(rt) $ } \end{Prop} %--------------------------------------------------------------------- \subsection{Résolution de l'équation complète} %--------------------------------------------------------------------- %-------------------------------------------------- \subsubsection{Le principe} %-------------------------------------------------- \begin{Th} Soit $X$ une $I$-solution de $(\mathcal{E})$; alors, $x$ est une $I$-solution de $(\mathcal{E})$ si, et seulement si, $x-X$ est une $I$-solution de $(\mathcal{H})$ \end{Th} \begin{proof} On a $X'' + a\,X'+b\,X=c(t)$ et $$ \begin{aligned} (x-X)''+a(x-X)'+b(x-X) &= x'' + ax'+bx-(X''+aX'+bX) \\ &= x'' + ax'+bx-c(t) \\ &= 0 \\ &\iff x\textnormal{ est une $I$-solution de }(\mathcal{E}) \end{aligned} $$ \end{proof} %-------------------------------------------------- \begin{NB} On obtient les $I$-solutions de $(\mathcal{E})$ en ajoutant à une $I$-solution (particulière) de $(\mathcal{E})$ une $I$-solution quelconque de $(\mathcal{H})$. \end{NB} %-------------------------------------------------- \subsubsection{Principe de superposition des solutions} %-------------------------------------------------- \begin{Prop} Soient $c_1$ et $c_2$ deux fonctions continues sur le même intervalle $I$. Si $x_1$ est une $I$-solution de $x'' + a\,x'+b\,x = c_1(t)$ et $x_2$ une $I$-solution de $x'' + a\,x'+b\,x = c_2(t)$, alors $(x_1+x_2)$ est une $I$-solution de $x'' + a\,x'+b\,x = c_1(t)+c_2(t)$ \end{Prop} \begin{proof} $$ \begin{aligned} (x_1+x_2)'' + a(x_1+x_2)'+b(x_1+x_2) &= (x''_1+a\,x'_1+b\,x_1) +(x''_2+a\,x'_2+b\,x_2) \\ &= c_1(t) +c_2(t) \end{aligned} $$ \end{proof} \subsubsection{Passage du complexe au réel} \begin{Prop} Si $X$ est une $I$-solution de $x''+a\,x'+b\,x=c(t)$, alors $\conjug X$ est une $I$-solution de $x''+\conjug a x'+\conjug b x=\conjug{c(t)}$. Si les scalaires $a$ et $b$ sont \emph{réels} et $X$ une $I$-solution de $x''+a\,x'+b\,x=c(t)$, alors $\RE(X)$ (resp. $\IM(X)$) est une $I$-solution de $x''+a\,x'+b\,x=\RE\big(c(t)\big)$ (resp. $x''+a\,x'+b\,x=\IM\big(c(t)\big)$). \end{Prop} \begin{proof} On a $\conjug X'=\conjug{X'}$ et $\conjug X''=\conjug{X''}$. De même $\RE(X')=\RE(X)'$, $\RE(X'')=\RE(X)''$, $\IM(X')=\IM(X)'$ et $\IM(X'')=\IM(X)''$. \end{proof} %-------------------------------------------------- \subsubsection{Recherche d'une solution particulière dans le cas d'un second membre de la forme $P(t)\exp(\mu t), P\in\K[X], \mu\in\K$.} %-------------------------------------------------- \begin{Prop} Dans ce cas, les solutions de $(\mathcal{E})$ sont définies sur $\R$. Si $\mu$ n'est pas racine de l'équation caractéristique, on recherche une solution particulière de $(\mathcal{E})$ sous la forme $$ X(t)=Q(t)\exp(\mu t)\textit{ avec }Q\in\K[X]\textit{ et }\deg Q=\deg P $$ Si $\mu$ est racine simple de l'équation caractéristique, on recherche une solution particulière de $(\mathcal{E})$ sous la forme $$ X(t)=Q(t)\exp(\mu t)\textit{ avec }Q\in\K[X]\textit{ et }\deg Q=\deg P+1 $$ ou mieux $$ X(t)=t\,Q_1(t)\exp(\mu t)\textit{ avec }Q_1\in\K[X]\textit{ et }\deg Q_1=\deg P $$ Si $\mu$ est racine double de l'équation caractéristique, on recherche une solution particulière de $(\mathcal{E})$ sous la forme $$ X(t)=Q(t)\exp(\mu t)\textit{ avec }Q\in\K[X]\textit{ et }\deg Q=\deg P+2 $$ ou mieux sous la forme $$ X(t)=t^2\,Q_2(t)\exp(\mu t)\textit{ avec }Q_2\in\K[X]\textit{ et }\deg Q_2 =\deg P $$ ou mieux encore, on pose $x=z\,\exp(\mu t)$ et on recherche l'équation différentielle vérifiée par la fonction $z$ (on trouve $z''=P(t)$). \end{Prop} %--------------------------------------------------------------------- \section{Le deuxième ordre à coefficients non constants} %--------------------------------------------------------------------- %-------------------------------------------------- \subsection{Un peu de vocabulaire} %-------------------------------------------------- \begin{Df}[\'Equation linéaire du deuxième ordre à coefficients non constants]\alaligne On appelle \emph{équation différentielle linéaire du deuxième ordre à coefficients non constants}, une équation du type : $$ x''+a(t)\,x'+b(t)\,x=c(t)\qquad (\mathcal{E}) $$ où $a$, $b$ et $c$ sont des fonctions continues d'un même intervalle $I$ à valeurs dans $\K$, où $\K$ désigne l'un des corps $\R$ ou $\C$. \end{Df} \begin{Df}[\'Equation homogène]\alaligne On appelle \emph{équation homogène associée à } $(\mathcal{E})$, l'équation $$ x''+a(t)\,x'+b(t)\,x=0 \qquad (\mathcal{H}) $$ \end{Df} \begin{NB} Dans ces définitions, le coefficient de $x''$ vaut 1 : on dit alors que l'équation est \emph{normalisée} ou encore \emph{résolue en} $x''$. Si ce n'est pas le cas, on divise l'équation par le coefficient de $x''$. Par exemple, $t^2\,x''+x=1$ doit s'écrire $x''+t^{-2}x=t^{-2}$ et l'intervalle $I$ considéré est l'un des deux intervalles $\into{-\infty}{0}$ et $\into{0}{+\infty}$. Tous les théorèmes de cette section sont relatifs à des équations \emph{normalisées}. \end{NB} \begin{Df}[$J$-solution]\alaligne Si $J$ est un sous-intervalle de $I$, une \emph{$J$-solution} de $(\mathcal{E})$ est une fonction $x$ de classe $\mathcal{C}^2$ sur $J$ telle que : $$ \forall t\in J,\ \quad x''(t) + a(t)\,x'(t) +b(t)\,x(t)=c(t) $$ \end{Df} %-------------------------------------------------- \subsection{Le problème de Cauchy} %-------------------------------------------------- \begin{Df}[Conditions initiales]\alaligne Une \emph{condition initiale} d'une équation différentielle du deuxième ordre est un triplet $(t_0,x_0,x'_0)$ de $I\times\K^2$, ce qui correspond à l'instant initial $t_0$, à la position initiale $x_0$ et à la vitesse initiale~$x'_0$. \end{Df} \begin{Df}[Problème de Cauchy]\alaligne La fonction $x$ est \emph{solution du problème de Cauchy} de condition initiale $(t_0,x_0,x'_0)$ si $x$ est une $I$-solution de l'équation différentielle $(\mathcal{E})$ avec $$ x(t_0)=x_0\qquad\et\qquad x'(t_0)=x'_0 $$ \end{Df} \begin{Th}[Cauchy-Lipschitz]\alaligne Pour tout triplet $(t_0,x_0,x'_0)\in I\times\K^2$, il existe une unique $I$-solution de $(\mathcal{E})$ (resp. $(\mathcal{H})$) au problème de Cauchy de condition initiale $(t_0,x_0,x'_0)$. \end{Th} \begin{Th}[Structure des solutions de $(\mathcal{E})$ et de $(\mathcal{H})$]\alaligne Si $x_1$ et $x_2$ sont deux solutions de l'équation avec second membre $(\mathcal{E})$, $x_1-x_2$ est solution de l'équation homogène $(\mathcal{H})$, \ie() les solutions de $(\mathcal{E})$ sont les sommes des solutions de $(\mathcal{H})$ et d'une solution de $(\mathcal{E})$. L'ensemble $\mcal{S}_\mcal{H}$ des solutions de $(\mathcal{H})$ est un $\K$-espace vectoriel de dimension deux. \end{Th} \begin{proof} On a les identités pour tout $t\in I$ \begin{align*} x''_1(t)+a(t)x'_1(t)+b(t)x_1(t)&=c(t) \\ x''_2(t)+a(t)x'_2(t)+b(t)x_2(t)&=c(t) \\ \end{align*} Par différence, on obtient, en utilisant la linéarité de la dérivation, \begin{align*} 0 &= \bigl(x''_1(t)-x''_2(t)\bigr) + a(t)\bigl(x'_1(t)-x'_2(t)\bigr) + b(t)\bigl(x_1(t)-x_2(t)\bigr) \\ &=(x_1-x_2)''(t)+a(t)(x_1-x_2)'(t)+b(t)(x_1-x_2)(t) \end{align*} L'application qui, à une solution $x$ de $(\mcal{H})$, fait correspondre le couple $\bigl(x(t_0),x'(t_0)\bigr)\in\K^2$, est une application linéaire. Le théorème de Cauchy-Lipschitz montre que cette application linéaire est une bijection. Ainsi, $\mcal{S}_\mcal{H}$ et $\K^2$ sont isomorphes et ont donc même dimension. \end{proof} \begin{NB} L'ensemble $\mcal{S}_\mcal{E}$ des solutions de l'équation différentielle $(\mcal{E})$ est un sous-espace affine de $\CkIE[I,\K]{2}$ de dimension 2 et de direction le $\K$-espace vectoriel $\mcal{S}_\mcal{H}$ des solutions de l'équation différentielle $(\mcal{H})$. \end{NB} %-------------------------------------------------- \subsection{Résolution de $(\mcal{E})$ quand on connaît une solution de $(\mcal{H})$ qui ne s'annule pas sur $I$} %-------------------------------------------------- Soit $h$ une solution de $(\mcal{H})$ \emph{qui ne s'annule pas sur} $I$; on effectue le changement de fonction inconnue : $$ y=\ra{x}{h(t)}\iff x=h(t)y $$ Ainsi, par dérivation, \begin{align*} x' &= h'(t)y+h(t)y' \\ x'' &= h''(t)y+2h'(t)y'+h(t)y'' \end{align*} En substituant $x$ dans $(\mcal{E})$, on obtient \begin{align*} c(t) &= x''+a(t)x'+b(t)x \\ &= \bigl(h''(t)y+2h'(t)y'+h(t)y''\bigr)+a(t)\bigl(h'(t)y+h(t)y'\bigr)+b(t)h(t)y \\ &= h(t)y''+\bigl(2h'(t)+a(t)h(t)\bigr)y'+\bigl(h''(t)+a(t)h'(t)+b(t)h(t)\bigr) \\ &= h(t)y''+\bigl(2h'(t)+a(t)h(t)\bigr)y'+0 \end{align*} et $x$ est solution de $(\mcal{E})$ si, et seulement si, $y$ est solution de $h(t)y''+\bigl(2h'(t)+a(t)h(t)\bigr)y'=c(t)$, \ie{} solution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre en la variable $y'$, équation que l'on sait résoudre à l'aide de deux quadratures. \Reponse{$ x=h(t)\,y\text{ est solution de $(\mcal{E})$} \iff \left\{ \begin{array}{l} y'=z \\ \dps z'+\Bigl(2\ra{h'(t)}{h(t)}+a(t)\Bigr)z=\ra{c(t)}{h(t)} \end{array} \right. $} \begin{NB} Les deux intégrations successives donnent l'existence de deux constantes pour $x$, ce qui montre que l'ensemble des solutions de $(\mcal{E})$ dépend de deux constantes. \end{NB} %-------------------------------------------------- \subsection{Wronskien de deux applications} %-------------------------------------------------- \begin{Df}[Wronskien de deux applications]\alaligne On appelle \emph{wronskien} des applications $h_1$ et $h_2$ de classe $\mcal{C}^1$ sur l'intervalle $I$ et à valeurs dans $\K$, l'application $w(h_1,h_2)$ définie par $$ \qqs t\in I,\ w(h_1,h_2)(t)= \det \begin{pmatrix} h_1(t) & h_2(t) \\ h'_1(t) & h'_2(t) \end{pmatrix} =h_1(t)h'_2(t)-h'_1(t)h_2(t) $$ \end{Df} \begin{NBs} Le wronskien $w(h_1,h_2)$ est une application continue sur $I$. Deux applications proportionnelles ont un wronskien identiquement nul. \end{NBs} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Prop}[Wronskien de deux solutions de $(\mcal{H})$]\alaligne Soient $h_1$ et $h_2$ deux solutions de $(\mcal{H})$; ou bien le wronskien $w(h_1,h_2)$ est identiquement nul sur $I$ et les fonctions $h_1$ et $h_2$ sont proportionnelles, ou bien le wronskien $w(h_1,h_2)$ ne s'annule pas sur $I$ et $(h_1,h_2)$ constituent une base de $\mcal{S}_\mcal{H}$. \end{Prop} \begin{proof} Puisque $h_1$ et $h_2$ sont de classe $\mcal{C}^2$, $w(h_1,h_2)$ est une fonction de classe $\mcal{C}^1$ et, par dérivation \begin{align*} w(h_1,h_2)' &= (h_1h'_2-h'_1h_2)' = (h'_1h'_2+h_2h''_2)-(h''_2h_2+h'_1h'_2) \\ &= h_1h''_2-h''_1h_2 = h_1\bigl(-a(t)h'_2-b(t)h_2\bigr)-\bigl(-a(t)h'_1-b(t)h_1\bigr)h_2 \\ &= -a(t)\bigl(h_1h'_2-h'_1h_2\bigr) \\ &=-a(t)w(h_1,h_2) \end{align*} Ainsi $w(h_1,h_2)(t)=w(h_1,h_2)(t_0)\exp\bigl(\int_{t_0}^t -a(u)\,\dt[u]\bigr)$ et $w(h_1,h_2)$ est soit identiquement nul, soit ne s'annule pas sur $I$. Si $h_1$ et $h_2$ ne sont pas proportionnelles, $(h_1,h_2)$ constituent une base de $\mcal{S}_\mcal{H}$ (la dimension est 2). L'isomorphisme $h\mapsto\bigl(h(t_0),h'(t_0)\bigr)$ de $\mcal{S}_\mcal{H}$ sur $\K^2$ montre les couples $\bigl(h_1(t_0),h'_1(t_0)\bigr)$ et $\bigl(h_2(t_0),h'_2(t_0)\bigr)$ forment une base de $\K^2$, et $w(h_1,h_2)(t_0)$ est non nul. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- %---------------------------------------------------------------------- \begin{Prop}[Expression d'une fonction à l'aide d'une base de $\mcal{S}_\mcal{H}$]\alaligne Soient $(h_1,h_2)$ une base de $\mcal{S}_\mcal{H}$; pour toute fonction numérique $f$ de classe $\mcal{C}^2$ sur $I$, il existe un unique couple $(g_1,g_2)$ de fonctions numériques de classe $\mcal{C}^1$ sur $I$, tel que $$ \qqs t\in I,\ f(t)=h_1(t)g_1(t)+h_2(t)g_2(t) \qquad\et\qquad f'(t)=h'_1(t)g_1(t)+h'_2(t)g_2(t) $$ ou, ce qui est équivalent, $$ \qqs t\in I,\ f(t)=h_1(t)g_1(t)+h_2(t)g_2(t) \qquad\et\qquad 0=h_1(t)g'_1(t)+h_2(t)g'_2(t) $$ \end{Prop} \begin{proof} Rappelons que la matrice $\bigl(\begin{smallmatrix} a & b \\c & d \end{smallmatrix} \bigr)$ est inversible si, et seulement si, $ad-bc\neq0$, et, dans ce cas, $$ \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix}^{-1}= \ra1{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -c \\ -b & a \end{pmatrix} $$ Il suffit de résoudre le système linéaire, pour tout $t\in I$, \begin{align*} f(t) &= h_1(t)g_1(t)+h_2(t)g_2(t) \\ f'(t) &= h'_1(t)g_1(t)+h'_2(t)g_2(t) \end{align*} que l'on écrit matriciellement $$ \begin{pmatrix} f(t) \\ f'(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} h_1(t) & h_2(t) \\ h'_1(t) & h'_2(t) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} g_1(t) \\ g_2(t) \end{pmatrix} $$ Puisque le wronskien $w(h_1,h_2)(t)$ ne s'annule pas sur $I$, il vient $$ \begin{pmatrix} g_1(t) \\ g_2(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} h_1(t) & h_2(t) \\ h'_1(t) & h'_2(t) \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} f(t) \\ f'(t) \end{pmatrix} =\ra1{w(h_1,h_2)(t)} \begin{pmatrix} h'_2(t) & -h_2(t) \\ -h'_1(t) & h_1(t) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} f(t) \\ f'(t) \end{pmatrix} $$ On constate que les fonctions $g_1$ et $g_2$ sont uniques et de classe $\mcal{C}^1$ sur $I$. En dérivant l'identité $\qqs t\in I,\ f(t)=h_1(t)g_1(t)+h_2(t)g_2(t)$, on obtient : $$ f'(t)=h'_1(t)g_1(t)+h'_2(t)g_2(t)+h_1(t)g'_1(t)+h_2(t)g'_2(t) $$ On a donc l'équivalence, pour tout $t\in I$, $$ f'(t)=h'_1(t)g_1(t)+h'_2(t)g_2(t) \iff 0=h_1(t)g'_1(t)+h_2(t)g'_2(t) $$ \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- %-------------------------------------------------- \subsection{Résolution de $(\mcal{E})$ quand on connaît une base de $\mcal{S}_\mcal{H}$; méthode de variation \emph{des} constantes} %-------------------------------------------------- Soient $(h_1,h_2)$ une base de $\mcal{S}_\mcal{H}$. La proposition précédente montre que l'on peut rechercher les solutions $x$ de $(\mcal{E})$ sous la forme $$ x=h_1(t)y_1+h_2(t)y_2 $$ avec les conditions équivalentes : $$ x'=h'_1(t)y_1+h'_2(t)y_2 \iff 0\equiv h_1(t)y'_1+h_2(t)y'_2 $$ En dérivant et en substituant dans l'équation $(\mcal{E})$, on obtient \begin{align*} x'' &= h''_1(t)y_1+h''_2(t)y_2+h'_1(t)y'_1+h'_2(t)y'_2 \\ c(t) &= x''+a(t)x'+b(t)x \\ &= \bigl(h''_1(t)y_1+h''_2(t)y_2+h'_1(t)y'_1+h'_2(t)y'_2\bigr) + a(t)\bigl(h'_1(t)y_1+h'_2(t)y_2\bigr) \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad +b(t)\bigl(h_1(t)y_1+h_2(t)y_2\bigr) \\ &= \bigl(h''_1(t)+a(t)h'_1(t)+b(t)h_1(t)\bigr)y_1 +\bigl(h''_2(t)+a(t)h'_2(t)+b(t)h_2(t)\bigr)y_2 \\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad +\bigl(h'_1(t)y'_1+h'_2(t)y'_2\bigr) \\ &=0+0+ h'_1(t)y'_1+h'_2(t)y'_2 \end{align*} Les fonctions inconnues $y_1$ et $y_2$ sont solutions du système linéaire \begin{align*} \qqs t\in I,\qquad\qquad 0 &= h_1(t)y'_1+h_2(t)y'_2 \\ c(t) &= h'_1(t)y'_1+h'_2(t)y'_2 \end{align*} ce qui donne, pour tout $t\in I$, \begin{gather*} \begin{pmatrix} 0 \\ c(t) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} h_1(t) & h_2(t) \\ h'_1(t) & h'_2(t) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y'_1 \\ y'_2 \end{pmatrix} \\[2ex] \iff \\[1ex] \begin{pmatrix} y'_1 \\ y'_2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} h_1(t) & h_2(t) \\ h'_1(t) & h'_2(t) \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 0 \\ c(t) \end{pmatrix} = \ra1{w(h_1,h_2)(t)} \begin{pmatrix} h'_2(t) & -h_2(t) \\ -h'_1(t) & h_1(t) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ c(t) \end{pmatrix} \end{gather*} d'où l'expression des fonctions $y'_1$ et $y'_2$ : $$ \qqs t\in I,\ y'_1(t)=\ra{-c(t)h_2(t)}{h_1(t)h'_2(t)-h'_1(t)h_2(t)} \quad\et\quad y'_2(t)=\ra{c(t)h_1(t)}{h_1(t)h'_2(t)-h'_1(t)h_2(t)} $$ Deux intégrations donnent $y_1$ et $y_2$, et donc $x$. \begin{NB} Le problème de la résolution de l'équation différentielle linéaire du deuxième ordre est donc la détermination d'une solution, qui ne s'annule pas, de l'équation homogène associée, ou de la détermination de deux solutions non proportionnelles de cette même équation. Il a été démontré qu'il n'existe pas de méthode générale permettant la détermination de telles solutions, d'où l'intérêt de pouvoir donner des résultats théoriques sur certain type d'équations, et de pouvoir effectuer des calculs numériques \emph{rapides} et \emph{soignés}. \end{NB} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: t %%% End: