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\chapter{Espace vectoriel normé}
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\minitoc
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        Dans ce chapitre, $\K$ désigne le corps $\R$ ou le corps $\C$, et $E$ un
$\K$-espace vectoriel de dimension finie ou non.


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\section{Un peu de vocabulaire}
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\subsection{Norme et distance}
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\begin{Df}[Norme]
        On appelle \emph{norme} sur le $\K$-espace vectoriel $E$, toute application
        $\Norme :       E\mapsto\intfo{0}{+\infty}$ vérifiant :
        \begin{prop}
                \item $\qqs\vc{x}\in E,\ \Norme(\vc{x})=0\iff
                        \vc{x}=\vc{0}$ \hspace*{\fill}\emph{ axiome de séparation};
                \item $\qqs(\lambda,\vc{x})\in\K\times E,\ 
                        \Norme(\lambda\vc{x})=\abs{\lambda}\Norme(\vc{x})$
                        \hspace*{\fill}\emph{ axiome d'homogénéité};
                \item $\qqs(\vc{x},\vc{y})\in E^2,\ 
                        \Norme(\vc{x}+\vc{y})\leq\Norme(\vc{x})
                        +\Norme(\vc{y})$ \hspace*{\fill}\emph{ inégalité triangulaire}.
        \end{prop}                
\end{Df}

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\begin{Prop}[Inégalité de Minkowski]
        Pour tout $(\vc{x},\vc{y})\in E^2$, on~a :
        $$
        \abs[\big]{\Norme(\vc{x})-\Norme(\vc{y})}\leq
                \Norme(\vc{x}-\vc{y})
        $$
\end{Prop}

\begin{proof}
        En écrivant $\vc{x}=(\vc{x}-\vc{y})+\vc{y}$, on
obtient à l'aide de l'inégalité triangulaire : $\Norme(\vc{x}) \leq
\Norme(\vc{x}-\vc{y}) + \Norme(\vc{y})$, soit
$\Norme(\vc{x})-\Norme(\vc{y})\leq
\Norme(\vc{x}-\vc{y})$.
En échangeant les rôles de $\vc{x}$ et $\vc{y}$, on obtient :
$\Norme(\vc{y})-\Norme(\vc{x})\leq
\Norme(\vc{y}-\vc{x})=\Norme(\vc{x}-\vc{y})$,
ce qui donne l'inégalité annoncée.
\end{proof}
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\begin{Df}[Distance associée à une norme]                                
        Soit $\Norme$ une norme sur $E$; on appelle \emph{distance associée à}
$\Norme$ l'application $\dist : E\times E\mapsto \intfo{0}{+\infty}$ définie par :
$$
\dist(\vc{x},\vc{y})=\Norme(\vc{y}-\vc{x})
$$
\end{Df}

Les propriétés suivantes sont des conséquences immédiates de la définition :
\begin{prop}
        \item $\qqs(\vc{x},\vc{y})\in E^2,\ \dist(\vc{x},\vc{y})=0
                \iff \vc{x}=\vc{y}$ \hspace*{\fill} \emph{axiome de séparation};
        \item $\qqs(\vc{x},\vc{y})\in E^2,\ \dist(\vc{x},\vc{y})=
                d(\vc{y},\vc{x})$ \hspace*{\fill} \emph{axiome de symétrie};
        \item $\qqs(\vc{x},\vc{y},\vc{z})\in E^3,\
                \dist(\vc{x},\vc{z})\leq \dist(\vc{x},\vc{y})+
                \dist(\vc{y},\vc{z})$
                \hspace*{\fill} \emph{inégalité triangulaire};
        \item $\qqs (\vc{a},\vc{x},\vc{y})\in E^3,\
                \dist(\vc{x}+\vc{a},\vc{y}+\vc{a})=\dist(\vc{x},\vc{y})$
                \hspace*{\fill} \emph{invariance par translation};
        \item $\qqs(\lambda,\vc{x},\vc{y})\in\K\times E^2,\
                \dist(\lambda\vc{x},\lambda\vc{y})=\abs{\lambda}\dist(\vc{x},\vc{y})$
                \hspace*{\fill} \emph{homogénéité}.
\end{prop}

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\subsection{Boules}
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\begin{Df}[Boules ouverte et fermée]
        Soit $\vc{a}\in E$ et $r\in\into{0}{+\infty}$.

        L'ensemble $\Bo ar=\ens{\vc{x}\in E}{\Norme(\vc{x}-\vc{a})
=\dist(\vc{a},\vc{x})<r}$ est appelée \emph{boule ouverte de centre $\vc{a}$
        et de rayon $r$}.
  
        L'ensemble $\Bf ar=\ens{\vc{x}\in E}{\Norme(\vc{x}-\vc{a})
=\dist(\vc{a},\vc{x})\leq r}$ est appelée
\emph{boule fermée de centre $\vc{a}$
et de rayon $r$}.
\end{Df}

Rappelons la définition d'un ensemble convexe :
\begin{Df}[Ensemble convexe]
        Une partie $A$ de $E$ est dite \emph{convexe} si, et seulement si, pour tous $\vc x$ et
$\vc y$ de $A$, le segment d'extrémités $\vc x$ et $\vc y$ est contenu
dans $A$, \ie{} :
$$
\qqs(\vc x,\vc y)\in A,\ \qqs t\in\intf01,\ (1-t)\vc x+t\vc y\in A
$$
\end{Df}

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\begin{Prop}[Convexité des boules]
        Les boules ouvertes et les boules fermées sont des ensembles convexes.
\end{Prop}

\begin{proof}
        Soient $(\vc{a},r)\in E\times\into{0}{+\infty}$; pour $\vc{x}   $ et $\vc{y}$
        dans $\Bo ar$ et $t\in\intf01$, on~a :
\begin{align*}
        d\bigl(\vc{a},(1-t)\vc{x}+t\vc{y}\bigr) 
                &= \Norme\bigl((1-t)\vc{x}+t(\vc{y}-\vc{a})\bigr)
                                = \Norme\bigl((1-t)(\vc{x}-\vc{a})+t(\vc{y}-\vc{a})\bigr)                                                                                                       \\
                &\leq \Norme\bigl((1-t)(\vc{x}-\vc{a})\bigr) +
                        \Norme\bigl(t(\vc{y}-\vc{a})\bigr)                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                              \\
                &= (1-t)\Norme(\vc{x}-\vc{a})+t\Norme(\vc{y}-\vc{a})
                        < (1-t)r + t\,r=r
\end{align*}
Ceci montre que $(1-t)\vc{x} +t\vc{y}\in\Bo ar$ pour tout
$t\in\intf01$, ou encore que le segment d'extrémités
$\vc{x}$ et $\vc{y}$ est contenu dans la boule ouverte $\Bo ar$.

Le lecteur ou la lectrice est invité à montrer la convexité de la boule fermée.
\end{proof}
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\section{Norme euclidienne}
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        Dans cette section, $E$ désigne un $\R$-espace vectoriel de
dimension finie ou infinie.

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\subsection{Produit scalaire réel}
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\begin{Df}[Produit scalaire]
        On appelle \emph{produit scalaire réel} sur $E$, toute forme
bilinéaire symétrique et définie positive, \ie{} toute
application $\vphi : E\times E\to\R$ telle que
\begin{prop}
        \item $\qqs\vc x\in E,\ \vphi_{\vc x} : \vc
y\mapsto\vphi(\vc x,\vc y)$ est linéaire        \hfill  \emph{linéarité à
droite};

        \item $\qqs(\vc x,\vc y)\in E^2,\ \vphi(\vc x,\vc y)=\vphi(\vc
y,\vc x)$ \hfill \emph{symétrie};

        \item $\qqs\vc x\in E,\ \vc x\neq\vc0\implique\vphi(\vc x,\vc x)>0$
\hfill \emph{définie positive}.
\end{prop}
\end{Df}

\begin{Df}[Espace préhilbertien réel, espace euclidien]
$E$ muni du produit scalaire $\vphi$ est appelé un
\emph{espace préhilbertien réel}. Si $E$
est un espace de dimension finie, $(E,\vphi)$ est un \emph{espace euclidien}.
\end{Df}

        Le produit scalaire scalaire $\vphi(\vc x,\vc y)$ de deux vecteurs est noté
$\Scal xy$, ou encore $\vc x\cdot\vc y$,
$\mathopen{<}\vc x,\vc y\mathclose{>}$, $(\vc x\,|\,\vc y)$\dots

\begin{NBs}\alaligne

        La linéarité à droite et la symétrie impliquent la linéarité à
gauche.

        Si l'un des vecteurs est nul, le produit scalaire est nul.

        Le caractère \og défini positif\fg{} du produit scalaire peut
s'établir en montrant que
$$
\qqs\vc x\in E,\ \Scal xx\geq 0\et \Scal xx=0\implique\vc x=\vc 0
$$

        Si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$, tout produit
scalaire sur $E$ induit un produit scalaire sur~$F$.
\end{NBs}

\begin{Exs}\alaligne

\begin{prop}

\item Produit scalaire canonique sur $\R^n$ : il est défini par
$$
\qqs\vc x=\nuple x,\ \qqs\vc y=\nuple y,\quad
\Scal xy=\sum_{k=1}^n x_k y_k
$$

        \item Produit scalaire canonique sur $\Mnp[n,1]{\R}$ : il est défini par
$$
\qqs(X,Y)\in\bigl(\Mnp[n,1]{\R}\bigr)^2,\quad
\scal XY=\trans XY=\sum_{k=1}^nx_k y_k
$$

        \item Produit scalaire canonique sur $\Mnp{\R}$ : il est défini par
$$
\qqs(A,B)\in\bigl(\Mnp{\R}\bigr)^2,\quad
\scal AB=\tr(\trans A B)=\sum_{i,j}a_{i,j} b_{i,j}
$$

        \item Produit scalaire sur le $\R$-espace vectoriel des fonctions continues
sur le segment $\intf ab$ et à valeurs réelles :
$$
\qqs(f,g)\in\bigl(\mcal{C}(\intf ab,\R)\bigr)^2,\quad
\scal fg=\int_a^b f(t) g(t)\,\dt
$$

        \item Produit scalaire sur le $\R$-espace vectoriel des fonctions continues
sur $R$, $2\pi$-périodiques et à valeurs réelles :
$$
\qqs(f,g)\in\bigl(\mcal{C}_{2\pi}(\R)\bigr)^2,\quad
\scal fg=\ra1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)g(t)\,\dt
$$

        \item Produit scalaire sur l'espace $\R[X]$ des polynômes à
coefficients réels :
$$
\qqs(P,Q)\in\bigl(\R[X]\bigr)^2,\
\scal PQ=\int_{-1}^1 P(t)Q(t)\,\dt
$$
\end{prop}
\end{Exs}


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\subsection{Norme associée à un produit scalaire réel}
%--------------------------------------------------

        $E$ désigne un espace préhilbertien réel dont le produit
scalaire est noté~$\scal{\ }{\ }$.


\begin{Dfs}[Norme et distance associées]
        La norme associée au produit scalaire $\scal{\ }{\ }$ est
définie par
\begin{center}
        \shadowbox{$
                                \qqs\vc x\in E,\quad\norme{\vc x}=\sqrt{\Scal xx}
                                $}
\end{center}

        La distance associée au produit scalaire est définie par
\begin{center}
        \shadowbox{$
\qqs(\vc x,\vc y)\in E^2,\quad
\dist(\vc x,\vc y)=\norme{\vc y-\vc x}
        =\sqrt{\scal{\vc y-\vc x}{\vc y-\vc x}}
                                $}
\end{center}


        Dans ce cas réel, la norme et la distance associée sont qualifiées
d'\emph{euclidiennes}. 
\end{Dfs}

\begin{Prop}
        L'application $\vc x\mapsto\norme{\vc x}=\sqrt{\Scal xx}$ est une application de
$E$ sur $\intfo0{+\infty}$ qui vérifie :
\begin{prop}
        \item $\qqs\vc x\in E,\ \norme{\vc x}=0\iff\vc x=\vc 0$
\hfill axiome de séparation;

        \item $\qqs(\lambda,\vc x)\in\R\times E,\ \norme{\lambda\vc
x}=\abs\lambda\,\norme{\vc x}$ \hfill axiome d'homogénéité.
\end{prop}
\end{Prop}

\begin{proof}\alaligne

\begin{demprop}
        \monitem $0=\norme{\vc x}^2=\Scal xx\iff\vc x=\vc 0$;

        \monitem $\norme{\lambda\vc x}
=\sqrt{\scal{\lambda\vc x}{\lambda\vc x}}
=\sqrt{\lambda^2\Scal xx}=\abs{\lambda}\sqrt{\Scal xx}$
\end{demprop}

\end{proof}
%--------------------------------------------------
L'inégalité triangulaire sera démontrée à la fin de cette section.

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\subsection{Expression du produit scalaire en fonction de la norme}
%---------------------------------------------------------------------

\begin{Prop}
        Voici trois relations pour $\vc x$ et $\vc y$ éléments de $E$ :
\begin{prop}
        \item ${\norme{\vc x+\vc y}}^2={\norme{\vc x}}^2+2\Scal
xy+{\norme{\vc y}}^2$;

        \item ${\norme{\vc x+\vc y}}^2+{\norme{\vc x-\vc y}}^2=
2{\norme{\vc x}}^2+2{\norme{\vc y}}^2$ \hfill
égalité du parallélogramme;

        \item $\Scal xy
=\ra12\bigl({\norme{\vc x+\vc y}}^2-{\norme{\vc x}}^2-{\norme{\vc y}}^2\bigr)
=\ra14\bigl({\norme{\vc x+\vc y}}^2-{\norme{\vc x-\vc y}}^2\bigr)$
\end{prop}
\end{Prop}

\begin{proof}\alaligne

\begin{demprop}
        \monitem Utilisons la linéarité à droite et à gauche, et la
symétrie du produit scalaire
\begin{align*}
\norme{\vc x+\vc y}^2
        &                       =                       \scal{\vc x+\vc y}{\vc x+\vc y}=\Scal xx+\Scal xy
                                +\Scal yx+\Scal yy                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      \\
        &                       =                       \norme{\vc x}^2+2\Scal xy+\norme{\vc y}^2
\end{align*}
        \monitem En changeant $\vc y$ en $-\vc y$, on obtient
$$
\norme{\vc x-\vc y}^2=\norme{\vc x}^2-2\Scal xy+\norme{\vc y}^2
$$
Il suffit d'additionner les deux formules pour obtenir le
résultat annoncé.
\end{demprop}
\end{proof}
%--------------------------------------------------
La deuxième égalité s'interprète par le
\begin{Cor}[\'Egalité du parallélogramme]
        La somme des carrés des longueurs des côtés d'un parallélogramme
est égale à la somme des carrés des longueurs des diagonales.
\end{Cor}

\begin{NB}
        L'égalité du parallélogramme caractérise les normes
euclidiennes, \ie{} les normes qui sont associées à un produit
scalaire (réel).
\end{NB}


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\subsection{Inégalité de Schwarz}
%---------------------------------------------------------------------

\begin{Th}[Inégalité de Schwarz]
        Pour tout $\vc x$ et $\vc y$ de $E$, on a
\begin{center}
        \shadowbox{$
                                \abs{\Scal xy}\leq\norme{\vc x}\,\norme{\vc y}
                                $}
\end{center}

\noindent
L'égalité a lieu si, et seulement si, la famille $(\vc x,\vc y)$ est
liée.
\end{Th}

\begin{proof}
        Si $\norme{\vc x}=0$, $\vc x$ est le vecteur nul, l'inégalité,
qui devient une égalité dans ce cas, est vérifiée, et la famille
$(\vc x=\vc 0,\vc y)$ est une famille liée.

        Si $\norme{\vc x}\neq 0$, on pose pour $\lambda\in\R$
$$
T(\lambda)=\norme{\lambda\vc x+\vc y}^2
=\lambda^2\norme{\vc x}^2+2\lambda\Scal xy+\norme{\vc y}^2
$$
$T(\lambda)$ est un trinôme du second degré, que l'on écrit sous
forme canonique
\begin{equation}
0\leq T(\lambda)
=\norme{\vc x}^2\Bigl(\lambda+\ra{\Scal xy}{\norme{\vc x}^2}\Bigr)^2
+\ra{\norme{\vc x}^2\norme{\vc y}^2-{\Scal xy}^2}{\norme{\vc x}^2}
\end{equation}
En donnant la valeur particulière
$\lambda_0=-\ra{\Scal xy}{\norme[]{\vc x}^2}$, on obtient
l'inégalité annoncée.

        Dans le cas de l'égalité, on a
\begin{equation}
0\leq T(\lambda)
=\norme{\vc x}^2\Bigl(\lambda+\ra{\Scal xy}{\norme{\vc x}^2}\Bigr)^2
\end{equation}
Donnant à $\lambda$ la valeur particulière
$\lambda_0=-\ra{\Scal xy}{\norme[]{\vc x}^2}$, on obtient
$0=T(\lambda_0)=\norme{\lambda_0\vc x+\vc y}^2$, soit
$\lambda_0\vc x+\vc y=\vc 0$ et la famille $(\vc x,\vc y)$ est
une famille liée.

        Réciproquement, si la famille $(\vc x,\vc y)$ est une famille
liée, par exemple $\vc y=\mu\vc x$, alors
$$
\abs{\Scal xy}=\abs{\scal{\vc x}{\mu\vc x}}=\abs{\mu}\,\Scal xx
=\abs{\mu}\,\norme{\vc x}^2
=\norme{\vc x}\,\norme{\mu\vc x}=\norme{\vc x}\,\norme{\vc y}
$$
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{Exs}
        Voici quelques exemples d'application de l'inégalité de Schwarz :
  
\begin{prop}

        \item cas de $\R^n$ :
$$
\abs{\Scal xy}=\abs[\Big]{\sum_{k=1}^n x_k y_k}
\leq\norme{\vc x}\,\norme{\vc y}=\Bigl(\sum_{k=1}^n x_k^2\Bigr)^{\ra12}
\Bigl(\sum_{k=1}^n y_k^2\Bigr)^{\ra12}
=\sqrt{\sum_{k=1}^n x_k^2}\,\sqrt{\sum_{k=1}^n y_k^2}
$$

        \item cas de    $\Mnp[n,1]{\R}$ : 
$$
\abs{\scal XY}=\abs{\trans XY}\leq
\bigl(\trans XX\bigr)^{\ra12}\bigl(\trans YY\bigr)^{\ra12}
=\sqrt{\trans XX}\,\sqrt{\trans YY}
$$

        \item cas de $\Mnp{\R}$ : 
$$
\abs{\scal AB}
=\abs{\tr(\trans A B)}=\abs[\Big]{\sum_{i,j}a_{i,j} b_{i,j}}
\leq\bigl(\tr(\trans AA)\bigr)^{\ra12}\bigl(\tr(\trans BB)\bigr)^{\ra12}=
\Bigl(\sum_{i,j}a_{i,j}^2\Bigr)^{\ra12}
\Bigl(\sum_{i,j}b_{i,j}^2\Bigr)^{\ra12}
$$

        \item cas de $\mcal{C}(\intf ab,\R)$ : 
$$
\abs{\scal fg}=\abs[\Big]{\int_a^b f(t) g(t)\,\dt}
\leq\Bigl(\int_a^b \bigl(f(t)\bigr)^2\,\dt\Bigr)^{\ra12}
\Bigl(\int_a^b \bigl(g(t)\bigr)^2\,\dt\Bigr)^{\ra12}
$$
\end{prop}
\end{Exs}

        L'inégalité de Schwarz montre que, pour deux vecteurs non nuls
$\vc x$ et $\vc y$ de~$E$, le quotient $\ra{\Scal xy}{\norme[]{\vc
x}\,\norme[]{\vc y}}$ est un réel de $\intf{-1}1$; il existe un
unique $\theta$ compris entre $0$ et $\pi$ tel que $\cos\theta$
soit égal à ce quotient, ce qui donne la

\begin{Df}[Écart angulaire entre deux vecteurs réels]\mbox{}\\
        Si $\vc x$ et $\vc y$ sont deux vecteurs non nuls d'un espace
préhilbertien réel, il existe un unique $\theta\in\intf0\pi$ tel que
$$
\Scal xy=\norme{\vc x}\,\norme{\vc y}\cos\theta
$$
$\theta$ est appelé \emph{l'angle (non orienté) entre $\vc x$ et
$\vc y$}; cet  angle est défini à $\pi$ près.
\end{Df}

%---------------------------------------------------------------------
\subsection{Inégalité de Minkowski, ou inégalité triangulaire}
%---------------------------------------------------------------------
\begin{Prop}[Inégalité de Minkowski]
        Pour tout $\vc x$ et $\vc y$ de $E$,
$$
\norme{\vc x+\vc y}\leq\norme{\vc x}+\norme{\vc y}
$$
\end{Prop}

\begin{proof}
        Développons $\norme{\vc x+\vc y}^2$ et utilisons l'inégalité de
Schwarz : 
$$
\norme{\vc x+\vc y}^2
        =                       \norme{\vc x}^2+2\Scal xy+\norme{\vc y}^2
        \leq            \norme{\vc x}^2+2\norme{\vc x}\,\norme{\vc y}+\norme{\vc y}^2
                =\bigl(\norme{\vc x}+\norme{\vc y}\bigr)^2
$$
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{Cor}
        L'application $\vc x\mapsto\norme{\vc x}=\sqrt{\Scal xx}$ est une norme sur $E$.
\end{Cor}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Produit scalaire sur un espace vectoriel complexe}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


        Dans cette section, $E$ désigne un $\C$-espace vectoriel de
dimension finie ou infinie.

\begin{NB}
        Sur $\R$, l'égalité $x_1^2+x_2^2=0$ est équivalente à $x_1=0$
\emph{et} $x_2=0$. Sur $\C$, la situation est différente; on a :
$$
0=z_1^2+z_2^2=(z_1+iz_2)(z_1-iz_2)\iff
z_1+iz_2=0 \text{\textbf{ ou }} z_1-iz_2=0
$$
tandis que
$$
0=\abs{z_1}^2+\abs{z_2}^2
=z_1\conjug{z_1}+z_2\conjug{z_2} \iff z_1=0 \text{\textit{ et }} z_2=0
$$
\end{NB}

\begin{Df}[Produit scalaire hermitien]
        On appelle \emph{produit scalaire complexe} ou \emph{produit
scalaire hermitien} sur $E$, toute forme
\emph{sesquilinéaire à symétrie hermitienne} et \emph{définie positive}, \ie{} toute
application $\vphi : E\times E\to\C$ telle que
\begin{prop}
        \item $\qqs\vc x\in E,\ \vphi_{\vc x} : \vc
y\mapsto\vphi(\vc x,\vc y)$ est linéaire        \hfill \emph{linéarité à
droite};

        \item $\qqs(\vc x,\vc y)\in E^2,\ \vphi(\vc y,\vc x)=\conjug{\vphi(\vc
x,\vc y)}$ \hfill \emph{symétrie hermitienne};

        \item $\qqs\vc x\in E,\ \vc x\neq\vc0\implique\vphi(\vc x,\vc x)>0$
\hfill \emph{définie positive}.
\end{prop}
\end{Df}

\begin{Df}[Espace préhilbertien complexe, espace hermitien]\alaligne

        $E$ muni du produit scalaire $\vphi$ est appelé \emph{espace
préhilbertien complexe}. Si $E$
est un espace de dimension finie, $(E,\vphi)$ est un \emph{espace hermitien}.
\end{Df}

        Le produit scalaire $\vphi(\vc x,\vc y)$ de deux vecteurs est noté
$\Scal xy$, ou encore $\vc x\cdot\vc y$,
$\mathopen{<}\vc x,\vc y\mathclose{>}$, $(\vc x\,|\,\vc y)$\dots

\begin{NBs}\alaligne

        La linéarité à droite et la symétrie hermitienne impliquent la
\emph{semi-linéarité}  à gauche, \ie{} pour tous nombres complexes
$\lambda_1$ et $\lambda_2$, pour tous vecteurs $\vc x_1$, $\vc x_2$
et $\vc y$ de $E$, 
\begin{align*}
\scal{\lambda_1\vc x_1+\lambda_2\vc x_2}{\vc y}
        &                       =                       \conjug{\scal{\vc y}{\lambda_1\vc x_1+\lambda_2\vc x_2}}
                        \qquad\text{symétrie hermitienne}                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                       \\
        &                       =                       \conjug{\lambda_1\scal{\vc y}{\vc x_1}
                                +\lambda_2\scal{\vc y}{\vc x_2}}
                                \qquad\text{linéarité à droite}                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                 \\
        &                       =                       \conjug{\lambda_1}\scal{\vc x_1}{\vc y}+
                                \conjug{\lambda_2}\scal{\vc x_2}{\vc y}
                                \qquad\text{symétrie hermitienne}
\end{align*}

        Si l'un des vecteurs est nul, le produit scalaire est nul.

        Le caractère \og défini positif\fg{} du produit scalaire peut
s'établir en montrant que
$$
\qqs\vc x\in E,\ \Scal xx\geq 0\et \Scal xx=0\implique\vc x=\vc 0
$$

        Si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$, tout produit
scalaire sur $E$ induit un produit scalaire sur~$F$.
\end{NBs}

\begin{Exs}
        Reprenons les mêmes exemples que dans le cas réel, arrangés
à la sauce complexe par l'utilisation de la
conjugaison de la première variable.
\begin{prop}

\item Produit scalaire canonique sur $\C^n$ : il est défini par
$$
\qqs\vc x=\nuple x,\ \qqs\vc y=\nuple y,\quad
\Scal xy=\sum_{k=1}^n \conjug{x_k} y_k
$$

        \item Produit scalaire canonique sur $\Mnp[n,1]{\C}$ : il est défini par
$$
\qqs(X,Y)\in\bigl(\Mnp[n,1]{\C}\bigr)^2,\quad
\scal XY=\trans\conjug{X}Y=\sum_{k=1}^n \conjug{x_k} y_k
$$

        \item Produit scalaire canonique sur $\Mnp{\C}$ : il est défini par
$$
\qqs(A,B)\in\bigl(\Mnp{\C}\bigr)^2,\quad
\scal AB=\tr(\trans\conjug{A} B)=\sum_{i,j}\conjug{a_{i,j}} b_{i,j}
$$

        \item Produit scalaire sur l'espace des fonctions continues sur
le segment $\intf ab$ et à valeurs complexes:
$$
\qqs(f,g)\in\bigl(\mcal{C}(\intf ab,\C)\bigr)^2,\quad
\scal fg=\int_a^b \conjug{f(t)} g(t)\,\dt
$$

        \item Produit scalaire sur l'espace des fonctions continues,
$2\pi$-périodiques sur~$\R$ et à valeurs complexes:
$$
\qqs(f,g)\in\bigl(\mcal{C}_{2\pi}\bigr)^2,\quad
\scal fg=\ra1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\conjug{f(t)}g(t)\,\dt
$$

        \item Produit scalaire sur l'espace $\C[X]$ des polynômes à
coefficients complexes :
$$
\qqs(P,Q)\in\bigl(\C[X]\bigr)^2,\
\scal PQ=\int_{-1}^1 \conjug{P(t)}Q(t)\,\dt
$$

\end{prop}
\end{Exs}


%--------------------------------------------------
\subsection{Norme et distance associées à un produit scalaire hermitien}
%--------------------------------------------------


        $E$ désigne un espace préhilbertien complexe dont le produit
scalaire est noté~$\scal{\ }{\ }$.


\begin{Dfs}[Norme et distance associées]
        Les définitions sont identiques au cas réel.
        La norme associée au produit scalaire $\scal{\ }{\ }$ est
définie par
\Reponse{$
        \qqs\vc x\in E,\quad\norme{\vc x}=\sqrt{\Scal xx}
$}

        La distance associée au produit scalaire est définie par
\Reponse{$
\qqs(\vc x,\vc y)\in E^2,\quad
\dist(\vc x,\vc y)=\norme{\vc y-\vc x}
        =\sqrt{\scal{\vc y-\vc x}{\vc y-\vc x}}
$}
                                
        Dans ce cas complexe, on donne le qualificatif
d'\emph{hermitienne} à la norme et à la distance associées au
produit scalaire.
\end{Dfs}

\begin{Prop}[]\mbox{}
        $\vc x\mapsto\norme{\vc x}=\sqrt{\Scal xx}$ est une application de
$E$ sur $\intfo0{+\infty}$ qui vérifie
\begin{prop}
        \item $\qqs\vc x\in E,\ \norme{\vc x}=0\iff\vc x=\vc 0$
\hfill séparation;

        \item $\qqs(\lambda,\vc x)\in\C\times E,\ \norme{\lambda\vc
x}=\abs\lambda\,\norme{\vc x}$ \hfill
homogénéité.
\end{prop}
\end{Prop}
\begin{proof}\alaligne

\begin{demprop}
        \monitem $0=\norme{\vc x}^2=\Scal xx\iff\vc x=\vc 0$;

        \monitem $\norme{\lambda\vc x}
=\sqrt{\scal{\lambda\vc x}{\lambda\vc x}}
=\sqrt{\abs{\lambda}^2\Scal xx}=\abs{\lambda}\sqrt{\Scal xx}$
\end{demprop}
\end{proof}
%--------------------------------------------------
L'inégalité triangulaire sera démontrée à la fin de cette section.

%---------------------------------------------------------------------
\subsection{Expression du produit scalaire en fonction de la norme}
%---------------------------------------------------------------------

\begin{Prop}[]\mbox{}
        Voici des relations pour $\vc x$ et $\vc y$ éléments de $E$ :
\begin{prop}
        \item ${\norme{\vc x+\vc y}}^2
={\norme{\vc x}}^2+2\RE\Scal xy+{\norme{\vc y}}^2$;

        \item ${\norme{\vc x+\vc y}}^2+{\norme{\vc x-\vc y}}^2=
2{\norme{\vc x}}^2+2{\norme{\vc y}}^2$ \hfill
égalité du parallélogramme;

        \item
$\RE\Scal xy
=\ra12\bigl({\norme{\vc x+\vc y}}^2-{\norme{\vc x}}^2-{\norme{\vc y}}^2\bigr)
=\ra14\bigl({\norme{\vc x+\vc y}}^2-{\norme{\vc x-\vc y}}^2\bigr)$                                                      \\
$\IM\Scal xy
=\ra12\bigl({\norme{\vc x-i\vc y}}^2-{\norme{\vc x}}^2-{\norme{\vc y}}^2\bigr)
=\ra14\bigl({\norme{\vc x-i\vc y}}^2-{\norme{\vc x+i\vc y}}^2\bigr)$                                            \\
et
$\Scal xy=\ra14\bigl({\norme{\vc x+\vc y}}^2-{\norme{\vc x-\vc y}}^2\bigr)
+\ra i4\bigl({\norme{\vc x-i\vc y}}^2-{\norme{\vc x+i\vc y}}^2\bigr)$
\end{prop}
\end{Prop}
\begin{proof}\alaligne

\begin{demprop}
        \monitem Utilisons la linéarité à droite, la semi-linéarité à gauche et la
symétrie hermitienne du produit scalaire
\begin{align*}
\norme{\vc x+\vc y}^2
        &       = \scal{\vc x+\vc y}{\vc x+\vc y}=\Scal xx+\Scal xy
                                +\Scal yx+\Scal yy                                                                                                                                                                                                                      \\
        & =     \norme{\vc x}^2+\Scal xy+\conjug{\Scal xy}+\norme{\vc y}^2              \\
        &       =       \norme{\vc x}^2+2\RE\Scal xy+\norme{\vc y}^2
\end{align*}

        \monitem En changeant $\vc y$ en $-\vc y$, on obtient
$$
\norme{\vc x-\vc y}^2=\norme{\vc x}^2-2\RE\Scal xy+\norme{\vc y}^2
$$
Il suffit d'additionner les deux formules pour obtenir le
résultat annoncé.

        \monitem Changeons $\vc y$ en $-i\vc y$; on obtient, en
utilisant $\RE(-iz)=\IM z$,
\begin{align*}
{\norme{\vc x-i\vc y}}^2
        & =     {\norme{\vc x}}^2+2\RE(-i\Scal xy)+{\norme{\vc y}}^2            \\
        & =     {\norme{\vc x}}^2+2\IM\Scal xy+{\norme{\vc y}}^2
\end{align*}
\end{demprop}
\end{proof}
%--------------------------------------------------
La deuxième égalité s'interprète toujours par le
\begin{Cor}[\'Egalité du parallélogramme]
        La somme des carrés des longueurs des côtés d'un parallélogramme
est égale au double de la somme des carrés des longueurs des diagonales.
\end{Cor}

\begin{NB}
        L'égalité du parallélogramme caractérise les normes
hermitiennes, \ie{} les normes associées à un produit scalaire
complexe (ou hermitien).
\end{NB}



%---------------------------------------------------------------------
\subsection{Inégalité de Schwarz}
%---------------------------------------------------------------------

\begin{Th}[Inégalité de Schwarz]
        Pour tout $\vc x$ et $\vc y$ de $E$, on a
\begin{center}
        \shadowbox{
$
\abs{\Scal xy}\leq\norme{\vc x}\,\norme{\vc y}
                        $}
\end{center}
\noindent
L'égalité a lieu si, et seulement si, la famille $(\vc x,\vc y)$ est
liée.
\end{Th}
\begin{proof}
        Si $\norme{\vc x}=0$\dots{} voir le cas réel.

        Si $\norme{\vc x}\neq 0$, on pose pour $\lambda\in\C$
\begin{align*}
0\leq T(\lambda)
        & = \norme{\lambda\vc x+\vc y}^2
                =\scal{\lambda\vc x+\vc y}{\lambda\vc x+\vc y}                                                          \\
        & =     \lambda\conjug{\lambda}\norme{\vc x}^2
                +\conjug{\lambda}\Scal xy+\lambda\conjug{\Scal xy}+\norme{\vc y}^2              \\
        & =     \norme{\vc x}^2
\Bigl(\conjug{\lambda}+\ra{\conjug{\Scal xy}}{\norme{\vc x}^2}\Bigr)
\Bigl(\lambda+\ra{\Scal xy}{\norme{\vc x}^2}\Bigr)
+\norme{\vc y}^2-\ra{{\Scal xy}\conjug{\Scal xy}}{\norme{\vc x}^2}                              \\
        & =     \norme{\vc x}^2
                \abs[\Big]{\lambda+\ra{\Scal xy}{\norme{\vc x}^2}}^2
                +\ra{\norme{\vc x}^2 \norme{\vc y}^2-\abs{\Scal xy}^2}{\norme{\vc x}^2}
\end{align*}

$T(\lambda)$ est un trinôme du second degré en la variable
\emph{complexe} $\lambda$, que l'on a écrit sous
sa forme canonique.
En donnant la valeur particulière
$\lambda_0=-\ra{\Scal xy}{\norme[]{\vc x}^2}$, on obtient
l'inégalité annoncée.

        Le reste de la démonstration se traite comme dans le cas réel.
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{Exs}
        Toujours les mêmes exemples d'application de l'inégalité de
Schwarz; il suffit d'ajouter une pincée de condiment \og
conjugaison\fg{} sur la première variable et le plat est prêt.
  
\begin{prop}

        \item cas de $\C^n$ :
$$
\abs{\Scal xy}=\abs[\Big]{\sum_{k=1}^n \conjug{x_k} y_k}
\leq\norme{\vc x}\,\norme{\vc y}=\Bigl(\sum_{k=1}^n \abs{x_k}^2\Bigr)^{\ra12}
\bigl(\sum_{k=1}^n \abs{y_k}^2\bigr)^{\ra12}
=\sqrt{\sum_{k=1}^n \abs{x_k}^2}\,\sqrt{\sum_{k=1}^n \abs{y_k}^2}
$$

        \item cas de    $\Mnp[n,1]{\C}$ : 
$$
\abs{\scal XY}=\abs{\trans\conjug XY}\leq
\bigl(\trans\conjug{X} X\bigr)^{\ra12}\bigl(\trans\conjug{Y}Y\bigr)^{\ra12}
=\sqrt{\trans\conjug{X} X}\sqrt{\trans\conjug{Y} Y}
$$

        \item cas de $\Mnp{\C}$ : 
$$
\abs{\scal AB}=\abs{\tr(\trans\conjug{A} B)}
        =\abs[\Big]{\sum_{i,j}a_{i,j} b_{i,j}}
\leq\bigl(\tr(\trans\conjug{A}A)\bigr)^{\ra12}
                        \bigl(\tr(\trans\conjug{B}B)\bigr)^{\ra12}
        =\Bigl(\sum_{i,j} \abs{a_{i,j}}^2\Bigr)^{\ra12}
                        \Bigl(\sum_{i,j}\abs{b_{i,j}}^2\Bigr)^{\ra12}
$$

        \item cas de $\mcal{C}(\intf ab,\C)$ : 
$$
\abs{\scal fg}=\abs[\Big]{\int_a^b \conjug{f(t)} g(t)\,\dt}
\leq\Bigl(\int_a^b \abs{f(t)}^2\,\dt\Bigr)^{\ra12}
\Bigl(\int_a^b \abs{g(t)}^2\,\dt\Bigr)^{\ra12}
$$
\end{prop}
\end{Exs}

        L'inégalité de Schwarz montre que, pour deux vecteurs non nuls
$\vc x$ et $\vc y$ de $E$, le quotient $\ra{\Scal xy}{\norme[]{\vc
x}\,\norme[]{\vc y}}$ est un nombre \emph{complexe} de module
inférieur ou égal à $1$; on ne peut
plus parler d'écart angulaire entre deux vecteurs d'un espace
vectoriel complexe.

%---------------------------------------------------------------------
\subsection{Inégalité de Minkowski, ou inégalité triangulaire}
%---------------------------------------------------------------------
\begin{Prop}[]\mbox{}
        Pour tout $\vc x$ et $\vc y$ de $E$,
$$
\norme{\vc x+\vc y}\leq\norme{\vc x}+\norme{\vc y}
$$
\end{Prop}
\begin{proof}
        Démonstration identique au cas réel : 
$$
\norme{\vc x+\vc y}^2
        =                       \norme{\vc x}^2+2\RE\Scal xy+\norme{\vc y}^2
        \leq            \norme{\vc x}^2+2\norme{\vc x}\,\norme{\vc y}+\norme{\vc y}^2
                =\bigl(\norme{\vc x}+\norme{\vc y}\bigr)^2
$$
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{Cor}
        $\vc x\mapsto\norme{\vc x}=\sqrt{\Scal xx}$ est une norme sur $E$.
\end{Cor}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Les normes fondamentales sur $\K^n$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%---------------------------------------------------------------------
\subsection{La norme $\Norme_1$}
%---------------------------------------------------------------------

\begin{Df}
        Pour $\vc x=\nuple x\in\K^n$, on pose :
$$
\Norme_1(\vc x)=\sum_{j=1}^n\abs{x_j}
$$
\end{Df}

\begin{Prop}
        L'application $\Norme_1$ est une norme sur $\K^n$.
\end{Prop}

\begin{proof}\alaligne\\
Séparation :
$\Norme_1(\vc x) =0 \iff\sum_j\abs{x_j}=0                                                 
        \iff\qqs j\in\Intf1n,\  \abs{x_j}=0 \iff \vc x=\vc0$\\
%
Homogénéité : 
$\Norme_1(\lambda\vc x)=\sum_j \abs{\lambda x_j}=
                        \abs{\lambda} \sum_j\abs{x_j} = \abs{\lambda}\Norme_1(\vc x)$\\
%
Inégalité triangulaire :
$\Norme_1(\vc x + \vc y)        =\sum_{j=1}^n\abs{x_j+y_j}
        \leq\sum_{j=1}^n \bigl(\abs{x_j}+\abs{y_j}\bigr)
=\sum_{j=1}^n\abs{x_j}+\sum_{j=1}^n\abs{y_j}
        =\Norme_1(\vc x)+\Norme_1(\vc y)$
\end{proof}
%--------------------------------------------------

%---------------------------------------------------------------------
\subsection{La norme euclidienne ou norme $\Norme_2$}
%---------------------------------------------------------------------

\begin{Df}[Norme euclidienne]
        Pour $\vc x=\nuple x\in\K^n$, on pose :
$$
\Norme_2(\vc x)=\sqrt{\sum_{j=1}^n \abs{x_j}^2}=\Bigl(\sum_{j=1}^n \abs{x_j}^2\Bigr)^{1/2}
$$
\end{Df}

\begin{NB}
        La norme euclidienne $\Norme_2$ est la norme associée au produit scalaire
canonique sur $\K^n$ :
$$\Scal xy=
\begin{cases}
        \quad\dsp\sum_{j=1}^n x_j y_j                                   &                       \text{dans le cas réel,}                                                                \\
        \quad\dsp\sum_{j=1}^n \conjug{x_j} y_j  &                       \text{dans le cas complexe.}  
\end{cases}
$$
\end{NB}

%---------------------------------------------------------------------
\subsection{La norme $\Norme_\infty$}
%---------------------------------------------------------------------
\begin{Df}
        Pour $\vc x=\nuple x\in\K^n$, on pose :
$$
\Norme_\infty(\vc x)=
        \sup\ens[\big]{\abs{x_j}}{j\in\Intf1n}=\max\ens{\abs{x_j}}{j\in\Intf1n}
$$
\end{Df}

%--------------------------------------------------
\begin{Prop}
        L'application $\Norme_\infty$ est une norme sur $\K^n$.
\end{Prop}

\begin{proof}\alaligne\\
Séparation : 
$
\Norme_\infty(\vc x) =0\iff\sup_{j\in\Intf1n}\abs{x_j}=0\iff\qqs j\in\Intf1n,\
                 \abs{x_j}=0                                                            \iff \vc x=\vc0
$
\\
Homogénéité :
$
\Norme_\infty(\lambda\vc x)=\sup_{j\in\Intf1n}\abs{\lambda x_j}=
                        \abs{\lambda} \sup_{j\in\Intf1n}\abs{x_j} = \abs{\lambda}\Norme_\infty(\vc x)
$
\\
Inégalité triangulaire : des inégalités
$\abs{x_k + y_k} \leq \abs{x_k} + \abs{y_k} \leq \sup_j\abs{x_j} + \sup_j\abs{y_j}$
vraies pour tout $k\in\Intf1n$, on tire que $\sup_j\abs{x_j} + \sup_j\abs{y_j}$ est un
majorant de $\ens[\big]{\abs{x_k+y_k}}{k\in\Intf1n}$; ainsi :
$$
\Norme_\infty(\vc x + \vc y)
        =                       \sup_{j\in\Intf1n}\abs{x_j+y_j}
        \leq\sup_{j\in\Intf1n}\abs{x_j}+\sup_{j\in\Intf1n}\abs{y_j}
        =\Norme_\infty(\vc x)+\Norme_\infty(\vc y)
$$
\end{proof}

%---------------------------------------------------------------------
\section{Les normes fondamentales sur $\mathcal{C}(\intf ab)$}
%---------------------------------------------------------------------

%--------------------------------------------------
\subsection{La norme de la convergence en moyenne}
%--------------------------------------------------

\begin{Df}
        Pour $f\in \mathcal{C}(\intf ab)$, on pose :
        $$
        \Norme_1(f) = \int_{a}^{b} \abs{f} =
                \int_{a}^{b} \abs[\big]{f(t)}\,\dt
        $$
\end{Df}

%--------------------------------------------------
\begin{Prop}
        L'application $\Norme_1$ est une norme sur $\mathcal{C}(\intf ab)$; elle
est appelée la \emph{norme de la convergence en moyenne} sur $\intf ab$.
\end{Prop}

\begin{proof}
        Puisque $\abs{f}$ est une application positive et continue sur le segment $\intf ab$, son
intégrale existe et est positive, ce qui montre que $\Norme_1$ est une
application de $\mathcal{C}(\intf ab)$ à valeurs dans $\intfo 0{+\infty}$.
\\
Séparation : 
$\Norme_1(f)=\int_{a}^{b} \abs{f} = 0 \iff \qqs t\in\intf ab, \abs[\big]{f(t)}=0 \iff
f=0$, car $\abs{f}$ est une fonction \textbf{positive}, \textbf{continue},
d'intégrale \textbf{nulle} sur le segment $\intf ab$.
\\
Homogénéité : 
$\Norme_1(\lambda f)                    =  \int_{a}^{b} \abs{\lambda f} =
        \abs{\lambda} \int_{a}^{b} \abs{f}=\lambda\Norme_1(f)$
\\
        Inégalité triangulaire :
$\Norme_1(f+g) = \int_{a}^{b} \abs{f+g}\leq
        \int_{a}^{b} \bigl(\abs{f} + \abs{g} \bigr) =
        \int_{a}^{b} \abs{f} +  \int_{a}^{b} \abs{g}=
        \Norme_1(f)     + \Norme_1(g) $
\end{proof}
%--------------------------------------------------

%---------------------------------------------------------------------
\subsection{La norme de la convergence en moyenne quadratique}
%---------------------------------------------------------------------

\begin{Df}
        Pour $f\in \mathcal{C}(\intf ab)$, on pose :
        $$
        \Norme_2(f) = \sqrt{\int_{a}^{b} \abs{f}^2}=\sqrt{\int_a^b \abs[\big]{f(t)}\,\dt}
        $$
\end{Df}

%--------------------------------------------------
\begin{Prop}
        L'application $\Norme_2$ est une norme sur $\mathcal{C}(\intf ab)$; elle
est appelée \emph{la norme de la convergence en moyenne quadratique} sur $\intf ab$.
$\Norme_2$ est la norme euclidienne associée au produit scalaire canonique
sur $\mathcal{C}(\intf ab)$ :
$$\scal fg=
\begin{cases}
        \int_{a}^{b}f\,g                                                & \text{dans le cas réel}                               \\
        \int_{a}^{b}\conjug{f}\,g       & \text{dans le cas complexe}  
\end{cases}
$$
\end{Prop}

%---------------------------------------------------------------------
\subsection{La norme de la convergence uniforme}
%---------------------------------------------------------------------

\begin{Df}
        Pour $f\in \mathcal{C}(\intf ab)$, on pose :
        $$
        \Norme_\infty(f) = \sup\ens[\big]{\abs[\big]{f(t)}}{t\in\intf ab} =
        \max\ens[\big]{\abs[\big]{f(t)}}{t\in\intf ab}
        $$
\end{Df}

%--------------------------------------------------
\begin{Prop}
        L'application $\Norme_\infty$ est une norme sur $\mathcal{C}(\intf ab)$; elle
est appelée \emph{la norme de la convergence uniforme} sur $\intf ab$.
\end{Prop}

\begin{proof}
        L'application $\abs{f}$ est une application continue sur le segment $\intf ab$; elle est donc
bornée et atteint ses bornes, ce qui montre que $\Norme_\infty$ est une
application de $\mathcal{C}(\intf ab)$ à valeurs dans $\intfo 0{+\infty}$.\\
%
Séparation : 
$\Norme_\infty(f) = \sup\ens[\big]{\abs[\big]{f(t)}}{t\in\intf ab} = 0 \iff
        \qqs t\in\intf ab, \abs[\big]{f(t)}=0 \iff                              f=0 $
\\
Homogénéité : $\Norme_\infty(\lambda f) = \sup_{t\in\intf ab}{\abs[\big]{\lambda
f(t)}}  = \abs{\lambda}\sup_{t\in\intf ab}{\abs[\big]{f(t)}}
=\abs{\lambda}\Norme_{\infty}(f)$
\\
        Inégalité triangulaire : de l'inégalité
$\qqs t \in\intf ab,\  \abs[\big]{f(t)+g(t)}\leq \abs[\big]{f(t)} + \abs[\big]{g(t)} \leq
\sup\ens[\big]{\abs[\big]{f(t)}}{t\in\intf ab}+ \sup\ens[\big]{\abs[\big]{g(t)}}{t\in\intf ab} $, on tire :
$
\normi{f+g}=
\sup\ens[\big]{\abs[\big]{f(t)+g(t)}}{t\in\intf ab} \leq
\sup\ens[\big]{\abs[\big]{f(t)}}{t\in\intf ab}+ \sup\ens[\big]{\abs[\big]{g(t)}}{t\in\intf ab}
=\normi{f}+\normi{g}
$
\end{proof}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Les normes fondamentales sur $\MnpK$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{Df}
        Pour $A=(a_{ij})\in\MnpK$, on pose :
        \begin{align*}
                \Norme_1(A) &= \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^p\abs{a_{ij}}                                             \\
                \Norme_2(A) &= \sqrt{\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^p\abs{a_{ij}}^2}                                    \\
                \Norme_\infty(A) &= \sup\ens{\abs{a_{ij}}}{i\in\Intf1n, j\in\Intf1p}                              
        \end{align*}
\end{Df}
$\Norme_1$, $\Norme_2$ et $\Norme_\infty$ sont des normes sur
$\MnpK$. Le lecteur est invité à démontrer ces affirmations. De plus
$\Norme_2$ est la norme euclidienne associée au produit scalaire
$$\scal AB=
\begin{cases}
        \quad\tr(\trans A\,B)                           & \text{dans le cas réel}                               \\
        \quad\tr(\trans \conjug A\,B) & \text{dans le cas complexe}  
\end{cases}
$$


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Les suites dans un espace vectoriel normé}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Dans cette section, $E$ est un $\K$-espace vectoriel normé muni de sa norme
$\norme{\ }$.

%---------------------------------------------------------------------
\subsection{Suites convergentes}
%---------------------------------------------------------------------

\begin{Df}[Suite convergente, suite divergente]\alaligne

        On dit que la suite $(\vc u_n)_n\in E^{\N}$ à valeurs dans $E$ \emph{converge}
si, et seulement si, il existe un vecteur $\vc a\in E$ tel que la suite réelle
$\bigl(\norme{\vc u_n - \vc a}\bigr)_n$ converge vers~0, \ie{} :
$$
\qqs\eps>0,\ \exists N_\eps\in\N,\      \qqs n\in\N,\  n\geq N_\eps\implique
\norme{\vc u_n - \vc a}\leq\eps
$$
On dit alors que la suite $\Suite u$ \emph{converge} vers $\vc a$, ou que
$\vc a$ est la \emph{limite} de la suite $\Suite u$.

Une suite qui ne converge pas est dite \emph{divergente}.
\end{Df}
\begin{NB}
        On a donc, comme \textbf{toujours} : 
        $$
        \vc u_n \tend\vc a \iff \vc u_n - \vc a\tend \vc 0
        \iff\norme{\vc u_n - \vc a}\tend 0
        $$
\end{NB}
%-------------------------------------------------
\begin{Th}[Unicité de la limite]
        La limite d'une suite convergente $(\vc u_n)_n$ est unique;
elle est notée $\dsp\lim_{n\uparrow+\infty}\vc u_n$ ou $\dsp\lim_n \vc u_n$ ou
$\lim\,(\vc u_n)_n$.
\end{Th}

\begin{proof}
        Soient $\vc a_1$et $\vc a_2$ deux limites de la suite convergente $\Suite u$;
alors :
$$
0\leq \norme{\vc a_1 - \vc a_2}=\norme{\vc a_1-\vc u_n+\vc u_n-\vc a_2}
        \leq \norme{\vc a_1-\vc u_n}+ \norme{\vc u_n-\vc a_2}
$$
et puisque les suites $\bigl(\norme{\vc u_n-\vc a_1}\bigr)_n$ et
$\bigl(\norme{\vc u_n-\vc a_2}\bigr)_n$ convergent vers~0, la suite constante
$\bigl(\norme{\vc a_1-\vc a_2}\bigr)_n$ tend vers 0 par encadrement; ainsi
$\norme{\vc a_1-\vc a_2}=0$ et donc $\vc a_1=\vc a_2$.
\end{proof}
%--------------------------------------------------

%---------------------------------------------------------------------
\subsection{Règles de calcul}
%---------------------------------------------------------------------

%--------------------------------------------------
\subsubsection{Limite d'une combinaison linéaire}
%--------------------------------------------------

\begin{Prop}[$\K$-espace vectoriel des suites convergentes]\alaligne

        L'ensemble des suites convergentes à valeurs dans $E$ est un $\K$-espace
vectoriel et l'application qui à toute suite convergente $\Suite u$ associe sa
limite $\lim_n \vc u_n$ est une application linéaire.

En d'autres termes, si $\Suite u$ converge vers $\vc a$ et $\Suite v$ vers $\vc
b$, alors pour tout $(\lambda, \mu)\in\K^2$ la suite $(\lambda\vc u_n+\mu\vc
v_n)_n$ converge vers $\lambda\vc a+\mu\vc b$.
\end{Prop}

\begin{proof}
        De $0\leq\norme{(\lambda\vc u_n+\mu\vc v_n)-(\lambda\vc a+\mu\vc b)}
        =\norme{\lambda(\vc u_n-\vc a)+\mu(\vc v_n-\vc b)}\leq
        \abs{\lambda}\,\norme{\vc u_n-\vc a}+\abs{\mu}\,\norme{\vc v_n-\vc b}$, on tire,
par encadrement, que
$\norme{(\lambda\vc u_n+\mu\vc v_n)-(\lambda\vc a+\mu\vc b)}$ tend
vers 0.

Puisque la suite nulle converge vers $\vc 0$, les suites convergentes
constituent un sous-espace vectoriel sur $\K$ des suites quelconques sur $E$.
\end{proof}

%--------------------------------------------------
\subsubsection{Suite bornée}
%--------------------------------------------------

\begin{Df}[Suite bornée]\mbox{}\\
        La suite $\Suite u$ est \emph{bornée} si, et seulement si, il existe un nombre positif $M$,
indépendant de $n$ tel que pour tout $n\in\N$ on ait $\norme{\vc u_n}
\leq M$.
\end{Df}

\begin{Prop}[Suite bornée et suite de limite nulle]\mbox{}\\
        Soient $\Suite u$ une suite de $E$ et $\suite\lambda$ une suite de $\K$.
        \begin{prop}
                \item Si $\Suite u$ est bornée et $\lim_n \lambda_n=0$, alors
$\lim_n\lambda_n\vc u_n=\vc 0$.
                \item Si $\Suite u$ tend vers $\vc 0$ et $\suite\lambda$ est bornée, alors
$\lim_n\lambda_n\vc u_n=\vc 0$.
        \end{prop}
  
\end{Prop}
\begin{proof}\alaligne

%\mbox{}\\
\begin{demprop}
\monitem
        Puisque la suite $\Suite u$ est bornée, il existe un nombre positif $M$,
indépendant de $n$, tel que pour tout $n\in\N$ on ait $\norme{\vc u_n}
\leq M$. Ainsi
$$
\qqs n\in \N,\  0\leq\norme{\lambda_n\vc u_n}=\abs{\lambda_n}\,\norme{\vc u_n}
\leq \abs{\lambda_n}M
$$
et par encadrement $\lim_n\norme{\lambda_n\vc u_n}=0$.

\monitem
        La suite $\suite \lambda$ est bornée si, et seulement si, il existe un nombre positif $\Lambda$,
indépendant de $n$ tel que pour tout $n\in\N$ on ait $\abs{\lambda_n}\leq\Lambda$. Ainsi
$$
\qqs n\in \N,\  0\leq\norme{\lambda_n\vc u_n}=\abs{\lambda_n}\,\norme{\vc u_n}
\leq \Lambda\norme{\vc u_n}
$$
et par encadrement $\lim_n\norme{\lambda_n\vc u_n}=0$.
\end{demprop}
\end{proof}

%--------------------------------------------------
\subsubsection{Norme de la limite d'une suite convergente}
%--------------------------------------------------

\begin{Prop}%\alaligne
        Si $\Suite u$ est une suite convergente à valeurs dans $E$, la suite
$\bigl(\norme{\vc u_n}\bigr)_n$ converge et
$$
\lim_n\norme{\vc u_n}=\norme{ \lim_n\vc u_n}
$$
La réciproque est fausse sauf si $\lim_n\vc u_n=\vc 0$
\end{Prop}

\begin{proof}
        Notons $\vc a$ la limite de $\Suite u$; d'après l'inégalité de Minkowski, on a
        $$
        \qqs n\in\N,\  0\leq\abs[\big]{ \norme{\vc a} - \norme{\vc u_n}}
        \leq \norme{\vc a - \vc u_n}
        $$
        et par encadrement $\abs[\big]{\norme{\vc a} - \norme{\vc u_n}}\tend 0$

        La suite $((-1)^n)_n$ est un contre-exemple dans $\R$.
\end{proof}
%--------------------------------------------------


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Applications lipschitziennes}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Dans cette section, $(E,\Norme)$ et $(F,\|\cdot\|)$ sont deux $\K$-espaces
vectoriels normés.

%---------------------------------------------------------------------
\subsection{Un peu de vocabulaire}
%---------------------------------------------------------------------

\begin{Df}
        Soit $A$ une partie de $E$ et $\vc f$ une application de $A$ à valeurs dans
$F$; $\vc f$ est dite \emph{lipschitzienne} si, et seulement si, il existe une constante
$k\in\intfo 0{+\infty}$ telle que :
$$
\qqs (\vc x,\vc y)\in A^2,\  \norme[\big]{\vc f(\vc x) - \vc f(\vc y)}
\leq k\,\Norme(\vc x-\vc y)
$$
$k$ est appelé \emph{rapport de Lipschitz} de $f$, et $f$ est dite
\emph{$k$-lipschitzienne}.
\end{Df}

        L'ensemble $K$ des rapports de Lipschitz d'une fonction lipschitzienne $\vc f$
est un intervalle fermé non borné, \ie{} un intervalle du type
$\intf{\alpha}{+\infty}$; ainsi il existe un plus petit rapport $\alpha$.

        En effet, si $k$ est un rapport, tout $k'\geq k$ est encore un rapport ce qui
montre que $K$ est un intervalle non borné.

        D'autre part, si $\suite k$ est une suite convergente vers $\kappa$ de
rapports, alors
$$
\qqs n\in\N,\ \qqs (\vc x,\vc y)\in A^2,\  \norme[\big]{\vc f(\vc x) - \vc f(\vc y)}
\leq k_n\Norme(\vc x-\vc y)
$$
et par passage à la limite sur $n$
$$
\qqs (\vc x,\vc y)\in A^2,\  \norme[\big]{\vc f(\vc x) - \vc f(\vc y)}
\leq \kappa\Norme(\vc x-\vc y)
$$
ce qui montre que $\kappa$ est encore un rapport de Lipschitz pour $\vc f$ et
donc que $K$ est fermé.

%---------------------------------------------------------------------
\subsection{Exemples}
%---------------------------------------------------------------------

%--------------------------------------------------
\subsubsection{Les fonctions numériques de classe $\mathcal{C}^1$ sur un segment.}
%--------------------------------------------------

\begin{Prop}
        Toute fonction numérique de classe $\mathcal{C}^1$ sur le segment
$\intf ab$ est lipschitzienne de rapport $\normi{f'}$.
\end{Prop}

\begin{proof}
        Puisque pour tout $t\in\intf ab$, $\abs{f'(t)}$ est inférieur à $\normi{f'}$,
l'inégalité des accroissements finis montre que :
$$
\qqs(u,v)\in{\intf ab}^2,\ \abs{f(u)-f(v)}\leq\normi{f'}\abs{u-v}
$$
\end{proof}

%--------------------------------------------------
\subsubsection{La norme}
%--------------------------------------------------

\begin{Prop}
        Si $\Norme$ est une norme sur $E$, $\Norme$ est une application
lipschitzienne sur $E$ de rapport $1$. 
\end{Prop}

\begin{proof}
        On considère l'application $\Norme$ de $E$ muni de la norme $\Norme$ vers
$\R$ muni de la valeur absolue $\abs{\ }$; l'inégalité de Minkowski donne
$$
\abs[\big]{\Norme(\vc x) - \Norme(\vc y)}\leq \Norme(\vc x-\vc y)
$$
\end{proof}
%--------------------------------------------------

%--------------------------------------------------
\subsubsection{L'intégrale d'une fonction continue sur un segment}
%--------------------------------------------------
%
Soit la forme linéaire $I : f\in\Cab\mapsto\int_{a}^{b}f\in\K$.

L'inégalité $\abs{I(f)}=\abs{\int_{a}^{b}f}
        \leq \int_{a}^{b}\abs{f}=\Norme_1(f)$ montre que
$$
\abs{I(f) - I(g)} = \abs{I(f-g)}\leq\Norme_1(f-g)
$$
et $I$ est une application 1-lipschitzienne sur $\Cab$ muni de la
norme~$\Norme_1$.

L'inégalité $\abs{I(f)}=\abs{\int_{a}^{b}f}
        \leq \int_{a}^{b}\abs{f}\leq \int_{a}^{b}\sup \abs{f}=
        (b-a)\,\Norme_\infty(f)$ montre que
$$
\abs{I(f) - I(g)} = \abs{I(f-g)}\leq\Norme_\infty (f-g)
$$
et $I$ est une application $(b-a)$-lipschitzienne sur $\Cab$ muni de la
norme~$\Norme_\infty$.

L'inégalité de Cauchy-Schwarz
$$
\abs{I(f)}=\abs[\Big]{\int_{a}^{b}f}
        \leq \sqrt{\int_{a}^{b}\abs{f}^2} \sqrt{\int_{a}^{b}1^2}=
        \sqrt{b-a}\,\Norme_2(f)
$$
montre que
$$
\abs{I(f) - I(g)} = \abs{I(f-g)}\leq \sqrt{b-a}\,\Norme_2 (f-g)
$$
et $I$ est une application $\sqrt{b-a}$-lipschitzienne sur $\Cab$ muni de la
norme~$\Norme_2$.



\subsection{Opérations algébriques}
\begin{Prop}
        Toute combinaison linéaire d'applications lipschitziennes est lipschitzienne.
\end{Prop}
\begin{proof}
        Soient $\vc f$ et $\vc g$ deux applications lipschitziennes sur
$A\subset(E,\Norme)$ à valeurs dans $(F,\norme{\ })$ de rapports respectifs
$k_{\vc f}$ et $k_{\vc g}$, et $\lambda$ et $\mu$ deux scalaires de $\K$; on a, pour
tout $(\vc x,\vc y)\in A^2$ :
\begin{align*}
        \norme{(\lambda\vc f+\mu\vc g)(\vc x)-(\lambda\vc f+\mu\vc g)(\vc y)}
        &= \norme[\big]{\lambda\bigl( \vc f(\vc x) - \vc f(\vc y)\bigr) +
                        \mu\bigl( \vc f(\vc x) - \vc f(\vc y)\bigr)}                                            \\
        &\leq\abs{\lambda}\,\norme[\big]{\vc f(\vc x) - \vc f(\vc y)} +
                        \abs{\mu}\,\norme[\big]{\vc g(\vc x) - \vc g(\vc y)}                                                                            \\
        &\leq \abs{\lambda} k_{\vc f}\Norme(\vc x-\vc y) +
                        \abs{\mu} k_{\vc g}\Norme(\vc x-\vc y)
\end{align*}
et $\lambda\vc f + \mu\vc g$ est lipschitzienne de rapport $\abs{\lambda}k_{\vc
f} +\abs{\mu} k_{\vc g}$.
\end{proof}

\begin{Prop}
        Toute composée d'applications lipschitziennes est lipschitzienne.
\end{Prop}
\begin{proof}
        Soient $(E,\Norme)$, $(F,\mathcal{N'})$ et $(G,\mathcal{N''})$ trois
$\K$-espaces vectoriels normés, $\vc f : A\subset E\mapsto F$ et $\vc g :
B\subset F\mapsto G$ deux applications lipschitziennes 
de rapports respectifs 
$k_{\vc f}$ et $k_{\vc g}$ telles que $\vc f(A)\subset B$; alors, pour tout
$(\vc x,\vc y)\in A^2$, on a :
$$
        \mathcal{N''}\bigl(\vc g\bigl(\vc f(\vc x) \bigr)-
                \vc g\bigl(\vc f(\vc y) \bigr) \bigr)
        \leq k_{\vc g}\mathcal{N'}\bigl( \vc f(\vc x) - \vc f(\vc y) \bigr)                                       
        \leq k_{\vc g}k_{\vc f}\Norme(\vc x-\vc y)
$$
et $\vc g\circ \vc f$ est lipschitzienne de rapport $k_{\vc g}k_{\vc f}$.
\end{proof}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Comparaison des normes}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Dans cette section, $\Norme$ et $\mathcal{N'}$ désignent deux normes sur le
\emph{même} $\K$-espace vectoriel $E$.

%--------------------------------------------------
\subsection{Comparaison de normes}
%--------------------------------------------------
\begin{Df}[Finesse]
        Soient $\Norme$ et $\mathcal{N'}$ deux normes sur le même $\K$-espace
vectoriel~$E$; on dit que $\Norme$ est \emph{plus fine } que
$\mathcal{N'}$, ou encore $\mcal{N'}$ est \emph{moins fine } que
$\mcal{N}$, si, et seulement si, toute suite de $E$ qui converge vers $\vc 0$ pour
$\Norme$ converge, aussi, vers $\vc 0$ pour $\mathcal{N'}$.
\end{Df}

%--------------------------------------------------
\begin{Th}[Caractérisation]
$$
\Norme \text{ est plus fine que }\mathcal{N'}\iff
\exists\alpha>0,\ \mathcal{N'}\leq\alpha\Norme
$$
\end{Th}

\begin{proof}\alaligne\\
%
\CS Par hypothèse, $\mathcal{N'}\leq\alpha\,\Norme$, \ie{}
$\qqs \vc x\in E,
\mathcal{N'}(\vc x)\leq\alpha\,\Norme(\vc x)$, et donc
$$
\lim_n\Norme(\vc u_n)=0 \implique \lim_n\mathcal{N'}(\vc u_n)=0
$$
%
\CN Montrons la contraposée à savoir:
\begin{multline*}
        \Bigl( \qqs\alpha>0,\exists\vc x\in E, \mathcal{N'}(\vc x)>
                \alpha\Norme(\vc x) \Bigr) \\
        \implique\Bigl( \exists\Suite v\in E^\N\text{ telle que }
                \Norme(\vc v_n)\tend 0
                \text{ et }\mathcal{N'}(\vc v_n) \tendpas 0\Bigr)
\end{multline*}
Ainsi, : $\qqs n\in\N, \exists\vc u_n\in E,\mathcal{N'}(\vc u_n) >
        n\Norme(\vc u_n)$; en particulier $\vc u_n\neq \vc0$ et en posant :
$\vc v_n = \dfrac1{ \sqrt n\Norme(\vc u_n)}\vc u_n$, on obtient :
$$
\Norme(\vc v_n)=\dfrac1{\sqrt n}\tend0\text{ et }\mathcal{N'}(\vc v_n) =
\dfrac1{\sqrt n}\dfrac{\mathcal{N'}(\vc v_n)}{\Norme(\vc v_n)}>
\sqrt n\tend+\infty
$$
\end{proof}
\begin{NB}
        La condition $(\exists\alpha>0,\quad \mathcal{N'}\leq\alpha\,\Norme)$ équivaut à
ce que toute suite de $E$ convergente pour $\Norme$ est convergente pour
$\mathcal{N'}$, car la convergence de $\Suite u$ vers $\vc a$ équivaut à la
convergence de la suite $(\vc u_n - \vc a)_n$ vers $\vc 0$.
\end{NB}

\begin{Prop}[Finesse et application lipschitzienne]\mbox{}\\
        $\Norme$ est plus fine que $\mathcal{N'}$ si, et seulement si, l'application identique de
$E$ $I_E : (E,\Norme)\mapsto(E,\mathcal{N'})$ est lipschitzienne.
\end{Prop}
\begin{proof}
        $\Norme$ est plus fine que $\mathcal{N'}$ si, et seulement si, $\exists\alpha>0,
\mathcal{N'} \leq \alpha\,\Norme$, si, et seulement si, $\exists\alpha > 0,                       
\qqs(\vc x,\vc y)\in E^2, \mathcal{N'}(\vc x - \vc y) \leq \alpha\,\Norme(\vc
x - \vc y)$.

Ainsi, $\qqs(\vc x,\vc y)\in E^2, \abs{\mathcal{N'}(\vc x) - \mathcal{N'}(\vc y)}
\leq\mathcal{N'}(\vc x - \vc y)
\leq \alpha\,\Norme(\vc x - \vc y)$, \ie{} l'application identique
$I_E : (E,\Norme)\mapsto(E,\mathcal{N'})$ est $\alpha$-lipschitzienne.

        Réciproquement, si $I_E$ est $\alpha$-lipschitzienne, on a
$\qqs \vc x\in E, \abs{\mathcal{N'}(\vc x) - \mathcal{N'}(\vc 0)}
\leq\alpha\abs{\Norme(\vc x - \vc 0)}$, \ie{} $\mathcal{N'}\leq\alpha\,\Norme$.
\end{proof}


\subsection{Normes équivalentes}
\begin{Df}
        Deux normes $\Norme$ et $\mathcal{N'}$ sur le même $\K$-espace vectoriel
$E$ sont dites \emph{équivalentes} si, et seulement si, toute suite de $E$ convergeant pour
l'une est convergente pour l'autre.
\end{Df}

\begin{Th}[Caractérisation]
        Les conditions suivantes sont équivalentes :
\begin{prop}
        \item $\Norme$ et $\mathcal{N'}$ sont équivalentes;
        \item $\qqs\Suite u\in E^\N$, $\Suite u$ converge vers $\vc a$ pour
$\Norme$ si, et seulement si, $\Suite u$ converge vers $\vc a$
pour~$\mathcal{N'}$;
        \item  $\exists(\alpha,\beta)\in\into0{+\infty}\times\into0{+\infty},
\quad \alpha\,\Norme\leq\mathcal{N'}\leq\beta\,\Norme$;
        \item Les applications identiques $I_E :
(E,\Norme)\mapsto(E,\mathcal{N'})$ et
$I_E : (E,\mathcal{N'})\mapsto(E,\Norme)$ sont lipschitziennes.
\end{prop}
\end{Th}

\begin{proof}
        $(i) \iff (ii)$ : c'est la définition.\\
%       
        (ii) $\iff$ (iii) car (ii) est équivalent à $\mathcal{N'}$ plus fine que
$\Norme$ et $\Norme$ plus fine que $\mathcal{N'}$.\\
%
        (iii) $\iff$ (iv) : voir la caractérisation de la finesse par le caractère
lipschitzien de l'identité.
\end{proof}

\begin{NBs}\mbox{}\\
        Deux normes équivalentes définissent la même notion de convergence sur $E$.\\
%
        L'équivalence des normes est une relation d'équivalence.
\end{NBs}
%--------------------------------------------------
\subsection{Exemples}
%--------------------------------------------------

\begin{Th}
        Les normes $\Norme_1$, $\Norme_2$ et $\Norme_\infty$ sont
équivalentes sur $\K^n$, et on a les égalités :
\begin{gather*}
        \Norme_\infty\leq\Norme_1\leq\sqrt n\,\Norme_2
                \leq n\,\Norme_\infty                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   \\
        \Norme_\infty\leq\Norme_2\leq\Norme_1\leq n\,\Norme_\infty 
\end{gather*}
\end{Th}
\begin{proof}
        Soit $\vc x\in\K^n$;
$$\displaylines{
        \Norme_\infty(\vc x)=\sup_j\abs{x_j}=\abs{x_{j_0}}
                \leq\sum_j\abs{x_j}=\Norme_1(\vc x)
                \text{ donc }\Norme_\infty\leq\Norme_1                                                          \hfill\cr                                                                                 
        \Norme_\infty(\vc x)=\sup_j\abs{x_j}=\abs{x_{j_0}}
                        =\sqrt{\smash[b]{\abs{x_{j_0}}^2}}\leq\sqrt{\smash[b]{\sum_j\abs{x_j}^2}}                                                       %\hfill\cr
                        =\Norme_2(\vc x)
                        \text{ donc }\Norme_\infty\leq\Norme_2                          \hfill\cr
        \Norme_1(\vc x)=\sum_j\abs{x_j}\leq
                \sqrt{\smash[b]{\sum_j\abs{x_j}^2}} \sqrt{\smash[b]{\sum_j1^2}}
                =\sqrt n\,\Norme_2(\vc x)
                \text{ donc }\Norme_1\leq\sqrt n\,\Norme_2                                              \hfill\cr
        \Norme_2^2(\vc x)=\sum_j\abs{x_j}^2\leq
                \sum_j\sup_j\abs{x_j}^2=n\,\Norme_\infty^2(\vc x)\text{ donc }
                \Norme_2\leq\sqrt n\,\Norme_\infty                                                                                                                                                                              \hfill\cr
        \Norme_2^2(\vc x)=\sum_j\abs{x_j}^2\leq
                \bigl( \sum_j\abs{x_j} \bigr)^2=\Norme_1^2(\vc x)
                \text{ donc }\Norme_2\leq\Norme_1                                                                                                                                                                               \hfill\cr                 
}$$
Les constantes trouvées sont les meilleures possibles. Le démontrer!
\end{proof}

\begin{Prop}
        Les normes $\Norme_1$, $\Norme_2$ et $\Norme_\infty$ ne sont
pas équivalentes sur    $\Cab$, mais on a les égalités :
$$
\Norme_1\leq\sqrt{b-a}\,\Norme_2\leq(b-a)\,\Norme_\infty
$$
\end{Prop}
\begin{proof}
        Soit $f\in\Cab$;\\[1ex]
$\dps
        \Norme_1(f)=\int_{a}^{b}\abs{f}\leq
                \sqrt{\int_{a}^{b}\abs{f}^2}\sqrt{\int_{a}^{b}1^2}=
                \sqrt{b-a}\,\Norme_2(f)
                \text{, donc : }\Norme_1\leq\sqrt{b-a}\,\Norme_2
$\\[1ex]
$\dps
\Norme_2^2(f)=\int_{a}^{b}\abs{f}^2\leq
                        \int_{a}^{b}\sup \abs{f}^2=(b-a)\,\Norme_\infty^2(f)
                        \text{, donc : }\Norme_2\leq\sqrt{b-a}\,\Norme_\infty 
$

        On considère la suite de fonctions
$f_n : x\in\intf ab\mapsto ( \frac{x-a}{b-a} )^n$; alors :
\begin{align*}
        \Norme_1(f_n) &= \int_a^b\left( \dfrac{x-a}{b-a} \right)^n\,\dt[x]
                =\frac{b-a}{n+1}                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                \\
        \Norme_2(f_n) &= \sqrt{\int_a^b \left(\dfrac{x-a}{b-a} \right)^{2n}\,\dt[x]}
                =\sqrt{\frac{b-a}{2n+1}}                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                \\
        \Norme_\infty(f_n) &=1
\end{align*}

Ainsi la suite $\left( n^{\ra34}f_n \right)_n$ converge en moyenne vers 0 et
$\Norme_2(n^{\ra34}f_n)=n^{3/4}\sqrt{\frac{b-a}{2n+1}}$ tend vers l'infini;
d'autre part, la suite $\suite f$ converge en moyenne et en moyenne quadratique
vers 0, mais elle ne converge pas uniformément vers~0 sur l'intervalle~$\intf ab$.
\end{proof}


\subsection{\'Equivalence des normes en dimension finie}
\begin{Th}
        Toutes les normes sur un $\K$-espace vectoriel de dimension finie $E$ sont
équivalentes.
\end{Th}
\begin{proof}
        Soit $\mathcal{B}=(\vc e_1,\dots,\vc e_p)$ une base de $E$, $\vc x=\sum_jx_j\vc
e_j$ la décomposition de $\vc x$ sur $\mathcal{B}$. On pose :
$$
\Norme_\infty(\vc x)=\sup\ens[\big]{\abs{x_j}}{j\in\Intf{1}{p}}
$$
$\Norme_\infty$ est une norme sur $E$, ce qui montre qu'il en existe.

        Soit $\Norme$ une norme quelconque sur $E$; alors pour $\vc x\in E$ :
\begin{align*}
        \Norme(\vc x)
        &=\Norme\Bigl(\sum_j x_j\vc e_j\Bigr) \leq \sum_j\abs{x_j}\Norme(\vc e_j)                                                       \\
        &\leq\sum_j\bigl(\sup_j\abs{x_j}\bigr)\Norme(\vc e_j)=
                \Norme_\infty(\vc x)\sum_j\Norme(\vc e_j)
\end{align*}
Ainsi, $\dsp\Norme\leq
\bigl( \sum_{j=1}^p\Norme(\vc e_j)\bigr)\Norme_\infty$ et la norme
$\Norme_\infty$ est plus fine que $\Norme$.

On admet que la norme $\Norme$ est plus fine que la norme $\Norme_\infty$.
\end{proof}

\begin{NB}
        Ce théorème est fondamental; il indique que sur un $\K$-espace vectoriel normé
de dimension finie, il n'y a qu'\emph{une seule} notion de convergence.
\end{NB}

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%%% TeX-master: t
%%% End: