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Fichier TeX
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\chapter{Intégrale des fonctions numériques sur un intervalle}
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\minitoc
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\section{Intégrale des fonctions positives}
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Le but de ce paragraphe est de donner un sens, ou de n'en pas donner, à des symboles comme :
$$
\int_{-\infty}^{+\infty}\exp\Bigl(-\ra{t^2}{2}\Bigr)\,\dt,\qquad
\int_0^1(-\ln x)\,\dt[x],\qquad
\int_0^{+\infty}\ra{1}{t^2}\,\dt,\qquad
\int_0^1\ra{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\dt[x]
$$
symboles que l'on peut encore écrire:
$$
\int_{\R}\exp\Bigl(-\ra{t^2}2\Bigr)\,\dt,\qquad
\int_{\intof01}(-\ln x)\,\dt[x],\qquad
\int_{\into{0}{+\infty}} \ra{1}{t^2}\,\dt,\qquad
\int_{\intfo01} \ra{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\dt[x]
$$

  Pour $-\infty\leq a<b\leq+\infty$, il y a quatre types
d'intervalles d'extrémités $a$ et $b$ : $\intf{a}{b}$,
$\intfo{a}{b}$, $\intof{a}{b}$ et $\into{a}{b}$; ce qui donne
quatre types d'intégrales possibles, qui doivent rester
\emph{compatibles} avec l'intégrale sur un segment.

\begin{nota}
  L'espace des fonctions continues par morceaux sur l'intervalle
$I$ et à valeurs positives est noté $\CMIE[I,\R_+]$ ou encore
$\CMplI$. 
\end{nota}

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\subsection{Intégrale d'une fonction sommable}
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\begin{Df}[Fonction intégrable, sommable]\alaligne

  Une fonction $f\in\CMplI$ est dite \emph{intégrable} ou
\emph{sommable} sur l'intervalle $I$, si, et seulement si, l'ensemble
$\ens[\big]{\int_S f}{S\text{ segment }\subset I}$ est majoré, \ie
\Reponse{$\dps
\text{$f$ est sommable sur $I$}
\iff
\exists M>0,\ \qqs S\text{ segment }\subset I,\ \int_S f\leq M
$}
\end{Df}
La non-sommabilité de $f$ sur l'intervalle $I$ s'exprime par 
$$
\text{$f$ n'est pas sommable sur $I$}
\iff
\qqs M>0,\ \exists S\text{ segment }\subset I,\ \int_S f > M
$$

\begin{Df}[Intégrale d'une fonction]\alaligne
  
  Si $f$ est une fonction sommable sur l'intervalle $I$, on appelle
\emph{intégrale de $f$ sur $I$}, et on la note $\int_I f$,
la borne supérieure de $\ens[\big]{\int_S f}{S\text{ segment }\subset I}$.
\Reponse{$\dps
\int_I f = \sup\ens[\Big]{\int_S f}{S\text{ segment }\subset I}
$}
Si $f$ n'est pas sommable sur l'intervalle $I$, alors 
$\sup_S \{\int_S f\}=+\infty$.
\end{Df}

\begin{NB}
  Toute fonction positive et continue par morceaux sur le segment
$\intf {a}{b}$ est sommable sur ce segment et son intégrale est
égale à l'intégrale habituelle.
\end{NB}


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\subsection{Sommabilité par réunion croissante de segments}
%----------------------------------------------------------------------

  Au lieu de prendre la borne supérieure des intégrales $\int_S
f$ sur tous les segments $S$ de $I$, on peut se restreindre à une
suite de segments bien choisis.

\begin{Df}[Suite croissante de segments vers $I$]\alaligne
  
  On dit que la suite de segments $\suite S$ est \emph{croissante
vers $I$} si, et seulement si,
$$
\qqs n\in\N,\ S_n\subset S_{n+1}\quad\et\quad
\bigcup_{n\in\N}S_n=I
$$
\end{Df}

\begin{NBs}\alaligne

  Notons $a_n$ et $b_n$ les extrémités de $S_n$, soit 
$S_n=\intf{a_n}{b_n}$; $S_n$ est inclus dans $S_{n+1}$ si, et
seulement si, $a_n\geq a_{n+1}$ et $b_n\leq b_{n+1}$; la suite
$\suite S$ est croissante si, et seulement si, $\suite a$ est une
suite monotone décroissante et $\suite b$ monotone croissante et
$\bigcup_n\intf{a_n}{b_n}$ est un intervalle d'extrémités $a=\lim
a_n$ et $b=\lim_n b_n$.

  La suite $\suite S$ est croissante vers $\intfo ab$ si, et
seulement si, $\suite a$ est une suite décroissante qui stationne
en $a$ et $\suite b$ est une croissante non stationnaire de limite $b$.

  Soient $a<b$ deux nombres réels distincts et $n_0$ un entier
tel que $a\leq b-1/n_0< b$; alors la suite
$\bigl(\intf{a}{b-1/n}\bigr)_{n\geq n_0}$ est croissante vers $\intfo ab$. 

  La suite $\bigl(\intf{a}{n}\bigr)_{n>a}$ est croissante vers
$\intfo{a}{+\infty}$.

  Si $I=\intof{a}{b}$, on a des résultats analogues; de même pour
$I=\into{a}{b}$.
\end{NBs}

\begin{Prop}
  Si $\suite S$ est une suite de segments croissante vers $I$,
pour tout segment $K$ inclus dans $I$, il existe un entier $p$
tel que $K\subset S_{p}\subset I$.
\end{Prop}
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\begin{Prop}
  Soit $f\in\CMplI$; alors
\begin{prop}
  \item   $f$ est sommable sur $I$ si, et seulement si, il existe
une suite $\suite S$ de segments croissante vers $I$ et un
nombre $M>0$ tels que
$$
\qqs n\in\N,\ \int_{S_n}f\leq M
$$

  \item   si $f$ est sommable sur $I$, alors pour \emph{toute} suite
$\suite T$ de segments croissante vers $I$
$$
\int_I f=\sup_n \int_{T_n}f =\lim_n \int_{T_n}f  
$$
\end{prop}
\end{Prop}

\begin{proof}\alaligne

\begin{demprop}
  \monitem\alaligne\\
%
\CS   Tout segment $K\subset I$ est contenu dans un $S_n$ et les inégalités
$$
\int_K f\leq\int_{S_n} f\leq M
$$
montrent que $f$ est intégrable sur $I$.\\
%
\CN   Partons d'une suite $\suite T$ de segments croissante vers
$I$. Puisque $f$ est intégrable sur $I$, la propriété de la borne
supérieure montre que :
$$
\qqs n\in\N,\ \exists K_n\text{ segment}\subset I,\
\int_I f - \ra1{n+1} < \int_{K_n} f \leq \int_I f
$$
Il suffit d'extraire de $\suite T$ une sous-suite
$\bigl(T_{\vphi(n)}\bigr)_n$ telle que $K_n\subset T_{\vphi(n)}$ pour tout
$n$. La suite $\suite S=\bigl(T_{\vphi(n)}\bigr)_n$ convient puisque
$$
\qqs n\in\N,\
\int_I f-\ra1{n+1} < \int_{K_n}f\leq\int_{K_{\vphi(n)}}f=\int_{S_n}f
  \leq\int_I f
$$

  \monitem  Si $\suite T$ est une suite de segments croissante
vers $I$, la suite $\bigl(\int_{T_n} f \bigr)_n$ est une suite croissante de
réels (positifs), majorée par $\int_I f$ donc convergente vers sa
borne supérieure et
$$
\lim_n\int_{T_n} f = \sup_n\int_{T_n} f\leq\int_I f
$$

  Tout segment $K$ de $I$ est contenu dans un des $T_p$ et
$$
\int_K f\leq\int_{T_p} f\leq\sup_n\int_{T_n} f
$$
Ainsi, $\sup_n\int_{T_n} f$ est un majorant des intégrales
$\int_K f$, ce qui donne
$$
\int_I f=\sup\ens[\Big]{\int_K f}{\text{$K$ segment contenu dans $I$}}
\leq\sup_n\int_{T_n} f
$$
\end{demprop}
\end{proof}
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\begin{Th}[Intégrabilité par réunion croissante de segments]\alaligne

  Soit $\suite S$ est une suite de segments croissante vers $I$;
$f\in\CMplI$ est intégrable sur $I$ si, et seulement si,
$\lim_n\int_{S_n} f$ existe dans $\R$; dans ce cas,
$$
\int_I f=\lim_n\int_{S_n} f=\sup_n\int_{S_n} f
$$
Sinon, $f$ n'est pas intégrable sur $I$ et
$\lim_n\int_{S_n} f=\sup_n\int_{S_n} f=+\infty$.
\end{Th}

\begin{Exs}
  Cas des primitives explicitées par des fonctions élémentaires.\\
%
$\int_{\intof 01}(-\ln t)\,\dt$ : on utilise la suite de segments
$S_n=\intf{1/n}{1}$ et
$$
\int_{\intf{1/n}{1}} (-\ln t)\,\dt=-t\ln t-t\entre{t=1/n}{t=1}
  \tend 1=\int_{\intof01} (-\ln t)\,\dt
$$
%
$\int_{\into{0}{+\infty}}t^{-2}\,\dt$ : on utilise la suite de segments
$S_n=\intf{\ra1n}{n}$ et
$$
\int_{\intf{1/n}{n}}\ra{1}{t^2}\,\dt=-\ra1t\entre[\bigg]{t=\ra1n}{t=n}\tend +\infty
\text{ \ie{} $\dps t \mapsto \ra1{t^2}$ n'est pas intégrable sur $\into0{+\infty}$}
$$

  Cas des primitives qui ne sont pas explicitées par des fonctions
élémentaires.\\
$\int_{\R} \exp(-t^2/2)\,\dt$ : on utilise la suite de segments
$S_n=\intf{-n}{n}$ et
$$
\int_{\intf{-n}{n}} \exp(-t^2/2)\,\dt=2\int_0^n\exp(-t^2/2)\,\dt=
2\int_0^1\exp(-t^2/2)\,\dt+2\int_1^n\exp(-t^2/2)\,\dt
$$
Or, pour tout $t\geq 1$, $\exp(-t^2/2)\leq t\exp(-t^2/2)$
et
$$
\int_1^n\exp(-t^2/2)\,\dt
\leq\int_1^n t\exp(-t^2/2)\,\dt
=-\exp(-t^2/2)\entre[\Big]{t=1}{t=n}<\exp(-1/2)
$$
ce qui donne
$$
\int_{\intf{-n}{n}} \exp(-t^2/2)\,\dt 
< 2\int_0^1 \exp(-t^2/2)\,\dt+2\exp(-1/2)
$$
La fonction $t\mapsto \exp(-\ra{t^2}{2})$ est donc intégrable sur $\R$.
On démontrera que
\Reponse{$\dsp
\int_{\R}\exp(-t^2/2)\,\dt=\sqrt{2\pi}
$}
\end{Exs}


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\subsection{Intégrabilité sur un segment}
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\begin{Th}[Intégrales sur $\intf ab$, $\intfo ab$, $\intof ab$ et
$\into ab$]\alaligne

  Toute fonction positive et continue par morceaux sur le segment
$\intf ab$ est intégrable sur ce segment, ainsi que sur les
intervalles $\intfo ab$, $\intof ab$ et $\into ab$; les quatre
intégrales sont égales à l'intégrale habituelle, celle du
chapitre précédent.
\end{Th}

\begin{proof}
  $\intf ab$ est un segment particulier de $I=\intf ab$; donc,
$\sup_S\int_S f=\int_{\intf ab}f=\int_a^b f$.

  Dans le cas $I=\intfo ab$, posons $S_n=\intf a{b-1/n}$
pour $n>1/(b-a)$, et appelons $F$ une primitive de $f$ sur
$\intf ab$; alors
$$
\int_{S_n} f=\int_a^{b-1/n} f(t)\,\dt=F(b-1/n)-F(a)
\tend F(b)-F(a)=\int_a^b f
$$
puisque $F$ est continue sur $\intf ab$. La fonction $f$ est donc intégrable
sur $\intfo ab$ et $\int_{\intfo ab}f=\int_a^b f$.

  La démonstration est analogue pour $I=\intof ab$, on pose
$S_n=\intf{a+1/n}{b}$ pour $n>1/(b-a)$, et pour $I=\into ab$,
on pose $S_n=\intf{a+1/n}{b-1/n}$ pour $n>\bigl(2(b-a)\bigl)^{-1}$.
\end{proof}
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\begin{NBs}\alaligne

  L'extension de l'intégrale est donc compatible avec l'intégrale précédente.

  Une démonstration analogue montre que si $f$ est intégrable sur $\intfo
ab$,  $f$ est intégrable sur $\into ab$ et les deux intégrales
sont égales. On a un résultat identique pour $I=\intof ab$.
\end{NBs}

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\subsection{Intégrabilité par intersection}
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\begin{Th}[Intégrabilité par intersection]\alaligne
  
  Soient $I$ un intervalle et $c\in I$; posons
$I^g=I\cap\intof{-\infty}{c}$ et $I^d=I\cap\intfo{c}{+\infty}$.
Pour $f\in\CMplI$, $f$ est intégrable sur $I$ si, et seulement
si, $f$ est intégrable sur $I^g$ et $I^d$ et dans ce cas
$$
\int_I f=\int_{I^g} f + \int_{I^d} f
$$
\end{Th}

\begin{proof}
  Soit $\suite S$ une suite de segments croissante vers $I$;
$(S_n^g)_n=(S_n\cap\intof{-\infty}c)_n$ (resp.
$(S_n^d)_n=(S_n\cap\intfo c{+\infty})_n$) est une suite de
segments croissante vers $I^g$ (resp. $I^d$) et la relation de
Chasles donne $\int_{S_n} f=\int_{S_n^g} f + \int_{S_n^d} f$.

  Si $f$ est intégrable sur $I$, les inégalités $\int_{S_n^g}
\leq\int_{S_n}f\leq\int_I f$ (resp. $\int_{S_n^d}
\leq\int_{S_n}f\leq\int_I f$) montrent que $f$ est intégrable sur
$I^g$ (resp. $I^d$).

  Réciproquement, si $f$ est intégrable sur $I^g$ et $I^d$, les inégalités 
$\int_{S_n} f=\int_{S_n^g} f+\int_{S_n^d}f\leq\int_{I^g}f+\int_{I^d}f$
montrent que $f$ est intégrable sur $I$.

  Dans ce cas,
$\lim_n\int_{S_n}f=\lim_n\int_{S_n^g}f+\lim_n\int_{S_n^d}f$, soit
$\int_I f=\int_{I^g}f+\int_{I^d}f$.
\end{proof}
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\begin{NBs}\alaligne

  Montrer l'intégrabilité sur l'intervalle ouvert $\into ab$, c'est montrer
l'intégrabilité sur les intervalles $\intof ac$ et $\intfo cb$ pour $c$ choisi
dans $\into ab$.

  Montrer l'intégrabilité sur l'intervalle $\intfo ab$, c'est montrer
l'intégrabilité sur l'intervalle $\intfo cb$ pour $c$ choisi dans $\into ab$,
puisque toute fonction positive et continue par morceaux est
intégrable sur le segment $\intf ac$.
\end{NBs}

\begin{Th}[Additivité de l'intégrale]\alaligne

  Soient $f\in\mcal{CM}^+(\intfo ab)$ et $c\in\intfo ab$; alors
$f$ est intégrable sur $\intfo ab$ si, et seulement si, $f$ est
intégrable sur $\intfo cb$ et, dans ce cas,
$$
\int_{\intfo ab}f=\int_{\intf ac}f+\int_{\intfo cb}f
$$

  Soient $f\in\mcal{CM}^+(\into ab)$ et $c\in\intfo ab$; alors
$f$ est intégrable sur $\into ab$ si, et seulement si, $f$ est
intégrable sur $\intof ac$ \emph{et} sur $\intfo cb$ et, dans ce cas,
$$
\int_{\into ab}f=\int_{\intof ac}f+\int_{\intfo cb}f
$$
\end{Th}

\subsection{Sommabilité sur $\intfo ab$ à l'aide d'une primitive}

  Rappelons le résultat suivant sur les fonctions réelles, continues et
monotones.

\begin{Lem}
  Soient $F$ une fonction réelle définie sur $\intfo ab$ et
$\suite b$ une suite de $\intfo ab$, monotone croissante et de
limite $b$; alors
\begin{prop}
  \item   si $F$ est continue, l'existence de $\lim_{t\uparrow b}F(t)$ implique
    l'existence de $\lim_n F(b_n)$ et les limites sont égales;
  \item si $F$ est monotone croissante, $F$ est majorée si, et seulement si la
    suite $(F(b_n))_n$ est majorée, et dans ce cas $\lim_{t\uparrow b}F(t) =
    \lim_n F(b_n)$; 
  \item si $F$ est monotone décroissante, $F$ est minorée si, et seulement si la
    suite $(F(b_n))_n$ est minorée, et dans ce cas $\lim_{t\uparrow b}F(t) =
    \lim_n F(b_n)$; 
\end{prop}
\end{Lem}

\begin{proof}\alaligne

\begin{demprop}
  \monitem  C'est bien connu;
  
  \monitem  Tout majorant de $F$ sur $\intfo ab$ est aussi un
majorant de la suite $(F(b_n))_n$. Puisque $\suite b$ admet $b$ pour limite,
pour tout $t\in\intfo ab$ il existe un entier $n_t$ tel que $t\leq b_{n_t}<b$,
et, $F$ étant croissante, $F(t)\leq F(b_n)$; ainsi, tout majorant de la suite
$(F(b_n))_n$ est aussi un majorant de $F$ sur $\intfo ab$. Par conséquent,
$\sup_{t\in\intfo ab}F(t)=\sup_n F(b_n)$, ce qui montre l'égalité des limites.

  \monitem La démonstration est identique.
\end{demprop}
\end{proof}
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\begin{Th}[Sommabilité et accroissement d'une primitive]\alaligne

  Soit $f$ une fonction positive et continue par morceaux sur $\intfo ab$; alors
$$
\reponse{
$f$ est intégrable sur $\intfo ab\iff F : x\mapsto\int_a^x f(t)\,\dt$
est majoré;\\[1ex]
dans ce cas
$\dps\int_{\intfo ab}f=\lim_{x\uparrow b}\int_a^x f(t)\,\dt$
}
$$
sinon \hfill$\lim_{x\uparrow b}\int_a^x f(t)\,\dt=+\infty$\hspace*{\fill}
\end{Th}

\begin{proof}
  $F : x\mapsto \int_a^x f(t)\,\dt$ est une fonction continue, de classe
$\mcal{C}^1$ par morceaux sur $\intfo ab$ et croissante ($f$ est positive). Soit
$\suite b$ une suite croissante de limite $b$; $(\intf a{b_n})_n$ est une
suite de segments croissante vers $\intfo ab$ et $f$ est intégrable sur $\intfo ab$
si, et seulement si, la suite $(\int_{\intf a{b_n}}f)_n=(F(b_n))_n$ est majorée.
Le lemme précédent permet de conclure.

\end{proof}
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  \begin{Exs}
$\int_{\intof 01}(-\ln t)\,\dt$ : on considère
$$
\int_x^1 (-\ln t)\,\dt=-t\ln t-t\entre{t=x}{t=1}
  \tend[x\downarrow 0] 1=\int_{\intof01} (-\ln t)\,\dt
$$

  $\int_{\intfo01}(1-t^2)^{-\ra12}\,\dt$ : considérons
$$
\int_0^x \ra{1}{\sqrt{1-t^2}}\,\dt=\arcsin t\entre{t=0}{t=x}
\tend[x\uparrow 1]\ra{\pi}{2}=\int_{\intfo01}\ra{1}{\sqrt{1-t^2}}\,\dt
$$
\end{Exs}



\begin{Prop}[Intégrale de Bertrand]\alaligne

  $\dps t\mapsto\ra1{t(\ln t)^\beta}$ est intégrable sur $\intfo 2{+\infty}$ si,
et seulement si, $\beta>1$.
\end{Prop}

\begin{proof}
  Le changement de variable $u=\ln t$, $\dt[u]=t^{-1}\,\dt$ permet d'écrire
\begin{equation}
  \int_2^x\ra{1}{t(\ln t)^\beta}\,\dt=\int_{\ln 2}^{\ln x}\ra{1}{u^\beta}\,\dt[u]=
  \begin{cases}
    \dps\ra{(\ln x)^{-\beta+1}-(\ln 2)^{-\beta+1}}{-\beta+1}
      &   \text{ si $\beta\neq1$}   \\
    \ln u=\ln(\ln x)-\ln(\ln 2)
      &   \text{ si $\beta=1$}
  \end{cases}
\end{equation}
et$\dps\lim_{x\uparrow+\infty}\int_2^x\ra{dt}{t(\ln t)^\beta}$ existe si, et
seulement si, $-\beta+1<0$.
\end{proof}
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\subsection{Les références fondamentales}
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\subsubsection{La fonction exponentielle}
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\Reponse{
$\dps\text{Pour $\lambda\in\R$, }
t\mapsto\exp(-\lambda t)\text{ est intégrable sur $\intfo0{+\infty}$}
\iff\lambda>0$\\
Dans ce cas, $\dps\int_{\intfo0{+\infty}}\exp(-\lambda t)\,\dt=\ra{1}{\lambda}$
}

\begin{proof}
  Si $\lambda\neq0$,
$\int_0^x\exp(-\lambda t)\,\dt=\ra{1}{-\lambda}(\exp(-\lambda x)-1)$
a une limite (finie) quand $x\to+\infty$ si, et seulement si $\lambda>0$; dans ce
cas, cette limite est $\ra{1}{\lambda}$. Si $\lambda=0$,
$\int_0^x 1\,\dt=x\tend[x\uparrow+\infty]+\infty$.
\end{proof}
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\subsubsection{La fonction logarithme}
%--------------------------------------------------
$$
\reponse{$\dps t\mapsto -\ln t$ est intégrable sur $\intof01$ et
$\dps\int_{\intof01}(-\ln t)\,\dt=1$}
$$

%--------------------------------------------------
\subsubsection{Les intégrales de Riemann}
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  Soient $a>0$ et $\alpha\in\R$; $t\mapsto t^{-\alpha}$ est-elle
intégrable sur $\intof0a$, sur $\intfo{a}{+\infty}$, sur
$\into0{+\infty}$?
$$
\reponse{
$t\mapsto t^{-\alpha}$ est intégrable sur $\intof0a$
  $\iff\alpha<1$;\\[1ex]
$t\mapsto t^{-\alpha}$ est intégrable sur $\intfo{a}{+\infty}$
  $\iff\alpha>1$;\\[1ex]
$t\mapsto t^{-\alpha}$ N'EST PAS INTÉGRABLE sur $\into0{+\infty}$.
}
$$
\begin{proof}\alaligne

  Soit $I=\intof0a$; calculons
$$
\int_x^1 \ra1{t^{\alpha}}\,\dt=
\begin{cases}
  \dps
  \ra{t^{-\alpha+1}}{-\alpha+1}\entre[\Big]{t=x}{t=a}
    =\ra{a^{-\alpha+1}-x^{-\alpha+1}}{-\alpha+1}
    &\tend[x\downarrow 0]
    \begin{cases}
      \dps
      \ra{a^{1-\alpha}}{1-\alpha}   &   \text{si $\alpha<1$}  \\
      +\infty           &   \text{si $\alpha>1$}
    \end{cases}                                                         \\
  \ln t\entre{t=x}{t=a}=\ln a-\ln x
    &   \tend[x\downarrow 0] +\infty\text{ si $\alpha=1$}
\end{cases}
$$
  
  Pour $I=\intfo{a}{+\infty}$, calculons
$$
\int_a^x \ra1{t^\alpha}\,\dt=
\begin{cases}
  \dps
  \ra{t^{-\alpha+1}}{-\alpha+1}\entre[\Big]{t=a}{t=x}
    =\ra{x^{-\alpha+1}-a^{\alpha-1}}{-\alpha+1}
    &\tend
    \begin{cases}
      +\infty                         &   \text{si $\alpha<1$}  \\
      \dps\ra{1}{(\alpha-1)a^{\alpha-1}}  &   \text{si $\alpha>1$}
    \end{cases}                                                         \\
  \ln t\entre{t=a}{t=x}=\ln x - \ln a
    &   \tend +\infty\text{ si $\alpha=1$}
\end{cases}
$$

  Pour $I=\into{0}{+\infty}$, posons $S_n=\intf{1/n}{n}$ et calculons
$$
\int_{S_n}\ra1{t^\alpha}\,\dt=\int_{n^{-1}}^n\ra1{t^\alpha}\,\dt=
\left.
\begin{cases}
  \dps
  \ra{t^{-\alpha+1}}{-\alpha+1}\entre[\Big]{t=n^{-1}}{t=n}
    =\ra{n^{-\alpha+1}-n^{\alpha-1}}{-\alpha+1}
    &   \text{ si $\alpha\neq 1$}                             \\[2ex]
  \ln t\entre{t=n^{-1}}{t=n}=2\ln n
    &   \text{ si $\alpha=1$}
\end{cases}
\right\}
\tend +\infty
$$
\end{proof}

\begin{NBs}
  La fonction $t\mapsto (b-t)^{-\alpha}$ (resp. $t\mapsto (t-b)^{-\alpha}$) est
intégrable sur l'intervalle $\intfo cb$ avec $c<b$ (resp. sur l'intervalle
$\intof bc$ avec $b<c$) si, et seulement si, $\alpha<1$.

  La fonction $t\mapsto (t-b)^{-\alpha}$ n'est \emph{jamais} intégrable sur
l'intervalle $\into b{+\infty}$.

  La fonction $t\mapsto (1+t^\alpha)^{-1}$ est intégrable sur l'intervalle
$\into0{+\infty}$ si, et seulement si, $\alpha>1$.
\end{NBs}



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\section{Opérations sur les fonctions intégrables}
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\subsection{Sommabilité par combinaison linéaire à coefficients positifs}
%---------------------------------------------------------------------

\begin{Th}[Combinaison linéaire de fonctions sommables]\alaligne

  Soient $f$ et $g$ deux éléments de $\CMplI$; alors
\begin{prop}
  \item   si $f$ et $g$ sont sommables sur $I$, $f+g$ est sommable sur $I$ et
$$
\int_I(f+g)=\int_I f+\int_I g
$$

  \item   si $f$ est sommable sur $I$, pour tout $\lambda>0$, $\lambda f$ est
sommable sur $I$ et
$$
\int_I \lambda f=\lambda\int_I f
$$
\end{prop}
\end{Th}

\begin{proof}
  Soit $\suite S$ une suite de segments croissante vers $I$;
  
\begin{demprop}
  \monitem  $\qqs n,\ \int_{S_n}(f+g)=\int_{S_n}f+\int_{S_n}g\tend\int_I f
+ \int_I g$; donc $f+g$ est sommable sur $I$ et
$\int_I(f+g)=\int_I f+\int_I g$. 

  \monitem  $\int_{S_n}\lambda f=\lambda\int_I f\tend\lambda\int_I f$ ce qui
montre la sommabilité de $\lambda f$ et l'égalité
$\int_I \lambda f=\lambda\int_I f$.
\end{demprop}
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{NB}
  Pour des raisons techniques (les fonctions considérées sont à valeurs réelles
positives pour le moment), les scalaires sont positifs; dans la prochaine
section, les scalaires seront des nombres réels quelconques, et même des nombres
complexes.
\end{NB}

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\subsection{Sommabilité par comparaison}
%---------------------------------------------------------------------

\begin{Th}[Comparaison globale]\alaligne

  Soient $f$ et $g\in\CMplI$ telles que : $\qqs t\in I,\ 0\leq f(t)\leq g(t)$;
alors
\begin{prop}
  \item   si $g$ est sommable sur $I$, $f$ est sommable sur $I$ et
$\dps0\leq\int_I f\leq\int_I g$;

  \item   si $f$ n'est pas  sommable sur $I$, $g$ n'est pas sommable sur $I$.
\end{prop}
\end{Th}

\begin{proof}
  Soit $\suite S$ une suite de segments croissante vers $I$; alors
$$
0\leq f\leq g\implique\qqs n,\ 0\leq\int_{S_n}f\leq\int_{S_n}g
$$
\begin{demprop}
  \monitem  si $g$ est sommable sur $I$, $\int_I g$ est un majorant de
$\int_{S_n}f$, ce qui montre que $f$ est sommable sur $I$ et
$0\leq\int_I f\leq\int_I g$;

  \monitem  si $f$ n'est pas sommable sur $I$, $sup_n\int_{S_n}f=+\infty$,
donc $\sup_n\int_{S_n}g=+\infty$ et $g$ n'est pas sommable sur $I$.
\end{demprop}
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{NB}
  Ce théorème est essentiel : il permet de montrer la sommabilité d'une fonction
sans en calculer une primitive.
\end{NB}

\begin{Cor}
  Soient $f$ et $g\in\CMplI$; s'il existe $A>0$ et $B>0$ tels que
$$
\qqs t\in I,\qquad 0\leq A\,f(t)\leq g(t)\leq B\,f(t)
$$
alors, $f$ est sommable sur $I$ si, et seulement si, $g$ est sommable sur $I$.
\end{Cor}

\begin{proof}
  Si $f$ est sommable, alors $B\,f$ est sommable, et $g$ est sommable par comparaison
globale ($g\leq B\,f$).
  Si $g$ est sommable, alors $\ra1A\,f$ est sommable ($A>0$), et $f$ est sommable par
comparaison globale ($f\leq \ra1A\,g$). 
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{Th}[Comparaison locale, intégrabilité sur $\intfo ab$]\alaligne

  Soient $f$ et $g\in\mcal{CM}^+(\intfo ab)$;
\begin{prop}
  \item   $f$ est intégrable sur $\intfo ab$ si, et seulement si, il existe
$c\in\into ab$ tel que $f$ soit intégrable sur~$\intfo cb$;
  \item   si $\dps f\buildrel{=}_b^{}\OO{g}$, alors l'intégrabilité de $g$ sur
$\intfo ab$ implique l'intégrabilité
de $f$ sur $\intfo ab$, et la non-intégrabilité de $f$ sur $\intfo ab$ implique
la non-intégrabilité de $g$ sur $\intfo ab$;
  \item   si $f\buildrel{\sim}_b^{} g$, alors $f$ est intégrable sur $\intfo ab$ si, et
seulement si, $g$ est intégrable sur $\intfo ab$.
\end{prop}
\end{Th}

\begin{proof}\alaligne

\begin{demprop}
  \monitem  Déjà vu; rappelons qu'une fonction continue par morceaux est
intégrable sur tout segment;
  \monitem  si $f\buildrel{=}_b^{}\OO{g}$, il existe un voisinage $\intfo cb$ de
$b$ et un nombre réel $M>0$ tels que $\qqs t\in\intfo cb,\ f(t)\leq M\,g(t)$, ce qui
assure l'intégrabilité de $f$ sur $\intfo cb$, et donc sur $\intfo ab$;
  \monitem  si $f\buildrel{\sim}_b^{} g$, alors $f\buildrel{=}_b^{}\OO{g}$ et
$g\buildrel{=}_b^{}\OO{f}$, ce qui montre l'équivalence annoncée. 
\end{demprop}
\end{proof}
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\subsubsection{Intégrale de Bertrand, suite et fin}

\Reponse{$\dps t\mapsto\ra1{t^\alpha(\ln t)^\beta}$ est intégrable sur
$\intfo 2{+\infty} \iff \alpha>1\text{ ou }(\alpha=1\et\beta>1)$
}

\begin{proof}
  La fonction $t\mapsto t^{-\alpha}(\ln t)^{-\beta}$ est continue sur
l'intervalle $\intfo 2{+\infty}$.
  
  Le cas $\alpha=1$ déjà été étudié.

  Cas $\alpha>1$; on pose $\alpha = 1+2\eps$; $\eps$ est donc un nombre
strictement positif et
$$
f(t) = \ra1{t^{1+2\eps}}(\ln t)^{-\beta}=
  \ra1{t^{1+\eps}}\ra{(\ln t)^{-\beta}}{t^{\eps}}
  \buildrel{=}_{+\infty}^{}\OO[\bigg]{\ra1{t^{1+\eps}}}
$$
Or, $t\mapsto t^{-(1+\eps)}$ est intégrable sur $\intfo 2{+\infty}$, ce qui
assure l'intégrabilité de $f$.

  Cas $\alpha<1$; on pose $\alpha = 1-\eps$;t $\eps$ est dons un nombre
strictement positif et
$$
f(t)=\ra1{t^{1-\eps}(\ln t)^{\beta}}=
  \ra1{t}\ra{t^{\eps}}{(\ln t)^{\beta}}\ \et\ 
  \ra1{t}=f(t)\ra{(\ln t)^\beta}{t^\eps}\buildrel{=}_{+\infty}^{}\OO{f}
$$
Or, $t\mapsto t^{-1}$ n'est pas intégrable sur $\intfo 2{+\infty}$, ce qui
assure la non-intégrabilité de $f$.
\end{proof}


\subsubsection{La fonction $\Gamma$}

\begin{Df}
  On note $\Gamma$ la fonction définie sur $\into0{+\infty}$ par
$$
\reponse{$\dps
\qqs x>0,\ \Gamma(x)=\int_{\into0{+\infty}} e^{-t}t^{x-1}\,\dt
$}
$$
\end{Df}

\begin{proof}
  Pour $x\in\R$, on pose $f_x: t\mapsto e^{-t}t^{x-1}=e^{-t}e^{(x-1)\ln t}$;
$f_x$ est une fonction de classe $\mcal{C}^\infty$ sur $\into 0{+\infty}$.

  Au voisinage de $t=0$, $f_x(t)\buildrel{\sim}_{t=0}^{}t^{x-1}=t^{-(1-x)}$, ce
qui montre que $f_x$ est intégrable sur $\intof01$ si, et seulement si, $1-x<0$,
soit $x>0$.

  Au voisinage de $t=+\infty$, $f_x(t)=e^{-t/2}\,(e^{-t/2}t^{x-1})
\buildrel{=}_{t=+\infty}^{}\OO{e^{-t/2}}$, ce qui montre que $f_x$ est intégrable
sur $\intfo1{+\infty}$, sans condition sur $x$.

  En conclusion, $t\mapsto e^{-t}t^{x-1}$ est intégrable sur $\into0{+\infty}$ si,
et seulement si, $x>0$.
\end{proof}
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\begin{Prop}[\'Equation fonctionnelle de la fonction $\Gamma$]\alaligne

\Reponse{$\dps
\qqs x>0,\ \Gamma(x+1)=x\Gamma(x)\quad\et\quad
\qqs n\in\N,\ \Gamma(n+1)=n!
$}
\end{Prop}

\begin{proof}
  Utilisons la suite de segments $(\intf{1/n}n)_{n>1}$ croissante vers
$\into0{+\infty}$; ainsi
$$
\Gamma(x)=\lim_n\int_{\ra1n}^n e^{-t}t^{x-1}\,\dt
$$
Une intégration par parties sur le segment $\intf{1/n}n$ s'impose et donne :
$$
\int_{\ra1n}^n e^{-t}t^{x}\,\dt=
-e^{-t}t^x\entre[\Big]{t=\ra1n}{t=n}-\int_{\ra1n}^n(-e^{-t})xt^{x-1}\,\dt
$$
Or $\lim_n n^x e^{-n}=0=\lim_n(\ra1n)^x e^{-1/n}$. Un passage à la limite sur $n$
donne :
$$
\int_{\into0{+\infty}}e^{-t}t^x\,\dt=\int_{\into0{+\infty}}e^{-t}x t^{x-1}\,\dt=
x\Gamma(x)
$$
$\Gamma(1)=\int_{\intfo0{+\infty}}e^{-t}\,\dt=-e^{-t}\entre{t=0}{t\to+\infty}=1$.\\
Par récurrence, $\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)=n(n-1)\Gamma(n-1)=\cdots=
n!\Gamma(1)=n!$
\end{proof}
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\begin{Prop}[Convexité de la fonction $\Gamma$]\alaligne

  La fonction $\Gamma$ est une fonction convexe sur $\into0{+\infty}$
\end{Prop}


\begin{proof}
  Pour $t>0$ fixé, $x\mapsto t^{x-1}=\exp\bigl((x-1)\ln t\bigr)$ est une
fonction convexe sur $\R$, car $\ra{d^2}{dx^2}(t^{x-1})=(\ln t)^2 t^{x-1}>0$. On
en déduit que pour $x$ et $y\in\into0{+\infty}$ et $\lambda\in\into01$
\begin{gather}
  t^{\lambda x+(1-\lambda y)-1}=t^{\lambda(x-1)+(1-\lambda)(y-1)}
    \leq\lambda t^{x-1}+(1-\lambda)t^{y-1}                              \\
  \et(e^{-t}>0)\quad
    e^{-t}t^{\lambda x+(1-\lambda y)-1}
    \leq\lambda e^{-t}t^{x-1}+(1-\lambda)e^{-t}t^{y-1}
\end{gather}
Le critère de comparaison globale montre
\begin{multline}
  \Gamma\bigl(\lambda x+(1-\lambda)y\bigr)
    =\int_{\into0{+\infty}}e^{-t}t^{\lambda x+(1-\lambda y)-1}\,\dt       \\
  \leq\lambda\int_{\into0{+\infty}}e^{-t}t^{x-1}\,\dt
    +(1-\lambda)\int_{\into0{+\infty}}e^{-t}t^{y-1}\,\dt
    =\lambda\Gamma(x)+(1-\lambda)\Gamma(y)
\end{multline}
\end{proof}
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\subsection{Intégrabilité sur $\intfo a{+\infty}$ à l'aide d'une série}
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\subsubsection{Cas général}
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\begin{Prop}
  Soient $f\in\mcal{CM}^+(\intfo a{+\infty})$ et $\suite b$ une suite croissante
vers $+\infty$ de premier terme $b_0=a$; alors $f$ est intégrable sur $\intfo
a{+\infty}$ si, et seulement si, la série $\sum\int_{b_n}^{b_{n+1}}f(t)\,\dt$ est
convergente, et, dans ce cas
$$
\int_{\intfo a{+\infty}}f=\sum_{n=0}^\infty\int_{b_n}^{b_{n+1}}f(t)\,\dt
$$
\end{Prop}

\begin{proof}
  La suite de segments $(\intf{a}{b_n})_n$ est croissante vers
$\intfo a{+\infty}$; ainsi
\begin{align*}
f\text{ intégrable sur }\intfo a{+\infty}
&   \iff\exists\lim_n\int_{b_0}^{b_n}f     \\
&   \iff\exists\lim_n\sum_{k=0}^{n-1}\int_{b_k}^{b_{k+1}} f
    \qquad\text{(relation de Chasles)}   \\
&   \iff\text{la série $\dps\sum\int_{b_n}^{b_{n+1}}f$ est convergente}
\end{align*}
Dans ce cas
\begin{equation}
  \int_{\intfo a{+\infty}}f=\lim_n\int_{a}^{b_n}f
    =\lim_n\sum_{k=0}^{n-1}\int_{b_k}^{b_{k+1}}f
    =\sum_{k=0}^\infty\int_{b_k}^{b_{k+1}}f
\end{equation}
\end{proof}
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\begin{Ex}
  $f:x\mapsto x(1+x^6\sin^2 x)^{-1}$ est intégrable sur $\intfo 0{+\infty}$;
utiliser $b_n=n\pi$ et montrer les inégalités suivantes :
\begin{align*}
0<u_n
&   =\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\ra{x}{1+x^6\sin^2 x}\,\dt[x]  \qquad &{}        \\
&   \leq\int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\ra{(n+1)\pi}{1+(n\pi)^6\sin^2 x}\,\dt[x]
  &   \text{ car\dots}  \\
&   =(n+1)\pi\int_{-\ra{\pi}2}^{\ra\pi2}\ra{dx}{1+(n\pi)^6\sin^2 x}
        &   \text{ car\dots}  \\
&   =2(n+1)\pi\int_0^{\ra\pi2}\ra{dx}{1+(n\pi)^6\sin^2 x}               
  &   \text{ car\dots}  \\
&   \leq 2(n+1)\pi\int_0^{\ra\pi2}\ra{dx}{1+(n\pi)^6\bigl(\ra2\pi x\bigr)^2}
  &   \text{ car\dots}  \\
&   =2(n+1)\pi\int_0^{\ra\pi2}\ra{dx}{1+(2n^3\pi^2x)^2}  
  &   \text{ car\dots}  \\
&   \leq2(n+1)\pi\ra1{2n^3\pi^2}\ra\pi2=\ra{n+1}{2n^3}  
  &   \text{ car\dots}  \\
\end{align*}
La série $\sum u_n$ est convergente et la fonction $f$ est intégrable sur
$\intfo0{+\infty}$.
\end{Ex}

\begin{NB}\alaligne

  Chère lectrice et cher lecteur, voici un exemple d'une fonction de classe
$\mcal{C}^\infty$ sur $\intfo0{+\infty}$ et qui n'est pas bornée puisque
$f(n\pi)=n\pi$.

  Par contre, une fonction \emph{intégrable} sur $\intfo a{+\infty}$ ne peut
admettre que 0 comme limite en $+\infty$.
\end{NB}

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\subsubsection{Cas d'une fonction monotone décroissante}
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\begin{Th}[Comparaison série-intégrale]\alaligne

  Soit $f\in\mcal{CM}^+(\intfo0{+\infty})$ une fonction monotone décroissante et
$w_n=\int_{n-1}^n f(t)\,\dt-f(n)$ pour $n\geq1$; alors
\begin{prop}
  \item   $\sum w_n$ est une série convergente à termes positifs;
  \item   $f$ est intégrable sur $\intfo0{+\infty}$ si, et seulement si, la série
$\sum f(n)$ est convergente, et, dans ce~cas :
$$
\int_{\intfo{n+1}{+\infty}}f\leq\sum_{k=n+1}^\infty f(k)
  \leq\int_{\intfo{n}{+\infty}}f
$$
  \item   $f$ n'est pas intégrable sur $\intfo0{+\infty}$ si, et seulement si, la
série $\sum f(n)$ est divergente, et, dans ce~cas :
$$
\sum_{k=0}^n f(k)\buildrel{\sim}_n^{}\int_0^n f(t)\,\dt
$$
\end{prop}
\end{Th}

\begin{proof}
  La décroissance de $f$ donne les inégalités (faire un dessin) :
\begin{gather}
  \qqs n\geq 1,\ 0\leq f(n)\leq\int_{n-1}^n f\leq f(n-1)
    \label{eq\DP CompSerieInt}                                        \\
  \qqs n\geq 1,\ 0\leq\int_n^{n+1}f\leq f(n)\leq\int_{n-1}^n f
    \label{eq\DP CompSerieIntdeux}
\end{gather}
\begin{demprop}
  \monitem  Les inégalités \eqref{eq\DP CompSerieInt} donnent :
\begin{gather}
0\leq w_n=\int_{n-1}^n f(t)\,\dt-f(n)\leq f(n-1)-f(n)                   \\
\et\quad\sum_{k=1}^n w_k\leq\sum_{k=1}^n\bigl(f(k-1)-f(k)\bigr)
  \leq f(0)-f(n)\leq f(0)
\end{gather}
La série $\sum w_n$ est convergente car série à termes positifs dont les sommes partielles
sont majorées par $f(0)$;

  \monitem  les inégalités \eqref{eq\DP CompSerieInt} montrent que les séries
$\sum f(n)$ et $\sum\int_{n-1}^n f$ sont de même nature; ainsi, $f$ est
intégrable sur $\intfo0{+\infty}$ si, et seulement si, la série $\sum f(n)$ est
convergente.

  Dans ce cas, les inégalités \eqref{eq\DP CompSerieIntdeux} donnent
\begin{equation}
\int_{n+1}^{m+1}f=\sum_{k=n+1}^m\int_k^{k+1}f
  \leq\sum_{k=n+1}^m f(k)\leq\sum_{k=n+1}^m\int_{k-1}^{k}f=\int_n^m f
\end{equation}
et, par passage à la limite sur $m\to+\infty$
\begin{equation}
  \int_{\intfo{n+1}{+\infty}}f\leq\sum_{k=n+1}^\infty f(k)
  \leq\int_{\intfo n{+\infty}}f
\end{equation}

  \monitem  si $f$ n'est pas intégrable sur $\intfo0{+\infty}$, $\lim_n\int_0^n f
= +\infty$ et, puisque la suite des sommes partielles d'une série convergente
est bornée, $\sum_{k=1}^n w_k=\int_0^n f-\sum_{k=1}^n f
\buildrel{=}_n^{}\oo{\int_0^n f}$. Ainsi
$\int_0^n f\buildrel{\sim}_n^{}\sum_{k=1}^n f(k)
\buildrel{\sim}_n^{}\sum_{k=0}^n f(k)$.
\end{demprop}
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------


\begin{Cor}[Série de Bertrand]\alaligne

  La série $\sum n^{-\alpha}(\ln n)^{-\beta}$ converge si, et seulement si,
$\alpha>1$ ou $(\alpha=1\et\beta>1)$.
\end{Cor}

\begin{proof}
  Le cas $\alpha\neq 1$ a été traité au chapitre des séries.\\
  Cas $(\alpha=1\et\beta\leq0)$; pour $n\geq3$,
$(\ln n)^{-\beta}n^{-1}\geq n^{-1}$, ce qui assure la divergence de la série.\\
  Cas $(\alpha=1\et\beta>0)$; $f:t\mapsto t^{-1}(\ln t)^{-\beta}$ est
décroissante sur $\intfo2{+\infty}$; donc la série $\sum f(n)$ est convergente
si, et seulement si, $f$ est intégrable sur $\intfo2{+\infty}$, soit si, et seulement
si, $\beta>1$.
\end{proof}
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\begin{Exs}
  Appliquons le théorème de comparaison série-intégrale aux séries de Riemann.

  La fonction   $t\mapsto (t+1)^{-1}$ est continue, décroissante et non intégrable sur
$\intfo0{+\infty}$, ce qui montre que
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n\ra1k=\sum_{k=0}^{n-1}\ra1{k+1}\buildrel{\sim}_n^{}
  \int_0^{n-1}\ra1{t+1}=\ln n
\end{equation}

  Pour $0<\alpha<1$, la fonction $t\mapsto(t+1)^{-\alpha}$ est continue, décroissante et
non intégrable sur $\intfo 0{+\infty}$, ce qui montre que
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n\ra1{k^\alpha}=\sum_{k=0}^{n-1}\ra1{(k+1)^\alpha}\equivalent
  \int_0^{n-1}\ra1{(t+1)^\alpha}=\ra{n^{1-\alpha}-1}{1-\alpha}
  \equivalent\ra{n^{1-\alpha}}{1-\alpha}
\end{equation}

  Pour $\alpha>1$, la fonction $t\mapsto (t+1)^{-\alpha}$ est continue, décroissante et
intégrable sur $\intfo0{+\infty}$, ce qui montre que
\begin{multline}
\int_{\intfo{n}{+\infty}}\ra1{(t+1)^\alpha}\,\dt
  =\ra1{(\alpha-1)(n+1)^{\alpha-1}}                                         \\
\leq\sum_{k=n}^\infty\ra1{(k+1)^\alpha}=\sum_{k=n+1}^\infty\ra1{k^\alpha}
  \leq\int_{\intfo{n-1}{+\infty}}\ra1{(t+1)^\alpha}\,\dt
  =\ra1{(\alpha-1)n^{\alpha-1}}
\end{multline}
et donc
$$
\sum_{k=n+1}^\infty\ra1{k^\alpha}\equivalent\ra1{(\alpha-1)n^{\alpha-1}}
$$
  
\end{Exs}




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\section{Fonctions sommables à valeurs réelles ou complexes}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

$\K$ désigne le corps des nombres réels ou celui des nombres complexes; les
fonctions envisagées sont toujours continues par morceaux sur un intervalle $I$
et à valeurs dans $\K$; l'ensemble de ces fonctions est noté $\CMIE[I,\K]$ ou
encore $\CMI$.

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\subsection{Fonction intégrable, sommable}
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\begin{Dfs}[Fonction sommable ou intégrable]\alaligne

  Soit $f\in\CMI$; $f$ est dite \emph{intégrable} (ou \emph{sommable}) sur $I$ si,
et seulement si, $\abs{f}$ est intégrable (ou sommable) sur $I$.

  L'ensemble des fonctions continues par morceaux et sommables sur $I$ est noté
$\LI{I,\K}$ ou encore $\LI{I}$.
\end{Dfs}
On utilisera au choix les termes intégrable ou sommable. Remarquons que la nouvelle notion de sommabilité est compatible avec la précédente.
\begin{Exs}
  $t\mapsto t^{-2}\exp(it)$ est intégrable sur $\intfo1{+\infty}$ tandis que
$t\mapsto t^{-1}\exp(it)$ ne l'est pas.
\end{Exs}

\begin{Th}[Sommabilité par comparaison globale]\alaligne

  Soient $f\in\CMI$ et $\vphi\in\CMplI$ telles que $\abs{f(x)}\leq\vphi(x)$ pour
tout $x\in I$; alors la sommabilité de $\vphi$ sur $I$ implique celle de $f$ sur
$I$.
\end{Th}

\begin{proof}
  Le théorème de comparaison globale pour les fonctions positives montre la
sommabilité de $\abs{f}$.
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{Th}[Sommabilité par combinaison linéaire]\alaligne

  Soient $f$ et $g\in\CMI$, $\lambda$ et $\mu\in\K$; alors, si $f$ et $g$ sont
sommables sur $I$, $\lambda f+\mu g$ est sommable sur $I$; $\LI{I}$ est un
$\K$-espace vectoriel.
\end{Th}

\begin{proof}
  Puisque $\abs{f}$ et $\abs{g}$ sont sommables sur $I$,
$\abs{\lambda}\abs{f}+\abs{\mu}\abs{g}$ est sommable sur $I$;
l'inégalité $\abs{\lambda f+\mu g}\leq \abs{\lambda}\abs{f}+\abs{\mu}\abs{g}$
assure la sommabilité de $\lambda f+\mu g$ sur $I$.

  La fonction nulle étant sommable sur $I$, $\LI{I}$ est un $\K$-sous espace
vectoriel de $\CMI$.
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{Th}[Sommabilité sur $\intfo ab$ par comparaison locale]\alaligne

    Soient $f$ et $g\in\mcal{CM}(\intfo ab,\K)$;
\begin{prop}
  \item si $f\buildrel{=}_b^{}\OO{g}$ et si $g$ est sommable sur $\intfo ab$,
alors $f$ est sommable sur $\intfo ab$;
  \item   si $f\equivalent[b] g$, alors $f$ est sommable sur $\intfo ab$ si, et
seulement si, $g$ est sommable sur $\intfo ab$.
\end{prop}
\end{Th}

\begin{proof}\alaligne

\begin{demprop}
  \monitem  $f\buildrel{=}_b^{}\OO{g}\iff \abs{f}\buildrel{=}_b^{}\OO{\abs{g}}$;
on retrouve le cas des fonctions positives;
  \monitem  $f\equivalent[b] g\implique\abs{f}\equivalent[b]\abs{g}$; on retrouve le
cas des fonctions positives.
\end{demprop}
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{Th}[Sommabilité par intersection]\alaligne

  Soient $f\in\CMI$ et $c\in I$; alors, $f$ est sommable sur $I$ si, et
seulement si, $f$ est sommable sur $I\cap\intof{-\infty}{c}$ et sur
$I\cap\intfo c{+\infty}$.
\end{Th}

\begin{proof}
  Déjà vu pour les fonctions positives, donc pour $\abs{f}$.
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------


%----------------------------------------------------------------------
\subsection{Intégrale d'une fonction intégrable (ou sommable)}
%----------------------------------------------------------------------

%----------------------------------------------------------------------
\subsubsection{Cas des fonctions à valeurs réelles}
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\begin{Df}[Parties positive et négative d'une fonction]\alaligne

  Pour $f\in\CMIE[I,\R]$, on pose $f^+=\sup(f,0)$ et $f^-=\sup(-f,0)$; alors
$f^+$ et $f^-$ sont continues par morceaux et
\begin{equation}
  f=f^+ - f^-\quad\et\quad\abs{f}=f^+ + f^-
\end{equation}
\end{Df}

\begin{Prop}[Sommabilité des parties positive et négative]\alaligne

  Soit $f\in\CMIE[I,\R]$; $f$ est sommable sur $I$ si, et seulement si, $f^+$ et
$f^-$ sont sommables sur $I$.
\end{Prop}

\begin{proof}
  Les inégalités $0\leq f^+\leq\abs{f}$ et $0\leq f^-\leq\abs{f}$ montrent que
$f^+$ et $f^-$ sont sommables sur~$I$ dès que $\abs{f}$ l'est.

  L'égalité $f=f^+ - f^-$ montre que $f$ est sommable sur $I$ dès que $f^+$ et
$f^-$ le sont.
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{Df}[Intégrale d'une fonction réelle sommable]\alaligne

  Pour $f\in\LI{I,\R}$, on pose
\begin{equation}
  \int_I f=\int_I f^+ - \int_I f^-
\end{equation}
\end{Df}

%----------------------------------------------------------------------
\subsubsection{Cas des fonctions complexes}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{Prop}[Sommabilité des parties réelle et imaginaire]\alaligne

  Soit $f\in\CMIE[I,\C]$; $f$ est sommable sur $I$ si, et seulement si, $\RE(f)$ et
$\IM(f)$ sont sommables sur $I$.
\end{Prop}

\begin{proof}
  Les inégalités $0\leq \abs{\RE(f)}\leq\abs{f}$ et $0\leq
\abs{\IM(f)}\leq\abs{f}$ montrent que
$\RE(f)$ et $\IM(f)$ sont sommables sur $I$ dès que $\abs{f}$ l'est.

  L'inégalité $\abs{f}\leq\abs{\RE(f)}+\abs{\IM(f)}$ montre que $f$ est sommable sur $I$ dès que $\RE(f)$ et $\IM(f)$ le sont.
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{Df}[Intégrale d'une fonction complexe sommable]\alaligne

  Pour $f\in\LI{I,\C}$, on pose
\begin{equation}
  \int_I f=\int_I \RE(f) + i\int_I \IM(f)
\end{equation}
\end{Df}

\begin{NB}
  L'intégrale des fonctions sommables réelles ou complexes est compatible avec
l'intégrale des fonctions sommables positives.
\end{NB}

\begin{Prop}[Conjugué d'une intégrale]\alaligne

  Soit $f\in\CMIE[I,\C]$; alors, $f$ est sommable sur $I$ si, et seulement si,
$\conjug{f}$ est sommable sur $I$, et, dans ce cas
\begin{equation}
  \int_I \conjug{f}=\conjug{\int_I f}
\end{equation}
\end{Prop}

\begin{proof}
  Les égalité $\RE(\conjug{f})=\RE(f)$ et $\IM(\conjug{f})=-\IM(f)$ montrent
l'équivalence et la formule annoncées.
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

%----------------------------------------------------------------------
\subsubsection{Propriétés de l'intégrale d'une fonction sommable}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{Th}[Intégrale et suite croissante de segments]\alaligne

  Soient $f\in\LI{I}$ et $\suite S$ une suite de segments croissante vers $I$;
\emph{alors}
\begin{equation}
\int_I f=\lim_n\int_{S_n} f
\end{equation}
\end{Th}

\begin{proof}
  La formule est vraie pour les fonctions sommables et positives, donc vraie
pour $f^+$ et $f^-$, et donc la formule est vraie pour les fonctions sommables à valeurs
réelles. 

  Puisque la formule est vraie pour les fonctions sommables réelles, elle est vraie
pour $\RE(f)$ et $\IM(f)$, et donc la formule est vraie pour les fonctions
sommables à valeurs complexes.
\end{proof}
%---------------------------

\begin{Prop}[Module d'une intégrale]\alaligne

$$
\reponse{$\dps
\qqs f\in\LI{I},\ \abs[\Big]{\int_I f}\leq\int_I\abs{f}
$}
$$
\end{Prop}

\begin{proof}
  Soit $\suite S$ une suite de segments croissante vers $I$; alors
$$
\qqs n\in\N,\ \abs[\Big]{\int_{S_n} f}\leq\int_{S_n}\abs{f}
$$
Un passage à la limite sur $n$ (les limites existent) donne le résultat
$$
\lim_n\abs[\Big]{\int_{S_n} f}=\abs[\Big]{\int_I f}\leq\int_{S_n}\abs{f}=\int_I\abs{f}
$$
\end{proof}
%--------

\begin{Prop}[Intégrale sur un segment]\alaligne

  Soit $f\in\CMIE[\intf ab,\K]$; alors $f$ est sommable sur $\intf ab$, $\intfo ab$,
$\intof ab$ et $\into ab$, et les quatre intégrales sont toutes égales à
$\int_a^b f(t)\,\dt$, l'intégrale habituelle.
\end{Prop}

\begin{proof}
  La propriété est vraie pour les fonctions positives, donc pour $\abs{f}$, et
aussi pour $f^+$ et $f^-$, donc pour les fonctions sommables réelles, puis pour
$\RE(f)$ et $\IM(f)$, donc pour les fonctions sommables complexes.
\end{proof}
%---------------

\begin{Prop}[Intégrale d'une restriction]\alaligne

  Soient $f\in\LI{I}$, $c\in I$, $I^g=I\cap\intof{-\infty}c$ et
$I^d=I\cap\intfo{c}{+\infty}$; alors
\begin{equation}
\int_I f=\int_{I^g}f+\int_{I^d}f
\end{equation}
Si $J$ est un sous-intervalle de $I$, $f$ est sommable sur $J$ et
$$
\int_J f=\int_I \chi_J f
$$
\end{Prop}

\begin{proof}
  La formule a été démontrée pour les fonctions sommables positives,
donc pour les parties positive et négative de fonctions sommables réelles; cette
formule est donc vraie pour les parties réelle et imaginaire de fonctions
sommables complexes, donc vraie aussi pour les fonctions sommables complexes;

  Soit $\suite S$ une suite de segments croissante vers $J$; l'inégalité
$\int_{S_n}\abs{f}\leq\int_I\abs{f}$ montre que $f$ est sommable sur $J$. En
passant à la limite sur $n$ dans $\int_{S_n}f=\int_{S_n}\chi_J f$, on obtient
l'égalité annoncée.
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{Th}[Linéarité de l'intégrale]\alaligne

  Soient $f$ et $g\in\LI{I}$, $\lambda$ et $\mu\in\K$; alors
\begin{equation}
  \int_I(\lambda f+\mu g)=\lambda\int_I f+\mu\int_I g
\end{equation}
\end{Th}

\begin{proof}
  $\lambda f+\mu g$ est sommable sur $I$; pour $\suite S$ suite de segments
croissante vers $I$, on a
$$
\qqs n\in\N,\ \int_{S_n}(\lambda f+\mu g)=\lambda\int_{S_n} f+\mu\int_{S_n} g
$$
  Un passage à la limite sur $n$ donne le résultat.
\end{proof}
$$
\reponse{
$\dps f\mapsto\int_I f$ est une forme linéaire sur le $\K$-espace vectoriel
$\LI{I,\K}$
}
$$

%----------------------------------------------------------------------

%----------------------------------------------------------------------
\subsubsection{Positivité de l'intégrale}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{Th}[Croissance de l'intégrale]\alaligne

  Soient $f$ et $g\in\LI{I,\R}$; alors
$\dps   \qqs t\in I,\ f(t)\leq g(t)\implique \int_I f\leq\int_I g$
\end{Th}

\begin{proof}
  $g-f$ est une fonction sommable et à valeurs positives; son intégrale est un
nombre réel positif et la linéarité permet de conclure.
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{Lem}
  Soit $f\in\CMplI$; si $f$ est sommable sur $I$, s'il existe $x_0\in I$ tel que
$f(x_0)>0$ et si $f$ est continue en $x_0$, alors $\int_I f>0$.
\end{Lem}

\begin{proof}
  Si $K_0$ est un segment de $I$ non réduit à un point qui contient $x_0$, alors
$\int_{K_0} f>0$, et $\int_I f=\sup_K\int_K f\geq\int_{K_0}f>0$.
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{Th}[Fonction continue, positive et d'intégrale nulle]\alaligne

  Soit $f$ une fonction \emph{continue}, \emph{positive} et sommable sur $I$;
alors, 
\begin{equation}
  \int_I f=0\iff f=0
\end{equation}
\end{Th}

\begin{proof}
  Si $f$ n'est pas la fonction nulle, le lemme précédent montre $\int_I f>0$. La
réciproque est évidente.
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

%----------------------------------------------------------------------
\subsubsection{Notation $\int_a^b f$}
%----------------------------------------------------------------------


  Retrouvons la notation habituelle de l'intégrale : $\int_a^b f$
grâce à la :
\begin{Df}[Extension de la notation $\int_a^b f$]\alaligne

\begin{equation*}
\int_a^b f(t)\,\dt=
\begin{cases}
  \quad \int_{\into ab} f           &\text{si $-\infty\leq a<b\leq+\infty$}     \\
  \quad-\int_{\into ba} f           &\text{si $-\infty\leq b<a\leq+\infty$}     \\
  \quad 0                           &\text{si $a=b$}
\end{cases}
\end{equation*}
\end{Df}

  Ainsi étendue, $f\mapsto\int_a^b f(t)\,\dt$ est une forme linéaire sur
$\LI{I,\K}$$I$ est un intervalle d'extrémités $a$ et $b$, et la relation de
Chasles est vraie
$$
\reponse{$\dps
\qqs f\in\LI{I},\ \qqs(a,b,c)\in I^3,\
\int_a^b f(t)\,\dt=\int_a^c f(t)\,\dt+\int_c^b f(t)\,\dt
$}
$$

  Attention! La positivité a besoin que
les bornes de l'intervalle d'intégration soient dans le \og bon sens\fg.



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\subsection{Outils d'intégration}
%----------------------------------------------------------------------

%----------------------------------------------------------------------
\subsubsection{Intégration par parties}
%----------------------------------------------------------------------

  On évitera d'intégrer par parties sur l'intervalle $I$; on intégrera par parties
sur un segment d'une suite croissante vers $I$, et on passera à la limite.

%----------------------------------------------------------------------
\subsubsection{Changement de variable}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{Th}[Changement de variable]\alaligne

  Soit $\vphi$ un $\mcal{C}^1$-difféomorphisme entre les intervalles $J$
d'extrémités $\alpha$ et $\beta$ et $I=\vphi(J)$ d'extrémités $a$ et $b$; alors
$$
f\text{ est sommable sur $I$}\iff(f\circ\vphi)\vphi'\text{ est sommable sur $J$}
$$
  Dans ce cas
$$
\reponse{$\dps
\int_{\vphi(\alpha)}^{\vphi(\beta)}f(t)\,\dt=
\int_\alpha^\beta f\bigl(\vphi(u)\bigr)\vphi'(u)\,\dt[u]
$}
$$
\end{Th}

\begin{proof}
Étudions le cas d'un intervalle semi-ouvert $J=\intfo{\alpha}{\beta}$ et d'un
$\mcal{C}^1$-difféomorphisme strictement croissant de $J$ sur $\vphi(J)=I=\intfo
ab$, $a=\vphi(\alpha)$ et $b=\lim_{t\uparrow\beta}\vphi(t)$. Notons $\suite
S=(\intf{\alpha}{\beta_n})_n$ une suite de segments croissante vers
$\intfo{\alpha}{\beta}$; alors, la suite de segments
$\bigl(\vphi(S_n)\bigr)_n=(\intf{\vphi(\alpha)}{\vphi(\beta_n)})_n=(\intf
a{b_n})_n$ est une suite de segments croissante vers $\intfo ab$ et
\begin{equation}
\int_\alpha^{\beta_n}\abs{f\bigl(\vphi(u)\bigr)\vphi'(u)}\,\dt[u]=
\int_\alpha^{\beta_n}\abs{f\bigl(\vphi(u)\bigr)}\vphi'(u)\,\dt[u]=
\int_{\vphi(\alpha)}^{\vphi(\beta_n)}\abs{f(t)}\,\dt
\end{equation}
ce qui montre que
$\lim_n\int_\alpha^{\beta_n}\abs{f\bigl(\vphi(u)\bigr)}\vphi'(u)\,\dt[u]$ existe si,
et seulement si, $\lim_n\int_{\vphi(\alpha)}^{\vphi(\beta_n)}f(t)\,\dt$ existe,
ce qui donne l'équivalence demandée.
  Dans ce cas,
\begin{multline}
\int_\alpha^\beta f\bigl(\vphi(u)\bigr)\vphi'(u)\,\dt[u]
  =   \lim_n\int_\alpha^{\beta_n} f\bigl(\vphi(u)\bigr)\vphi'(u)\,\dt[u]  \\
=   \lim_n\int_{\vphi(\alpha)}^{\vphi(\beta_n)}f(t)\,\dt
  = \int_{\vphi(\alpha)}^{\vphi(\beta)}f(t)\,\dt
  =   \int_a^b f(t)\,\dt
\end{multline}

  Les autres cas s'étudient de manière analogue.
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{Exs}\alaligne

\begin{align*}
\Gamma(\ra12)
&   =\int_0^{+\infty}e^{-t}t^{\ra12-1}\,\dt
  =   \int_0^{+\infty}e^{-t}\ra{1}{\sqrt{t}}\,\dt                             \\ 
&   = \int_0^{+\infty}e^{-u^2/2}\ra{\sqrt{2}}{u}\,u\, \dt[u]\qquad(t=u^2/2,\  dt=u\,\dt[u],\
    \text{$\mcal{C}^\infty$-difféo de
    $\into0{+\infty}$ sur $\into0{+\infty}$})                           \\
&   =   \sqrt{2}\int_0^{+\infty}e^{-u^2/2}\,\dt[u] = 
    \ra1{\sqrt{2}}\int_{\R}e^{-u^2}\,\dt[u]\qquad
    \text{ (parité de $u\mapsto e^{-u^2/2}$ sur $\R$)}                    \\
&   =   \sqrt{\pi}
\end{align*}

  $\dps I_n=\int_0^{+\infty}\ra{1}{(1+t^2)^n}\,\dt =
\int_0^{\ra{\pi}2}\ra{1}{(1+\tan^2 u)^{n-1}}\,\dt[u] =
\int_0^{\ra{\pi}2}(\cos^2 u)^{n-1}\,\dt[u] = W_{2n-2}$ (Wallis, le retour) à l'aide
du changement de variable $t=\tan u$, $\dt=(1+\tan^2 u)\,\dt[u])$,
$\mcal{C}^\infty$-difféomorphisme de $\intfo0{\ra{\pi}2}$ sur $\intfo0{+\infty}$.

  Vous pouvez ajouter vos exemples.
\end{Exs}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Sommabilité et intégrale impropre}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%----------------------------------------------------------------------
\subsection{Sommabilité sur $\intfo ab$ et accroissement d'une primitive}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{Th}
  Soit $f$ une fonction réelle ou complexe, continue par morceaux sur $\intfo
ab$;
\begin{prop}
  \item   si $f$ est sommable sur $\intfo ab$, \emph{alors} $\lim_b\int_a^x
f(t)\,\dt$ existe; dans ce cas
\begin{equation}
  \int_a^b f(t)\,\dt=\int_{\intfo ab}f=\lim_{x\uparrow b}\int_a^x f(t)\,\dt
\end{equation}
  \item   la réciproque est \emph{FAUSSE}, en général, pour les fonctions réelles
ou complexes, mais elle est vraie pour les fonctions positives.
\end{prop}
\end{Th}

\begin{proof}\alaligne

\begin{demprop}
  \monitem  Cas réel
\begin{align*}
\text{$f$ sommable sur $\intfo ab$}
&   \iff  \text{$f^+$ et $f^-$ sont sommables sur $\intfo ab$}        \\
&   \iff  \lim_{x\uparrow b}\int_a^x f^+ \et\lim_{x\uparrow b}\int_a^x f^-
    \text{ existent}                                                \\
&   \boxed{\implique}\ \lim_{x\uparrow b}\int_a^x f^+ -\lim_{x\uparrow b}\int_a^x f^-=
    \lim_{x\uparrow b}\int_a^x f\text{ existe}
\end{align*}
%
  Cas complexe
\begin{align*}
\text{$f$ sommable sur $\intfo ab$}
&   \iff  \text{$\RE(f)$ et $\IM(f)$ sont sommables sur $\intfo ab$}        \\
&   \boxed{\implique}\ \lim_{x\uparrow b}\int_a^x \RE(f) \et
    \lim_{x\uparrow b}\int_a^x \IM(f)   \text{ existent}                    \\
&   \iff \lim_{x\uparrow b}\int_a^x\RE(f)+i\lim_{x\uparrow b}\int_a^x\IM(f)=
    \lim_{x\uparrow b}\int_a^x f\text{ existe}
\end{align*}

  Dans ce cas, l'égalité $\int_a^b f(t)\,\dt=\lim_b\int_a^x f(t)\,\dt$, vraie pour
les fonctions positives, est vraie pour les fonctions réelles et pour les
fonctions complexes sommables.

  \monitem  Il suffit d'exhiber un contre-exemple; nous allons nous y employer
au paragraphe suivant.
\end{demprop}

\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------


%----------------------------------------------------------------------
\subsection[L'exemple $\dps\int_0^{\to+\infty}\ra{\sin t}{t}\,\dt$]
{L'exemple : $\dps\lim_{x\uparrow+\infty}\int_0^x \ra{\sin t}{t}\,\dt$}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{Prop}
  $\dps t\mapsto\ra{\sin t}{t}$ n'est PAS sommable sur $\intfo0{+\infty}$
\end{Prop}

\begin{proof}
  $t\mapsto t^{-1}\sin t$ est continue sur $\intfo0{+\infty}$ en prolongeant
cette fonction par continuité par 1 en $t=0$.
  La fonction $t\mapsto\abs{t^{-1}\sin t}=t^{-1}\abs{\sin t}$ est sommable sur
$\R_+$ si, et seulement si, la série de terme général
$w_n=\int_{n\pi}^{(n+1)\pi} t^{-1}\abs{\sin t}\,\dt$ est une série convergente.
Or,
\begin{multline}
w_n = \int_{n\pi}^{(n+1)\pi}\ra{\abs{\sin t}}{t}\,\dt
  =\int_0^\pi\ra{\abs{\sin(n\pi+u)}}{n\pi+u}\,\dt[u] \qquad (t=n\pi+u,\dt=\dt[u])         \\
=   \int_0^\pi\ra{\sin u}{n\pi+u}\,\dt[u]
  \geq\int_0^\pi\ra{\sin u}{n\pi+\pi} = \ra2{(n+1)\pi}
\end{multline}
ce qui montre la divergence de la série $\sum w_n$.
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{Prop}
  $\dps\lim_{x\uparrow+\infty}\int_0^x\ra{\sin t}{t}\,\dt$ existe et vaut
$\dps\int_0^{+\infty}\ra{1-\cos t}{t^2}\,\dt$
\end{Prop}

\begin{proof}
  $g : t\mapsto t^{-2}(1-\cos t)$ est continue sur $\intfo0{+\infty}$,
prolongement par continuité en $t=0$ par $g(0)=1/2$. L'inégalité
$0\leq t^{-2}(1-\cos t)\leq 2t^{-2}$ montre la sommabilité de $g$ sur
$\intfo1{+\infty}$, donc sur $\intfo0{+\infty}$. Ainsi
\begin{equation}
  \int_0^{+\infty}\ra{1-\cos t}{t^2}\,\dt =
  \lim_{x\uparrow+\infty}\int_0^x\ra{1-\cos t}{t^2}\,\dt
\end{equation}

  Une intégration par parties ($u'=\sin t, u=1-\cos t$, $v=t^{-1},v'=-t^{-2}$)
montre pour $0<\eps<x$
\begin{equation}
\int_\eps^x\ra{\sin t}{t}\,\dt =
  \ra{1-\cos x}{x} - \ra{1-\cos\eps}{\eps} + \int_\eps^x\ra{1-\cos t}{t}\,\dt
\end{equation}
Or, $\eps^{-1}(1-\cos\eps)\equivalent[\eps=0] \eps/2$
et les fonctions $\eps\mapsto\int_\eps^x t^{-1}(\sin t)\,\dt$ et
$\eps\mapsto\int_\eps^x t^{-2}(1-\cos t)\,\dt$ sont continues (et même de classe
$\mcal{C}^1$) sur $\R$; ce qui entraîne
\begin{equation}
\lim_{\eps\downarrow 0}\int_\eps^x\ra{\sin t}t\,\dt
  =   \int_0^x\ra{\sin t}t\,\dt
  =   \ra{1-\cos x}x+\int_0^x\ra{1-\cos t}{t^2}\,\dt
\end{equation}
et donne le résultat en passant à la limite quand $x$ tend vers $+\infty$.
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{NB}
  Le symbole $\int_0^{+\infty} t^{-1}\sin t \,\dt$ n'a pas de \og sens\fg,
puisque la fonction $t\mapsto t^{-1}\sin t$ n'est pas sommable sur
$\intfo0{+\infty}$; par contre le symbole
$\int_0^{+\infty} t^{-2}(1-\cos t)\,\dt$ est \og correct\fg, puisque la fonction
$t\mapsto t^{-2}(1-\cos t)$ est sommable sur $\intfo0{+\infty}$.
\end{NB}

%----------------------------------------------------------------------
\subsection{Intégrale impropre}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{Df}[Intégrale impropre sur $\intfo ab$]\alaligne

  Si $f$ est une fonction complexe continue par morceaux et non intégrable sur
$\intfo ab$, on dira que $f$ \emph{admet une intégrale impropre} sur $\intfo ab$
si, et seulement si, $\lim_{x\uparrow b}\int_a^x f(t)\,\dt$ existe (et est finie)
dans $\C$; dans ce cas, on notera
$$
\int_a^{\to b} f(t)\,\dt=\lim_{x\uparrow b}\int_a^x f(t)\,\dt
$$
\end{Df}

On a une définition analogue pour les intervalles semi-ouverts à gauche :

\begin{Df}[Intégrale impropre sur $\intof ab$]\alaligne

  Si $f$ est une fonction complexe continue par morceaux et non intégrable sur
$\intof ab$, on dira que $f$ \emph{admet une intégrale impropre} sur $\intof ab$
si, et seulement si, $\lim_{x\downarrow a}\int_x^b f(t)\,\dt$ existe (et est finie)
dans $\C$; dans ce cas, on notera
$$
\int_{\to a}^{b} f(t)\,\dt=\lim_{x\downarrow a}\int_x^b f(t)\,\dt
$$
\end{Df}

\begin{Prop}
  Soit $\alpha\in\R$; alors
\begin{prop}
  \item   Les fonctions $t\mapsto t^{-\alpha}\ee^{\ii t}$, $t\mapsto t^{-\alpha}\sin t$ et
$t\mapsto t^{-\alpha}\cos t$ sont sommables sur $\intfo1{+\infty}$ si, et
seulement si, $\alpha>1$;

  \item   Les fonctions $t\mapsto t^{-\alpha}\ee^{\ii t}$, $t\mapsto t^{-\alpha}\sin t$ et
$t\mapsto t^{-\alpha}\cos t$ admettent des intégrales impropres sur $\intfo1{+\infty}$ si, et
seulement si, $0<\alpha\leq 1$.
\end{prop}
\end{Prop}

\begin{proof}\alaligne

\begin{demprop}
  \monitem  La fonction $t\mapsto\abs{t^{-\alpha}\ee^{\ii t}}=t^{-\alpha}$ est sommable sur
$\intfo1{+\infty}$ si et seulement si, $\alpha>1$; donc aussi ses parties réelle et
imaginaire;
  
  \monitem  Une intégration par parties ($u'=\ee^{\ii t}, u=-\ii\ee^{\ii t}$,
$v=t^{-\alpha},v'=-\alpha t^{-\alpha-1}$, les fonctions $u$ et $v$ sont de
classe $\mcal{C}^\infty$ sur $\intfo1{+\infty}$) donne 
\begin{equation*}
  \int_1^x\ra{\ee^{\ii t}}{t^\alpha}\,\dt=
  -\ii\ra{\ee^{\ii x}}{x^\alpha}+\ii \ee^\ii-\ii\alpha\int_1^x\ra{\ee^{\ii t}}{t^{\alpha+1}}\,\dt
\end{equation*}
Or, la fonction $t\mapsto \ee^{\ii t}t^{-(\alpha+1)}$ est sommable sur $\intfo1{+\infty}$
($\alpha+1>1$),donc
$$
\lim_{+\infty}\int_1^x\ee^{\ii t}t^{-\alpha-1}\,\dt=
\int_1^{+\infty}\ee^{\ii t}t^{-\alpha-1}\,\dt
$$
d'autre part, $\abs{\ee^{\ii x}x^{-\alpha}}=x^{-\alpha}\tend[+\infty]0$ ($\alpha>0$). Ainsi
\begin{equation}
\lim_{+\infty}\int_1^x\ra{\ee^{\ii t}}{t^\alpha}\,\dt =
  \int_1^{\to+\infty}\ra{\ee^{\ii t}}{t^\alpha}\,\dt =
  \ii \ee^\ii-\ii\alpha\int_1^{+\infty}\ra{\ee^{\ii t}}{t^{\alpha +1}}\,\dt
\end{equation}
En prenant les parties réelle et imaginaire des deux membres, on obtient
\begin{equation}
\int_1^{\to+\infty}\ra{\cos t}{t^\alpha}\,\dt =
  -\sin1+\alpha\int_1^{+\infty}\ra{\sin t}{t^{\alpha +1}}\,\dt
\et
  \int_1^{\to+\infty}\ra{\sin t}{t^\alpha}\,\dt =
  \cos1-\alpha\int_1^{+\infty}\ra{\cos t}{t^{\alpha +1}}\,\dt
\end{equation}
\end{demprop}
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{NB}
  La règle des équivalents est FAUSSE pour les intégrales impropres; en effet
les fonctions $f : x\mapsto t^{-\ra12}\sin t$ et $g : x\mapsto
f(t)\bigl(1+f(t)\bigr)$ sont équivalentes au voisinage de $+\infty$; $f$ admet
une intégrale impropre sur $\intfo1{+\infty}$, tandis que $g$ n'en admet pas, car
$$
g(t) = \ra{\sin t}{\sqrt{t}}+\ra{\sin^2 t}t =
\ra{\sin t}{\sqrt{t}}-\ra{\cos 2t}{2t}+\ra1{2t}
$$
\end{NB}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Espaces de fonctions sommables}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%----------------------------------------------------------------------
\subsection{Norme de la convergence en moyenne}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{Th}
  L'ensemble $\LCI{I,\K}$ des fonctions à valeurs dans $\K$ continues et
sommables sur $I$ est un $\K$-espace vectoriel, et
$f\mapsto\normu{f}=\int_I\abs{f}$ est une norme sur cet espace; c'est la
\emph{norme de la convergence en moyenne}.
\end{Th}

\begin{proof}
  Il est facile de montrer que $\LCI{I,\K}$ est un $\K$-sous-espace vectoriel de
$\LI{I,\K}$.

  Puisque $f$ est sommable, $\normu{f}$ est un nombre réel positif et
\begin{prop}
  \item   $\normu{f}=\int_I\abs{f}=0\iff\abs{f}=0\text{ ($\abs{f}$ est positive et
\emph{continue}) }\iff f=0$
  \item   $\qqs\lambda\in\K,\ \normu{\lambda f}=\int_I\abs{\lambda f}
=\abs{\lambda}\int_I\abs{f}=\abs{\lambda}\,\normu{f}$
  \item $\normu{f+g}=\int_I\abs{f+g}\leq\int_I(\abs{f}+\abs{g})
=\normu{f}+\normu{g}$ 
\end{prop}
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

\subsubsection*{Extension à $\LI{I}$}
  Imposons à toute fonction $f\in\LI{I}$ d'avoir la valeur 0 en tout point de 
discontinuité; cette convention conserve l'intégrabilité et la valeur de
l'intégrale de $f$. Avec cette convention, $\int_I\abs{f}=0$ si, et seulement
si, $\abs{f(t)}=0$ en tout point de continuité de $f$ et donc en tout point de
$I$. Ainsi $\normu{\,}$ est encore une norme sur $\LI{I}$.


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\subsection{Fonction de carré intégrable (ou sommable)}
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\begin{Df}[Fonction de carré intégrable (ou sommable)]\alaligne

  Une fonction $f$ à valeurs réelles ou complexes et continue par morceaux sur
$I$ est dite \emph{de carré intégrable (ou sommable)} sur $I$ si, et seulement
si, $\abs{f}^2$ est sommable sur~$I$.

  L'ensemble des fonctions à valeurs dans $\K$, continues par morceaux et de
carré intégrable sur $I$ est noté $\LI[2]{I,\K}$ ou $\LI[2]{I}$ s'il n'y a pas
d'ambiguïté.
\Reponse{$\dps
f\in\LI[2]{I,\K}\iff\abs{f}^2\in\LI{I,\R_+}\iff\int_I\abs{f}^2<+\infty
$}
\end{Df}

\begin{Exs}
  $t\mapsto t^{-1}\in\LI[2]{\intfo1{+\infty}}\et\notin\LI{\intfo1{+\infty}}$    \\
$t\mapsto e^{-t}\in\LI[2]{\R_+}\cap\LI{\R_+}$           \\
$t\mapsto t^{-\ra12}\in\LI{\intof01}\et\notin\LI[2]{\intof01}$
\end{Exs}

\begin{Th}[Inégalité de Cauchy-Schwarz]\alaligne

  Si $f$ et $g$ sont deux fonctions de carré intégrable sur $I$, alors le
produit $fg$ est intégrable sur $I$ et
\Reponse{$\dps
\qqs(f,g)\in \LI[2]{I}\times\LI[2]{I},\
\abs[\Big]{\int_I fg}\leq\int_I\abs{fg}
\leq\sqrt{\int_I\abs{f}^2}\sqrt{\int_I\abs{g}^2}
$}
\end{Th}

\begin{proof}
  Commençons par le \og truc\fg : pour tout $a$ et $b$ positifs, $0\leq
2ab\leq a^2+b^2$, car $0\leq(a-b)^2=a^2+b^2-2ab$; par conséquent
$$
\qqs t\in I,\ 0\leq\abs{f(t)g(t)}\leq\ra12(\abs{f(t)}^2+\abs{g(t)}^2)
$$
ce qui assure la sommabilité de $fg$ sur $I$.

  L'inégalité de Cauchy-Schwarz sur un segment $S$ de $I$ donne
\begin{equation}
\int_S\abs{fg}\leq\sqrt{\int_S\abs{f}^2}\sqrt{\int_S\abs{g}^2}
  \leq\sqrt{\int_I\abs{f}^2}\sqrt{\int_I\abs{g}^2}
\end{equation}
En passant à la borne supérieure sur tous les segments de $I$, on obtient
l'inégalité annoncée.
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{Cor}
  $\LI[2]{I,\K}$ et l'ensemble $\LCI[2]{I,\K}$ des
fonctions à valeurs dans $\K$ continues et de carré intégrable sont des
$\K$-espaces vectoriels.
\end{Cor}

\begin{proof}
  $\LI[2]{I,\K}$ est un $\K$-sous-espace vectoriel de $\CMIE[I,\K]$ : la fonction
nulle est de carré intégrable sur $I$; si $f$ est de carré intégrable, $\lambda f$
l'est aussi ($\abs{\lambda f}^2=\abs{\lambda}^2\abs{f}^2$); si $f$ et $g$ sont de
carré intégrable, l'inégalité 
$\abs{f+g}^2\leq(\abs{f}+\abs{g})^2=\abs{f}^2+\abs{g}^2+2\abs{fg}$ montre que
$\abs{f+g}^2$ est intégrable sur $I$ car majorée par une combinaison linéaire de
trois fonctions intégrables sur $I$.

  $\LCI[2]{I,\K}$ est un $\K$-sous-espace vectoriel de $\LI[2]{I,\K}$.
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

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\subsection{Norme de la convergence en moyenne quadratique}
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  Si $f$ et $g$ sont des fonctions continues par morceaux, de carré intégrable
sur $I$ et à valeurs réelles (resp. complexes), $fg$ (resp.$\conjug{f}g$) est
intégrable sur $I$, ce qui permet de poser

\begin{gather}
  \qqs(f,g)\in\LI[2]{I,\R}\times\LI[2]{I,\R},\ \scal fg=\int_I fg             \\
  \qqs(f,g)\in\LI[2]{I,\C}\times\LI[2]{I,\C},\ \scal fg=\int_I\conjug{f}g
\end{gather}

\begin{Th}[Produit scalaire sur l'espace des fonctions de carré
intégrable]\alaligne

  $\scal{\ }{\ }$ est un produit scalaire sur le $\K$-espace vectoriel
$\LCI[2]{I,\K}$ des fonctions à valeurs dans $\K$ continues et de carré
intégrable sur $I$.
\end{Th}

\begin{proof}
  Linéarité à droite, symétrie (éventuellement hermitienne) et positivité sont
évidentes; $0=\scal ff=\int_I\abs{f}^2$ implique $\abs{f}=0$ puisque $f$ est
continue. 
\end{proof}
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\begin{Th}[Norme de la convergence en moyenne quadratique]\alaligne

$f\mapsto\normd{f}=\sqrt{\scal ff}=\sqrt{\int_I\abs{f}^2}$ est une norme sur
l'espace des fonctions continues et de carré intégrable sur $I$; on l'appelle
\emph{la norme de la convergence en moyenne quadratique} sur $I$
\end{Th}

\begin{proof}
  C'est la norme associée au produit scalaire $\scal{\ }{\ }$.
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

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\subsubsection*{Extension aux fonctions continues par morceaux}
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  En utilisant toujours la même convention, on donne la valeur 0 en tout point
de discontinuité de la fonction, $\scal{\ }{\ }$ reste un produit scalaire sur
$\LI[2]{I}$, $0=\scal ff=\int_I\abs{f}^2$ implique $\abs{f(t)}=0$ en tout
point de continuité de $f$ donc en tout point de $I$, et $\normd{\ }$ reste une
norme sur $\LI[2]{I}$.

  L'inégalité de Cauchy-Schwarz s'écrit encore pour $f$ et $g$ dans $\LI[2]{I}$
$$
\abs{\scal fg}=\abs[\Big]{\int_I\conjug{f}g}
\leq\normd{f}\normd{g}
=\sqrt{\int_I\abs{f}^2}\sqrt{\int_I\abs{g}^2}
$$

\begin{Prop}[Continuité de la norme $\normd{\ }$ et du produit scalaire]\alaligne

  Si $\suite f$ (resp. $suite g$) est une suite de fonctions continues et de
carré intégrable sur $I$ qui converge vers une fonction $f$ (resp. $g$) continue
et de carré intégrable sur $I$ pour la norme de la convergence en moyenne
quadratique (en résumé et en clair $\normd{f-f_n}\tend 0$ et
$\normd{g-g_n}\tend0$), alors
\begin{prop}
  \item   $\normd{f_n}\tend\normd{f}$;
  \item   $\scal{f_n}{g_n}\tend\scal fg$.
\end{prop}
\end{Prop}

\begin{proof}
  L'inégalité triangulaire \og inversée\fg{} montre
$\abs[\big]{\normd{f}-\normd{f_n}}\leq\normd{f-f_n}\tend0$          \\
  Utilisant la célèbre technique de l'apparition-compensation, on obtient
\begin{align}
\abs[\big]{\scal fg-\scal{f_n}{g_n}}
&   =   \abs[\big]{\scal fg-\scal{f_n}g+\scal{f_n}g-\scal{f_n}{g_n}}    \\
&   =   \abs[\big]{\scal{f-f_n}g+\scal{f_n}{g-g_n}}                       \\
&   \leq\abs[\big]{\scal{f-f_n}g}+\abs[\big]{\scal{f_n}{g-g_n}}         \\
&   \leq\normd{f-f_n}\normd{g}+\normd{f_n}\normd{g-g_n}
  \tend 0\times\normd{g}+\normd{f}\times0=0
\end{align}
\end{proof}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Les théorèmes de convergence}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  Donner des hypothèses simples et efficaces pour permettre la permutation des  
symboles $\lim_n$, $\lim_a$ et $\dt[]/\dt[x]$ avec $\int_I$, tel
est le but de ce paragraphe.

  Commençons par étudier un exemple. Soit
$$
f_n : t\mapsto
\begin{cases}
n^{-2}t           &   \text{si $t\in\intfo0n$}          \\%[2ex]
2n^{-1}-n^{-2}t   &   \text{si $t\in\intfo n{2n}$}      \\%[1ex]
0                   &   \text{si $t\in\intfo {2n}{+\infty}$}
\end{cases}
$$
  Pour tout entier $n\geq1$, la fonction $f_n$ est une fonction continue sur 
$\R_+$ telle que $\normi{f_n}=\ra1n$, ce qui montre la convergence uniforme sur
$\R_+$ de la suite $\suite f$ vers la fonction nulle. 
  D'autre part, $\int_0^{+\infty} f_n(t)\,\dt=\int_0^{2n} f_n(t)\,\dt=1$ pour
tout $n$. Ainsi 
\begin{equation}
  \lim_n\int_{\R_+}f_n=1\neq\int_{\R_+}\lim_n f_n=\int_{\R_+}0=0
\end{equation}

  Quelle est la morale de l'histoire? La convergence uniforme sur $I$ d'une
suite de fonctions n'autorise pas la permutation des symboles $\lim_n$ et
$\int_I$, contrairement à ce qui était dans le cas de l'intégrale sur un
segment.

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\subsection{Le théorème de convergence monotone de Beppo Levi}
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\begin{Th}[de convergence monotone, cas croissant]\alaligne

  Si $\suite f$ est une suite de fonctions \emph{réelles} et continues par
morceaux telles que
\begin{prop}
  \item pour tout entier $n$, la fonction $f_n$ est intégrable sur $I$;
  \item la suite $n\mapsto f_n$ est croissante, \ie{} $\qqs(n,t)\in\N\times I,\
f_n(t)\leq f_{n+1}(t)$;
  \item la suite de fonctions $\suite f$ converge simplement sur $I$ vers une fonction $f$
continue par morceaux;
\end{prop}
alors, la fonction $f$ est intégrable sur $I$ si, et seulement si la suite
$\bigl(\int_I f_n\bigr)_n$ est majorée et, dans ce cas,
\begin{equation}
  \int_I f=\int_I\lim_n f_n=\lim_n\int_I f_n=\sup_n\int_I f_n
\end{equation}
\end{Th}

\begin{proof}[\textsc{Preuve} (hors programme)]

  \CN
  La croissance de la suite $\suite f$ donne les inégalités $f_n\leq
f_{n+1}\leq\cdots\leq f$, et par intégration
$\int_ I f_n\leq\int_I f_{n+1}\leq\cdots\leq\int_I f$. La suite $\bigl(\int_I
f_n\bigr)_n$ est croissante et majorée et
\begin{equation}
\lim_n\int_I f_n=\sup_n\int_I f_n\leq\int_I f   
\end{equation}

  \CS
  Donnons une preuve avec l'hypothèse supplémentaire : la suite $\suite f$
converge uniformément sur tout segment de $I$ vers $f$. En utilisant, si besoin
est, la suite $(f_n-f_0)_n$, on peut toujours se ramener à une suite $\suite f$
de fonctions à valeurs réelles positives.

  Pour tout segment $S$ de $I$, on a $\int_S f_n\leq\int_I f_n\leq 
\sup_n\int_I f_n$; la convergence uniforme sur $S$ de $\suite f$ vers $f$ montre
que $\lim_n\int_S f_n=\int_S f$ ($\leq\sup_n\int_I f_n$). Ainsi
$$
\text{la fonction $f$ est intégrable sur $I$, et }
\sup_S\int_S f=\int_I f\leq\sup_n\int_I f_n
$$

  L'équivalence est démontrée et l'égalité demandée aussi. 
\end{proof}
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\begin{Th}[de convergence monotone, cas décroissant]\alaligne

  Si $\suite f$ est une suite de fonctions \emph{réelles} et continues par
morceaux telles que
\begin{prop}
  \item pour tout entier $n$, la fonction $f_n$ est intégrable sur $I$;
  \item la suite $n\mapsto f_n$ est décroissante, \ie{} $\qqs(n,t)\in\N\times I,\
f_n(t)\geq f_{n+1}(t)$;
  \item la suite de fonctions $\suite f$ converge simplement sur $I$ vers une fonction $f$
continue par morceaux;
\end{prop}
alors, la fonction $f$ est intégrable sur $I$ si, et seulement si la suite 
$\bigl(\int_I f_n\bigr)_n$ est minorée et, dans ce cas,
\begin{equation}
  \int_I f=\int_I\lim_n f_n=\lim_n\int_I f_n=\inf_n\int_I f_n
\end{equation}
\end{Th}

\begin{proof}
  On applique le cas précédent à la suite de fonctions $\suite{-f}$.
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{Ex}
    $\dps\lim_n\int_0^{+\infty}(\tanh nt)\,\ee^{-t}\,\dt = \int_0^{+\infty}\ee^{-t}\,\dt
= 1$.\\
  En effet
\begin{prop}
  \item $\qqs(n,t)\in\N\times\R_+,\ 0\leq(\tanh nt)\,\ee^{-t}\leq \ee^{-t}$ ce qui
montre que $t\mapsto (\tanh nt)\,\ee^{-t}\in\LCI{\R_+,\R}$;
  \item $\tanh$ est une fonction croissante sur $\R$, donc
$\qqs(n,t)\in\N\times\R_+,\ \tanh nt\leq\tanh(n+1)t$ et la suite 
$(f_n : t\mapsto (\tanh nt)\,\ee^{-t})_n$ est une suite croissante;
  \item $\qqs t>0,\ (\tanh nt)\,\ee^{-t}\tend \ee^{-t}$ et $\tanh0\,\ee^0=0$ montre que
la suite $\suite f$ converge simplement sur $\R_+$ vers la fonction $ f : t\mapsto
\ee^{-t}\chi_{\into0{+\infty}}(t)$ qui est sommable sur $\R_+$.
\end{prop}
\end{Ex}

%----------------------------------------------------------------------
\subsection{Application à l'intégration terme à terme d'une série de fonctions}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{Th}[Cas d'une série de fonctions à valeurs réelles positives]\alaligne

  Si $\sum u_n$ est une série de fonctions à valeurs réelles positives ($\qqs
t\in I,\ u_n(t)\geq0$) telle que

\begin{prop}
  \item pour tout entier $n$, les fonctions $u_n$ sont sommables sur $I$;
  \item la série $\sum u_n$ converge simplement sur $I$ vers $S :
t\mapsto\sum_{n=0}^\infty u_n(t)$, fonction continue par morceaux;
\end{prop}
alors, la somme $S=\sum u_n$ de la série est sommable sur $I$ si, et seulement
si, la série des intégrales $\sum\int_I u_n$ est convergente, et, dans ce cas,
\begin{equation}
  \int_I S=\int_I\sum_{n=0}^\infty u_n(t)\,\dt=\sum_{n=0}^\infty\int_I u_n
\end{equation}
\end{Th}

\begin{proof}
  On pose $S_n=\sum_{k=0}^n u_k$; alors, pour tout $n$, $S_n$ est sommable sur
$I$ (combinaison linéaire d'un nombre fini de fonctions sommables), la suite
$\bigl(S_n(t)\bigr)_n$ est croissante (la série est à termes positifs), et la
suite $\suite S$ converge simplement sur $I$ vers $S$ fonction continue par
morceaux.

  Le théorème de convergence monotone montre que $S$ est sommable sur $I$ si, et
seulement si, la suite $\bigl(\int_I S_n\bigr)_n=\bigl(\sum_{k=0}^n\int_I
u_k\bigr)_n$ est une suite majorée, \ie{} si, et seulement si, la série
$\sum\int_I u_n$ est une série convergente (une série à termes positifs converge
si, et seulement si, la suite de ses sommes partielles est une suite majorée);
dans ce cas, on a
\begin{equation}
  \int_I S=\int_I\sum_{n=0}^\infty u_n=\lim_n\int_I S_n=\lim_n\sum_{k=0}^n\int_I
u_k = \sum_{n=0}^\infty\int_I u_n
\end{equation}
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{Ex}\label{ex\DP seriedivergente}
  La série $\dps\sum_{n\geq1}\int_{t=0}^{+\infty}(1+t^2)^{-n}\,\dt$ est divergente, car
\begin{prop}
  \item   pour tout entier $n\geq1$, $u_n : t \mapsto(1+t^2)^{-n}$
est sommable sur $\into0{+\infty}$ : $u_1$ est sommable sur $\R$ et, pour tout
$t\in\into0{+\infty}$, $0<u_n(t)\leq u_1(t)$;
  \item   la série $\sum_{n=1}^\infty u_n(t)$ converge simplement sur
$\into0{+\infty}$ vers $S(t)=\sum_{n=1}^\infty(1+t^2)^{-n}=t^{-2}$ :
on pose $q=(1+t^2)^{-1}$ et $\sum_{n=1}^\infty q^n=q(1-q)^{-1}$.
\end{prop}
Puisque $S$ n'est pas intégrable sur $\into0{+\infty}$, la série est divergente.
\end{Ex}


\begin{Th}[Cas d'une série de fonctions à valeurs réelles ou complexes]\alaligne

  Si $\sum u_n$ est une série de fonctions à valeurs réelles ou complexes telle
que 
\begin{prop}
  \item pour tout entier $n$, les fonctions $u_n$ sont sommables sur $I$;
  \item la série $\sum u_n$ converge simplement sur $I$ vers $S :
t\mapsto\sum_{n=0}^\infty u_n(t)$, fonction continue par morceaux;
  \item   la série des intégrales $\sum\int_I\abs{u_n}$ est convergente (attention
au module!); 
\end{prop}
alors,
\begin{prop}
  \item   la somme $S=\sum u_n$ est sommable sur $I$ et
$\dps\int_I S=\int_I\sum_{n=0}^\infty u_n(t)\,\dt=
\sum_{n=0}^\infty\int_I u_n(t)\,\dt$;
  \item   $\dps\normu{S}=\int_I\abs[\Big]{\sum_{n=0}^\infty u_n(t)}\,\dt\leq
\sum_{n=0}^\infty\int_I\abs[\big]{u_n(t)}\,\dt$
\end{prop}
\end{Th}

\begin{proof}[\textsc{Preuve} (hors programme)] Donnons une preuve avec l'hypothèse
supplémentaire que la série de fonctions $\sum u_n$ converge uniformément sur
tout segment de $I$. 

  Soient $\eps>0$ et $K$ un segment de $I$; puisque la série de fonctions $\sum
u_n$ converge uniformément sur le segment $K$, il existe un entier
$N$ dépendant de $\eps$ et $K$ tel que
$\norme{\sum_{n=N+1}^\infty u_n}_{\infty,K}<\eps/\abs{K}$$\abs{K}$ désigne la
longueur du segment $K$; alors
\begin{align}
\int_K\abs{S} = \int_K\abs[\Big]{\sum_{n=0}^\infty u_n}
&   \leq  \int_K\abs[\Big]{\sum_{n=0}^N u_n} +
      \int_K\abs[\Big]{\sum_{n=N+1}^\infty u_n}                 \\
&   \leq  \int_K\sum_{n=0}^N\abs{u_n} +
      \int_K\norme[\Big]{\sum_{n=N+1}^\infty u_n}_{\infty,K}            \\
&   \leq  \sum_{n=0}^N\int_K \abs{u_n} + \eps
  \leq  \sum_{n=0}^N\int_I \abs{u_n} + \eps
  \leq  \sum_{n=0}^\infty\int_I \abs{u_n} + \eps
\end{align}
L'inégalité ayant lieu pour tout $\eps>0$, on en déduit que, pour tout segment
$K$ de $I$, $\int_K\abs{S}\leq\sum_{n=0}^\infty\int_I\abs{u_n}$. Ainsi $S$ est
sommable sur $I$ et
\begin{equation}
\sup_K\int_K\abs{S}=\int_I\abs{S}=\int_I\abs[\Big]{\sum_{n=0}^\infty u_n}
  \leq  \sum_{n=0}^\infty\int_I\abs{u_n}
\end{equation}

  Appliquons les inégalités précédentes à la fonction (sommable) $S-\sum_{k=0}^n
u_k = \sum_{k=n+1}^\infty u_k$ :
\begin{equation}
\abs[\Big]{\int_I S-\sum_{k=0}^n\int_I u_k}
  =   \abs[\Big]{\int_I\sum_{k=n+1}^\infty u_k}
  \leq  \int_I\abs[\Big]{\sum_{k=n+1}^\infty u_k}
  \leq \sum_{k=n+1}^\infty\int_I\abs{u_k} \tend 0
\end{equation}
ce qui montre que $\int_I\sum_n u_n=\sum_n\int_I u_n$.
\end{proof}
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\begin{NB}
  La convergence de la série $\sum_n\int_I\abs{u_n}$ est indispensable, la
convergence de la série $\sum_n\int_I u_n$ ne suffit pas à permettre
l'intégration terme à terme.
\end{NB}


\begin{Exs}
  $\dps\int_{t=0}^{+\infty}\ee^{-t}\cos\sqrt{t}\,\dt=
\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\ra{n!}{(2n)!}$\\
Développons la fonction $\cos$ en série; de $\cos u=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n
u^{2n}/(2n)!$, on tire $\ee^{-t}\cos\sqrt{t}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n
\ee^{-t}t^n/(2n)!$. On a
\begin{prop}
  \item   pour tout entier $n$, la fonction $u_n :
t\mapsto(-1)^n\ee^{-t}t^n/(2n)!$ est sommable sur $\intfo0{+\infty}$, car
$\ee^{-t}t^n=\OO[\big]{\ee^{-t/2}}$ quand $t\to+\infty$;
  \item   $\int_{t=0}^{+\infty}\abs[\big]{u_n(t)}\,\dt=
1/(2n)!\int_{t=0}^{+\infty}\ee^{-t}t^n\,\dt=n!/(2n)!$  et la série
$\sum\int_{t=0}^{+\infty}\abs[\big]{u_n(t)}\,\dt$ est convergente.
\end{prop}
Le théorème d'intégration terme à terme est vérifié et donne la
formule demandée.

  $\dps\sum_{n=1}^\infty\int_\R \ra{(-1)^{n-1}}{(1+t^2)^{n}}\,\dt=
\int_\R\ra1{2+t^2}\,\dt=\ra{\pi}{\sqrt{2}}$\\
  Posons $u_n(t)=(-1)^{n-1}(1+t^2)^{-n}$; l'exemple \ref{ex\DP seriedivergente}
montre que les fonctions $u_n$ sont sommables sur $\R$ et que la série
$\sum\int_\R\abs{u_n}$ est divergente. Il faut revenir aux sommes partielles et
passer à la limite en utilisant $\sum_{k=1}^n q^k=(q-q^{n+1})(1-q)^{-1}$ pour
$q=-(1+t^2)^{-1}$ :
$$
\sum_{k=1}^n\int_\R \ra{(-1)^{k-1}}{(1+t^2)^{k}}\,\dt=
-\int_\R \sum_{k=1}^n\Bigl(\ra{-1}{1+t^2}\Bigr)^k\,\dt=
\int_\R\ra1{2+t^2}\,\dt+(-1)^{n+1}\int_\R\ra1{(2+t^2)(1+t^2)^n}\,\dt
$$
On utilise maintenant le théorème de convergence dominée pour déterminer la
limite de la seconde intégrale :
\begin{prop}
  \item   pour tout $t\in\R\prive\{0\}$, $(2+t^2)^{-1}(1+t^2)^{-n}\tend0$;
  \item   pour tout entier $n\geq1$ et réel $t\in\R$, 
$0<(2+t^2)^{-1}(1+t^2)^{-n}\leq(2+t^2)^{-1}$ et $t\mapsto
(2+t^2)^{-1}$ est une fonction sommable sur $\R$ (inégalité de domination);
\end{prop}
ce qui montre que $\lim_n \int_\R(-1)^{n+1}(2+t^2)^{-1}(1+t^2)^{-n}\,\dt=
\int_\R 2^{-1}\chi_{\R\prive\{0\}}(t)\,\dt=0$.
\end{Exs}


%----------------------------------------------------------------------
\subsection{Le théorème de convergence dominée d'Henri Lebesgue}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{Th}[de convergence dominée]\alaligne

  Si $\suite f$ est une suite de fonctions continues par morceaux sur $I$ et à
valeurs réelles ou complexes telle que
\begin{prop}
  \item la suite $\suite f$ converge simplement sur $I$ vers une fonction $f$
continue par morceaux;
  \item il existe une fonction $\vphi$ à valeurs réelles positives et
\emph{sommable} sur $I$ telle que :
$$
\qqs(n,t)\in\N\times I,\ \abs{f_n(t)}\leq\vphi(t)
\qquad\text{ (hypothèse de domination)}
$$
\end{prop}
alors la fonction $f$ est sommable sur $I$ et
$\dps\int_I f=\int_I\lim_n f_n=\lim_n\int_I f_n$
\end{Th}

\begin{proof}[\textsc{Preuve} (hors programme)] Nous allons faire l'hypothèse (supplémentaire)
que la suite $\suite f$ converge uniformément vers $f$ sur tout segment de $I$.

  En passant à la limite sur $n$ dans l'inégalité
$\qqs(n,t)\in\N\times I,\ \abs{f_n(t)}\leq\vphi(t)$, on obtient que pour tout $t\in
I$, $\abs{f(t)}\leq\vphi(t)$, ce qui montre la sommabilité de la fonction $f$ sur $I$
puisque $\vphi$ est sommable sur $I$.

  Donnons-nous $\eps>0$; l'intégrabilité de $\vphi$ sur $I$ montre
l'existence d'un segment $K$ tel que $0\leq\int_{I\setminus K}\vphi\leq\eps$; le
segment $K$ étant fixé, on peut alors trouver un rang $N$ à partir duquel on a
l'inégalité $\norme{f-f_n}_{\infty,K}\leq \eps/\abs{K}$. Ainsi
$$
\begin{array}{ccccccccc}
\dps\abs[\Big]{\int_I f-\int_I f_n}
  &   \leq  &   \dps\abs[\Big]{\int_I f-\int_K f} &   +   &   \dps\abs[\Big]{\int_K f-\int_K f_n}
      &   +   &   \dps\abs[\Big]{\int_K f_n-\int_I f_n} &&                \\[4ex]
  &   =   &   \dps\abs[\Big]{\int_{I\setminus K} f} & +   &   \dps\abs[\Big]{\int_K (f-f_n)}
      &   +   &   \dps\abs[\Big]{\int_{I\setminus K} f_n} &&              \\[4ex]
  &   \leq  &   \dps\int_{I\setminus K}\abs{f}  &   +   &   \dps\int_K\abs{f-f_n}
      &   +   &   \dps\int_{I\setminus K}\abs{f_n}  &&                    \\[4ex]
  &   \leq  &   \dps\int_{I\setminus K}\vphi  &   +   &   \dps\int_K\norme[\big]{f-f_n}_{\infty,K}
      &   +   &   \dps\int_{I\setminus K}\vphi &  \leq  &   3\eps
\end{array}
$$
%
ce qui montre que $\int_I f_n\tend\int_I f$.
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{Ex}
$\dps\lim_n\int_{-\infty}^{+\infty}\Bigl(1+\ra{t^2}{2n}\Bigr)^{-n}\,\dt =
\int_{-\infty}^{+\infty}\exp\Bigl(-\ra{t^2}2\Bigr)\,\dt$\\
Pour $n\geq1$, la formule du binôme de Newton donne
$$
\Bigl(1+\ra{t^2}{2n}\Bigr)^n=1+\combinaison{n}{1}\ra{t^2}{2n}+\cdots
\geq 1+\combinaison{n}{1}\ra{t^2}{2n}=1+n\ra{t^2}{2n}=1+\ra{t^2}2
$$
ce qui montre que $\qqs(n,t)\in\N^*\times\R,\ 
0\leq f_n(t)=\bigl(1+t^2/(2n)\bigr)^{-n} \leq (1+t^2/2)^{-1}=\vphi(t)$;
or $\vphi$ est sommable sur $\R$ et l'hypothèse de domination est vérifiée.

  Puisque $-n\ln\bigl(1+t^2/(2n)\bigr)\equivalent -n\bigl(t^2/(2n)\bigr)=-t^2/2$, 
on a :
\begin{equation}
\qqs t\in\R,\ f_n(t)=\exp\Bigl(-n\ln\bigl(1+\ra{t^2}{2n}\bigr)\Bigr)\tend
  \exp\Bigl(-\ra{t^2}2\Bigr)=f(t)
\end{equation}
ainsi, la suite de fonctions $\suite f$ converge simplement sur $\R$ 
vers la fonction $f : t\mapsto \ee^{-t^2/2}$ qui est continue, et même de classe
$\mcal{C}^\infty$, sur $\R$.

  Le calcul de $\int_\R\bigl(1+t^2/(2n)\bigr)^{-n}\,\dt$ permet de déterminer la
valeur de l'intégrale de Gauss.
\begin{align*}
\int_\R\Bigl(1+\ra{t^2}{2n}\Bigr)^{-n}\,\dt
&   =   2\int_0^{+\infty}\Bigl(1+\ra{t^2}{2n}\Bigr)^{-n}\,\dt &\quad&
      \text{parité de l'intégrande}                                           \\
&   =   2\int_0^{+\infty}\ra1{(1+u^2)^n}\sqrt{2n}\,\dt[u]   &&
      \text{$u=\ra{t}{\sqrt{2n}}$, $\dt=\sqrt{2n}\,\dt[u]$}                   \\
&   =   2\sqrt{2n}\int_0^{\pi/2}\ra1{(1+\tan^2 v)^{n-1}}\,\dt[v]  &&
      \text{$u=\tan v$, $\dt[u]=(1+\tan^2 v)\,\dt[v]$}                      \\
&   =   2\sqrt{2n}\int_0^{\pi/2} (\cos v)^{2n-2}\,\dt[v]=2\sqrt{2n}\,W_{2n-2}   &&
      \text{$1+\tan^2 v=\ra1{\cos^2 v}$}
\end{align*}
C'est le retour de l'intégrale de Wallis dont on connaît un équivalent
$W_n\equivalent\sqrt{\pi/(2n)}$; on peut donc passer à la limite sur $n$ :
$\lim_n 2\sqrt{2n}\,W_{2n-2}=\sqrt{2\pi}$, ce qui donne :
\Reponse{$\dps
\int_{-\infty}^{+\infty}\exp\Bigl(-\ra{t^2}2\Bigr)\,\dt=\sqrt{2\pi}
$}
\end{Ex}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Intégrale dépendant d'un paramètre}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  Le but de cette section est d'étudier la continuité et la dérivabilité des
fonctions du type $x\mapsto\int_I f(x,t)\,\dt$, par exemple
$$
\Gamma : x\mapsto\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\,\dt
\qquad
\hat{f} : x\mapsto\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2/2}e^{-i2\pi xt}\,\dt
$$
On note $I$ l'intervalle d'intégration et $t$ la variable d'intégration; $A$
désigne l'intervalle dans lequel varie le paramètre $x$.

%----------------------------------------------------------------------
\subsection{Continuité}
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\begin{Th}[Continuité d'une intégrale par rapport au paramètre]\alaligne

  Si $f$ est une application de $A\times I$ à valeurs réelles ou complexes telle
que 
\begin{prop}
  \item $f$ est continue sur $A\times I$ rapport au couple $(x,t)$;
  \item il existe une application $\vphi$ à valeurs réelles positives et
\emph{sommable} sur $I$ telle que
$$
\qqs(x,t)\in A\times I,\ \abs{f(x,t)}\leq\vphi(t)\quad\text{(hypothèse de
domination)} 
$$
\end{prop}
alors, pour tout $x\in A$, la fonction $t\mapsto f(x,t)$ est sommable sur $I$ et
l'application 
$$
g : x\mapsto\int_I f(x,t)\,\dt
$$ 
est définie et continue sur $A$. 
\end{Th}

\begin{proof}[\textsc{Preuve} (hors programme)]
  L'hypothèse de domination permet d'appliquer le critère de comparaison (globale)
et montre la sommabilité de $t\mapsto f(x,t)$.

  Montrons la continuité de $g$ en un point \emph{quelconque} $a\in A$; pour
cela, utilisons la caractérisation séquentielle de la continuité, à savoir : $g$
est continue en $a$ si, et seulement si, pour toute suite $\suite x$ de $A$ de
limite $a$, $\bigl(g(x_n)\bigr)_n$ est une suite convergente de limite $g(a)$.

  Soient $\suite x$ une suite de $A$ de limite $a$ et $h_n$ la fonction $t\mapsto
f(x_n,t)$. Pour tout entier $n$, on a $\abs{h_n(t)}=\abs{f(x_n,t)}\leq\vphi(t)$
et, vu la continuité de la fonction $f$, $\lim_n h_n(t)=\lim_n f(x_n,t)=f(a,t)$.
 Les hypothèses du théorème de convergence dominée sont satisfaites et
\begin{equation}
  \lim_n g(x_n)=\lim_n\int_I h_n=\int_I\lim h_n=\int_I f(a,t)\,\dt=g(a)
\end{equation}
La fonction $g$ est donc continue en tout point $a$ de $A$.
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{Ex}
  La fonction $\dps \hat{f} : x\mapsto\int_\R \ee^{-t^2/2}\ee^{-\ii 2\pi xt}\,\dt$
est continue sur $\R$.\\
  $(x,t)\mapsto f(x,t)=\ee^{-t^2/2}\ee^{-\ii 2\pi xt}$ est continue sur
$\R\times\R$.\\ 
  $\qqs(x,t)\in\R^2$, $\abs{f(x,t)}=\ee^{-t^2/2}=\vphi(t)$ et $\vphi$ est
intégrable sur $\R$, l'hypothèse de domination est satisfaite.
\end{Ex}

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\subsubsection*{Extension au cas où l'hypothèse de domination est vérifiée sur
tout segment de $A$}
%----------------------------------------------------------------------

  La continuité est une propriété locale : dire que $g$ est continue sur $A$,
c'est dire que $g$ est continue en tout point de $A$, ou encore, c'est montrer
la continuité de $g$ sur tous les segments de~$A$; d'où le théorème

\begin{Th}[Continuité d'une intégrale par rapport au paramètre, domination sur
tout segment]\alaligne

    Si $f$ est une application de $A\times I$ à valeurs réelles ou complexes telle
que 
\begin{prop}
  \item la fonction $f$ est continue sur $A\times I$ rapport au couple $(x,t)$;
  \item pour tout segment $S$ de $A$, il existe une application $\vphi_S$ à
valeurs réelles positives et \emph{sommable} sur $I$ telle que
$$
\qqs x\in S,\ \qqs t\in I,\ \abs{f(x,t)}\leq\vphi_S(t)\quad\text{(hypothèse de
domination sur le segment $S$)} 
$$
\end{prop}
alors, pour   $\qqs x\in A$, la fonction $t\mapsto f(x,t)$ est sommable sur $I$ et 
l'application 
$$
g : x\mapsto\int_I f(x,t)\,\dt
$$
est définie et continue sur $A$.
\end{Th}

\begin{Ex}
  Continuité  de la fonction $\Gamma$.
\Reponse{La fonction
$\dps\Gamma : x\mapsto\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}\,\dt$ est continue sur
$\into0{+\infty}$
}

  La fonction $f : (x,t)\mapsto t^{x-1}e^{-t}=\exp\bigl((x-1)\ln t\bigr)e^{-t}$
est continue sur $\into0{+\infty}\times\into0{+\infty}$.

  Soit $0<a<b<+\infty$; $\qqs x\in\intf ab$, $\qqs t\in\intof01$,
$t^{x-1}=\exp\bigl((x-1)\ln t\bigr)\leq t^{a-1}$ ($\ln t\leq0$ et la fonction
$x\mapsto t^{x-1}$ est monotone décroissante) et $\qqs t\in\into1{+\infty}$,
$t^{x-1}=\exp\bigl((x-1)\ln t\bigr)\leq t^{b-1}$ ($\ln t>0$ et la fonction
$x\mapsto t^{x-1}$ est monotone croissante). Ainsi
\begin{gather*}
\qqs(x,t)\in\intf ab\times\into0{+\infty},\ 0<t^{x-1}\leq\max(t^{a-1},t^{b-1})
  \leq t^{a-1}+t^{b-1}                  \\
\et 0<t^{x-1}e^{-t}\leq(t^{a-1}+t^{b-1})e^{-t}=\vphi_{\intf ab}(t)
\end{gather*}
L'application $\vphi_{\intf ab}$ est sommable sur $\into0{+\infty}$. Ainsi
$\Gamma$ est continue sur $\into0{+\infty}$.

  La continuité de la fonction $\Gamma$ en $x=1$ montre que
$\lim_{x\to 0}\Gamma(x+1)=\Gamma(1)=1$; de l'identité $\Gamma(x)=\Gamma(x+1)/x$, 
on tire
$$
\Gamma(x)\equivalent[x\downarrow 0]\ra1x\quad\et\quad
\lim_{x\downarrow 0}\Gamma(x)=+\infty
$$
\end{Ex}

%----------------------------------------------------------------------
\subsection{Dérivation sous le signe $\int_I$, formule de Leibniz}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{Th}[Dérivation sous le signe $\int_I$]\alaligne

  Si $f$ est une application de $A\times I$ à valeurs réelles ou complexes telle
que 
\begin{prop}
  \item les fonctions $f$ et $\del{f}{x}$ sont continues sur $A\times I$ rapport au
couple $(x,t)$; 
  \item il existe deux applications $\vphi_0$ et $\vphi_1$ à valeurs réelles
positives et \emph{sommables} sur $I$ telles que
$$
\qqs x\in A,\ \qqs t\in I,\ \abs{f(x,t)}\leq\vphi_0(t)
\et\abs[\Big]{\del{f}{x}(x,t)}\leq\vphi_1(t)\quad\text{(hypothèses de
domination)} 
$$
\end{prop}
alors l'application $g : x\mapsto\int_I f(x,t)\,\dt$ est de classe $\mcal{C}^1$
sur $A$ et
\begin{equation}
\qqs x\in A,\ g'(x)=\ra{\dt[]}{\dt[x]}\int_I f(x,t)\,\dt =
  \int_I\del{f}{x}(x,t)\,\dt
\end{equation}
\end{Th}

\begin{proof}[\textsc{Preuve} (hors programme)]
  Le théorème de continuité d'une intégrale dépendant d'un paramètre montre la
continuité de $g$ sur $A$, grâce à la domination $\abs{f(x,t)}\leq\vphi_0(t)$
avec $\vphi_0\in\LI{I}$.

  Nous allons montrer la dérivabilité de $g$ en un point (quelconque) $a$ de $A$
en déterminant la limite du taux d'accroissement de $g$ en $a$, soit
\begin{equation}
\lim_{h\to 0}\ra{g(a+h)-g(a)}{h}=\lim_{h\to 0}\int_I\ra{f(a+h,t)-f(a,t)}{h}\,\dt
\end{equation}
Pour cela, posons
\begin{equation}
\mcal{F}(h,t)=
\begin{cases}
\dps\ra1h\bigl(f(a+h,t)-f(a,t)\bigr)  &   \text{ si $h\neq0$}   \\[2ex]
\dps\del{f}{x}(a,t)           &   \text{ si $h=0$}
\end{cases}
\end{equation}
$\mcal{F}$ est une fonction continue par rapport au couple $(h,t)$ sur $V\times I$$V$ est un voisinage de $h=0$; l'inégalité de Taylor assure l'inégalité
$\qqs(h,t)\in V\times I,\ \abs{\mcal{F}(h,t)}\leq\vphi_1(t)$ (hypothèse de domination).
C'est pourquoi $h\mapsto\int_I \mcal{F}(h,t)\,\dt$ est une fonction continue en $h=0$, soit
\begin{equation}
g'(a)= \lim_{h\to0}\ra{g(a+h)-g(a)}{h} = \lim_{h\to0}\int_I \mcal{F}(h,t)\,\dt = \int_I
\mcal{F}(0,t)\,\dt = \int_I\del{f}{x}(a,t)\,\dt
\end{equation}
Le théorème de continuité d'une intégrale dépendant d'un paramètre montre la
continuité de la fonction dérivée $g' : x\mapsto\int_I\del{f}{x}(x,t)\,\dt$.
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{Ex}
  La fonction $\dps \hat{f}: x\mapsto\int_\R \ee^{-t^2/2}\ee^{-\ii2\pi xt}\,\dt$
est  de classe $\mcal{C}^1$ sur $\R$ et
\Reponse{$\dps
\qqs x\in\R,\ 
\int_\R \ee^{-t^2/2}e^{-2\ii\pi xt}\,\dt=\sqrt{2\pi}\,\ee^{-2\pi^2 x^2}
$}

  Les fonctions $(x,t)\mapsto f(x,t)=\ee^{-t^2/2}\ee^{-\ii 2\pi xt}$  et
$(x,t)\mapsto \del{f}{x}(x,t)=-\ii 2\pi t \ee^{-t^2/2}\ee^{-\ii 2\pi xt}$ sont
continues sur $\R\times\R$.

  Pour tout $x\in\R$ et $t\in\R$, on a les majorations :
$\abs{f(x,t)}=\ee^{-t^2/2}=\vphi_0(t)$ et
$\abs[\big]{\del{f}{x}(x,t)}=2\pi\abs{t}\ee^{-t^2/2}=\vphi_1(t)$; les fonctions
$\vphi_0$ et $\vphi_1$ sont intégrables sur $\R$ (les hypothèses de domination
sont remplies). La fonction $\hat{f}$ est donc de classe $\mathcal{C}^1$ sur
$\R$ et 
$$
(\hat{f})'(x)=\int_\R \del{f}{x}(x,t)\,\dt=
\int_\R-\ii 2\pi t \ee^{-t^2/2}\ee^{-\ii 2\pi xt}\,\dt
$$

  Intégrons par parties ($u'_t=-t
\ee^{-t^2/2},u=\ee^{-t^2/2}$, $v=e^{-\ii 2\pi xt},
v'_t=-\ii 2\pi xe^{-i2\pi xt}$) sur le segment $\intf{-n}n$ avec $n\in\N$ qui
tend vers $+\infty$ :
\begin{align}
(\hat{f})'(x)
&   =   \ii2\pi\int_\R -t\ee^{-t^2/2}e^{-\ii 2\pi xt}\,\dt  =
    \ii 2\pi\lim_n\int_{-n}^n -t\ee^{-t^2/2}e^{-\ii 2\pi xt}\,\dt   \\
&   =   \ii 2\pi\lim_n\biggl\{ \ee^{-t^2/2}\ee^{-\ii 2\pi xt}\entre[\Big]{t=-n}{t=n}
    +\ii 2\pi x\int_{-n}^n \ee^{-t^2/2}\ee^{-\ii 2\pi xt}\,\dt  \biggr\}    \\
&   =   0+(\ii 2\pi)^2 x\int_\R \ee^{-t^2/2}\ee^{-\ii 2\pi xt}\,\dt=-4\pi^2 x\hat{f}(x)
\end{align}
car $\lim_{t\to\infty}\abs{e^{-t^2/2}e^{-i2\pi xt}}=\lim_{t\to\infty}e^{-t^2/2}=0$. 
La fonction $\hat{f}$ vérifie l'équation différentielle $y'=-4\pi^2 x\,y$ dont
les $\R$-solutions sont $y(x)=K\ee^{-2\pi^2 x^2}$. Or, $\hat{f}(0)=\int_\R
\ee^{-t^2/2}\,\dt = \sqrt{2\pi}$ ce qui détermine la constante d'intégration $K$. 
\end{Ex}


%----------------------------------------------------------------------
\subsubsection*{Extension au cas où l'hypothèse de domination est vérifiée sur
tout segment de $A$}
%----------------------------------------------------------------------

  La dérivabilité est une propriété locale : dire que $g$ est dérivable sur $A$,
c'est dire que $g$ est dérivable en tout point de $A$, ou encore, c'est montrer
la dérivabilité de $g$ sur tous les segments de $A$; de même montrer que $g$ est
de classe $\mcal{C}^1$ sur $A$, c'est montrer que $g$ est de classe $\mcal{C}^1$
sur tous les segments de $A$. D'où le théorème

\begin{Th}[Dérivation sous le signe $\int_I$, domination sur tout segment]\alaligne

  Si $f$ est une application de $A\times I$ à valeurs réelles ou complexes telle
que 
\begin{prop}
  \item les fonctions $f$ et $\del{f}{x}$ sont continues sur $A\times I$ rapport au
couple $(x,t)$; 
  \item pour tout segment $S$ de $A$, il existe deux applications $\vphi_{0,S}$
et $\vphi_{1,S}$ à valeurs réelles positives et \emph{sommables} sur $I$ telles que
\begin{multline*}
\qqs x\in S,\ \qqs t\in I,\ \abs{f(x,t)}\leq\vphi_{0,S}(t)
  \et\abs[\Big]{\del{f}{x}(x,t)}\leq\vphi_{1,S}(t)            \\
\quad\text{(hypothèses de domination sur tout segment)}   
\end{multline*}
\end{prop}
alors l'application $g : x\mapsto\int_I f(x,t)\,\dt$ est de classe $\mcal{C}^1$
sur $A$ et
\begin{equation}
\qqs x\in A,\ g'(x)=\ra{d}{dx}\int_If(x,t)\,\dt =
  \int_I\del{f}{x}(x,t)\,\dt
\end{equation}
\end{Th}

\begin{Ex}\alaligne

\Reponse{La fonction
$\dps\Gamma : x\mapsto\int_0^{+\infty}t^{x-1}\ee^{-t}\,\dt$ est de classe
$\mcal{C}^1$ sur $\into0{+\infty}$                 \\
$\dps\qqs x>0,\ \Gamma'(x)=\int_0^{+\infty}(\ln t) t^{x-1}\ee^{-t}\,\dt
$}

  Les fonctions $f : (x,t)\mapsto t^{x-1}\ee^{-t}$ et $\del{f}{x} : (x,t)\mapsto
(\ln t) t^{x-1}\ee^{-t}$ sont continues sur
$\into0{+\infty}\times\into0{+\infty}$.

  Soient $0<a<b<+\infty$; pour tout $x\in\intf ab$ et $t\in\into0{+\infty}$, on
a les inégalités 
$0<f(x,t)\leq(t^{a-1}+t^{b-1})e^{-t}=\vphi_{0,\intf ab}(t)$ et
$\abs{\del{f}{x}(x,t)}=\abs{\ln t}f(x,t)\leq\abs{\ln t}(t^{a-1}+t^{b-1})e^{-t} =
\vphi_{1,\intf ab}(t)$, et
les applications $\vphi_{0,\intf ab}$ et $\vphi_{1,\intf ab}$ sont sommables sur
$\into0{+\infty}$.
\end{Ex}

  Une récurrence sur $k$ permet d'étendre ces théorèmes aux applications de classe
$\mcal{C}^k$ sur $A$.

\begin{Th}[Cas des fonctions de classe $\mcal{C}^k$]\alaligne

  Si $f$ est une application de $A\times I$ à valeurs réelles ou complexes telle
que 
\begin{prop}
  \item pour tout entier $r\in\Intf 0k$, la fonction $\Del{r}{f}{x}$ est continue
sur $A\times I$ rapport au couple $(x,t)$; 
  \item pour tout entier $r\in\Intf 0k$ et pour tout segment $S$ de $A$, il existe
des applications $\vphi_{r,S}$ à valeurs réelles positives et \emph{sommables} sur
$I$ telles que
$$
\qqs(x,t)\in S\times I,\ \abs[\Big]{\Del{r}{f}{x}(x,t)}\leq\vphi_{r,S}(t)
\quad\text{(hypothèses de domination sur tout segment)} 
$$
\end{prop}
alors l'application $g : x\mapsto\int_I f(x,t)\,\dt$ est de classe $\mcal{C}^k$
sur $A$ et
\begin{equation*}
\qqs x\in A,\ g^{(k)}(x)=\ra{d^k}{dx^k}\int_I f(x,t)\,\dt =
  \int_I\Del{k}{f}{x}(x,t)\,\dt
\end{equation*}
\end{Th}

\begin{Ex}\alaligne

\Reponse{La fonction
$\dps\Gamma : x\mapsto\int_0^{+\infty}t^{x-1}\ee^{-t}\,\dt$ est de classe
$\mcal{C}^\infty$ sur $\into0{+\infty}$      \\
$\dps\qqs k\in\N,\ \qqs x>0,\ 
\Gamma^{(k)}(x)=\int_0^{+\infty}(\ln t)^k\,t^{x-1}\ee^{-t}\,\dt
$}

  Pour tout $r\in\N$, la fonction $\Del{r}{f}{x} : (x,t)\mapsto
(\ln t)^r\,t^{x-1}\ee^{-t}$ est continue sur
$\into0{+\infty}\times\into0{+\infty}$ par rapport au couple $(x,t)$.

  Soient $0<a<b<+\infty$; $\qqs(x,t)\in\intf ab\times\into0{+\infty}$,
$\abs[\big]{\Del{r}{f}{x}(x,t)}=\abs{\ln t}^r f(x,t)\leq\abs{\ln t}^r
(t^{a-1}+t^{b-1})e^{-t} = \vphi_{r,\intf ab}(t)$,
les applications $\vphi_{r,\intf ab}$ sont sommables sur $\into0{+\infty}$.

  Remarquons que $\Gamma''(x)=\int_0^{+\infty}(\ln t)^2 t^{x-1}\ee^{-t}\,\dt>0$; la
fonction $\Gamma$ est une fonction (strictement) convexe.
\end{Ex}