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Source de integseg.tex

Fichier TeX
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\chapter{Intégrale des fonctions vectorielles sur un segment}
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\minitoc
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  Intégrer des fonctions à valeurs vectorielles, passer à la limite à
travers un signe~$\int$, échanger les signes $\sum$ et $\int$, étudier
des fonctions définies à l'aide d'une intégrale dépendant d'un
paramètre, voilà le programme des réjouissances.

  Dans ce chapitre, les fonctions sont définies sur un segment $S=\intf ab$ et
sont à valeurs dans~$E$, $\K$-espace vectoriel normé de dimension
finie, dont la norme est notée $\norme{\ }$.



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\section{Intégrale des fonctions en escalier}
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  Cette section généralise aux fonctions vectorielles la définition et
les propriétés de l'intégrale d'une fonction réelle en escalier vue en
première année. C'est une section technique qui sert à mettre en place  
la section suivante; ne pas s'apesantir.


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\subsection{Généralités}
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\begin{Df}[Intégrale d'une fonction en escalier]\alaligne

  Soient $\bvc\vphi$ une fonction en escalier sur le segment $S=\intf ab$ à
valeurs dans $E$, $\sub\bphi=(a_k)_{0\leq k\leq n}$ une subdivision subordonnée
à $\bphi$ du segment $S$, $\vc v_k$ la valeur constante de $\bphi$ sur
l'intervalle ouvert $\into{a_{k-1}}{a_k}$ pour $k\in\Intf1n$. Le vecteur
$\sum_{k=1}^n(a_k-a_{k-1})\vc v_k$ est indépendant de la subdivision
$\sub\bphi$ choisie, il est appelé \emph{intégrale de $\bphi$
sur le segment} $S$ et noté $\int_S \bphi$, $\intab\bphi$ ou
$\intab\bphi(t)\,\dt$.
\Reponse{$\dsp
\int_S \bphi=\intab\bphi=\intab\bphi(t)\,\dt=
\sum_{k=1}^n(a_k-a_{k-1})\vc v_k
$}
\end{Df}

\begin{proof}
  On pose $I(\bphi,\sub\bphi)=\sum_{k=1}^n(a_k-a_{k-1})\vc v_k$. Si on
ajoute  un point $\alpha\in\into{a_{i-1}}{a_i}$ à la subdivision
$\sub\bphi$, on obtient :
\begin{multline*}
I(\bphi,\sub\bphi\cup\{\alpha\})                                      
  =\sum_{k=1}^{i-1}(a_k-a_{k-1})\vc v_k
    +(\alpha-a_{i-1})\vc v_i+(a_i-\alpha)\vc v_i
    +\sum_{k=i+1}^{n}(a_k-a_{k-1})\vc v_k                             \\
  =\sum_{k=1}^{n}(a_k-a_{k-1})\vc v_k=I(\bphi,\sub\bphi)
\end{multline*}
Un raisonnement par récurrence montre qu'on ne change pas
$I(\bphi,\sub\bphi)$ en ajoutant un nombre fini de points à $\sub\bphi$.

  Si $\sigma_1$ et $\sigma_2$ sont deux subdivisions subordonnées à
$\bphi$, $\sigma_1\cup\sigma_2$ est encore une subdivision subordonnée à
$\bphi$; elle ne diffère de $\sigma_1$ et $\sigma_2$ que d'un nombre fini
de points; ainsi 
$$
I(\bphi,\sigma_1)=I(\bphi,\sigma_1\cup\sigma_2)=I(\bphi,\sigma_2)
$$
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{NBs}\alaligne

  Si $\vphi$ est une fonction en escalier à valeurs réelles positives,
$\intab\vphi$ s'interprète comme l'aire de la portion de plan comprise
entre les droites $t=a$, $t=b$, l'axe $Ot$ et le graphe de $\vphi$.

  $\intab\bphi$ ne dépend pas des valeurs de $\bphi$ prises aux points
$a_k$ pour $k\in\Intf0n$.

  Si $\bphi$ est une fonction constante égale à $\vc v$ sauf en un nombre
fini de points de $\intf ab$, $\bphi$ est en escalier et
$\intab\bphi=(b-a)\vc v$. En particulier, si $\bphi$ est nulle sauf sur
un ensemble fini, $\intab \bphi=\vc 0$.
\end{NBs}


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\subsection{Linéarité par rapport à la fonction}
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\begin{Prop}
  Si $\bphi$ et $\bpsi$ sont deux fonctions en escalier sur $\intf ab$,
et $\lambda$ et $\mu$ deux scalaires, on a :
$$
\intab (\lambda\bphi+\mu\bpsi)=\lambda\intab\bphi+\mu\intab\bpsi
$$
\end{Prop}

\begin{proof}
  Soient $\sigma=(a_k)_{0\leq k\leq n}$ une subdivision subordonnée à
$\bphi$ \emph{et} $\bpsi$, $\vc v_k$ (resp. $\vc w_k$) la valeur
constante de $\bphi$ (resp. $\bpsi$) sur l'intervalle ouvert
$\into{a_{k-1}}{a_k}$, alors :
$$
\qqs k\in\Intf1n,\ \qqs t\in\into{a_{k-1}}{a_k},\
\lambda\bphi(t)+\mu\bpsi(t)=\lambda\vc v_k+\mu\vc w_k
$$
et
\begin{equation}
\begin{split}
\intab (\lambda\bphi+\mu\bpsi)
  &=\sum_{k=1}^n (a_k-a_{k-1})(\lambda\vc v_k+\mu\vc w_k)             \\
  &=\lambda\sum_{k=1}^n(a_k-a_{k-1})\vc v_k
    +\mu\sum_{k=1}^n(a_k-a_{k-1})\vc w_k                                \\
  &=\lambda\intab\bphi+\mu\intab\bpsi
\end{split}
\end{equation}
\end{proof}
%--------------------------------------------------

%--------------------------------------------------
\subsection{Image de l'intégrale par une application linéaire}
%--------------------------------------------------
\begin{Prop}
  Soient $\bphi$ une fonction en escalier sur $\intf ab$ et $\vc u$ une
application linéaire de $E$ vers $F$; alors :
$$
\vc u\Bigl(\intab\bphi\Bigr)=\intab\vc u\circ\bphi
$$
\end{Prop}

\begin{proof}
  Soient $\sigma=(a_k)_{0\leq k\leq n}$ une subdivision subordonnée à
$\bphi$, $\vc v_k$  la valeur
constante de $\bphi$ sur l'intervalle ouvert
$\into{a_{k-1}}{a_k}$; alors $\vc u(\vc v_k)$ est la valeur de $\vc
u\circ\bphi$ sur $\into{a_{k-1}}{a_k}$ et, utilisant la linéarité de
$\vc u$, on obtient :
\begin{equation}
\begin{split}
\vc u\Bigl(\intab\bphi\Bigr)
  &=\vc u\bigl(\sum_{k=1}^n (a_k-a_{k-1})\vc v_k)\bigr)
    =\sum_{k=1}^n(a_k-a_{k-1})\vc u(\vc v_k)                                        \\
  &=\intab\vc u\circ\bphi
\end{split}
\end{equation}
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

%--------------------------------------------------
\subsection{Inégalité de la moyenne}
%--------------------------------------------------
\begin{Prop}
  Si $\bphi$ une fonction en escalier sur $\intf ab$, on a :
$$
\norme[\Big]{\intab\bphi} \leq\intab\norme{\bphi}
\leq(b-a)\sup_{t\in\intf ab}\norme{\bphi(t)}
$$
\end{Prop}

\begin{proof}
  Soient $\sigma=(a_k)_{0\leq k\leq n}$ une subdivision subordonnée à
$\bphi$, $\vc v_k$  la valeur
constante de $\bphi$ sur l'intervalle ouvert
$\into{a_{k-1}}{a_k}$; alors $\norme{\vc v_k}$ est la valeur de
$\norme{\bphi}$  sur $\into{a_{k-1}}{a_k}$ et :
\begin{multline}
\norme[\Big]{\intab\bphi}
  =\norme[\Big]{\sum_{k=1}^n (a_k-a_{k-1})\vc v_k}                          
  \leq\sum_{k=1}^n(a_k-a_{k-1})\norme{\vc v_k}=\intab\norme{\bphi}      \\
  \leq\sum_{k=1}^n(a_k-a_{k-1})\sup_{t\in\intf ab}\norme{\bphi(t)}
    =(b-a)\sup_{t\in\intf ab}\norme{\bphi(t)}
\end{multline}
\end{proof}
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\section{Intégrale des fonctions continues par morceaux}
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  Nous continuons la généralisation du cours de première année : ce
paragraphe propose de définir l'intégrale des fonctions à valeurs dans
$E$ et continues par morceaux sur un segment de $\R$.

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\subsection{Définition de l'intégrale}
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  L'intégrale est définie à l'aide d'un passage à la limite. L'intégrale
d'une fonction en escalier est connue; une fonction
continue par morceaux sur un segment est limite uniforme sur ce segment
d'une suite de fonctions en escalier; par définition, l'intégrale d'une
fonction continue par morceaux
est définie par la limite des intégrales de cette suite de
fonctions en escalier.

\begin{Lem}
  Soient $\vc f$ une fonction à valeurs dans $E$ et continue par
morceaux sur le segment
$\intf ab$, et ${(\bphi_n)}_n$ une suite de fonctions en
escalier qui converge uniformément vers $\vc f$ sur $\intf ab$; alors,
\begin{prop}
  \item la suite des intégrales ${( {\intab}\bphi_n)}_n$ admet une limite dans
$E$;
  \item cette limite ne dépend que $\vc f$ et non pas de la suite
${(\bphi_n)}_n$.
\end{prop}
\end{Lem}

\begin{proof}\alaligne

\begin{demprop}
  \monitem Montrons que ${( {\intab}\bphi_n)}_n$ est une suite de Cauchy dans
$E$. Puisque la suite ${(\bphi_n)}_n$ converge uniformément sur $\intf ab$
vers $\vc f$, on a :
\begin{gather*}
  \qqs\eps>0,\ \exists N\in\N,\ \qqs n\in\N,\ \qqs t\in\intf ab,\
    n>N\implique\norme{\bphi_n(t)-\vc f(t)}<\eps                        \\
\begin{split}
  \text{donc\quad}
  &\qqs(n,p)\in\N^2,\ \qqs t\in\intf ab,                                \\
  & n>N\implique\norme{\bphi_n(t)-\bphi_{n+p}(t)}
    \leq\norme{\bphi_{n+p}(t)-\vc f(t)}+\norme{\bphi_{n}(t)-\vc f(t)}<2\eps
\end{split}                                                           \\
  \text{et\quad}\qqs(n,p)\N^2,\ n>N\implique
    \sup_{t\in\intf ab}\norme{\bphi_{n+p}(t)-\bphi_n(t)}\leq2\eps   
\end{gather*}
Ainsi, pour tout $p\in\N$ et tout $n>N$, on a :
$$
\norme[\Big]{\intab\bphi_{n+p}-\intab\bphi_n}
    =\norme[\Big]{\intab(\bphi_{n+p}-\bphi_n)}
  \leq(b-a)\sup_{t\in\intf ab}\norme{\bphi_{n+p}-\bphi_n}\leq2(b-a)\eps
$$
La suite ${( {\intab}\bphi_n)}_n$ est donc convergente puisqu'elle est
de Cauchy dans $E$.

  \monitem Soit ${(\bpsi_n)}_n$ une autre suite de fonctions en escalier
qui converge uniformément vers $\vc f$ sur $\intf ab$. On considère la
suite ${(\bvc\rho_n)}_n$ définie par :
$$
\qqs p\in\N,\ \bvc\rho_{2p}=\bphi_p\text{ et }\bvc\rho_{2p+1}=\bpsi_p
$$
La suite ${(\bvc\rho_n)}_n$ converge uniformément vers $\vc f$ sur $\intf
ab$; la suite ${( {\intab}\bvc\rho_n)}_n)$ admet donc une limite dans
$E$ et les deux suites extraites ${( {\intab}\bphi_p)}_p$ et
${( {\intab}\bpsi_p)}_p$ admettent cette même limite.
\end{demprop}
\end{proof}
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\begin{Df}[Intégrale d'une fonction continue par morceaux]\alaligne

  Soient $\vc f$ une fonction continue par morceaux sur le segment $S=\intf
ab$ et ${(\bphi_n)}_n$ une suite de fonctions en escalier qui converge
uniformément vers $\vc f$ sur $\intf ab$; on appelle \emph{intégrale de} $\vc f$ la
limite de la suite ${( {\intab}\bphi_n)}_n$ et on la note 
$\int_S\vc f$, $\intab\vc f$ ou $\intab\vc f(t)\,\dt$.
\Reponse{
Si $\suite\bphi$ est une suite de fonctions en escalier qui converge
uniformément vers $f$ sur $\intf ab$,\\
$\dps\intab\vc f=\intab\vc f(t)\,\dt=\lim_n\intab\bphi_n
$}
\end{Df}

\begin{NBs}\alaligne

  Cette définition est compatible avec la précédente; si $\vc f$ est une
fonction en escalier, la suite constante égale à $\vc f$ converge
uniformément vers $\vc f$ sur $\intf ab$.

  Cette définition est aussi compatible avec celle de première année :
si $f$ est une fonction réelle, 
les fonctions en escalier majorante et minorante à $(n+1)^{-1}$ près
définissent une suite de fonctions en escalier qui converge uniformément
vers $f$ sur $\intf ab$.
\end{NBs}


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\subsection{Linéarité par rapport à la fonction}
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\begin{Prop}
  Si $\vc f$ et $\vc g$ sont deux fonctions continues par morceaux sur
$\intf ab$, et $\lambda$ et $\mu$ deux scalaires, on a :
$$
\intab(\lambda\vc f+\mu\vc g)=\lambda\intab\vc f+\mu\intab\vc g
$$
autrement dit, $\vc f\in\CMabE{E}\mapsto\intab\vc f$ est linéaire.
\end{Prop}

\begin{proof}
  Soit ${(\bphi_n)}_n$ (resp. ${(\bpsi_n)}_n$) une suite de fonctions en
escalier qui converge uniformément vers $\vc f$ (resp. $\vc g$); alors 
${(\lambda\bphi_n+\mu\bpsi_n)}_n$ est une suite de fonctions en escalier
qui converge uniformément vers $\lambda\vc f+\mu\vc g$ sur $\intf ab$,
et :
\begin{equation}
  \intab(\lambda\bphi_n+\mu\bpsi_n)
    =\lambda\intab\bphi_n+\mu\intab\bpsi_n          
    \tend\lambda\intab\vc f+\mu\intab\vc g
\end{equation}
\end{proof}



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\subsection{Intégrale de deux fonctions qui coïcident sauf sur une partie
finie d'un segment}
%--------------------------------------------------
\begin{Prop}
  Deux fonctions continues par morceaux qui coïcident  sur une
partie finie de $\intf ab$ ont des intégrales égales.
\end{Prop}

\begin{proof}
  Nommons-les $\vc f$ et $\vc g$; alors $\vc g-\vc f$ est nulle sauf sur
une partie finie de $\intf ab$, donc en escalier et :
\begin{equation}
  \vc 0=\intab(\vc g-\vc f)=\intab\vc g-\intab\vc f
\end{equation}
\end{proof}

  Si $\vc f$ est une fonction définie sur $\intf ab$ privé d'une
subdivision $\sigma=(a_k)_{0\leq k\leq n}$, et si, pour tout
$k\in\Intf1n$  la restriction de $\vc
f$ à chacun des intervalles ouverts $\into{a_{k-1}}{a_k}$ est
prolongeable par continuité sur $\intf{a_{k-1}}{a_k}$, on définit
l'intégrale de $\vc f$ par l'intégrale de l'un quelconque de ses
prolongements $\tilde{\vc f}$, qui est une fonction continue par
morceaux. Remarquez que $\tilde{\vc f}$ n'est pas,
en général, continue en $a_k$. 


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\subsection{Image de l'intégrale par une application linéaire}
%--------------------------------------------------
\begin{Prop}
  Soient $\vc f\in\CMabE$ et $\vc u$ une application linéaire de $E$
vers $F$; alors
$$
\vc u\Bigl(\intab\vc f\Bigr)=\intab\vc u\circ\vc f
$$
\end{Prop}

\begin{proof}
  La propriété est vraie pour les fonctions en escalier; un passage à la
limite donne le résultat pour les fonctions continues par morceaux.

  Soit ${(\bphi_n)}_n$ une suite de fonctions en
escalier qui converge uniformément vers~$\vc f$; $\vc u$,
application linéaire entre espaces vectoriels de dimension
finie, est continue et lipschitzienne;
${(\vc u\circ\bphi_n)}_n$ est une suite de fonctions en escalier
qui converge uniformément vers $\vc u\circ\vc f$ sur $\intf ab$ car 
\begin{gather*}
  \qqs t\in\intf ab,\
    \norme{\vc u\bigl(\bphi_n(t)\bigr)-\vc u\bigl(\vc f(t)\bigr)}_F
    \leq k_{\vc u}\norme{\bphi_n(t)-\vc f(t)}_E                         \\
  \et \sup_{t\in\intf ab}
    \norme{\vc u\bigl(\bphi_n(t)\bigr)-\vc u\bigl(\vc f(t)\bigr)}_F
    \leq k_{\vc u}\sup_{t\in\intf ab}\norme{\bphi_n(t)-\vc f(t)}_E\tend 0
\end{gather*}
Ainsi, $\intab\vc u\circ\bphi_n$ tend vers $\intab\vc u\circ\vc f$. La
continuité de $\vc u$ implique que $\vc u(\intab\bphi_n)$ tend vers
$\vc u(\intab\vc f)$. L'égalité pour tout $n\in\N$ de $\vc
u\bigl(\intab\bphi_n\bigr)$ avec $\intab\vc u\circ\bphi_n$ et
l'unicité de la limite donnent le résultat.
\end{proof}
%--------------------------------------------------

  Supposons $E$ muni d'une base $\mathcal{B}=(\vc e_1,\vc e_2,\dots,\vc
e_p)$; il est maintenant bien connu que toute application $\vc f$ se
décompose sur cette
base et on peut écrire pour tout $t\in\intf ab$ :
$\vc f(t)=\sum_{k=1}^pf_k(t)\vc e_k$. Dans ces
conditions, on a le :

\begin{Cor}[Intégrale et coordonnées]\alaligne

  $\vc f$ est continue par morceaux sur $\intf ab$ si, et seulement si, les composantes
$f_k$ le sont, et :
$$
\intab\vc f=\sum_{k=1}^p\Bigl(\intab f_k\Bigr)\vc e_k
$$
\end{Cor}

\begin{proof}
  On note $\vc e_k^*$ la forme linéaire qui, à un
vecteur de $E$, associe sa $k$\ieme composante relative à la
base $\mathcal{B}$. 
$\vc e_k^*$ est continue (car linéaire) et $f_k=\vc e_k^*\circ\vc f$
est continue par morceaux si $\vc f$ l'est. 
$\lambda\in\K\mapsto\lambda\vc v$ est continue (car linéaire) et $f_k\vc
e_k$ est continue par morceaux si $f_k$ l'est. L'équivalence annoncée
est démontrée.

  L'application du théorème précédent à $\vc e_k^*$ montre que $\vc
e_k^*(\intab\vc f)$, la composante de $\intab\vc f$ relative à $\vc e_k$,
vaut $\intab\vc e_k^*(\vc f)=\intab f_k$.
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{Cor}[Cas des fonctions complexes]\alaligne

  $f\in\CMabE{\C}$ si, et seulement si, $\RE(f)$ et $\IM(f)$
appartiennent à $\CMabE{\R}$ si, et seulement si,
$\conjug{f}\in\CMabE{\C}$ et :
\Reponse{$\dps
\RE\Bigl(\intab f\Bigr)=\intab\RE(f),\ {}
\IM\Bigl(\intab f\Bigr)=\intab\IM(f),\ {}
\intab\conjug{f}=\conjug{\intab f}
$}
\end{Cor}

\begin{proof}
  C'est un cas particulier du corollaire précédent.
\end{proof}
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\subsection{Inégalité de la moyenne}
%--------------------------------------------------
\begin{Df}[Valeur moyenne d'une fonction sur un segment]\alaligne

  Si $\vc f\in\CMabE{E}$, la \emph{valeur moyenne} de $\vc f$ sur $\intf
ab$ est le vecteur $\dsp\ra1{b-a}\intab\vc f$.
\end{Df}

\begin{Th}[Inégalité de la moyenne]\alaligne

  Si $\vc f$ est continue par morceaux, l'application
$\norme{\vc f} : t\mapsto\norme{\vc f(t)}$ est
continue par morceaux  et :
\Reponse{$\dps
\norme[\Big]{\intab\vc f} \leq \intab\norme{\vc f}
\leq(b-a)\sup_{t\in\intf ab}\norme{\vc f(t)}
$}
\end{Th}

\begin{proof}
  Soit ${(\bphi_n)}_n$ une suite de fonctions en escalier qui converge
uniformément vers $\vc f$ sur le segment $\intf ab$; alors la suite
${(\norme{\bphi_n})}_n$ converge uniformément vers $\norme{\vc f}$ sur
$\intf ab$, et ${(\sup_{t\in\intf ab}\norme{\bphi_n(t)})}_n$ converge vers
$\sup_{t\in\intf ab}\norme{\vc f(t)}$.

  Des inégalités :
$$
\norme[\Big]{\intab\bphi_n} \leq \intab\norme{\bphi_n}
\leq(b-a)\sup_{t\in\intf ab}\norme{\bphi_n(t)}
$$
on tire, par passage à la limite sur $n$ :
$$
\norme[\Big]{\intab\vc f} \leq \intab\norme{\vc f}
\leq(b-a)\sup_{t\in\intf ab}\norme{\vc f(t)}
$$
\end{proof}

%--------------------------------------------------
\subsection{Positivité et croissance de l'intégrale}\mbox{}
%--------------------------------------------------
  Dans tout ce paragraphe, les fonctions sont à valeurs réelles.
  
\begin{Th}[Positivité de l'intégrale]\alaligne

  Si $f$ est une fonction continue par morceaux à valeurs \emph{réelles
positives} sur $\intf ab$ (avec comme toujours $a<b$), l'intégrale de
$f$ sur $\intf ab$ est positive.
\Reponse{$\dsp
f\text{ continue par morceaux et }\qqs t\in\intf ab,\ f(t)\geq0
\implique\intab f\geq0
$}
\end{Th}

\begin{proof}
  Si $f$ est positive, $|f|=f$ et l'inégalité de la moyenne $\intab
f=\intab|f|\geq\abs{\intab f}\geq0$ donne le résultat.
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{Th}[Croissance de l'intégrale]\alaligne

  Si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues par morceaux à valeurs
réelles telles que $f$ soit plus petite que $g$, l'intégrale de $f$ est
plus petite que l'intégrale de $g$.
\Reponse{$\dsp
  (f,g)\in\CMabE{\R}^2\et\qqs t\in\intf ab,\ f(t)\leq g(t)
  \implique\intab f\leq\intab g
$}
\end{Th}

\begin{proof}
  $(g-f)$ est une fonction continue par morceaux et à valeurs réelles
positives; la positivité et la linéarité de l'intégrale donne le
résultat :
\begin{equation}
  0\leq\intab(g-f)=\intab g-\intab f
\end{equation}
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{Th}[Caractérisation des fonctions nulles]\alaligne

  Une fonction $f$ \emph{continue et à valeurs positives} sur un segment
$\intf ab$ est nulle si, et seulement si, son intégrale est nulle.
\Reponse{$
\dsp f\in\CabE{\R}\et\qqs t\in\intf ab,\ f(t)\geq0\qquad\intab f=0\iff f=0
$}
\end{Th}

\begin{proof}
  Seule la condition nécessaire nécessite une démonstration. Démontrons
la contraposée et prenons une fonction $f$ \emph{continue, positive et
non nulle} (\og non nulle\fg{} sigifie \og qui n'est pas la fonction
nulle\fg{}, ou enore \og non identiquement nulle\fg; ne pas confondre avec
une fonction qui ne s'annule pas).

  S'il existe $t_0\in\into ab$ tel que $f(t_0)>0$, il existe aussi
$\eta>0$ tel que pour tout $t\in\into{t_0-\eta}{t_0+\eta}$
on ait $t\in\into ab$ et $f(t)\geq\ra12f(t_0)$
(continuité de $f$ en $t_0$). On appelle
$\vphi$ la fonction en escalier qui vaut $\ra12 f(t_0)$ sur
$\into{t_0-\eta}{t_0+\eta}$ et qui est nulle en dehors.
Ainsi $f\geq\vphi$ et $\intab f\geq\intab\vphi=\eta\,f(t_0)>0$

  Sinon, pour tout $t\in\into ab$, $f(t)=0$ et, par continuité, $f=0$
sur $\intf ab$.
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{NBs}
  Une fonction $f$ continue par morceaux et à valeurs positives sur un
segment $\intf ab$ est d'integrale nulle si, et seulement si, $f$ est nulle sur $\intf
ab$ sauf en ses points de discontinuité qui sont en nombre fini.

  Une fonction $f$ continue morceaux, à valeurs positives sur un
segment $\intf ab$ et strictement positive en un point de continuité, a
une intégrale strictement positive sur $\intf ab$.
\end{NBs}


\begin{Th}[Inégalité de la moyenne, extension aux produits]\alaligne

  Soient $(E,\norme{\ }_E)$, $(F,\norme{\ }_F)$ et $(G,\norme{\ }_G)$ trois
$\K$-espaces vectoriels de dimension finie, $B$ une application
bilinéaire de $E\times F$ dans $G$, $k>0$ une constante telle que
$\norme{B(\vc x,\vc y)}_G\leq k\norme{\vc x}_E\norme{\vc y}_F$ pour tout
$(\vc x,\vc y)\in E\times F$; alors, pour toute application $\vc f$
(resp. $\vc g$) continue par morceaux sur $\intf ab$ et à valeurs dans
$E$ (resp. $F$), on a :
$$
\norme[\Big]{\intab B(\vc f,\vc g)}_G
  \leq k\sup_{t\in\intf ab}\norme{\vc f(t)}_E\intab\norme{\vc g}_F
$$
En particulier, si $(f,g)\in\CMabE{\R}^2$ et $g$ à valeurs \emph{positives},
on a :
$$
\inf_{t\in\intf ab}\{f(t)\}\intab g
\leq\intab fg\leq\sup_{t\in\intf ab}f(t)\intab g
$$
\end{Th}

\begin{proof}
  Rappelons que $B$ est une aplication continue ce qui montre que
$t\mapsto B\bigl(\vc f(t),\vc g(t)\bigr)$ est continue par morceaux. On
peut écrire les inégalités :
\begin{equation}
  \qqs t\in\intf ab,\
  \norme{B\bigl(\vc f(t),\vc g(t)\bigr)}_G\leq k\norme{\vc f(t)}_E\norme{\vc g(t)}_F
  \leq k\sup_{t\in\intf ab}\{\norme{\vc f(t)}_E\}\norme{\vc g(t)}_F 
\end{equation}
et la positivité de l'intégrale donne la relation.

  L'inégalité $\inf_{\intf ab}\{f(t)\}\leq f(t)\leq\sup_{t\in\intf
ab}\{f(t)\}$ donne, par multiplication par le nombre \emph{positif}
$g(t)$ :
\begin{equation}
  \qqs t\in \intf ab,\
  \inf_{\intf ab}\{f(t)\}\,g(t)\leq f(t)g(t)\leq\sup_{t\in\intf
    ab}\{f(t)\}\,g(t)
\end{equation}
et la positivité de l'intégrale donne la relation.
\end{proof}
%--------------------------------------------------



%--------------------------------------------------
\subsection{Additivité de l'intégrale par rapport à l'intervalle
  d'intégration}
%--------------------------------------------------

\begin{Prop}[Restriction de l'intervalle d'intégration]\alaligne

  Si $K$ est un segment contenu dans $\intf ab$ et $\chi_K$ la fonction
caractéristique de $K$, on a :
$$
\int_K\vc f=\intab\chi_K\vc f
$$
\end{Prop}

\begin{proof}
  Soient $\bphi$ est une fonction en escalier sur $\intf ab$,
$\sub{\bphi}$ une subdivision subordonnée qui contient les extrémités de
$K$ (sinon, on les ajoute); alors les fonctions $\bphi\big\rvert_K$ et
$\chi_K\bphi$ coïncident sur $K$ et les intégrales sont égales.
  L'égalité est donc vraie pour les fonctions en escalier.

  Soit ${(\bphi_n)}_n$ une suite de fonctions en escalier qui converge
uniformément vers $\vc f$; alors, la suite ${(\bphi_n\rvert_K)}_n$ (resp.
${(\bphi_n\chi_K)}_n$) convergent uniformément vers $\vc f\rvert_K$
(resp. $\chi_K\vc f$) sur $K$ (resp. $\intf ab$). Un passage à la limite
donne le résultat.
\end{proof}


%---------------------------------------------------------------------
\subsection{Notation $\int_a^b$}
%---------------------------------------------------------------------

  Retrouvons la notation habituelle de l'intégrale : $\int_a^b\vc f$
grâce à la :
\begin{Df}[Extension de la notation $\int_a^b\vc f$]\alaligne

  Soient $I$ un intervalle et $\vc f$ une fonction continue par morceaux
sur $I$; alors pour $(a,b)\in
I^2$, on pose :
\begin{equation*}
\int_a^b\vc f=
\begin{cases}
  \quad \intab\vc f           &\text{si $a<b$}      \\
  \quad-\int_{\intf ba}\vc f  &\text{si $b<a$}      \\
  \quad\vc 0                  &\text{si $a=b$}
\end{cases}
\end{equation*}
\end{Df}

  Avec cette nouvelle définition, on retrouve les propriétés fondamentales
de l'intégrale : relation de Chasles, linéarité par rapport à la
fonction et inégalité de la moyenne. Seule la positivité a besoin que
les bornes de l'intervalle d'intégration soient dans le \og bon sens\fg.

\begin{Th}[Relation de Chasles]\alaligne

  Si $\vc f$ est une fonction continue parmorceaux sur $I$ et $a$, $b$
et $c$ trois éléments de $I$, alors :
$$
\int_a^b\vc f + \int_b^c\vc f=\int_a^c\vc f
$$
\end{Th}

\begin{proof}
  Regardez les six cas possibles de placement de trois nombres $a$, $b$
et $c$ les uns par rapport aux autres.
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{Th}[Linéarité]\alaligne

  Si $a$ et $b$ sont deux points de $I$, l'application qui à $\vc
f\in\CMIE$ associe $\int_a^b\vc f$ est une application linéaire.
\end{Th}

\begin{proof}
  Envisagez les cas $a<b$, $a>b$ et $a=b$.
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{Th}[Inégalité de la moyenne]\alaligne

  Si $a$ et $b$ sont deux points de $I$ et $\vc f$ une fonction continue
par morceaux, on a :
\Reponse{$\dps
\norme[\Big]{\int_a^b \vc f}
\leq \abs[\Big]{\int_a^b \norme{\vc f}}
\leq \abs{b-a}\sup_{t\in\intf ab}\norme{\vc f(t)}
$}
\end{Th}

\begin{proof}
  Envisagez les cas $a<b$, $a>b$ et $a=b$.
\end{proof}
%--------------------------------------------------


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\section{Convergences en moyenne et en moyenne quadratique}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


  Les fonctions considérées sont définies sur le segment $\intf ab$ et à
valeurs dans $\C$; elles sont continues ou continues par morceaux sur
$\intf ab$. On note $\Cab$ (resp. $\CMab$) l'espace des fonctions
complexes continues (resp. continues par morceaux) sur le segment $\intf
ab$. Puisque $a<b$ les intégrales s'écriront indifféremment $\intab$ ou
$\int_a^b$.

%---------------------------------------------------------------------
\subsection{Norme de la convergence en moyenne sur $\Cab$}
%---------------------------------------------------------------------

\Reponse{$\dsp
\normu{f}=\intab\abs{f}=\int_{t=a}^b\abs{f(t)}\,\dt
$}

  $\normu{\ }$ est une norme sur $\Cab$; cette norme est appelée \emph{norme de
la convergence en moyenne} sur $\intf ab$.

%----------------------------------------------------------------------
\subsubsection*{Extension à $\CMab$}
%----------------------------------------------------------------------

  Imposons à toute fonction $f\in\CMab$ d'avoir la valeur 0 en tout point de 
discontinuité; cette convention conserve la valeur de
l'intégrale de $f$. Avec cette convention, $\int_a^b\abs{f}=0$ si, et seulement
si, $\abs{f(t)}=0$ en tout point de continuité de $f$ et donc en tout point de
$\intf ab$. Ainsi $\normu{\,}$ est encore une norme sur $\CMab$.


%---------------------------------------------------------------------
\subsection{Produit scalaire sur $\Cab$}
%---------------------------------------------------------------------
\begin{Df}
  Soient $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $\intf ab$; on pose :
\Reponse{$\dsp
\scal fg=\intab\conjug{f}g=\int_{t=a}^b\conjug{f(t)}g(t)\,\dt
$}
\end{Df}

\begin{Th}[Produit scalaire sur $\Cab$]\alaligne

  $\scal{\ }{\ }$ est un produit scalaire sur le $\K$-espace vectoriel
$\Cab$ des fonctions à valeurs dans $\K$ continues sur le segment $\intf ab$.
\end{Th}

\begin{proof}
  Linéarité à droite, symétrie (éventuellement hermitienne) et positivité sont
évidentes; $0=\scal ff=\int_a^b\abs{f}^2$ implique $\abs{f}=0$ puisque $f$ est
continue. 
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

%----------------------------------------------------------------------
\subsubsection*{Extension aux fonctions continues par morceaux}
%----------------------------------------------------------------------
  En utilisant toujours la même convention, on donne la valeur 0 en tout point
de discontinuité de la fonction, $\scal{\ }{\ }$ reste un produit scalaire sur
$\CMab$, $0=\scal ff=\int_I\abs{f}^2$ implique $\abs{f(t)}=0$ en tout
point de continuité de $f$ donc en tout point de $I$.


%---------------------------------------------------------------------
\subsection{Norme de la convergence en moyenne quadratique}
%---------------------------------------------------------------------

\Reponse{$\dsp
\normd{f}=\sqrt{\scal ff}=\sqrt{\intab\abs{f}^2}
=\sqrt{\int_a^b\abs{f(t)}^2\,\dt}
$}

  $\normd{\ }$ est une norme sur $\Cab$; cette norme est appelée \emph{norme de
la convergence en moyenne quadratique} sur $\intf ab$; c'est la norme associée
au produit scalaire.

  Avec la convention de nullité de la fonction en tous ses points de
discontinuité, $\normd{\ }$ est une norme sur $\CMab$.

\begin{Th}[Inégalité de Cauchy-Schwarz]\alaligne

  Si $f$ et $g$ sont continues par morceaux sur $\intf ab$, on a
\Reponse{$\dps
\abs{\scal fg}=\abs[\Big]{\int_a^b\conjug{f}g}\leq\normd{f}\,\normd{g}=
\sqrt{\int_a^b\abs{f}^2}\sqrt{\int_a^b\abs{g}^2}
$}
L'inégalité de Cauchy-Schwarz est une égalité si, et seulement si, $f$ et $g$
sont liées, \ie{} proportionnelles.
\end{Th}

\begin{proof}
  On retrouve l'inégalité de Cauchy-Schwarz déjà démontrée dans le cas général
d'un produit scalaire réel ou hermitien complexe.
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{Prop}[Comparaison des normes $\normu{\ }$, $\normd{\ }$ et
$\normi{\ }$]\alaligne

  Si $f$ est continue par morceaux sur $\intf ab$, on a :
$$
\normd{f}\leq\sqrt{b-a}\normi{f},\qquad
\normu{f}\leq\sqrt{b-a}\normd{f}
$$
\end{Prop}

\begin{proof}\alaligne\\
  $\normd{f}^2=\int_a^b\abs{f}^2\leq(b-a)\sup_{t\in\intf ab}\abs{f(t)}^2
    =(b-a)\normi{f}^2$          \\
  $\normu{f}=\int_a^b 1\cdot\abs{f}=\scal1{\abs f}\leq\normd 1\normd f
    =\sqrt{b-a}\normd{f}$
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Intégration des suites de fonctions continues}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  Un petit paragraphe d'une grande importance pratique; nous obtiendrons
des conditions suffisantes pour permettre la permutation des signes
$\lim$ et $\int$ et des signes $\sum$ et $\int$.


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\subsection{Convergence uniforme et convergence en moyenne}
%---------------------------------------------------------------------
\begin{Th}[Convergence uniforme et convergence en moyenne]\alaligne

  Si $(f_n)_n$ est une suite de fonctions continues qui converge
uniformément vers $f$ sur~$\intf ab$, la suite $(f_n)_n$ converge en
moyenne vers $f$ et :
\Reponse{$\dsp
\lim_n\intab f_n=\intab f=\intab\lim_n f_n
$}
\end{Th}

\begin{proof}
  Puisque les fonctions $f_n$ sont continues sur $\intf ab$ et que la
suite $(f_n)_n$ converge uniformément, $f$ est continue et :
\begin{equation}
  \Bigl|\int_a^b f_n-\int_a^b f\Bigr|\leq\int_a^b\abs{f_n-f}=\normu{f_n-f}
  \leq(b-a)\normi{f_n-f}\tend0
\end{equation}
ce qui montre que $\int_a^b f_n$ tend vers $\int_a^b f$ et que la
convergence uniforme sur $\intf ab$ implique la
convergence en moyenne.
\end{proof}

%---------------------------------------------------------------------
\subsection{Intégration terme à terme d'une série de fonctions continues}
%---------------------------------------------------------------------

\begin{Th}
  Si $(u_n)_n$ est une suite de fonctions continues et si la série $\sum
u_n$ converge uniformément sur $\intf ab$, la série des intégrales
$\sum\intab u_n$ est convergente et :
\Reponse{$\dsp
\intab\sum_{n=0}^\infty u_n=\sum_{n=0}^\infty \intab u_n
$}
\end{Th}

\begin{proof}
  Appelons $(S_n)_n$ la suite des sommes partielles; c'est une suite de
fonctions continues  (les $u_n$ le sont) qui converge uniformément sur
$\intf ab$ vers la somme $s$ de la série $\sum u_n$.
D'aprés le théorème précédent, on a 
\begin{equation}
  \int_a^b S_n=\sum_{k=0}^n\int_a^b u_k\tend \int_a^b
  S=\int_a^b\sum_{n\geq0}u_n 
\end{equation}
ce qui montre que $\sum\int_a^b u_n$ est une série convergente dont la
somme est $\int_a^b\sum_{n\geq0}u_n$.
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{Th}[Cas de la convergence normale]\alaligne

  Si $(u_n)_n$ est une suite de fonctions continues et si la série $\sum
u_n$ converge normalement sur $\intf ab$, la série des intégrales
$\sum\intab\abs{u_n}$ est convergente et :
\Reponse{$\dsp
\normeun[\Big]{\sum_{n=0}^\infty u_n}
  =\intab \abs[\Big]{\sum_{n=0}^\infty u_n}
  \leq\sum_{n=0}^\infty \intab \abs{u_n}=\sum_{n=0}^\infty \normu{u_n}
$}
\end{Th}

\begin{proof}
  Si la convergence est normale sur $\intf ab$, elle est absolue et
uniforme, et :
\begin{equation}
\abs[\Big]{\sum_{n=0}^\infty  u_n(t)} \leq \sum_{n=0}^\infty \abs{u_n(t)}
  \leq \sum_{n=0}^\infty \normi{u_n}\et                                     
\normu{u_n}=\int_a^b\abs{u_n}\leq(b-a)\normi{u_n}
\end{equation}
ce qui montre la convergence de $\sum\intab\abs{u_n}$ et l'inégalité
annoncée.
\end{proof}
%--------------------------------------------------

%---------------------------------------------------------------------
\subsection{Convergence simple et convergence en moyenne}
%---------------------------------------------------------------------
  Peut-on affaiblir la condition de convergence uniforme pour passer à
la limite à travers in signe $\intab$? Oui, c'est l'objet du 

\begin{Th}[de convergence dominée]\alaligne

  Si $\suite f$ est une suite de fonctions continues par morceaux sur $\intf ab$ et à
valeurs réelles ou complexes telle que
\begin{itemize}
  \item la suite $\suite f$ converge simplement sur $\intf ab$ vers une fonction $f$
continue par morceaux;
  \item il existe une fonction continue par morceaux $\vphi$ à valeurs réelles
positives telle que :
$$
\qqs(n,t)\in\N\times I,\ \abs{f_n(t)}\leq\vphi(t)
\qquad\text{ (hypothèse de domination)}
$$
\end{itemize}
alors
$$
\int_a^b f=\int_a^b\lim_n f_n=\lim_n\int_a^b f_n
$$
\end{Th}

\begin{proof}
La démonstration est admise.  
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{NB}
  Puisque toute fonction en escalier sur un segment est bornée sur ce segment,
on peut remplacer la fonction $\vphi$ du théorème de convergence dominée par une
(fonction) constante, indépendante de $t\in\intf ab$ et $n\in\N$.
\end{NB}

\begin{Ex}
  $\dps\lim_n\int_0^{\ra\pi2}\sin^n t\,\dt=\int_0^{\ra\pi2}\chi_{\{\ra\pi2\}}=0$\\
car $\qqs(n,t)$, $\abs{\sin^n t}\leq1$ et $\qqs t\in\intfo0{\ra\pi2}$, 
$\lim_n\sin^n t=0$.
\end{Ex}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Primitives et intégrale d'une fonction continue}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  \'Etendre aux fonctions à valeurs vectorielles le théorème fondamental
du calcul intégral : l'intégrale d'une fonction est l'accroissement de
l'une de ses primitives; voilà le but de cette section.

  $I$ est un intervalle de $\R$ et les fonctions considérées sont des
fonctions continues par morceaux sur $I$ et à valeurs dans $E$, un
$\K$-espace vectoriel normé de dimension finie.

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\subsection{Primitive d'une fonction continue}
%---------------------------------------------------------------------
  La primitivation est l'opération inverse de la dérivation, ce qui
donne la
\begin{Df}[Primitive d'une fonction continue]\alaligne

  Soient $I$ un intervalle et $\vc f$ une fonction \emph{continue} sur
$I$; on appelle \emph{primitive de $\vc f$ sur $I$} toute application
$\vc F$ de classe $\mcal{C}^1$ sur $I$ telle que :
$$
\qqs t\in I,\ \vc F'(t)=\vc f(t)
$$
\end{Df}
%
On étend cette définition aux fonctions continues par morceaux :

\begin{Df}[Primitive d'une fonction continue par morceaux]\alaligne

  Soient $I$ un intervalle et $\vc f$ une fonction \emph{continue par
morceaux} sur 
$I$; on appelle \emph{primitive de $\vc f$ sur $I$} toute application
$\vc F$ \emph{continue} et de classe $\mcal{C}^1$ par morceaux sur $I$ telle
qu'en tout point de continuité de $\vc f$, on ait :
$\vc F'(t)=\vc f(t)$  
\end{Df}

\begin{Th}[Unicité]\alaligne

  Deux primitives sur un \emph{intervalle} d'une même fonction continue par
morceaux sont égales à une constante (additive) près.
\end{Th}

\begin{proof}
Soient $\vc F_1$ et $\vc F_2$ deux primitives de $\vc f$ sur $I$.

  Si $\vc f$ est continue sur $I$, pout tout $t\in I$ $(\vc F_1-\vc
F_2)'(t)=\vc F_1'(t)-\vc F_2'(t)=0$, ce qui montre que $\vc F_1-\vc F_2$
est constante sur \emph{l'intervalle} $I$.

  Si $\vc f$ est continue par morceaux sur $I$, $\vc F_1-\vc F_2$ est
\emph{continue} et de classe $\mcal{C}^1$ par morceaux sur $I$. En tout point
de continuité de $\vc f$, $\vc F_1-\vc F_2$ a une dérivée nulle, donc
est constante.  
\end{proof}
%--------------------------------------------------
  C'est le moment de réviser son tableau de primitives classiques.

%---------------------------------------------------------------------
\subsection{Théorème fondamental du calcul intégral}
%---------------------------------------------------------------------
\begin{Lem}
  Si $\vc f$ est une fonction continue par morceaux qui admet $\vc v$
pour limite
à droite en un point $t_0\in I$, la fonction réelle $g$ qui à $h>0$
associe $\sup\ens{\norme{\vc f(u)}}{u\in\intf{t_0}{t_0+h}}$ admet
$\norme{\vc v}$ pour limite à droite en $0$.
\end{Lem}

\begin{proof}
  Pour $\eps>0$ donné, il existe $\eta>0$ tel que :
\begin{equation}
  u\in\intf{t_0}{t_0+\eta}\implique \norme{\vc f(u)-\vc v}<\eps
\end{equation}
En utilisant l'inégalité de Minkowski :
$\abs[\big]{\norme{\vc f(u)}-\norme{\vc v}} \leq
\norme{\vc f(u)-\vc v}$, on obtient :
\begin{gather*}
  u\in\intf{t_0}{t_0+\eta}\implique
    \norme{\vc v}-\eps<\norme{\vc f(u)}<\norme{\vc v}+\eps                \\
  \et\qqs h>0,\ h\leq\eta\implique
    \norme{\vc v}-\eps\leq \sup\ens{\norme{\vc f(u)}}{u\in\intf{t_0}{t_0+h}}
    \leq\norme{\vc v}+\eps                    
\end{gather*}
et $g$ admet $\norme{\vc v}$ pour limite à droite en $0$.
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------


\begin{Lem}
  Soient $\vc f$ une fonction continue par morceaux sur un intervalle
$I$, $a$ un point de $I$ et $\vc F : t\mapsto\int_{u=a}^t\vc f(u)\,\dt[u]$; alors 
\begin{prop}
  \item $\vc F$ est continue sur $I$;
  \item si $\vc f$ admet une limite à droite en $t_0$ notée $\vc f(t_0+)$,
$\vc F$ admet une dérivée à droite en $t_0$ et $\vc F_d'(t_0)=\vc
f(t_0+)$;
  \item si $\vc f$ admet une limite à gauche en $t_0$ notée $\vc f(t_0-)$,
$\vc F$ admet une dérivée à gauche en $t_0$ et $\vc F_g'(t_0)=\vc
f(t_0-)$.
\end{prop}
\end{Lem}

\begin{proof}\alaligne

  \begin{demprop}
    \monitem La continuité sur $I$ équivaut à la continuité
sur tout segment de $I$. Soient $S$ un segment de $I$ et
$M_S=\sup\ens{\norme{\vc f(t)}}{t\in S}$ ( une fonction continue par
morceaux est bornée sur un segment); alors, pour $t_1$ et $t_2$ dans
$S$, on obtient :
\begin{equation}
  \norme{\vc F(t_1)-\vc F(t_2)}=
  \norme[\Big]{\int_{u=t_1}^{t_2} \vc f(u)\,\dt[u]} \leq
  \abs[\Big]{\int_{u=t_1}^{t_2} \norme{\vc f(u)}\,\dt[u]} \leq
  \abs{t_2-t_1}M_S
\end{equation}
et $\vc F$ est lipschitzienne sur $S$ (de rapport $M_S$), donc continue
sur $S$.

  \monitem Soit $h>0$; utilisons le taux d'accroissement de $\vc F$ :
\begin{equation}
\begin{split}
  \norme[\Big]{\ra1h\bigl(\vc F(t_0+h)
    &-\vc F(t_0)\bigr)-\vc f(t_0+)}
      =\ra1h \norme[\Big]{\int_{u=t_0}^{t_0+h}\vc f(u)\,\dt[u] - \vc f(t_0+)} \\
    &=\ra1h \norme[\Big]{\int_{u=t_0}^{t_0+h}
      \bigl( \vc f(u)-\vc f(t_0+)\bigr)\,\dt[u]}                      \\
    &\leq
      \sup\ens{\norme{\vc f(u)-\vc f(t_0+)}}{u\in\intf{t_0}{t_0+h}}
      \tend[\substack{h\to0 \\ h>0}] 0
\end{split}
\end{equation}
Ainsi,
$\dsp
\lim_{\substack{h\to0 \\ h>0}} h^{-1}\bigl(\vc F(t_0+h)-\vc F(t_0)\bigr)
=\vc f(t_0+)$, \ie{} $\vc F$  est dérivable à droite en $t_0$ et $\vc
F'_d(t_0)=\vc f(t_0+)$.
  \monitem Démonstration analogue.
  \end{demprop}
\end{proof}
%--------------------------------------------------

  On peut maintenant donner les propriétés de
$\vc F : t\in I\mapsto\int_{u=a}^t\vc f(u)\,\dt[u]$ :

\begin{Th}[Intégrale dépendant de sa borne supérieure]\alaligne

  Soient $\vc f$ une fonction définie sur un intervalle $I$, $a$ un
point de $I$  et $\vc F$
l'application qui à $t$ associe $\int_{u=a}^t\vc f(u)\,\dt[u]$;
\begin{prop}
  \item si $\vc f$ est continue sur $I$, $\vc F$ est de classe $\mcal{C}^1$
sur $I$ et $\vc F'=\vc f$;
  \item si $\vc f$ est continue par morceaux sur $I$, $\vc F$ est
continue et de classe $\mcal{C}^1$ par morceaux sur $I$ et $\D\vc F=\vc f$.
\end{prop}
\end{Th}

\begin{proof}\alaligne

\begin{demprop}
  \monitem Le lemme montre qu'en tout point $t_0$ de $I$, $\vc F$ admet
une dérivée à
droite et une dérivée à gauche égales à $\vc f(t_0)$; $\vc F$ est donc
dérivable sur $I$ et sa dérivée $\vc F'=\vc f$ est continue.

  \monitem Le lemme montre que $\vc F$ est continue sur $I$.
Soit $S=\intf cd$ un segment de $I$ tel que $\vc f$ soit
continue sur l'intérieur $\into cd$ de $S$ et prolongeable en une
fonction continue $\tilde{\vc f}_S$ sur $S$; $\vc F\bigr|_S$ est
donc de classe $\mcal{C}^1$ sur l'intérieur de $S$, admet une dérivée à droite
en $c$ égale à $\tilde{\vc f}_S(c)$ et une dérivée à gauche en $d$
égale à $\tilde{\vc f}_S(d)$ et la restriction de $\vc F$ à
l'intérieur de $S$ se prolonge en une fonction de classe $\mcal{C}^1$ sur $S$.
$\vc F$ est donc une fonction de classe $\mcal{C}^1$ par morceaux sur $I$ dont
la dérivée est égale à $\vc f$ en tout point où elle existe, \ie{}
$\D\vc F=\vc f$.
\end{demprop}
\end{proof}
%--------------------------------------------------


\begin{Th}[Primitives et intégrale]\alaligne

  Si $\vc f$ est une fonction continue (resp. continue par morceaux) sur
$I$ et $a$ un point de $I$,
\begin{prop}
  \item $\vc F : t\in I\mapsto\int_{u=a}^t\vc f(u)\,\dt[u]$ est l'unique
primitive de $\vc f$ sur $I$ nulle en $a$;
  \item pour toute primitive $\vc h$ de $\vc f$ sur $I$ et tout
$(a,b)\in I^2$, on a
$$
\int_a^b\vc f(u)\,\dt[u]=\vc h(b)-\vc h(a)
$$
\end{prop}
\end{Th}

\begin{proof}\alaligne

\begin{demprop}
  \monitem $\vc F$ est une primitive de $\vc f$; si $\vc F_1$ est une
autre primitive de $\vc f$ nulle en $a$, $\vc F-\vc F_1$ est nulle en
$a$, constante sur $I$, donc nulle sur $I$.

  \monitem $t\mapsto \vc h(t)-\vc h(a)$ est une primitive de $\vc f$
sur $I$ nulle en $a$, donc égale à $\vc F$.
\end{demprop}
\end{proof}
%--------------------------------------------------



%---------------------------------------------------------------------
\subsection{Applications}
%---------------------------------------------------------------------
%--------------------------------------------------
\subsubsection{Accroissement et intégrale}
%--------------------------------------------------

  Si $\vc f$ est une fonction de classe $\mcal{C}^1$ sur $I$, $\vc f$ est une
primitive de la fonction continue $\vc f'$. De même, si $\vc f$ est une
fonction \emph{continue} de classe $\mcal{C}^1$ par morceaux sur $I$, $\vc f$
est toujours une primitive de la fonction $\D\vc f$ continue par
morceaux sur $I$. On a donc le
\begin{Th}
  Si $\vc f$ est de classe $\mcal{C}^1$ (resp. continue et de classe $\mcal{C}^1$
par morceaux) sur $I$, on a :
\Reponse{$\dsp
\qqs(a,b)\in I^2,\ \vc f(b)-\vc f(a)=\int_{t=a}^b\vc f'(t)\,\dt
$}
\end{Th}



%--------------------------------------------------
\subsubsection{Primitives $T$-périodiques d'une fonction $T$-périodique}
%--------------------------------------------------
À quelles conditions les primitives d'une fonction $T$-périodique
sont-elles $T$-périodiques? La proposition suivante répond à cette
question.

\begin{Prop}
  Si $\vc f$ est une fonction continue (resp. continue par morceaux) sur
$\R$ et de période $T$, les propositions suivantes sont équivalentes :
\begin{prop}
  \item toutes les primitives de $\vc f$ sont périodiques;
  \item $\vc F : t\in I\mapsto\int_{u=a}^t\vc f(u)\,\dt[u]$ est $T$-périodique;
  \item $\int_{u=0}^T\vc f(u)\,\dt[u]=\vc 0$.
\end{prop}
\end{Prop}

\begin{proof}\alaligne\\
$i.\implique ii.$ $\vc F$ est une primitive particulière.\\
$ii.\implique iii.$ $\vc F(T)=\vc F(0)$, \ie{} $\int_{\intf0T}\vc f=\vc 0$.\\
$iii.\implique i.$ Soit $\vc h$ une primitive de $\vc f$; posons $\vc H(t)=\vc
h(t+T)-\vc h(t)$; $\vc H$ est une fonction de classe $\mcal{C}^1$ (resp.
continue et de classe $\mcal{C}^1$ par morceaux) sur $\R$, et :
\begin{equation}\label{e\DP period}
  \vc H'(t)=\vc h'(t+T)-\vc h'(t)=\vc f(t+T)-\vc f(t)=\vc 0
\end{equation}
pour tout $t\in\R$ (resp. en tout point de continuité de $\vc f$); ceci
implique que $\vc H$ est une fonction constante égale à $\vc H(0)=\vc
h(T)-\vc h(0)=\int_{\intf0T}\vc f=\vc 0$. Ainsi $\vc H$ est la fonction
nulle et $\vc h$ est périodique de période $T$. 
\end{proof}

\begin{Prop}[Intégrale d'une fonction périodique sur une période]\alaligne

  L'intégrale d'une fonction continue (resp. continue par morceaux) et
périodique sur $\R$ est indépendante de la période choisie.

  En particulier, si $\vc f$ est $T$-périodique, on a les relations :
\Reponse{$\dsp
\qqs(a,b)\in\R^2,\ \int_a^{a+T}\vc f=\int_b^{b+T}\vc f\quad\et\quad
\int_a^b\vc f=\int_{a+T}^{b+T}\vc f
$}
\end{Prop}

\begin{proof}
  Soit $\vc h$ une primitive de $\vc f$ sur $\R$ et posons
$\vc H(t)=\int_{u=t}^{t+T}\vc f(u)\,\dt[u]=\vc h(t+T)-\vc h(t)$;
la relation \eqref{e\DP period} montre $\vc H$ est une fonction
constante et donc $\vc H(a)=\vc H(b)$.

Par application de la relation de Chasles, on obtient :
\begin{equation}
  \int_{a+T}^{b+T}\vc f=-\int_a^{a+T}\vc f+\int_a^b\vc f+\int_b^{b+T}\vc f
  =\int_a^b\vc f
\end{equation}
\end{proof}



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\section{Calcul intégral}
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\subsection{Formule d'intégration par parties}
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\begin{Th}[Cas des fonctions de classe $\mcal{C}^1$]\alaligne

  Si $\vc f$ est une fonction vectorielle et $\vphi$ une fonction
numérique  de classe $\mcal{C}^1$ sur $I$, on
a pour tout $a$ et $b$ dans $I$ :
\Reponse{$\dsp
\int_{t=a}^b \vphi(t)\vc f'(t)\,\dt=
\vphi(b)\vc f(b)-\vphi(a)\vc f(a)-\int_{t=a}^b \vphi'(t)\vc f(t)\,\dt
$}
\Reponse{$\dsp
\int_{t=a}^b \vphi'(t)\vc f(t)\,\dt=
\vphi(b)\vc f(b)-\vphi(a)\vc f(a)-\int_{t=a}^b \vphi(t)\vc f'(t)\,\dt
$}
\end{Th}

\begin{proof}
  De $(\vphi\,\vc f)'=\vphi\,\vc f'+\vphi'\vc f$, on tire
$\vphi\,\vc f'=(\vphi\,\vc f)'-\vphi'\vc f$, ce qui donne le résultat
par intégration. La démonstration est analogue pour la seconde formule.
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{Th}[Cas des fonctions continues et $\mcal{C}^1$ par morceaux]\alaligne

  La formule d'intégration par parties est encore valable pour
les fonctions \emph{continues} et de classe $\mcal{C}^1$ par
morceaux sur $I$.
\end{Th}

\begin{proof}
  $\vc f\vphi$ est une fonction continue et $\mcal{C}^1$ par morceaux sur $I$;
en dehors d'une 
partie finie du segment $S$ d'extrémités $a$ et $b$, on peut écrire : 
$$
(\vphi\,\vc f)'(t)=\vphi(t)\vc f'(t)+\vphi'(t)\vc f(t)\et
\vphi(t)\vc f'(t)=(\vphi\,\vc f)'(t)-\vphi'(t)\vc f(t)
$$
ce qui donne le résultat par intégration. On a une formule analogue pour
l'intégration par parties de $\int_{t=a}^b\vphi'(t)\vc f(t)\,\dt$.
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{Prop}[Formule d'intégration par parties itérée]\alaligne

  Si $\vc f$ est une fonction vectorielle et $\vphi$ une fonction numérique de
classe $\mcal{C}^k$ (resp.
de classe $\mcal{C}^{k-1}$ et de classe $\mcal{C}^{k}$ par morceaux) sur $I$, on a
pour tout $a$ et $b$ dans $I$ :
$$
\int_a^b \vphi\,\vc f^{(k)}=
\biggl[\sum_{p=0}^{k-1} (-1)^p \vphi^{(p)}(t)\vc f^{(k-1-p)}(t)\biggr]_{t=a}^{t=b}
+(-1)^k\int_a^b \vphi^{(k)}\vc f
$$
\end{Prop}

\begin{proof}
  Démonstration par récurrence sur $k$.\\
  Le cas $k=1$ est la formule habituelle d'intégration par parties.\\
  La propriété est hériditaire grâce au calcul suivant :
\begin{multline*}
  \int_a^b \vphi\,\vc f^{(k+1)}
    =\vphi(t)\vc f^{(k)}(t)\Bigr]_{t=a}^{t=b}-\int_a^b \vphi'\vc f^{(k)}      \\
    =\vphi(t)\vc f^{(k)}(t)\Bigr]_{t=a}^{t=b}-
      \Bigl[\sum_{p=0}^{k-1}(-1)^p {\vphi'}^{(p)}(t)\vc f^{(k-1-p)}(t)\Bigr]_{t=a}^{t=b}
      -(-1)^k\int_a^b {\vphi'}^{(k)}\vc f                                     \\
    =\Bigl[\vphi(t)\vc f^{(k)}(t)+
        \sum_{p=0}^{k-1}
        (-1)^{p+1} \vphi^{(p+1)}(t)\vc f^{\bigl(k-(p+1)\bigr)}(t)
        \Big]_{t=a}^{t=b}
      +(-1)^{k+1}\int_a^b \vphi^{(k+1)}\vc f                                  \\
    =\Bigl[\vphi(t)\vc f^{(k)}(t)+
        \sum_{q=1}^{k}
        (-1)^{q} \vphi^{(q)}(t)\vc f^{(k-q)}(t)
        \Bigr]_{t=a}^{t=b}
      +(-1)^{k+1}\int_a^b \vphi^{(k+1)}\vc f
\end{multline*}
\end{proof}




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\subsection{Changement de variable}
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\subsubsection{Cas des fonctions continues}
%--------------------------------------------------

\begin{Th}[Formule de changement de variable]\alaligne

  Si $\vc f$ est une fonction continue sur $I$ à valeurs dans $E$ et
$\vphi$ une fonction de classe $\mcal{C}^1$ sur $\intf\alpha\beta$ à valeurs
dans $I$, on a :
\Reponse{$\dsp
\int_{t=\vphi(\alpha)}^{\vphi(\beta)}\vc f(t)\,\dt=
\int_{u=\alpha}^\beta \vc f\bigl(\vphi(u)\bigr)\vphi'(u)\,\dt[u]
$}
\end{Th}

\begin{proof}
  Soit $\vc F$ une primitive de $\vc f$ (continue) sur $I$; $\vc F$ est
$\mcal{C}^1$ sur $I$, $\vc F\circ\vphi$ est $\mcal{C}^1$ sur $\intf\alpha\beta$
par composition et $(\vc F\circ\vphi)'=\vc F'\circ\vphi\,\vphi'=\vc
f\circ\vphi\,\vphi'$, ce qui montre que $\vc F\circ\vphi$ est une
primitive de $\vc f\circ\vphi\,\vphi'$.
  Ainsi :
\begin{equation}
  \int_{u=\alpha}^\beta \vc f\bigl(\vphi(u)\bigr)\vphi'(u)\,\dt[u]=
  \vc F\circ\vphi(u)\Big]_{u=\alpha}^{u=\beta}=
  \vc F\bigl(\vphi(\alpha)\bigr)-\vc F\bigl(\vphi(\beta)\bigr)=
  \int_{t=\vphi(\alpha)}^{\vphi(\beta)}\vc f(t)\,\dt
\end{equation}
\end{proof}
%--------------------------------------------------

%--------------------------------------------------
\subsubsection{Cas des fonctions continues par morceaux}
%--------------------------------------------------


\begin{Th}[Cas des fonctions continues par morceaux]\alaligne

  Si $\vc f$ est une fonction continue par morceaux sur $I$
à valeurs dans $E$ et $\vphi$ une
fonction de classe $\mcal{C}^1$ sur $\intf\alpha\beta$ à valeurs dans $I$ et
strictement monotone, on a :
\Reponse{$\dsp
\int_{t=\vphi(\alpha)}^{\vphi(\beta)}\vc f(t)\,\dt=
\int_{u=\alpha}^\beta \vc f\bigl(\vphi(u)\bigr)\vphi'(u)\,\dt[u]
$}
\end{Th}

\begin{proof}
  Soit $\vc F$ une primitive de $\vc f$ (continue par morceaux) sur $I$; $\vc F$ est
continue et $\mcal{C}^1$ par morceaux sur $I$, donc de classe $\mcal{C}^1$ sur le
segment $\intf{\vphi(\alpha)}{\vphi(\beta)}$ privé d'une partie finie $\sigma$;
$\vc F\circ\vphi$ est donc continue sur $\intf\alpha\beta$ et de classe
$\mcal{C}^1$ en dehors de la partie finie $\vphi^{<-1>}(\sigma)$ (la partie
est finie puisque $\vphi$ est strictement monotone) et en dehors de
cette partie finie, 
 $(\vc F\circ\vphi)'=\vc F'\circ\vphi\,\vphi'=\vc
f\circ\vphi\,\vphi'$, ce qui montre que $\vc F\circ\vphi$ est une
primitive de $\vc f\circ\vphi\,\vphi'$, et\dots
  Ainsi :
\begin{equation*}
  \int_{u=\alpha}^\beta \vc f\bigl(\vphi(u)\bigr)\vphi'(u)\,\dt[u]=
  \vc F\circ\vphi(u)\Big]_{u=\alpha}^{u=\beta}=
  \vc F\bigl(\vphi(\alpha)\bigr)-\vc F\bigl(\vphi(\beta)\bigr)=
  \int_{t=\vphi(\alpha)}^{\vphi(\beta)}\vc f(t)\,\dt
\end{equation*}
\end{proof}
%--------------------------------------------------

%--------------------------------------------------
\subsubsection{En pratique}\alaligne
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  S'il s'agit de calculer une intégrale de la forme $\int_{u=\alpha}^\beta
\vc f\bigl(\vphi(u)\bigr)\vphi'(u)\,\dt[u]$, posez $t=\vphi(u)$,
calculez formellement la différentielle $\dt=\vphi'(u)\,\dt[u]$, remplacez
les bornes par $\vphi(\alpha)$ et $\vphi(\beta)$ et servez chaud!

  S'il s'agit de transformer l'intégrale $\int_{t=a}^b\vc f(t)\,\dt$ à l'aide
d'une fonction strictement monotone $\vphi$, posez $t=\vphi(u)$,
calculez la différentielle $\dt=\vphi'(u)\,\dt[u]$ et remplacez les bornes
$a$ et $b$ par $\vphi^{-1}(a)$ et $\vphi^{-1}(b)$.

  Voilà la grande force des notations de Leibniz qui ont permis
l'essor du calcul différentiel et intégral vers la fin du XVII\ieme{}
siècle. 


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\subsubsection{Applications}\alaligne
%--------------------------------------------------

  Si $\vc f$ est continue par morceaux sur le segment $\intf{-a}a$ avec
$a>0$,
\Reponse{$\dsp
\int_{t=-a}^a \vc f(t)\,\dt=\int_{u=0}^a\bigl(\vc f(u)+\vc f(-u)\bigr)\,\dt[u]=
\begin{cases}
  2\int_{u=0}^a\vc f(u)\,\dt[u]   & \text{si $\vc f$ est paire}               \\
  \vc 0                   & \text{si $\vc f$ est impaire}
\end{cases}
$}

  Si $\vc f$ est continue par morceaux sur le segment $\intf ab$,
en utilisant le changement de variable
$t=a+(b-a)u$ ou $t=\ra{b+a}2 +\ra{b-a}2 v$,
\Reponse{$\dsp
\int_{t=a}^b\vc f(t)\,\dt=(b-a)\int_{u=0}^1 \vc f\bigl(a+(b-a)u\bigr)\,\dt[u]
=\ra{b-a}2 \int_{v=-1}^1 \vc f\biggl(\ra{b+a}2 + \ra{b-a}2 v\biggr)\,\dt[v]
$}



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\section{Accroissements finis}
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\subsection{Cas des fonctions réelles}
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Quelques rappels de première année concernant les fonctions réelles.

\begin{Th}[Théorème de Rolle]\alaligne

  Si $f$ est une fonction à valeurs \emph{réelles}, continue sur le
segment $\intf ab$, dérivable sur l'intervalle ouvert $\into ab$ et
telle que $f(a)=f(b)$, il existe $c\in\into ab$ avec
$$
f'(c)=0
$$
\end{Th}

\begin{Th}[Théorème de Rolle, généralisation]\alaligne

  Si $f$ est une fonction à valeurs \emph{réelles}, continue sur
l'intervalle $\intf a{+\infty}$, dérivable sur l'intervalle
ouvert $\into a{+\infty}$ et
telle que $\lim_{t\uparrow +\infty} f(t)=f(a)$, il existe $c\in\into a{+\infty}$ avec
$$
f'(c)=0
$$
\end{Th}

\begin{proof}
  On pose $u=\exp(-t)$, soit $t=-\ln u$ et $u\mapsto f(-\ln u)$
se prolonge en une fonction continue sur le segment
$\intf{0}{\exp(-a)}$. Le théorème (habituel) de Rolle permet de conclure.
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{Th}[\'Egalité des accroissements finis]\alaligne

  Si $f$ est une fonction à valeurs \emph{réelles}, continue sur le
segment $\intf ab$ et dérivable sur l'intervalle ouvert $\into ab$,
il existe $c\in\into ab$ avec
$$
f'(c)=\ra{f(b)-f(a)}{b-a}
$$
\end{Th}

\begin{Th}[Inégalité des accroissements finis]\alaligne

  Si $f$ est une fonction à valeurs \emph{réelles}, continue sur le
segment $\intf ab$, dérivable sur l'intervalle ouvert $\into ab$ 
telle qu'il existe $m$ et $M$ vérifiant $m\leq f'(t)\leq M$ pour tout
$t\in \into ab$, alors
$$
m\leq \ra{f(b)-f(a)}{b-a}\leq M
$$
\end{Th}

\begin{NB}
  Le théorème de Rolle et l'égalité des accroissements finis tombent en
défaut si les fonctions sont à valeurs complexes ou vectorielles;
$t\mapsto\exp(it)$ fournit un contre-exemple sur le segment $\intf
0{2\pi}$.
\end{NB}


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\subsection{Inégalité des accroissements finis}
%---------------------------------------------------------------------

  Rappelons la relation fondamentale qui lit une fonction et sa dérivée
: si $\vc f$ est une fonction continue et de classe $\mcal{C}^1$ par morceaux
sur $I$,
$$
\qqs(u,v)\in I^2,\ \vc f(v)-\vc f(u)=\int_{t=u}^v \vc f'(t)\,\dt
$$
Une majoration de $\norme{\vc f'(t)}$ donne une majoration de
l'accroissement de $\vc f$.

  Considérons le cas des fonctions de classe $\mcal{C}^1$.
  
\begin{Th}[Inégalité des accroissements finis]\alaligne

  Si $\vc f$ est une fonction continue sur le segment $\intf ab$, de
classe $\mcal{C}^1$ sur l'intervalle ouvert $\into ab$, et si $\lambda$ est un
nombre positif vérifiant
$\norme{\vc f'(t)}\leq\lambda$ pour tout $t\in\into ab$, alors 
$$
\norme{\vc f(b)-\vc f(a)}\leq\lambda(b-a)
$$
\end{Th}

\begin{proof}
  Soient $u$ et $v$ deux points de $\into ab$ avec $u<v$; on a :
\begin{equation}
  \norme{\vc f(u)-\vc f(v)}=\norme[\Big]{\int_{t=u}^v\vc f'(t)\,\dt}\leq
  \int_{t=u}^v\norme{\vc f'(t)}\,\dt\leq\int_{t=u}^v\lambda\,\dt=(v-u)\lambda
\end{equation}
Un passage à la limite pour $u\downarrow a$ et $v\uparrow b$ donne
l'inégalité annoncée, puisque les limites existent.
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

  Une fonction peut être continue sur $\intf ab$ et de classe $\mcal{C}^1$ sur
$\into ab$ sans être de classe $\mcal{C}^1$ par morceaux, $t\mapsto
t\sin(t^{-1})$ en est un exemple.

  Envisageons maintenant le cas des fonctions continues et de classe
$\mcal{C}^1$ par morceaux.

\begin{Th}[Inégalité des accroissements finis]\alaligne

  Si $\vc f$ est une fonction continue et de classe $\mcal{C}^1$ par morceaux
sur l'intervalle $I$, et $\lambda>0$ un majorant de $\norme{\vc f'(t)}$
en tout point où la dérivée existe, alors
\Reponse{$\dsp
\qqs(a,b)\in I^2,\ \norme{\vc f(b)-\vc f(a)}\leq\lambda(b-a)
$}
\end{Th}

\begin{proof}
  Soit $(a_i)_{0\leq i\leq n}$ une subdivision du segment $\intf ab$
subordonnée à $\vc f$. En utilisant l'inégalité des accroissements finis
sur $\intf{a_{i-1}}{a_i}$, on obtient :
\begin{equation}
  \qqs i\in\Intf1n,\ \norme{\vc f(a_i)-\vc f(a_{i-1}}\leq\lambda(a_i-a_{i-1})
\end{equation}
En sommant ce inégalités et utilisant l'inégalité triangulaire, on
obtient le résultat demandé.
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

%---------------------------------------------------------------------
\subsection{Prologement des fonctions de classe $\mcal{C}^k$}
%---------------------------------------------------------------------
\begin{Th}[Prolongement des fonctions de classe $\mcal{C}^1$]\alaligne

  Si $\vc f$ est une fonction continue sur le segment $\intf ab$, de
classe $\mcal{C}^1$ sur l'intervalle $\intof ab$, telle que $\vc f'$ admet
une limite (finie) en $a$, $\vc f$ est de classe $\mcal{C}^1$ sur le segment
$\intf ab$.
\end{Th}

\begin{proof}
  Les hypothèses sur $\vc f$ montrent que $\vc f$ est une fonction
continue et de classe $\mcal{C}^1$ par morceaux sur $\intf ab$. Appelons $\vc
g$ le prolongement par continuité de $\vc f'$ sur $\intf ab$. On peut
écrire :
\begin{equation}
  \vc f(t)=\vc f(a)+\int_{u=a}^t\vc f'(u)\,\dt[u]=\vc f(a)+\int_{u=a}^t\vc g(u)\,\dt[u]
\end{equation}
ce qui montre que $\vc f$ est de classe $\mcal{C}^1$ sur $\intf ab$, puisque
$\vc g$ est continue sur $\intf ab$, et
$\vc f'(a)=\vc g(a)=\lim_{t\downarrow a}\vc f'(t)$
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{Th}[Prolongement des fonctions de classe $\mcal{C}^k$]\alaligne

  Si $\vc f$ est une fonction continue sur le segment $\intf ab$ et de
classe $\mcal{C}^k$ sur l'intervalle $\intof ab$, et si, pour tout
$r\in\Intf1k$, $\vc \D^r \vc f$ admet
une limite (finie) en $a$, $\vc f$ est de classe $\mcal{C}^k$ sur le segment
$\intf ab$.
\end{Th}

\begin{proof}
  La démonstration s'effectue à l'aide d'une récurrence sur $k$, le cas
$k=1$ venant d'être démontré.

  Si $\vc f$ est une fonction continue sur $\intf ab$ et de classe
$\mcal{C}^{k+1}$ sur $\intof ab$, et si $\D^r\vc f$ admet une limite en $a$
pour tout $r\in\Intf1{k+1}$, $\vc f$ vérifie les
hypothèses du théorème au rang $k$, et, par hypothése de récurrence, $\vc
f$ est une fonction de classe $\mcal{C}^k$ sur $\intf ab$. On peut donc
affirmer que $\D^k\vc f=\vc f^{(k)}$ vérifie les hypothèses du théorème
au rang 1, ce qui montre que $\D^k\vc f$ est de classe $\mcal{C}^1$, et donc
$\vc f$ est de classe $\mcal{C}^{k+1}$ sur le segment $\intf ab$.
\end{proof}



%---------------------------------------------------------------------
\subsection{Caractérisation des fonctions de classe $\mcal{C}^k$ par morceaux
sur un segment}
%---------------------------------------------------------------------
\begin{Th}
  $\vc f$ est une fonction de classe $\mcal{C}^k$ par morceaux sur le segment
$\intf ab$ si, et seulement si, il existe une subdivision $(a_i)_{0\leq i\leq n}$
subordonnée à $\vc f$ telle que $\vc f$ soit de
classe $\mcal{C}^k$ sur $\into{a_{i-1}}{a_i}$ pour tout $i\in\Intf1n$, et
$\D^r\vc f$ admette une limite à droite en $a_{i-1}$ et une limite à
gauche en $a_i$ pour tout $r\in\Intf0k$.
\end{Th}

\begin{proof}
  Seule la condition suffisante mérite une démonstration, puisque, par
définition d'une fonction de classe $\mcal{C}^k$ par morceaux, la restriction
de $\D^r\vc f$ à $\into{a_{i-1}}{a_i}$ se prolonge en une fonction
continue sur $\intf{a_{i-1}}{a_i}$, pour tout $i\in\Intf1n$.\\
%
  \CS Par hypothèse, la restriction de $\vc f$ à
$\into{a_{i-1}}{a_i}$ se prolonge en une fonction $\tilde{\vc
f}_i$ continue sur $\intf{a_{i-1}}{a_i}$. La fonction $\tilde{\vc f}_i$
vérifie sur $\intf{a_{i-1}}{a_i}$ les hypothèses du théorème de
prolongement des fonctions de classe $\mcal{C}^k$.
\end{proof}
%--------------------------------------------------




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\section{Formules de Taylor}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%---------------------------------------------------------------------
\subsection{\'Egalité de Taylor à l'ordre $k$}
%--------------------------------------------------------------------

\begin{Th}[Formule de Taylor à l'ordre $k$, reste intégral]\alaligne

  Pour une application $\vc f$ de classe $\mcal{C}^k$ sur $I$ et de classe
$\mcal{C}^{k+1}$ par morceaux sur $I$, on a la \emph{formule de Taylor à l'ordre
$k$ avec reste intégral}
\Reponse{$\dsp
\qqs(a,t)\in I^2,\ \vc f(t)=\vc f(a)+
\sum_{r=1}^k\ra{(t-a)^r}{r!}\D^r\vc f(a)+\vc R_k(t)$      \\
$\dps\text{avec } \vc R_k(t)=\int_{u=a}^t\ra{(t-u)^k}{k!}\D^{k+1}\vc f(u)\,\dt[u]
=(t-a)^{k+1}\int_{v=0}^1\ra{(1-v)^k}{k!}\D^{k+1}\vc f\bigl(a+(t-a)v\bigr)\,\dt[v]
$}
\end{Th}

\begin{proof}
  Utilisation de la formule d'intégration par parties itérée appliquée
aux fonctions $\vc f$ et $\vphi(u)=\ra{(t-u)^k}{k!}$; pour tout
$p\in\Intf0k$, 
$\vphi^{(p)}(u)=(-1)^p \ra{(t-u)^{k-p}}{(k-p)!}$, $\vphi^{(k+1)}(u)=0$
et :
\begin{multline}
  \vc R_k(t)
    =\int_{u=a}^t\ra{(t-u)^k}{k!}\D^{k+1}\vc f(u)\,\dt[u]
    =\Bigl[\sum_{p=0}^k\ra{(t-u)^{k-p}}{(k-p)!}\vc f^{(k-p)}(u)
      \Bigr]_{u=a}^{u=t}+\vc 0                                        \\
    =\sum_{p=0}^{k-1}-\ra{(t-a)^{k-p}}{(k-p)!}\vc f^{(k-p)}(a)
      +\vc f(t)-\vc f(a)
\end{multline}
ce qui donne la formule annoncée en posant $r=k-p$.

  Le changement de variable $u=a+(t-a)v\iff v=\ra{u-a}{t-a}$ permet de
passer de l'intervalle \og variable\fg{}, \ie{} dépendant de $t$, $\intf
at$ à l'intervalle \og fixe\fg{} $\intf01$, et donne la seconde
expression du reste.
\end{proof}



%---------------------------------------------------------------------
\subsection{Majoration du reste}
%---------------------------------------------------------------------
\begin{Th}[Inégalité de Taylor à l'ordre $k$]\alaligne

  Pour une application $\vc f$ de classe $\mcal{C}^k$ sur $I$ et de classe
$\mcal{C}^{k+1}$ par morceaux sur $I$ telle qu'il existe un majorant $M_{k+1}$ de
$\norme{\D^{k+1}\vc f(u)}$ en tout point $u$ où la dérivée d'ordre $k+1$
existe, on a \emph{l'inégalité de Taylor à l'ordre $k$} :
\Reponse{$\dsp
\qqs(a,t)\in I^2,\
\norme[\Big]{\vc f(t)-\sum_{r=0}^k\ra{(t-a)^r}{r!}\D^r\vc f(a)}\leq
\ra{\abs{t-a}^{k+1}}{(k+1)!}M_{k+1}
$}
\end{Th}

\begin{proof}
  On a la majoration suivante du reste $\vc R_k$ :
\begin{equation}
\begin{split}
  \norme{\vc R_k(t)}
    &=\abs{t-a}^{k+1}
      \norme[\Big]{\int_{v=0}^1\ra{(1-v)^k}{k!}\D^{k+1}\vc f\bigl(a+(t-a)v\bigr)\,\dt[v]}\\
    &\leq\abs{t-a}^{k+1}
      \int_{v=0}^1\ra{(1-v)^k}{k!}\norme[\big]{\D^{k+1}\vc f\bigl(a+(t-a)v\bigr)}\,\dt[v]\\
    &\leq\ra{\abs{t-a}^{k+1}}{k!}\int_{v=0}^1 (1-v)^k M_{k+1}\,\dt[v]
      =\ra{\abs{t-a}^{k+1}}{k!}\ra{M_{k+1}}{k+1}
\end{split}
\end{equation}
\end{proof}



%---------------------------------------------------------------------
\subsection{Formule de Taylor-Young}
%---------------------------------------------------------------------

%--------------------------------------------------
\subsubsection{Développement limité d'une primitive}
%--------------------------------------------------

\begin{Th}\mbox{}
  Si $\vc f$ est une fonction continue qui admet un développement limité
à l'ordre $k$ au voisinage d'un point $t_0$ de $I$, toute primitive $\vc F$
de $\vc f$ admet un développement limité à l'ordre $k+1$
au voisinage de $t_0$; plus précisément,
\Reponse{$\dsp
\vc f(t_0+h)=\sum_{p=0}^k h^p\vc a_p+\oo{h^k}\implique
\vc F(t_0+h)=\vc F(t_0)+\sum_{p=0}^k\ra{h^{p+1}}{p+1}\vc a_p
  +\oo{h^{k+1}}
$}
\end{Th}

\begin{proof}
  La fonction $t\mapsto \beps(t_0+h)=h^{-k}\bigl(\vc f(t_0+h)
-\sum_{p=0}^kh^p\vc a_p\bigr)$ se prolonge en une fonction
continue sur $I$ ($\beps(t_0)=\vc 0$); par conséquent,
$\sup_{t\in\intf{t_0}{t_0+h}}\norme{\beps(t)}$ admet 0 pour limite quand
$h$ tend vers 0. On peut écrire :
\begin{multline}
\ra1{\abs{h^k}}
  \norme[\Big]{\vc F(t_0+h)-\vc F(t_0)-\sum_{p=0}^k\ra{h^{p+1}}{p+1}\vc a_p}  \\
=\ra1{\abs{h^k}}
  \norme[\Big]{\int_{u=0}^h\Bigl(\vc f(t_0+u)-\sum_{p=0}^k(u)^p\vc a_p\Bigr)\,\dt[u]}
  =\ra1{\abs{h^k}}\norme[\Big]{\int_{u=0}^h u^k\beps(t_0+u)\,\dt[u]}                \\
\leq\ra1{\abs{h^k}}
  \abs[\Big]{\int_{u=0}^h u^k\,\dt[u]}\sup_{u\in\intf0h}\norme{\beps(t_0+u)}
  =\ra1{k+1}\sup_{t\in\intf{t_0}{t_0+h}}\norme{\beps(t)}\tend[h\to0]0
\end{multline}
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------



%--------------------------------------------------
\subsubsection{Développement limité de la dérivée d'une fonction $\mcal{C}^1$}
%--------------------------------------------------

\begin{Th}
  Une fonction de classe $\mcal{C}^1$, dont la dérivée admet un développement
limité à l'ordre k, admet un développement limité à l'ordre $k+1$ et le
développement limité de la dérivée est la dérivée terme à terme du
développement limité de la fonction; plus précisément :
$$
\vc f(t_0+h)=\vc f(t_0)+
  \sum_{p=0}^k \vc a_p h^{p+1}+\oo{h^{k+1}}
\implique
\vc f'(t_0+h)=\sum_{p=0}^k(p+1)\vc a_{p+1}h^p+\oo{h^k}
$$
\end{Th}

\begin{proof}
  $\vc f$ est une primitive de $\vc f'$ et on applique le théorème précédent
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{NB}
  Attention ! Il faut supposer l'existence du développement limité de
$\vc f'$ sinon le théorème est mis en défaut :
$f(t)=t^3\sin \ra1t=\oo{t^2}$ admet un développement limité à l'ordre 2,
tandis que sa dérivée n'admet un développement limité qu'à l'ordre 0.
\end{NB}


%--------------------------------------------------
\subsubsection{Existence d'un développement limité à l'ordre $k$ pour
une fonction $\mcal{C}^k$}
%--------------------------------------------------
\begin{Th}[Formule de Taylor-Young]\alaligne

  Toute fonction de classe $\mcal{C}^k$ sur~$I$ admet un développement limité
à l'ordre $k$ en tout point de $I$, à savoir :
\Reponse{$\dsp
\vc f(t_0+h)=\vc f(t_0)+\sum_{p=1}^k\ra{h^p}{p!}\vc f^{(p)}(t_0)+\oo{h^k}
$}
\end{Th}

\begin{proof}
  La démonstration se fait par récurrence sur $k$, le cas $k=1$ ayant
déjà été traité (la dérivation équivaut à l'existence d'un développement
limité à l'ordre~1).

  Si $\vc f$ est de classe $\mcal{C}^{k+1}$, $\vc f'$ est de classe $\mcal{C}^k$ et
admet, grâce à l'hypothèse de récurrence, un développement limité à
l'ordre $k$ :
\begin{equation}
%\begin{split}
\vc f'(t_0+h)
  =\vc f'(t_0)+\sum_{p=1}^k\ra{h^p}{p!}\D^p\vc f'(t_0)+\oo{h^k}%      \\
  =\sum_{p=0}^k \ra{h^p}{p!} \vc f^{(p+1)}(t_0)+\oo{h^k}
%\end{split}
\end{equation}
et par intégration :
\begin{equation}
  \vc f(t)-\vc f(t_0)=\sum_{p=0}^k\ra{h^{p+1}}{(p+1)!}f^{(p+1)}(t_0)
  +\oo{h^{k+1}}
\end{equation}
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Suites et séries de fonctions de classe $\mcal{C}^k$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

  Si $(f_n)_n$ est une suite de fonctions numériques qui converge
simplement vers une fonction $f$ sur l'intervalle $I$, à quelles
conditions peut-on affirmer que la limite $f$ est dérivable, de classe
$\mcal{C}^1$, de classe $\mcal{C}^k$, de classe $\mcal{C}^\infty$ ? Les mêmes questions
seront posées pour l'étude des séries de fonctions.

  Prenons, par exemple, $f_n : t\mapsto\sqrt{t^2+\ra1{n+1}}$.
Les fontions $f_n$ sont des fonctions de classe $\mcal{C}^\infty$ sur $\R$; la
suite $(f_n)_n$ converge uniformément vers $f : t\mapsto\abs{t}$ sur
$\R$, puisque :
$$
0<f_n(t)-f(t)=\sqrt{t^2+\ra1{n+1}}-\abs{t}=
\ra{\ra1{n+1}}{\sqrt{t^2+\ra1{n+1}}+\abs{t}}
\leq\ra{\ra1{n+1}}{\sqrt{\ra1{n+1}}}=\ra1{\sqrt{n+1}}
$$
et $\normi{f_n-f}\leq\ra1{\sqrt{n+1}}$; or la limite $f$ n'est pas
dérivable sur $\R$ ($f$ n'est pas dérivable en $t=0$). Ceci
montre l'\emph{insuffisance} de la convergence uniforme de $(f_n)_n$
vers $f$ pour affirmer la dérivabilité de $f$.

  Dans cette section, les fonctions considérées sont définies sur un
intervalle $I$ de $\R$ et à valeurs réelles ou complexes.

%---------------------------------------------------------------------
\subsection{Dérivation de la limite d'une suite de fonctions}
%---------------------------------------------------------------------

\begin{Lem}
  Si $(h_n)_n$ est une suite de fonctions numériques continues qui
converge uniformément sur tout segment de l'intervalle $I$ vers une
fonction (continue) $h$, la
suite $(H_n)_n$ des primitives de $h_n$ nulles en un point $a$ de $I$
converge uniformément sur tout segment de $I$ vers la primitive $H$ de
$h$ nulle en $a$.
\end{Lem}

\begin{proof}
  La continuité des  $h_n$ et la convergence  uniforme sur tous les
segments de $I$ de $(h_n)_n$ vers $h$ montrent la continuité de $h$.

  Soient $S$ un segment (quelconque) de $I$ et $K=\intf cd$ un segment
de $I$ qui contient $S$ et $a$; alors, pour tout $t\in S$,
\begin{multline}
\abs{H_n(t)-H(t)}=\Bigl|\int_{u=a}^t \bigl(h_n(u)-h(u)\bigr)\,\dt[u] \Bigr|
  \leq\Bigl|\int_{u=a}^t \bigl|h_n(u)-h(u)\bigr|\,\dt[u] \Bigr|               \\
\leq\abs{t-a}\sup_{u\in K}\bigl|h_n(u)-h(u)\bigr|
  \leq(d-c)\norme{h_n-h}_{\infty,K}
\end{multline}
Ainsi,  $\norme{H_n-H}_{\infty,S}\leq(d-c)\norme{h_n-h}_{\infty,K}\tend
0$.
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{Th}[Dérivation de la limite]\alaligne

  Si $(f_n)_n$ est une suite de fonctions numériques de classe $\mcal{C}^1$
sur $I$ qui converge simplement sur $I$ vers $f$, et si la suite
$(f'_n)_n$ des dérivées converge uniformément sur tout segment de $I$
vers $g$, $f$ est de classe $\mcal{C}^1$ sur $I$ et $f'=g$, \ie
$$
\qqs t\in I,\ \ra d{dt}\Bigl(\lim_n f_n(t)\Bigr)
=\lim_n\ra d{dt}\Bigl(f_n(t)\bigr)\Bigr)
$$
\end{Th}

\begin{proof}
  Pour tout $t\in I$, $f_n(t)=f_n(a)+\int_{u=a}^t f'_n(u)\,\dt[u]$; un passage à
la limite sur $n$ donne :
\begin{equation}
  \qqs t\in I,\ f(t)=f(a)+\int_{u=a}^t g(u)\,\dt[u]
\end{equation}
ce qui montre que $f$ est de classe $\mcal{C}^1$ sur $I$ et $f'=g$.
\end{proof}
%--------------------------------------------------
\begin{NB}
  Si $S$ et $K=\intf cd$ sont des segments de $I$ tels que $K$ contienne $S$ et
$a$, les inégaltés pour tout $t\in S$
\begin{equation}
\begin{split}
\bigl|f_n(t)-f(t)\bigr|
  &=\Bigl|f_n(a)-f(a)+\int_{u=a}^t\bigl(f'_n(u)-g(u)\bigr)\,\dt[u]\Bigr|      \\
  &\leq\bigl|f_n(a)-f(a)\bigr|+
    \Bigl|\int_{u=a}^t\bigl(f'_n(u)-g(u)\bigr)\,\dt[u]\Bigr|                  \\
  &\leq|\bigl|f_n(a)-f(a)\bigr|+
    \Bigl|\int_{u=a}^t\bigl|f'_n(u)-g(u)\bigr|\,\dt[u]\Bigr|                  \\
  &\leq\bigl|f_n(a)-f(a)\bigr|+\abs{t-a}\,\norme{f'_n-g}_{\infty,K}     \\
  &\leq\bigl|f_n(a)-f(a)\bigr|+(d-c)\norme{f'_n-g}_{\infty,K} 
\end{split}
\end{equation}
donnent :
$$
\norme{f_n-f}_{\infty,S}\leq \abs{f_n(a)-f(a)}+(d-c)\norme{f'_n-g}_{\infty,K} 
$$
et montrent la convergence uniforme sur tout segment de $I$ de la suite
$(f_n)_n$ vers $f$.
\end{NB}

\begin{Th}[Extension aux fonctions de classe $\mcal{C}^k$]\alaligne

  Si ${(f_n)}_n$ est une suite de fontions de classe $\mcal{C}^k$ sur $I$, si,
pour tout $r\in\Intf0{k-1}$, la suite  $(\D^r f_n)_n$ des dérivées
d'ordre $r$ converge
simplement sur $I$ vers $g_r$, si la suite $(\D^k f_n)_n$ converge uniformément sur
tout segment de $I$ vers $g_k$, la limite $f$ est de classe $\mcal{C}^k$ sur $I$ et
$$
\D^r f=g_r\text{ \ie{} }
\qqs t\in I,\ \ra{d^r}{dt^r}\Bigl(\lim_n f_n(t)\Bigr)
=\lim_n\Bigl(\ra{d^r}{dt^r}\bigl( f_n(t)\bigr)\Bigr)
$$
\end{Th}

\begin{proof}
 La démonstration utilise une récurrence sur $k$; le cas $k=1$ est le
théorème précédent.

  Si la suite $(f_n)_n$ vérifie les hypothèses du théorème au rang
$k+1$, la suite $(f'_n)_n$ vérifie les hypothèses au rang $k$ et, grâce
à l'hypothèse de récurrence, $g_1$, la limite de $(f'_n)_n$ est de
classe $\mcal{C}^k$. La remarque précédente, montre que la convergence de
$(f'_n)_n$ vers $g_1$ est uniforme sur tous les segments de $I$. Ainsi,
nous pouvons appliquer le théorème de dérivation ($k=1$) : $f$ est
$\mcal{C}^1$, $f'=g_1$; ce qui montre que $f$ est de classe $\mcal{C}^{k+1}$.
\end{proof}
%--------------------------------------------------

%---------------------------------------------------------------------
\subsection{Dérivation terme à terme d'une série de fonctions}
%---------------------------------------------------------------------

  Toujours la même technique : utilisation de la suite $(S_n)_n$ des
sommes partielles de la série : $S_n=\sum_{k=0}^n u_k$; on sait dériver
terme à terme une combinaison d'un nombre fini de fonctions, et
$$
S'=\sum_{k=0}^n u'_k\et \D^r S=\sum_{k=0}^n \D^r u_k
$$
pourvu que les $u_k$ soient dérivables à l'ordre $r$.
     
\begin{Th}[Dérivation terme à terme d'une série de fonctions]\alaligne

  Si $(u_n)_n$ est une suite de fonctions numériques de classe $\mcal{C}^1$
sur $I$, si la série $\sum u_n$ converge simplement sur $I$ et si la
série des dérivées $\sum u'_n$ converge uniformément sur tout segment de
$I$, la somme de la série $\sum u_n$ est de classe $\mcal{C}^1$ sur $I$ et
$$
\D\Bigl(\sum_{n=0}^\infty  u_n \Bigr)=\sum_{n=0}^\infty \D u_n
\text{ \ie{} }\qqs t\in I,\ \ra d{dt}\Bigl(\sum_{n=0}^\infty  u_n(t)\Bigr)
=\sum_{n=0}^\infty  u'_n(t)
$$
\end{Th}

\begin{proof}
  ${(S_n)}_n$ est une suite de fonctions de class $\mcal{C}^1$ sur $I$ qui
converge simplement sur $I$ vers la somme $S$ de la série $\sum u_n$; la
suite $(S'_n)_n$ converge uniformément sur tout segment de $I$ vers la
somme de la série $\sum u'_n$ (qui est donc continue). Par application
du théorème de dérivation de la limite d'une suite de fonctions, $S$ est
de classe $\mcal{C}^1$ et $S'$ est la somme de la série $\sum u'_n$.

  En prime, la convergece de la série $\sum u_n$ est uniforme sur tous
les segments de~$I$.
\end{proof}
%--------------------------------------------------


\begin{Th}[Extension aux fonctions de classe $\mcal{C}^k$]\alaligne

  Si $(u_n)_n$ est une suite de fonctions de classe $\mcal{C}^k$ sur $I$, si,
pour tout $r\in\Intf0{k-1}$, la série $\sum \D^r u_n$ converge
simplement sur $I$ et si la série $\D^r u_n$ converge uniformément sur
tout segment de $I$, la somme de la série $\sum u_n$ est de classe
$\mcal{C}^k$ sur $I$ et
$$
\qqs r\in\Intf1k,\
\D^r\Bigl(\sum_{n=0}^\infty  u_n\Bigr)=\sum_{n=0}^\infty  \D^r u_n
$$
\end{Th}

\begin{proof}
  Application à $(S_n)_n$ de l'extension aux fonctions de classe $\mcal{C}^k$
du théorème de la dérivation de la limite d'une suite de fonctions.
\end{proof}
%--------------------------------------------------


%---------------------------------------------------------------------
\subsection{Dérivée de la fonction exponentielle}
%---------------------------------------------------------------------

  Rappelons que la fonction exponentielle est la somme de la série
$\sum z^n/n!$, série absolument convergente pour tout $z$ de $\C$.

\begin{Th}[Dérivée de l'exponentielle]\alaligne

  L'application $e_z : t\mapsto\exp tz$, où $z$ est un nombre complexe,
est de classe $\mcal{C}^\infty$ sur $\R$ et
$$
\D e_z=z\,e_z\text{ \ie{} }\qqs t\in\R,\
\ra d{dt}\Bigl(\exp tz\Bigr)=z\exp tz
$$
\end{Th}

\begin{proof}
  Posons $u_n(t)=z^n t^n/n!$; les fonctions $u_n$ sont de classe
$\mcal{C}^1$ (et même $\mcal{C}^\infty$ sur $\R$), la série $\sum u_n$ converge
simplement sur $\R$ et, pour tout $a>0$ et tout $t\in\intf{-a}a$,
\begin{equation}
  \abs{u'_n(t)}=\Bigl|\ra{z^n}{(n-1)!}t^{n-1}\Bigr|
=\ra{\abs{z}^n}{(n-1)!}\abs{t}^{n-1}
\leq\ra{\abs{z}^n}{(n-1)!}a^{n-1}
\end{equation}
ce qui montre la convergence normale donc uniforme sur $\intf{-a}a$ de
la série $\sum u'_n$. La somme de la série $\sum u_n$ est de classe
$\mcal{C}^1$ sur $\R$ et sa dérivée vérifie :
\begin{equation}
  \qqs t\in\R,\ \ra d{dt}\Bigl(\exp tz \Bigr)=\sum_{n=0}^\infty u'_n(t)
=\sum_{n>0}\ra{z^n}{(n-1)!}t^{n-1}=z\sum_{n>0}\ra{(zt)^{n-1}}{(n-1)!}
=z\exp zt
\end{equation}
$e_z$ est une fonction de classe $\mcal{C}^1$ qui vérifie $\D e_z=z\,e_z$; par
récurrence, $e_z$ est une fonction de classe $\mcal{C}^k$, et ceci pour tout
$k$, donc de classe $\mcal{C}^\infty$.
\end{proof}
%--------------------------------------------------


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Intégrales dépendant de ses bornes}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%




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\subsection{Intégrale du type $x\mapsto\int_{t=a}^x\vc f(t)\,\dt$}\alaligne
%---------------------------------------------------------------------

  Rappelons que, si $\vc f$ est une fonction continue sur $I$,
$\vc F : x\mapsto\int_{t=a}^x\vc f(t)\,\dt$ est la primitive de $\vc f$ nulle
en $a$, ce qui montre que $\vc F$ est de classe $\mcal{C}^1$ sur $I$ et
$$
\qqs x \in I,\
\vc F'(x)=\ra d{dx}\Bigl(\int_{t=a}^x\vc f(t)\,\dt\Bigr)
=\vc f(x)
$$
Si $\vc f$ est de classe $\mcal{C}^k$ sur $I$, $\vc F$ est de classe 
$\mcal{C}^{k+1}$ sur $I$, puisque $\vc F'=\vc f$ est de classe~$\mcal{C}^k$.

  Si $\vc f$ est continue par morceaux sur $I$, $\vc F$ est encore la
primitive de $\vc f$ nulle en $a$; $\vc F$ est continue sur
$I$ et de classe $\mcal{C}^1$ par morceaux sur $I$; la formule de dérivation
est valable en tout point de continuité de $\vc f$.



%---------------------------------------------------------------------
\subsection{Intégrale du type
  $x\mapsto\int_{t=u(x)}^{v(x)}\vc f(t)\,\dt$}\alaligne
%---------------------------------------------------------------------

  Notons $\vc F$ une primitive de $\vc f$ sur $I$; nous pouvons écrire
$$
\vc g(x)=\int_{t=u(x)}^{v(x)}\vc f(t)\,\dt
  =\vc F\bigl(v(x)\bigr)-\vc F\bigl(u(x)\bigr)
$$
On obtient le résultat suivant : si $\vc f$ est une fonction continue
sur $I$, si $u$ et $v$ sont deux fonctions réelles de classe $\mcal{C}^1$ sur
$J$ à valeurs dans $I$, $\vc g$ est une fonction de classe $\mcal{C}^1$ sur
$J$ dont la dérivée se calcule par
\begin{multline}
  \ra d{dx}\Bigl(\int_{t=u(x)}^{v(x)}\vc f(t)\,\dt\Bigr)
  =\ra d{dx}\Bigl(\vc F\bigl(v(x)\bigr)-\vc F\bigl(u(x)\bigr)\Bigr)   \\
  =\vc F'\bigl(v(x)\bigr)v'(x)-\vc F'\bigl(u(x)\bigr)u'(x)
  =\vc f\bigl(v(x)\bigr)v'(x)-\vc f\bigl(u(x)\bigr)u'(x)
\end{multline}
formule à ne pas apprendre par c{\oe}ur, mais à retrouver dans chaque
application.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Intégrales dépendant d'un paramètre}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Nous étudions dans cette section les fonctions définies par une intégrale
dépendant d'un paramètre, par exemple les fonctions $J_n$, $n\in\N$
$$
J_n : x \mapsto \ra1\pi\int_{t=0}^\pi\cos(x\sin t-nt)\,\dt
$$
que Bessel introduisit pour la première fois en 1817 lors de l'étude
d'un problème de Kepler, et employa, sept ans plus tard, pour
étudier les perturbations planétaires.


  Dans cette section, $A$ désigne un intervalle de $\R$; à toute
fonction $f$ continue sur $A\times\intf ab$ et à valeurs réelles ou
complexes, on associe la fonction $g$ définie sur~$A$ par la relation
$$
g(x)=\int_{t=a}^b f(x,t)\,\dt
$$
$g(x)$ a bien un sens puisque $t\mapsto
f(x,t)$ est une fonction continue sur le segment $\intf ab$.

%---------------------------------------------------------------------
\subsection{Continuité sous le signe $\int$}
%---------------------------------------------------------------------
\begin{Th}[Continuité des intégrales paramétrées sur un segment]\alaligne

  Si $f$ est une fonction numérique continue sur $A\times\intf ab$, la
fonction 
$$
g : x\in A\mapsto \int_{t=a}^b f(x,t)\,\dt
$$
est une fonction continue sur $A$.
\end{Th}

\begin{proof}(Hors programme)

  Soit $x_0$ un point intérieur à $A$; on peut alors trouver un segment
$\intf cd$ contenu dans $A$ tel que $x_0\in\into cd$. La continuité de $f$ sur
$A\times\intf ab$ implique l'uniforme continuité de $f$ sur la partie compacte
$\intf cd\times\intf ab=\Delta$, soit
\begin{multline*}
\qqs\eps>0,\ \exists\eta>0,\ \qqs(x,t)\in\Delta,\ \qqs(x',t')\in\Delta,   \\ 
\abs{x-x'}\leq\eta\et\abs{t-t'}\leq\eta\implique
  \abs[\big]{f(x,t)-f(x',t')}\leq\ra\eps{(b-a)} 
\end{multline*}
En particulier,
$$
\qqs t\in\intf ab,\ \qqs(x,x')\in{\intf cd}^2,\ 
\abs{x-x'}\leq\eta\implique\abs[\big]{f(x,t)-f(x',t)}\leq\ra\eps{(b-a)}
$$
et, dans ces conditions,
$$
\abs[\big]{g(x)-g(x')}=\abs[\Big]{\int_{t=a}^b
\bigl(f(x,t)-f(x',t)\bigr)\,\dt} \leq
\int_{t=a}^b\abs[\big]{f(x,t)-f(x',t)}\,\dt \leq 
\int_{t=a}^b \ra\eps{b-a}\,\dt=\eps 
$$
Ainsi, $\abs{x-x_0}\leq\eta$ implique $\abs[\big]{g(x)-g(x_0)} \leq \eps$; la
fonction $g$ est donc continue au point $x_0$ et, puisque $x_0$ est un point
quelconque de l'intérieur de $A$, $g$ est continue sur l'intérieur de $A$.

  La démonstration est analogue dans le cas où $x_0$ est une extrémité de $A$.
 
  
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{Ex}
  Puisque $(x,t)\mapsto\cos(x\sin t-nt)$ est continue sur
$\R\times\intf0{2\pi}$, les fonctions $J_n$ sont continues sur $\R$.
\end{Ex}

%---------------------------------------------------------------------
\subsection{Dérivation sous le signe $\int$}
%---------------------------------------------------------------------
\begin{Th}[Formule de Leibniz]\alaligne

  Lorsque $f$ est continue sur $A\times\intf ab$ et admet une dérivée
partielle $\del fx$ continue sur $A\times\intf ab$, $g$ est de classe
$\mcal{C}^1$ sur $A$ et
\Reponse{$\dsp
g'(x)=\dd{}x\Bigl(\int_{t=a}^b f(x,t)\,\dt\Bigr)
=\int_{t=a}^b\del fx(x,t)\,\dt
$}
\end{Th}

\begin{proof} (Hors programme).

  Soient $x_0$ un point intérieur à $I$ et $\intf cd$ un segment de $I$ tel que
$x_0\in\into cd$. La continuité de la fonction $\partial f/\partial x$ sur
$A\times\intf ab$ implique  son uniforme continuité sur la partie compacte
compacte $\Delta=\intf cd\times\intf ab$, ce qui donne
\begin{multline*}
\qqs\eps>0,\ \exists\eta>0,\ \qqs(x,t)\in\Delta,\ \qqs(x',t')\in\Delta,   \\
\abs{x-x'}\leq\eta\et\abs{t-t'}\leq\eta\implique
\abs[\Big]{\del fx (x,t)-\del fx (x',t')}\leq\ra\eps{(b-a)}
\end{multline*}
Soit $\psi : u\mapsto f(x_0+u,t)-u \del fx(x_0,t)$; la fonction $\psi$ est une
fonction de classe $\mathcal{C}^1$ sur un voisinage de $u=0$ et $\psi'(u)
=\del fx(x_0+u,t)-\del fx(x_0,t)$; pour $\abs{u}\leq\eta$ tel que 
$x_0+u\in\intf cd$, $\abs{\psi'(u)}\leq\eps/(b-a)$. Appliquons l'inégalité des
accroissements finis : pour $\abs{h}\leq\eta$ tel que $x_0+h\in\intf cd$, on a
$$
\abs[\big]{\psi(h)-\psi(0)}=
\abs[\Big]{f(x_0+h,t)-f(x_0,t)-h\del fx(x_0,t)} \leq \abs{h}\ra\eps{b-a}
$$
Ainsi, en formant le taux d'accroissement de $g$ en $x_0$, il vient
\begin{align*}
\abs[\Big]{\ra{g(x_0+h)-g(x_0)}{h}-\int_{t=a}^b \del fx(x_0,t)\,\dt}
&=  \abs{h}^{-1}\abs[\Big]{\int_{t=a}^b 
        \Bigl[f(x_0+h,t)-f(x_0,t)-h\del fx(x_0,t)\Bigr]\,\dt}   \\
&\leq \abs{h}^{-1}\int_{t=a}^b 
        \abs[\Big]{f(x_0+h,t)-f(x_0,t)-h\del fx(x_0,t)}\,\dt    \\
&\leq \abs{h}^{-1}\int_{t=a}^b \abs{h}\ra\eps{b-a}\,\dt=\eps
\end{align*}
ce qui montre que
$$
\lim_{h\to0}\ra{g(x_0+h)-g(x_0)}{h}-\int_{t=a}^b \del fx(x_0,t)\,\dt=0
$$
La fonction $g$ est donc dérivable au point $x_0$ et 
$$
g'(x_0)=\int_{t=a}^b \del fx(x_0,t)\,\dt
$$ 
Puisque $x_0$ est un point quelconque de l'intérieur de $A$, la fonction $g$ est
donc dérivable sur l'intérieur de $A$.

  La démonstration est analogue dans le cas où $x_0$ est une extrémité de $A$.

  Le théorème de continuité des intégrales paramétrées sur un segment, montre la continuité de
$g'$ sur l'intervalle $A$; la fonction $g$ est donc une fonction de classe $\mathcal{C}^1$
sur l'intervalle $A$.
\end{proof}
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\begin{Th}[Extension aux fonctions de classe $\mcal{C}^k$]\alaligne

Lorsque $f$ est continue sur $A\times\intf ab$ et admet des dérivées
partielles $\Del rfx$ continue sur $A\times\intf ab$ jusqu'à l'ordre
$k$, $g$ est de classe $\mcal{C}^k$ sur $A$ et
$$
\qqs r\in\Intf1k,\ 
g^{(r)}(x)=\ra {d^r}{dx^r}\Bigl(\int_{t=a}^b f(x,t)\,\dt)\Bigr)
=\int_{t=a}^b\Del rfx(x,t)\,\dt
$$
\end{Th}

\begin{proof}
Par récurrence sur $k$.
\end{proof}
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\begin{Exs}
  Puisque $(x,t)\mapsto\del{}x\bigl(\cos(x\sin t)\bigr)=\cos(x\sin t+\ra\pi2)\sin t$ est
continue sur $\R\times\intf0\pi$, $J_0$ est de classe $\mcal{C}^1$ sur $\R$ et
$$
J'_0(x)=\ra1\pi\int_{t=0}^\pi \cos(x\sin t+\ra\pi2)\sin t\,\dt
$$
De même, pour tout entier $k$, $(x,t)\mapsto\Del k{}x\bigl(\cos(x\sin t)\bigr)
=\cos(x\sin t+k\ra\pi2)(\sin t)^k$ est
continue sur $\R\times\intf0\pi$, $J_0$ est de classe $\mcal{C}^k$ sur $\R$ et
$$
\D^kJ_0(x)=\ra1\pi\int_{t=0}^\pi \cos(x\sin t+k\ra\pi2)\sin t\,\dt
$$
$J_0$ est donc une fonction de classe $\mcal{C}^\infty$ sur $\R$.

  De même, les fonctions $J_n$ sont de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\R$.

\begin{Th}[Division des fonctions de classe $\mathcal{C}^\infty$]\alaligne

  Soit $f$ une fonction de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\R$; alors la
fonction 
$$
g : x\mapsto
\begin{cases}
  \dps \ra{f(x)-f(0)}{x}  & \text{si $x\neq0$}    \\
  f'(0)                   & \text{si $x=0$}
\end{cases}
$$
est une fonction de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\R$.
\end{Th}

\begin{proof}
  En utilisant le changement de variable $t=x\,u,\ \dt=x\,\dt[u]$, on obtient, pour $x\neq0$,
$$
\ra{f(x)-f(0)}{x}=\ra1x\int_{t=0}^x f'(t)\,\dt=\int_{u=0}^1 f'(xu)\,\dt[u]=g(x)
$$
Cette formule est encore valable pour $x=0$. 
Or, $(x,u)\mapsto f'(x\,u)$ est une fonction de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur
$\R\times\intf01$ et $\ra{\partial^k}{\partial x^k}\bigl(f'(x\,u)\bigr)=u^k
f^{(k+1)}(x\,u)$; ainsi $g$ est une fonction de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur
$\R$ et
$$
\qqs k\in\N,\ g^{(k)}(0)=\int_{u=0}^1 u^k f^{(k+1)}(0)\,\dt[u]=
\ra{f^{(k+1)}(0)}{k+1}
$$
\end{proof}
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\end{Exs}


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\subsection{Intégration sous le signe $\int$}
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\begin{Th}[Formule de Fubini]\alaligne

  Lorsque $f$ est continue sur $A\times\intf ab$, pout tout segment
$\intf cd$ inclus dans $A$, on a
\Reponse{$\dsp
\int_{x=c}^d\Bigl[\int_{t=a}^b f(x,t)\,\dt\Bigr]\,\dt[x]=
\int_{t=a}^b\Bigl[\int_{x=c}^d f(x,t)\,\dt[x])\Bigr]\,\dt
$}
\end{Th}

\begin{proof}(Hors programme).

  Posons $g(y)=\int_{x=c}^y \bigl[\int_{t=a}^b f(x,t)\,\dt\bigr]\,\dt[x]$ et
$h(y)=\int_{t=a}^b \bigl[\int_{x=c}^y f(x,t)\,\dt[x])\bigr]\,\dt$.

  Puisque $x\mapsto \int_{t=a}^b f(x,t)\,\dt$ est continue sur $A$, la fonction
$g$ est une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ sur~$A$ et $g'(y)=\int_{t=a}^y
f(x,t)\,\dt$. 

  Puisque $(x,t)\mapsto\int_{x=c}^d f(x,t)\,\dt[x]$ et
$(y,t)\mapsto\partial/\partial y\bigl(\int_{x=c}^y f(x,t)\,\dt[x]\bigr)=f(y,t)$
sont continues sur $A\times\intf ab$, la fonction $h$ est une fonction de classe
$\mathcal{C}^1$ sur $A$ et $h'(y)=\int_{t=a}^b f(y,t)\,\dt$.

  Les fonctions $g$ et $h$ ont la même dérivée sur l'\emph{intervalle} $A$ et la
même valeur $0$ au point $y=c$; ces fonctions sont donc identiques et $g(d)=h(d)$.
\end{proof}
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\begin{Ex}Calcul de $\int_{t=0}^\pi\bigl(\ln(b-\cos t)-\ln(a-\cos t)\bigr)\,\dt$
pour $1<a<b$.

  On remarque que $\ln(b-\cos t)-\ln(a-\cos t)=
\int_{x=a}^b(x-\cos t)^{-1}\,\dt[x]$ et
$$
\int_{t=0}^\pi \ln\ra{b-\cos t}{a-\cos t}\,\dt=
\int_{t=0}^\pi\Bigl[\int_{x=a}^b \ra1{x-\cos t}\,\dt[x]\Bigr]\,\dt=
\int_{x=a}^b\Bigl[\int_{t=0}^\pi \ra1{x-\cos t}\,\dt\Bigr]\,\dt[x]
$$
Le changement de variable $u=\tan(t/2)$, $t=2\arctan u$,
$\dt=2(1+u^2)^{-1}\,\dt[u]$ permet le calcul de l'intégrale :
\begin{align*}
\int_{t=0}^\pi \ra{\dt}{x-\cos t}
&=  \int_{u=0}^{+\infty} \ra1{x-\ra{1-u^2}{1+u^2}}\ra2{1+u^2}\,\dt[u]
    =2\int_{u=0}^{+\infty} \ra{\dt[u]}{(x+1)u^2+(x-1)}    \\
&=  \ra2{x+1}\int_{u=0}^{+\infty} \ra{\dt[u]}{u^2+\ra{x-1}{x+1}}
    =\ra2{x+1}\;\sqrt{\ra{x+1}{x-1}}
        \arctan u\sqrt{\ra{x+1}{x-1}}\entre[\Big]{u=0}{u\to+\infty}
    =\ra2{\sqrt{x^2-1}}\ra\pi2
\end{align*}
Les calculs s'achèvent par
$$
\int_{t=0}^\pi \ln\ra{b-\cos t}{a-\cos t}\,\dt=
\int_{x=a}^b \ra\pi{\sqrt{x^2-1}}\,\dt[x]=
\pi\ln\bigl(x+\sqrt{x^2-1}\bigr)\entre[\Big]{x=a}{x=b}=
\pi\ln\ra{b+\sqrt{b^2-1}}{a+\sqrt{a^2-1}}
$$
\end{Ex}