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\chapter{Calcul différentiel en plusieurs variables}
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\minitoc
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\indent
  Dans ce chapitre, $U$ désigne une partie ouverte de $\R^p$, $\vc f$ une
application définie sur $U$ à valeurs dans $\R^n$, $\nuple
f=(f_i)_{i\in\Intf1n}$ les applications coordonnées de $\vc f$ relatives à la
base naturelle de $\R^n$; $\vc f$ et les $f_i$ sont, respectivement, des
applications vectorielle et numériques définies sur $U$.

  Quant aux normes sur les espaces $\R^p$ ou $\R^n$, rappelons qu'elles sont
équivalentes (on peut utiliser une quelconque d'entre elles); $\norme{\ }$
désigne une norme quelconque, $\normu{\ }$, $\normd{\ }$ et $\normi{\ }$ sont
les trois normes classiques.

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\section{Limite, continuité}
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\subsection{Rappel}
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\begin{Th}[Caractérisation de la continuité en un point]\alaligne

  Les propositions suivantes sont équivalentes :
\begin{prop}
  \item $\vc f$ est continue en un point $\vc a\in U$;
  \item $\lim_{\vc a}\vc f$ existe et, dans ce cas, cette limite est $\vc f(\vc a)$;
  \item $\qqs\eps>0,\ \exists\eta>0,\ \qqs\vc x\in U,\
\norme{\vc x-\vc a}<\eta\implique\norme{\vc f(\vc x)-\vc f(\vc a)}<\eps$;
  \item l'application $\vc h\mapsto\vc f(\vc a+\vc h)$ admet une limite en $\vc
h=\vc 0$ (cette limite, sous réserve d'existence, est toujours $\vc f(\vc a)$);
  \item pour tout $i\in\Intf1n$, $f_i$ admet une limite en $\vc a$.
\end{prop}
\end{Th}
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\paragraph{En pratique :}

\begin{itemize}
  \item utilisez les théorèmes généraux sur les limites et la continuité;
  \item pour montrer la continuité en un point particulier $\vc a$, effectuez
la translation $\vc x=\vc a+\vc h$ et étudier la limite en $\vc h=\vc 0$;
  \item si $p=2$, utilisez les coordonnées polaires.
\end{itemize}

\begin{Ex}
  Considérons la fonction
$$
f : (x_1,x_2)\in\R^2\mapsto
\begin{cases}
  \dps\ra{x_1x_2}{\sqrt{x_1^2+x_2^2}} & \text{si $(x_1,x_2)\neq\vc0$}   \\
  0                                   & \text{si $(x_1,x_2)=\vc 0$}
\end{cases}
$$
les théorèmes généraux montrent la continuité de $f$ sur $\R^2\prive\{\vc 0\}$.
Au point $(x_1,x_2)=\vc 0$, utilisons les coordonnées polaires; on pose :
$$
x_1=r\cos\theta\et x_2=r\sin\theta
$$
et on obtient :
$$
\abs[\big]{f(x_1,x_2)-f(\vc 0)}=\abs[\Big]{\ra{r\cos\theta\, r\sin\theta}{r}-0}
=r\abs{\cos\theta\sin\theta}
=\ra{r}{2}\abs{\sin2\theta}\leq\ra{r}{2}
$$
ce qui montre que $\abs[\big]{f(x_1,x_2)-f(\vc 0)}\leq\ra12\normd{(x_1,x_2)}$ et
assure la continuité de $f$ en $\vc 0$.
\end{Ex}

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\subsection{Limite suivant un vecteur}
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\paragraph{La situation}

  Soient $\vc a\in U$ et $\vc v$ un vecteur de $\R^p$; puisque $U$ est une
partie ouverte de $\R^p$, il existe un nombre $r'>0$ tel que
$\Bo{a}{r'}\subset U$ et, en posant $r=r'/(2\norme{\vc v})$, on
obtient :
\begin{gather*}
\exists r>0,\ \qqs t\in\intf{-r}{r},\
  \vc a+t\vc v\in\Bf{a}{r'/2}\subset\Bo{a}{r'}\subset U         \\
\text{soit : }\exists r>0,\ \qqs t\in\intf{-r}{r},\ \vc a+t\vc v\in U
\end{gather*}
Nous pouvons donc définir une fonction d'\emph{une seule} variable réelle $t$
par :
\begin{equation}
\bphi_{\vc a,\vc v} : t\in\intf{-r}{r}\mapsto
\bphi_{\vc a,\vc v}(t)=\vc f(\vc a+t\vc v)\in\R^n
\end{equation}

\begin{Df}[Applications partielles]\alaligne

  Les applications $\bphi_{\vc a,\beps_j}$, $j\in\Intf1p$, où
$\puple\beps$ estla base naturelle de $\R^p$, sont appelées \emph{applications
partielles} de $\vc f$ en $\vc a$.
$$
\bphi_{\vc a,\beps_j} : t\mapsto
\vc f(\vc a+t\beps_j)=\vc f(a_1\Dots a_{j-1},a_j+t,a_{j+1}\Dots a_p)
$$
\end{Df}

\begin{Ex}
  Reprenons l'exemple précédent; si $\vc v=(v_1,v_2)$, on obtient :
$$
\vphi_{\vc 0,\vc v}(t)=\ra{v_1t\,v_2t}{\sqrt{v_1^2t^2+v_2^2t^2}}
=\ra{v_1v_2}{\sqrt{v_1^2+v_2^2}}\abs{t}
$$
Les deux applications partielles sont nulles :
$$
\vphi_{\vc 0,\beps_1}(t)=f(0+t,0)=0 \et \vphi_{\vc 0,\beps_2}(t)=f(0,0+t)=0
$$
\end{Ex}

\begin{NB}
  Attention de ne pas confondre les applications partielles et les applications composantes
d'une fonction.
\end{NB}

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\begin{Df}[Limite en un point suivant un vecteur]\alaligne

  On dit que $\vc f$ \emph{admet une limite en $\vc a$ suivant $\vc v$} si, et
seulement si, l'application $\bphi_{\vc a,\vc v}$ admet une limite en $\vc 0$,
\ie{} si, et seulement si, $\lim_{t\to0}\vc f(\vc a+t\vc v)$ existe.

  Dans ce cas, cette limite est notée $\dps\lim_{\substack{\vc x\to\vc a \\ \vc
x\in\vc a+\R\vc v}}\vc f(\vc x)$.
\end{Df}

\begin{NB}
  La limite de $\vc f$ en $\vc a$ suivant $\vc v$ est donc la limite de $\vc f(\vc
x)$ quand $\vc x$ tend vers $\vc a$ en restant sur la droite passant par $\vc
a$ et dirigée par $\vc v$.
\end{NB}

\begin{Th}[Limite et limite suivant un vecteur]\alaligne

  Si $\vc f$ admet $\vc b$ pour limite en $\vc a$, pour tout vecteur $\vc v$,
$\vc f$ admet $\vc b$ pour limite en $\vc a$ suivant $\vc v$.

  La réciproque est fausse.
\end{Th}

\begin{proof}

  Le théorème de composition des limites donne la réponse.

  La fonction $f$ suivante, qui est continue sur $\R^2\prive\{\vc 0\}$, founit un contre-exemple
en $\vc 0$ :
$$
f : (x_1,x_2)\mapsto f(x_1,x_2)=
\begin{cases}
  \dps\ra{x_1x_2^2}{x_1^2+x_2^4}  & \text{si $(x_1,x_2)\neq\vc 0$}    \\
  o                               & \text{si $(x_1,x_2)=\vc 0$}
\end{cases}
$$
Si $\vc v=(v_1,v_2)$ avec $v_1\neq0$, $\dps f(\vc 0+t\vc v)=\ra{tv_1(tv_2)^2}{(tv_1)^2+(tv_2)^4}
=t\ra{v_1v_2^2}{v_1^2+t^2v_2^4}\tend[t\to0]0$.\\
Si $\vc v=(0,v_2)$ avec $v_2\neq0$, $f(\vc 0+t\vc v)=0$.  \\
Ceci montre que $f$ admet $0$ comme limite en $\vc 0$ en suivant un vecteur
(quelconque) $\vc v$ (non nul).

  Or, en suivant la parabole $(\mcal{P}) : t\mapsto(t^2,t)$ on obtient :
$$
f(t^2,t)=\ra{t^2t^2}{t^4+t^4}=\ra12\text{ et donc :
}\lim_{t\to0}f(t^2,t)=\ra12\neq f(\vc 0)
$$
et donc, la fonction $f$ n'est pas continue en $\vc x=\vc0$.
\end{proof}
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\begin{NB}
  Ce théorème s'utilise pour montrer la \emph{non-continuité} ou
l'\emph{inexistence de la limite} d'une application en un point.
\end{NB}

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\section{Applications continûment différentiables}
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\subsection{Dérivée suivant un vecteur}
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\begin{Df}[Dérivée suivant un vecteur]\alaligne

  On dit que la fonction $\vc f$ \emph{admet en $\vc a\in U$ une dérivée suivant le
vecteur $\vc v\in\R^p$} si la fonction $\bphi_{\vc a,\vc v} : t\mapsto\vc f(\vc
a+t\vc v)$ est dérivable en $t=0$.

  Dans ce cas, la dérivée de $\vc f$ en $\vc a$ suivant $\vc v$ se note
$\D_{\vc v}\vc f(\vc a)$ ou encore $\dps\del{\vc f}{\vc v}(\vc a)$. Retenons que :
\begin{equation}
\D_{\vc v}\vc f(\vc a)=\del{\vc f}{\vc v}(\vc a)=
\lim_{t\to 0}\ra1t\Bigl(\vc f(\vc a+t\vc v)-\vc f(\vc a)\Bigr)=
\bphi'_{\vc a,\vc v}(0)
\end{equation}
\end{Df}
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\begin{Df}[Dérivées partielles en un point]\alaligne

  La base naturelle de $\R^p$ étant notée $\puple{\beps}$, on appelle
\emph{dérivée partielle de $\vc f$ suivant la $j$\ieme{} coordonnée}, la dérivée
de $\vc f$ en $\vc a$ suivant $\beps_j$; on la note $\D_j\vc f(\vc a)$, ou
encore $\dps\del{\vc f}{x_j}(\vc a)$ si les variables de $\vc f$ sont notées $\puple{x}$.

\begin{multline}
\D_j\vc f(\vc a)=\del{\vc f}{x_j}(\vc a)
  =\lim_{t\to0}\ra1t\bigl(\vc f(\vc a+t\beps_j)-\vc f(\vc a)\bigr)    \\
=\lim_{t\to0}\ra1t\bigl(\vc f(a_\Dots a_j+t\Dots a_p)
  -\vc f(a_1\Dots a_j\Dots a_p)\bigr)
\end{multline}
\end{Df}
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\begin{NB}
  Pour une fonction $\vc f$ écrite par $\vc f(\vc x)=\vc
f(x_1,x_2\Dots x_j\Dots x_p)$, la dérivée partielle de $\vc f$ en $\vc a$
suivant la $j$\ieme{} coordonnée est la dérivée (ordinaire) calculée en $\vc a$
de $\vc f$ par rapport à $x_j$, les autres variables étant considérées comme fixes.
\end{NB}
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\begin{Prop}[Dérivée partielle en un point et composantes]\alaligne 

  La fonction $\vc f$ admet une dérivée partielle en $\vc a$ suivant la
$j$\ieme{} variable, si, et seulement si, pour tout $i\in\Intf1n$, les
composantes $f_i$ de $\vc f$ admettent une dérivée partielle en $\vc a$ suivant
la $j$\ieme{} variable; dans ce cas, on a :
\begin{equation}
\D_j\vc f(\vc a)=\bigl(\D_jf_1(\vc a)\Dots \D_jf_n(\vc a)\bigr)=
\sum_{i=1}^n\D_jf_i(\vc a)\beps_i
\end{equation}
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\end{Prop}

\begin{proof}
  La fonction $\vc f$ s'écrit : $\vc f(\vc x)=(f_1(\vc x)\Dots f_n(\vc x)=
\sum_{i=1}^nf_i(\vc x)\beps_i$, et $\lim_{t\to0} \ra1t\bigl(\vc f(\vc a+t\vc
v)-\vc f(\vc a)\bigr)$ existe, si, et seulement si,
$\lim_{t\to0} \ra1t\bigl(f_i(\vc a+t\vc v)-f_i(\vc a)\bigr)$ existe pour tout
$i\in\Intf1n$; dans ce cas,
$\lim_{t\to0} \ra1t\bigl(\vc f(\vc a+t\vc v)-\vc f(\vc a)\bigr)=
\sum_{i=1}^n \lim_{t\to0} \ra1t\bigl(f_i(\vc a+t\vc v)-f_i(\vc a)\bigr)\beps_i$.
\end{proof}
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\paragraph{Insuffisance des dérivées partielles.}
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  Contrairement à ce qui se passe pour les fonctions d'une variable où la
dérivabilité implique la continuité, l'existence des dérivées partielles en un
point n'implique pas la continuité en ce point; l'existence des
dérivées en un point suivant tout vecteur, n'implique toujours pas la
continuité en ce point. Voici deux exemples.

  La fonction $f(x_1,x_2)=x_1x_2/(x_1^2+x_2^2)$ pour $\vc x=(x_1,x_2)\neq\vc
0$ et $f(\vc 0)=0$, n'est pas continue en $\vc x=\vc 0$ bien que les dérivées
partielles existent en $\vc x=\vc 0$ (elles sont nulles) :
\begin{gather*}
\D_1f(\vc 0)=\del{f}{x_1}(\vc 0)=
  \lim_{t\to0}\ra1t\bigl(f(t,0)-f(0,0)\bigr)=\lim_{t\to 0}0=0   \\
\D_2f(\vc 0)=\del{f}{x_2}(\vc 0)=
  \lim_{t\to0}\ra1t\bigl(f(0,t)-f(0,0)\bigr)=\lim_{t\to 0}0=0
\end{gather*}
%--------------------------------------------------

  La fonction $f(x_1,x_2)=x_1x_2^3/(x_1^2+x_2^6)$ pour $\vc x=(x_1,x_2)\neq\vc
0$ et $f(\vc 0)=0$, n'est pas continue en $\vc x=\vc 0$ puisque
$f(t^3,t)=\ra12\tendpas[t\to0]0=f(\vc 0)$. Par contre, cette fonction possède en
$\vc0$ des dérivées suivant n'importe quel vecteur $\vc v=(v_1,v_2)$ :
$$
\ra1t\bigl(f(\vc 0+t\vc v)-f(\vc 0)\bigr)=\ra1t f(v_1t,v_2t)=
\ra1t\ra{tv_1(tv_2)^3}{(tv_1)^2+(tv_2)^6}=t\ra{v_1v_2^3}{v_1^2+t^4v_2^6}\tend[t\to0]0=
\D_{\vc v}f(\vc 0)
$$


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\subsection{Fonctions de classe $\mcal{C}^1$}
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\begin{Df}[Application dérivée partielle]\alaligne

  On dit que $\vc f$ admet une dérivée partielle suivant la $j$\ieme{} variable
sur $U$ si $\vc f$ admet une dérivée partielle suivant la $j$\ieme{} variable en
tout point de $U$; elle est notée $\D_j\vc f$ ou $\partial\vc f/\partial x_j$.
\end{Df}
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\begin{Df}[Application de classe $\mcal{C}^1$]\alaligne

  Une fonction $\vc f$ est dite \emph{de classe} $\mcal{C}^1$ sur $U$, un ouvert
de $\R^p$, si les dérivées partielles $\D_j\vc f$ sont des fonctions continues
sur $U$ pour tout $j\in\Intf1p$.

  L'ensemble des applications de classe $\mcal{C}^1$ sur $U$ à valeurs dans
$\R^n$ est noté $\CkIE[U,\R^n]{1}$; $\CkIE[U,\R]{1}$ est aussi noté $\CkIE[U]{1}$.
\end{Df}
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\begin{Th}[Applications de classe $\mcal{C}^1$ et composantes]\alaligne 

  L'application $\vc f=\puple{f}$ est une application de classe $\mcal{C}^1$ sur $U$,
si, et seulement si, pour tout $i\in\Intf1n$, ses composantes $f_i$ sont des
applications de classe $\mcal{C}^1$ sur $U$.
\end{Th}

\begin{proof}
  Dire que $\vc f$ est une application de classe $\mcal{C}^1$ sur $U$, c'est
dire que les applications $\D_j\vc f=\puple{\D_jf}$ sont continues sur $U$ pour tout
$j\in\Intf1p$, soit, pour tout $i\in\Intf1n$, les applications $\D_jf_i$
sont continues sur $U$ pour tout $j\in\Intf1p$, ou encore, pour tout
$i\in\Intf1n$, les applications $f_i$ sont de classe $\mcal{C}^1$ sur $U$.
\end{proof}
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\paragraph{Règles de calcul.}
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  Les dérivées partielles étant des dérivées (ordinaires) par rapport à une
variable, les autres étant considérées comme des paramètres fixes, les règles de
calcul, à part la composition, sont identiques aux règles de calcul des dérivées
dans le cas d'une variable. Ainsi :

\begin{itemize}
  \item somme : $\D_j(\la\vc f+\mu\vc g)=\la\D_j\vc f+\mu\D_j\vc g$;
  \item produit : $\D_j(fg)=(\D_j f)g+f\D_j g$ si $f$ et $g$ sont deux
fonctions numériques (réelles ou complexes);
  \item inverse : $\dps\D_j\Bigl(\ra1f\Bigr)=-\ra{\D_j f}{f^2}$ si $f$ est une
fonction numérique qui ne s'annule pas;
  \item composition avec une application linéaire : $\D_j\bigl(u(\vc
f)\bigr)=u(\D_j \vc f)$ si $u\in\LEF[\K^n,\K^q]$ et $\vc f\in\CkIE[U,\K^n]{1}$; en
particulier, $\D_j(\conjug{f})=\conjug{\D_j f}$, $\D_j(\RE f)=\RE(\D_j f)$ et
$\D_j(\IM f)=\IM(\D_j f)$;
  \item composition avec une applications bilinéaires : $\D_j B(\vc f,\vc
g)=B(\D_j\vc f;\vc g)+B(\vc f,\D_j\vc g)$ si $B$ est une application bilinéaire
de $\K^n\times\K^m$ dans $\K^q$, $\vc f\in\CkIE[U,\K^n]{1}$ et $\vc
g\in\CkIE[U,\K^m]{1}$; en particulier :
\begin{align*}
\D_j(AB)
&=  (\D_j A)B+A\D_j B       &&\text{ si $A$ et $B\in\CkIE[U,\Mn{\R}]{1}$}     \\
\D_j(\vc f\wedge\vc g)  
&=\D_j\vc f\wedge\vc g+\vc f\wedge\D_j\vc g &&\text{ si $\vc f$
          et $\vc g\in\CkIE[U,\R^3]{1}$}                                      \\
\D_j\scal{\vc f}{\vc g}
&=  \scal{\D_j\vc f}{\vc g}+\scal{\vc f}{\D_j\vc g}   &&\text{ si
$\vc f$ et $\vc g\in\CkIE[U,\R^n]{1}$}
\end{align*}
%--------------------------------------------------
\end{itemize}
Ainsi, $\CkIE[U,\R^n]{1}$ est un $\R$-espace vectoriel et $\CkIE[U]{1}$ est une $\R$-algèbre.


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\subsection{Dérivée suivant un vecteur pour les fonctions de classe
$\mcal{C}^1$}
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\begin{Th}
  Si $\vc f$ est une fonction de classe $\mcal{C}^1$ sur un ouvert $U$ de $\R^p$
et $\vc v$ un vecteur de $\R^p$, $\vc f$ admet en tout point $\vc a\in U$ une
dérivée suivant $\vc v$ qui est donnée par :
$$
\D_{\vc v}\vc f(\vc a)=\sum_{j=1}^p v_j\D_j\vc f(\vc a)=\sum_{j=1}^p v_j \del{\vc
f}{x_j}(\vc a)
$$
\end{Th}

\begin{proof}\alaligne

  Cas d'une fonction numérique de deux variables ($p=2$) pour faciliter la lecture et
surtout l'écriture. Si $\vc v=(v_1,v_2)\in\R^2$ et $\vc a=(a_1,a_2)\in U$, on a :
\begin{align*}
\ra{f(\vc a + t\vc v)- f(\vc a)}{t}
&=  \ra{f(a_1+tv_1,a_2+tv_2)-f(a_1,a_2)}{t}                                           \\
&=  \ra{f(a_1+tv_1,a_2+tv_2)-f(a_1,a_2+tv_2)}{t}+\ra{f(a_1,a_2+tv_2)-f(a_1,a_2)}{t}   \\
&=  v_1\del{f}{x_1}(a_1+\theta_1tv_1,a_2+tv_2)+v_2\del{f}{x_2}(a_1,a_2\theta_2tv_2)   \\
&\hspace{-2cm}  \text{(égalité des accroissements finis pour les fonctions
    réelles d'\emph{une} variable, $\theta_1$ et $\theta_2\in\into01$)}               \\
&\tend[t\to0] v_1\del{f}{x_1}(a_1,a_2)+v_2\del{f}{x_2}(a_1,a_2)
    =v_1\D_1 f(\vc a)+v_2\D_2 f(\vc a)                                                \\
&\hspace{-2cm}  \text{(continuité des dérivées partielles)}
\end{align*}
%--------------------------------------------------

  Cas d'une fonction vectorielle $\vc f=\sum_{i=1}^n f_i\beps_i$ :
$$
\D_{\vc v}\vc f(\vc a)
= \sum_{i=1}^n\D_{\vc v}f_i(\vc a)\beps_i
    =\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^p v_j\del{f_i}{x_j}(\vc a)\beps_i
= \sum_{j=1}^p\sum_{i=1}^n v_j\del{f_i}{x_j}(\vc a)\beps_i
    =\sum_{j=1}^p v_j\del{\vc f}{x_j}(\vc a)
$$
%--------------------------------------------------
\end{proof}
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\begin{NB}
  Pour aller de $\vc a$ à $\vc a+\vc h=\vc a+t\vc v$, nous avons pris le chemin
des écoliers, à savoir un chemin dont les côtés sont parallèles aux axes; c'est
une obligation pour utiliser l'égalité des accroissements finis des fonctions
d'\emph{une} variable réelle : sur chacun des
côtés, toutes les variables sont fixés, exceptées l'une d'entre elles. Le bon
chemin, qui est la ligne droite, ne peut être utilisé pour l'instant; ce n'est que
partie remise.
\end{NB}
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\subsection{Développement limité à l'ordre un des fonctions de classe
$\mcal{C}^1$}
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\begin{Th}
  Si $\vc f$ est une application de classe $\mcal{C}^1$ sur un ouvert de $\R^p$,
on a :
\begin{equation}
\qqs\vc a\in U,\
\vc f(\vc a+\vc h)\buildrel{=}_{\vc h\to\vc 0}^{}
  \vc f(\vc a)+\sum_{j=1}^p h_j\D_j\vc f(\vc a)+\oo[\big]{\norme{\vc h}}
\end{equation}
\end{Th}

\begin{proof}\alaligne

    Cas d'une fonction numérique de deux variables ($p=2$) pour faciliter la lecture et
surtout l'écriture. Si $\vc h=(h_1,h_2)$ et $\vc a=(a_1,a_2)\in U$, on a, en
utilisant le chemin des écoliers à côtés parallèles aux axes :
\begin{align*}
\abs[\Big]{f(a_1
&+  h_1,a_2+h_2)- f(a_1,a_2)-h_1\del{f}{x_1}(a_1,a_2)-h_2\del{f}{x_2}(a_1,a_2)}   \\
&\leq   \abs[\Big]{f(a_1+ h_1,a_2+h_2)- f(a_1,a_2+h_2)-h_1\del{f}{x_1}(a_1,a_2)}  \\
&\phantom{\abs[\Big]{f(a_1+ h_1,a_2+h_2)-}}
  +\abs[\Big]{f(a_1,a_2+h_2)- f(a_1,a_2)-h_2\del{f}{x_2}(a_1,a_2)}                \\
&=  \abs{h_1}\abs[\Big]{\del{f}{x_1}(a_1+\theta_1h_1,a_2+h_2-\del{f}{x_1}(a_1,a_2)}
  +
    \abs{h_2}\abs[\Big]{\del{f}{x_2}(a_1,a_2+\theta_2 h_2)-\del{f}{x_2}(a_1,a_2)}   \\
&\hspace{-.5cm} \text{égalité des accroissements finis pour les fonctions
    réelles d'\emph{une} variable, $\theta_1$ et $\theta_2\in\into01$}              \\
&\leq \normi{\vc h}\Bigl(
  \abs[\Big]{\del{f}{x_1}(a_1+\theta_1h_1,a_2+h_2)-\del{f}{x_1}(a_1,a_2)}
  +
  \abs[\Big]{\del{f}{x_2}(a_1,a_2+\theta_2 h_2)-\del{f}{x_2}(a_1,a_2)}
                    \Bigr)                                                          \\
&=  \normi{\vc h}\eps(\vc h)
  \qquad\text{avec $\dps\lim_{\vc h\to\vc 0}\eps(\vc h)=0$ car
    $\del{f}{x_1}$ et $\del{f}{x_2}$ sont continues au point $\vc a$}
\end{align*}
%--------------------------------------------------

  Cas d'une fonction vectorielle $\vc f=\sum_{i=1}^n f_i\beps_i$ :
\begin{align*}
\normi[\Big]{\vc f(\vc a+\vc h)
&-  \vc f(\vc a)-\sum_{j=i}^p h_j\D_j\vc f(\vc a)}
    =\sup_i\abs[\Big]{f_i(\vc a+\vc h)-f_i(\vc a)-\sum_{j=i}^p h_j\D_j f_i(\vc a)}  \\
&=  \sup_i\bigl(\normi{\vc h}\,\abs{\eps_i(\vc h)}\bigr)
    =\normi{\vc h}\sup_i\bigl(\abs{\eps_i(\vc h)}\bigr)
    \buildrel{=}_{\vc h\to\vc 0}^{}\oo{\normi{\vc h}}
\end{align*}
%--------------------------------------------------
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{NB}
  Le théorème précédent s'interprète de la manière suivante : l'accroissement
$\vc f(\vc a+\vc h)-\vc f(\vc a)$ de la fonction $\vc f$ au voisinage du point
$\vc a$ est de l'ordre de $\sum_{j=1}^ph_j\D_j\vc f(\vc a)=\sum_{j=1}^p h_j\del{\vc
f}{x_j}(\vc a)$; à un terme près négligeable devant $\norme{\vc h}$, on peut donc
remplacer $\vc f(\vc a+\vc h)-\vc f(\vc a)$ par $\sum_{j=1}^ph_j\D_j\vc f(\vc a)
=\sum_{j=1}^p h_j\del{\vc f}{x_j}(\vc a)$.
\end{NB}
%--------------------------------------------------

\begin{Cor}[Continuité des fonctions de classe $\mcal{C}^1$]\alaligne

  Toute fonction de classe $\mcal{C}^1$ sur un ouvert $U$ de $\R^p$ est continue
sur $U$.
\end{Cor}

\begin{proof}
  $\vc f(\vc a+\vc h)-\vc f(\vc a)=\sum_{j=1}^p h_j\D_j\vc f(\vc a)+\oo{\norme{\vc
h}}\tend[\vc h\to\vc 0]\vc 0$
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Différentielle d'une fonction}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{Df}[Différentielle d'une fonction de classe $\mcal{C}^1$]\alaligne

  Si $\vc f$ est une application de classe $\mcal{C}^1$ sur un ouvert
$U\subset\R^p$ et $\vc a\in U$, l'application
\begin{equation}
\vc h\in\R^p\mapsto
  \D_{\vc h}\vc f(\vc a)=\sum_{j=1}^p h_j\D_j\vc f(\vc a)
  =\sum_{j=1}^p h_j\del{\vc f}{x_j}(\vc a)
\end{equation}
est une application linéaire; elle est appelée \emph{différentielle de $\vc f$
au point $\vc a$} et notée $d\vc f(\vc a)$.
\end{Df}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{NB}
  Avec ces notations, on obtient :
$$
\vc f(\vc a+\vc h)=\vc f(\vc a)+d\vc f(\vc a)(\vc h)+\oo{\norme{\vc h}}
$$
$\vc f$ est approchée par une application linéaire au voisinage de $\vc a$. 
\end{NB}
%--------------------------------------------------

\begin{Df}[Matrice jacobienne]\alaligne

  La matrice de l'application linéaire $d\vc f(\vc a)$ relativement aux
bases naturelles de $\R^p$ et $\R^n$, est appelée \emph{matrice jacobienne} de
$\vc f$ au point $\vc a$ et notée $\J_{\vc f}(\vc a)$; ainsi $\J_{\vc f}(\vc a)$
est une matrice à $n$ lignes ($n$ le nombre de composantes de $\vc f$, \ie{} la
dimension de l'espace but) et $p$ colonnes ($p$ le nombre de variables, \ie{} la
dimension de l'espace source).
\begin{equation}
\J_{\vc f}(\vc a)=\bigl(\D_1\vc f(\vc a)\Dots \D_p\vc f(\vc a)\bigr)
=\bigl[\D_j f_i(\vc a)\bigr]_{i,j}
=\Bigl[\del{f_i}{x_j}(\vc a)\Bigr]_{i,j}
\end{equation}
\end{Df}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{Exs}\alaligne

\begin{itemize}
  \item Cas d'une fonction vectorielle d'\emph{une} variable réelle : $p=1$.
Soit $\vc f : t\in I\subset\R\mapsto  \vc f(t)=\bigl(f_1(t)\Dots f_p(t)\bigr)$;
$\J_{\vc f}(t)$ est la matrice colonne $\trans\bigl(f'_1(t)\Dots f'_p(t)\bigr)$
et $\J_{\vc f}(t)$ s'identifie avec le vecteur dérivée $\vc f'(t)$.

  \item Cas d'une fonction \emph{numérique} de $p$ variables : $n=1$.
Soit $f : \vc x=(x_1\Dots x_p)\in U\subset\R^p\mapsto f(x_1\Dots x_p)$;
$\J_{f}(\vc a)$ est la matrice ligne $\bigl(\D_1 f(\vc a)\Dots \D_p f(\vc a)\bigr)
=\bigl(\del{f}{x_1}(\vc a)\Dots \del{f}{x_p}(\vc a)\bigr)$ et
$\J_{f}(\vc a)$ s'identifie au vecteur gradient de $\vc f$ en $\vc a$.

  \item Cas général.
Soit $\Phi : (r,\theta)\in\R^2\mapsto\Phi(r,\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta)\in\R^2$;
$\J_\Phi(r,\theta)$ est une matrice à deux lignes et deux colonnes :
$$
\J_\Phi(r,\theta)
=\bigl(\del{\Phi}{r}(r,\theta),\del{\Phi}{\theta}(r,\theta)\bigr)
=
\begin{pmatrix}
\cos\theta  & -r\sin\theta      \\
\sin\theta  & r\cos\theta
\end{pmatrix}
$$

  Considérons maintenant l'application $z\in\C\mapsto\exp z$ que l'on identifie
en une application de $\R^2$ dans $\R^2$ par $f : (x,y)\in\R^2\mapsto(e^x\cos
y,e^x\sin y)$; la matrice jacobienne $\J_f(x,y)$ est une matrice carrée d'ordre
deux et :
$$
\J_f(x,y)=
\begin{pmatrix}
e^x\cos y   &   -e^x\sin y      \\
e^x\sin y   &   e^x\cos y
\end{pmatrix}
$$
\end{itemize}
\end{Exs}

\begin{Df}[Jacobien]\alaligne

  Le déterminant de la matrice jacobienne est appelé \emph{jacobien} de $\vc f$
au point $\vc a$. Ceci n'a, bien sûr, de sens que si la matrice jacobienne est
une matrice \emph{carrée}.
\end{Df}
%----------------------------------------------------------------------

  Reprenons les exemples précédents; $\det\J_\Phi(r,\theta)=r$, ce qui montre que
$\J_{\Phi}(r,\theta)$ est une matrice inversible, si, et seulement si, $r$ est
un nombre différent de zéro; $\det\J_f(x,y)=e^x$ et la matrice jacobienne
$\J_f(x,y)$ est toujours inversible.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Composition des applications de classe $\mcal{C}^1$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

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\subsection{La situation}
%----------------------------------------------------------------------

  Considérons $\vc f$ une application de classe $\mcal{C}^1$ d'un ouvert $U$ de
$\R^p$ à valeurs dans $\R^n$, dont les variables sont notées $\vc x=(x_1\Dots x_p)$,
et $\vc\bphi=(\vphi_1\Dots\vphi_p)$ une application de classe $\mcal{C}^1$
d'un ouvert $V$ de $\R^q$ à valeurs dans $U$ pour permettre la composition, dont
les variables sont notées $\vc t=(t_1\Dots t_q)$. On
pose $\vc g=\vc f\rond\bphi$. 

  Il nous faut montrer que $\vc g$ est une application de classe $\mcal{C}^1$
sur l'ouvert $V$, et surtout, donner une formule du calcul des dérivées
partielles $\D_k\vc g=\del{\vc g}{t_k}$ en un point $\btau\in V$ en fonction des
dérivées partielles de $\vc f$ et de $\bphi$.

%----------------------------------------------------------------------
\subsection{Un cas particulier $q=1$}
%----------------------------------------------------------------------

  On considère $\vc f\in\CkIE[U,\R^n]{1}$ et
$\bphi=(\vphi_1\Dots\vphi_p)\in\CkIE[I,U]{1}$ avec $I$ un intervalle de $\R$; ainsi
$$
\vc g=\vc f\rond\bphi : t\in I\mapsto
\vc f\bigl(\bphi(t)\bigr)=\vc f\bigl(\vphi_1(t)\Dots\vphi_p(t)\bigr)
$$

\begin{Prop}
  Si $\vc f\in\CkIE[U,\R^n]{1}$ et
$\bphi=(\vphi_1\Dots\vphi_p)\in\CkIE[I,U]{1}$, $\vc g=\vc f\rond\bphi$ est une
application de classe $\mcal{C}^1$ sur l'intervalle $I$ et :
\begin{equation}
\qqs t\in I,\
\vc g'(t)=\dd{}{t}\Bigl(\vc f\rond\bphi(t)\Bigr)
  =\sum_{j=1}^p\del{\vc f}{x_j}\bigl(\bphi(t)\bigr)\vphi'_j(t)
  =\D_{\bphi'(t)}\vc f\bigl(\bphi(t)
\bigr)
\end{equation}
%--------------------------------------------------
\end{Prop}

\begin{proof}
  Dans le cas particulier de deux variables pour $\vc f$ ($p=2$), pour faciliter
la compréhension et l'écriture.

  Calculons le développement limité de $\vc g$ à l'ordre $1$ au voisinage de
$t=\tau$; on posera $\vc a=\bphi(\tau)$; commençons par celui de $\bphi$ :
$$
\bphi(\tau+h)=\bphi(\tau) + h\bphi'(\tau)+h\beps(h)=\vc a+\vc H
$$
en posant $\vc a=\bphi(\tau)$; continuons par celui de l'application $\vc f$ de
classe $\mcal{C}^1$ au voisinage  de $\vc x=\vc a$ :
\begin{align*}
\vc f(\vc a+\vc H)
&=  \vc f(\vc a)+H_1\del{\vc f}{x_1}(\vc a)+H_2\del{\vc f}{x_2}(\vc
  a)+\oo{\norme{\vc H}}                                               \\
&=  \vc f(\vc a)
  + \bigl(h\vphi'_1(\tau)+h\eps_1(h)\bigr)\del{\vc f}{x_1}(\vc a)
  + \bigl(h\vphi'_2(\tau)+h\eps_2(h)\bigr)\del{\vc f}{x_2}(\vc a)
  + \oo{\norme{\vc H}}                                                  \\
&=  \vc f(\vc a)
  + h\Bigl(\vphi'_1(\tau)\del{\vc f}{x_1}(\vc a)
      + \vphi'_2(\tau)\del{\vc f}{x_2}(\vc a)\Bigr) + \oo{h}
\end{align*}
%--------------------------------------------------
car $\vc H=h\bphi'(\tau)+h\beps(h)=\OO{h}$, ce qui implique que tout expression
négligeable devant $\norme{\vc H}$, est négligeable devant $h$. Bref, nous
venons de calculer le développement limité de $\vc g$ à l'ordre un, au voisinage
de $t=\tau$; le coefficient de $h$ est le vecteur dérivée $\vc g'(\tau)$, soit
$$
\vc g'(\tau)
=\vphi'_1(\tau)\del{\vc f}{x_1}(\vc a) + \vphi'_2(\tau)\del{\vc f}{x_2}(\vc a)
=\D_{\bphi'(\tau)}\vc f(\vc a)
$$
Remarquons que $t\mapsto\vc g'(t)$ est une fonction continue, ce qui assure la
classe $\mcal{C}^1$ pour $\vc g$.
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

%----------------------------------------------------------------------
\paragraph{Interprétation à l'aide des jacobiennes}\alaligne
%----------------------------------------------------------------------

  La matrice jacobienne $\J_{\vc g}(t)$ est la matrice colonne des composantes du
vecteur $\vc g'(t)$, soit $\J_{\vc g}(t)=\bigl(\vc g'(t)\bigr)=
\bigl(\sum_{j=1}^p\vphi'_j(t)\del{\vc f}{x_j}(\vphi(t))\bigr)$, égale au produit
des matrices jacobiennes $\J_{\vc f}\bigl(\bphi(t)\bigr)$ et $\J_{\bphi}(t)$.
\begin{equation}
\J_{\vc g}(t)=\bigl(\vc g'(t)\bigr)
=\J_{\vc f}\bigl(\bphi(t)\bigr)\times\J_{\bphi}(t)
=\Bigl(\del{\vc f}{x_1}\bigl(\bphi(t)\bigr)\Dots\del{\vc f}{x_p}\bigl(\bphi(t)\bigr)\Bigr)
\times
\begin{pmatrix}
\vphi'_1(t)   \\
\vdots      \\
\vphi'_p(t)
\end{pmatrix}
\end{equation}
%--------------------------------------------------

%----------------------------------------------------------------------
\paragraph{Interprétation à l'aide des différentielles}\alaligne
%----------------------------------------------------------------------

  Partons de la différentielle de $\vc f$ : $\dt[]\vc f(\vc x)=\sum_{j=1}^p\del{\vc
f}{x_j}(\vc x)\,\dt[x_j]$. Le calcul de la différentielle de $\vc g=\vc f\rond\bphi
: t\mapsto\vc f\bigl(\vphi_1(t)\Dots\vphi_p(t)\bigr)$
s'effectue en substituant à $\dt[x_j]$ la différentielle
$\dt[]\vphi_j(t)=\vphi'_j(t)\,\dt$ de $\vphi_j$ :
$$
\dt[]\vc g(t)=\dt[]\Bigl(\vc f\bigl(\vphi_1(t)\Dots\vphi_p(t)\bigr)\Bigr)
=\sum_{j=1}^p\del{\vc f}{x_j}\bigl(\bphi(t)\bigr)\,\dt[]\vphi_j(t)
=\sum_{j=1}^p\del{\vc f}{x_j}\bigl(\bphi(t)\bigr)\vphi'_j(t)\,\dt
$$
Puisque $\dt[]\vc g(t)=\vc g'(t)\,\dt$, le \og coefficient\fg{} de $\dt$ donne la
dérivée $\vc g'(t)$ et la formule est retrouvée.


%----------------------------------------------------------------------
\subsection{Le cas général}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{Th}[Composition de deux applications de classe $\mcal{C}^1$]\alaligne

  Si $\vc f\in\CkIE[U,\R^n]{1}$ et $\bphi\in\CkIE[V,U]{1}$, la fonction
$$
\vc g=\vc f\rond\bphi : \vc t=(t_1\Dots t_q)\mapsto
\vc f\bigl(\vphi_1(t_1\Dots t_q)\Dots\vphi_q(t_1\Dots t_q)\bigr)
$$
est une application de classe $\mcal{C}^1$ sur l'ouvert $V$ et, en posant $\vc
a=\bphi(\btau)$,
\begin{equation}
\qqs k\in\Intf1q,\ \del{\vc g}{t_k}(\btau)
  =\sum_{j=1}^p\del{\vc f}{x_j}(\vc a)\del{\vphi_j}{t_k}(\btau)
\end{equation}
que l'on écrit aussi :
\begin{equation}
\D_k\vc g(\btau)=\sum_{j=1}^p \D_j\vc f(\vc a)\D_k\vphi_j(\btau)
\end{equation}
\end{Th}

\begin{proof}
  $\del{\vc g}{t_k}(\btau)$ est la dérivée (ordinaire) de la fonction d'\emph{une}
variable 
$$
t\mapsto\vc g(\tau_1\Dots t\Dots\tau_q)
=\vc f\bigl(\vphi_1(\tau_1\Dots t\Dots\tau_q)\Dots\vphi_p(\tau_1\Dots t\Dots\tau_q)\bigr)
$$
calculée au point $t=\tau_k$, la variable $t$ se plaçant en $k$\ieme{}{} place.
La formule précédente donne le résultat.

  Remarquons que, pour tout $k\in\Intf1q$, les applications 
$\partial\vc g/\partial t_k$ sont continues, ce qui assure la classe
$\mcal{C}^1$ de $\vc g$ sur $V$.
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

%----------------------------------------------------------------------
\paragraph{Interprétation à l'aide des matrices jacobiennes}\alaligne
%----------------------------------------------------------------------

  La formule précédente s'écrit matriciellement sous la forme :
\begin{equation}
\J_{\vc g}(\btau)=\J_{\vc f}\bigl(\bphi(\btau)\bigr)\times\J_{\bphi}(\btau)
\end{equation}
%--------------------------------------------------

%----------------------------------------------------------------------
\paragraph{Interprétation à l'aide des différentielles}\alaligne
%----------------------------------------------------------------------

  Partons de la différentielle de $\vc f$ : $\dt[]\vc f(\vc x)=\sum_{j=1}^p\del{\vc
f}{x_j}(\vc x)\,\dt[x_j]$. Le calcul de la différentielle de
$$
\vc g=\vc f\rond\bphi : \vc t=(t_1\Dots t_q)\mapsto
\vc f\bigl(\vphi_1(t_1\Dots t_q)\Dots\vphi_p(t_1\Dots t_q)\bigr)
$$
s'effectue en substituant à $\dt[x_j]$ la différentielle
$\dt[]\vphi_j(\vc t)=\sum_{k=1}^q\del{\vphi_j}{t_k}(\vc t)\,\dt[t_k]$ de $\vphi_j$ :
\begin{align*}
\dt[]\vc g(\vc t)
&=  \dt[]\Bigl(\vc f\bigl(\vphi_1(t_1\Dots t_q)\Dots\vphi_p(t_1\Dots t_q)\bigr)\Bigr)
  = \sum_{j=1}^p\del{\vc f}{x_j}\bigl(\bphi(\vc t)\bigr)\,\dt[]\vphi_j(\vc t)         \\
&=  \sum_{j=1}^p\del{\vc f}{x_j}\bigl(\bphi(\vc t)\bigr)
      \Bigl(\sum_{k=1}^q\del{\vphi_j}{t_k}(\vc t)\,\dt[t_k]\Bigr)
  = \sum_{k=1}^q\Bigl(\sum_{j=1}^p\del{\vc f}{x_j}\bigl(\bphi(\vc
      t)\bigr)\del{\vphi_j}{t_k}(\vc t)\Bigr)\,\dt[t_k]
\end{align*}
Puisque $\dt[]\vc g(\vc t)=\sum_{k=1}^q\del{\vc g}{t_k}(\vc t)\,\dt[t_k]$, le \og
coefficient\fg{} de $\dt[t_k]$ donne la dérivée partielle $\del{\vc g}{t_k}$ et la
formule est retrouvée.



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\subsection{Une application}
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\begin{Prop}
  Si $A$ et $I$ sont deux intervalles de $\R$ et $f$ une fonction numérique
(réelle ou complexe) continue sur $A\times I$ telle que $\partial f/\partial
x$ soit aussi continue sur $A\times I$, la fonction
\begin{equation}
F : (u,v,w)\mapsto \int_u^v f(w,t)\,\dt
\end{equation}
est de classe $\mcal{C}^1$ sur $I\times I\times A$.
%--------------------------------------------------
\end{Prop}

\begin{proof}
  Les fonctions $\del Fu(u,v,w)=-f(w,u)$ et $\del Fv(u,v,w)=f(w,v)$ sont
continues sur $I\times I\times A$, ainsi que la fonction :
$$
\del Fw(u,v,w)=\int_u^v\del fx(w,t)\,\dt=\int_u^v\D_1 f(w,t)\,\dt
$$
dont la démonstration (non évidente) est laissée aux soins du lecteur. 
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{Cor}
  Sous les mêmes hypothèses et pour $\alpha$et $\beta\in\CkIE[A,I]{1}$, la
fonction
$$
g : x\mapsto\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(x,t)\,\dt
$$
est de classe $\mcal{C}^1$ sur $A$ et
\begin{equation}
\qqs x\in A,\
g'(x)=\beta'(x)f\bigl(\beta(x),x\bigr)-\alpha(x)f\bigl(\alpha(x),x)\bigr)
  +
  \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}\del fx(x,t)\,\dt
\end{equation}
%--------------------------------------------------
\end{Cor}

\begin{proof}
  Utilisant les notations de la proposition précédente,
$g(x)=F\bigl(\alpha(x),\beta(x),x)\bigr)$; le théorème de composition montre que
$g$ est une fonction de classe $\mcal{C}^1$ sur $A$ et :
\begin{align*}
g'(x)
&=  \dd{}x\Bigl(F\bigl(\alpha(x),\beta(x),x)\bigr)\Bigr)      \\
&=  \del Fu\bigl(\alpha(x),\beta(x),x)\bigr)\alpha'(x)
    + \del Fv\bigl(\alpha(x),\beta(x),x)\bigr)\beta'(x)
    + \del Fw\bigl(\alpha(x),\beta(x),x)\bigr)                \\
&=  -f\bigl(\alpha(x),x)\bigr)\alpha'(x)
    + f\bigl(\beta(x),x)\bigr)\beta'(x)
    + \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}\del fx(x,t)\,\dt
\end{align*}
%--------------------------------------------------
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Coordonnées polaires}
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%----------------------------------------------------------------------
\subsection{Argument d'un nombre complexe}
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%----------------------------------------------------------------------
\subsubsection{Cas des nombres complexes de module $1$}
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  On note $\U$ l'ensemble des nombres complexes de module $1$. Rappelons qu'un
argument de $z\neq0$, noté $\arg z$, est un nombre réel tel que
$z=\abs{z}\exp(\ii\arg z)$; ce nombre n'est pas unique, deux arguments d'un même
nombre complexe diffèrent d'un multiple entier de $2\pi$.

\begin{Th}[Détermination principale de l'argument]\alaligne

  $\theta\mapsto\exp \ii\theta=\cos\theta+\ii\sin\theta$ réalise une bijection
continue de $\into{-\pi}\pi$ sur $\U\prive\{-1\}$, dont l'application réciproque
\begin{equation}
z\in\U\mapsto\Arg z=2\arctan\ra{y}{1+x}
\end{equation}
est continue ($x=\RE z$, $y=\IM y$, $x^2+y^2=1$ et $x\neq -1$).
\end{Th}

\begin{proof}
  Seule la réciproque mérite une démonstration. Si $z=\exp(\ii\theta)=x+\ii y\in\U\prive\{-1\}$,  
le quadrilatère de sommets $(0,1,1+z,z)$ est un losange
(parallélogramme avec deux côtés successifs de même longueur);  le nombre
complexe $1+z$, diagonale de ce losange, dirige la bissectrice, son
argument est $\theta/2$ et
$$
\tan\ra\theta2=\ra{\IM(1+z)}{\RE(1+z)}=\ra{y}{1+x}
\qquad\text{soit}\qquad
\ra\theta2=\arctan\ra{y}{1+x}
$$
puisque $\theta/2\in\into{-\pi/2}{\pi/2}$.

  Une démonstration analytique est possible :
$1+z=1+\exp(\ii\theta)
=\exp(\ii\theta/2)\bigl(\exp(-\ii\theta/2)+\exp(\ii\theta/2)\bigr)
=2(\cos\theta)\exp(\ii\theta/2)$, nombre complexe de module $2\cos(\theta/2)$ et
d'argument $\theta/2$, \etc\dots
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------


%----------------------------------------------------------------------
\subsubsection{Cas des nombres complexes en dehors du demi-axe réel négatif}
%----------------------------------------------------------------------

  La fonction $\Arg$ se prolonge en une fonction de classe $\mcal{C}^1$ sur la
partie ouverte $\C\prive\intof{-\infty}0$, appelée \emph{détermination
principale de l'argument}, par
\Reponse{$\dps
\qqs z=x+\ii y\in\C\prive\intof{-\infty}0,\
\Arg(z)=\Arg\Bigl(\ra{z}{\abs{z}}\Bigr)
=2\arctan\ra{y}{x+\sqrt{x^2+y^2}}
$}
Remarquons que $x+\sqrt{x^2+y^2}=0\iff x=-\sqrt{x^2+y^2}\et x^2=x^2+y^2\iff
y=0\et x\leq0\iff z=x+\ii y\in\intof{-\infty}0$

\begin{NBs}[]\alaligne

  Il y a des difficultés à prendre $\arctan(y/x)$ ou $\arctan(x/y) + cte$, car
l'expression de l'argument utilisant ce type de formule dépend du quadrant dans
lequel se place $z$.

  La fonction $\Arg$ ne peut se prolonger en $z=-1$ en une fonction continue sur
$\U$, car la limite de $\Arg z$ quand $z$ tend vers $-1$ en restant, à la fois, dans $\U$ et
dans le demi-plan supérieur (resp. inférieur) est $\pi$ (resp. $-\pi$).

  On peut, par contre, suivre \og à la trace\fg{} l'argument d'un nombre
complexe qui varie continûment; c'est l'objet du théorème du relèvement.
\end{NBs}
%--------------------------------------------------

%----------------------------------------------------------------------
\subsubsection{Relèvement d'une application}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{Th}[Relèvement d'une application à valeurs dans $\U$]\alaligne

  Si $I$ est un intervalle de $\R$ et $f\in\CkIE[I,\U]{k}$
($k\in\Intf1{+\infty}$), il existe une fonction $\theta\in\CkIE[I,\R]{k}$,
unique à l'addition d'un multiple entier de $2\pi$, telle que :
\begin{equation}
\qqs t\in I,\ f(t)=\exp\bigl(\ii\theta(t)\bigr) 
\end{equation}
\end{Th}

\begin{proof}
  Analyse. Une dérivation donne $f'(t)=\ii\theta'(t)\exp\bigl(\ii\theta(t)\bigr)
=\ii\theta'(t)f(t)$, soit
$$
\qqs t\in I,\ \theta'(t)=-\ii\ra{f'(t)}{f(t)}
$$
La fonction $\theta$ est unique à une constante près, constante qui ne peut-être
qu'un multiple entier de $2\pi$ pour permettre l'égalité des arguments.

  Synthèse. Soient $t_0\in I$ et $\theta$ \emph{la} primitive de $-\ii f'/f$ qui vaut
$\Arg\bigl(f(t_0)\bigr)$ si $f(t_0)\neq-1$ ou $\pi$ sinon. Attention de ne pas
parler de logarithme, puisque la fonction $-\ii f'/f$ est à valeurs complexes. Ainsi,
$$
\qqs t\in I,\
\dd{}{t}\Bigl(f(t)\exp\bigl(-\ii\theta(t)\bigr)\Bigr)
=f'(t)\exp\bigl(-\ii\theta(t)\bigr)
  + f(t)\exp\bigl(-\ii\theta(t)\bigr)\bigl(-\ii\theta'(t)\bigr)=0
$$
La fonction $t\mapsto f(t)\exp\bigl(-\ii\theta(t)\bigr)$ est 
constante sur l'\emph{intervalle} $I$, égale à $1$ vu sa valeur en $t_0$, ce qui
donne le résultat. D'autre part, la
fonction $\theta$ est de classe $\mcal{C}^k$ puisque $\theta'$ est une
fonction de classe $\mcal{C}^{k-1}$.
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{Cor}[Relèvement d'une application à valeurs dans $\C\prive\{0\}$]\alaligne

  Si $I$ est un intervalle de $\R$ et $f\in\CkIE[I,\C\prive\{0\}]{k}$
($k\in\Intf1{+\infty}$), il existe une fonction $\theta\in\CkIE[I,\R]{k}$,
unique à l'addition d'un multiple entier de $2\pi$, telle que :
\begin{equation}
\qqs t\in I,\ f(t)=\abs[\big]{f(t)}\exp\bigl(\ii\theta(t)\bigr) 
\end{equation}
\end{Cor}

\begin{proof}
  On applique le théorème précédent à la fonction $t\mapsto f(t)/\abs[\big]{f(t)}$.
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{NBs}\alaligne

  Ce corollaire montre que toute courbe plane qui ne passe pas par l'origine, est
susceptible d'être représentée à l'aide d'une paramétrisation polaire.

  Le théorème du relèvement est encore vraie pour les applications continues,
mais sa démonstration en est plus délicate.
\end{NBs}



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\subsection{Repère polaire du plan euclidien}
%----------------------------------------------------------------------

  Considérons un plan euclidien $\mcal{P}$ muni d'une base orthonormée (fixe)
$(\vc i,\vc j)$.

\begin{Df}[Repère polaire]\alaligne

  La base orthonormale (mobile) $\bigl(\vc u(\theta),\vc v(\theta)\bigr)$, image
de $(\vc i,\vc j)$ par la rotation vectorielle (plane) d'angle $\theta\in\R$,
est appelée \emph{repère polaire} de $\mcal{P}$.
\begin{equation}
\qqs\theta\in\R,\
\vc u(\theta)=\cos\theta\,\vc i+\sin\theta\,\vc j
\et
\vc v(\theta)=-\sin\theta\,\vc i+\cos\theta\,\vc j
\end{equation}
\end{Df}
%--------------------------------------------------

\begin{NBs}[]\alaligne

  Les fonctions vectorielles $\vc u$ et $\vc v$ sont de classe $\mcal{C}^\infty$
sur $\R$ et
\begin{equation}
  \dd{\vc u}{\theta}=\vc v
  \qquad\et\qquad
  \dd{\vc v}{\theta}=-\vc u
\end{equation}

  Les physiciens préfèrent les notations $(\vc e_r,\vc e_\theta)$; attention de
ne pas oublier que $\vc e_r$ n'est pas une fonction de $r$ mais de $\theta$.
\end{NBs}

\begin{Df}[Coordonnées polaires d'un point de $\mcal{P}$]\alaligne

  Si $M$ est un point de $\mcal{P}$, les couples $(r,\theta)$ tels que
\begin{equation}
  \vect{OM}=r\,\vc u(\theta)
\end{equation}
sont appelés \emph{coordonnées polaires du point$M$}.
\end{Df}
%--------------------------------------------------

\begin{NB}
  Les coordonnées polaires d'un point ne sont pas uniques :

\begin{itemize}
  \item si $M$ est l'origine, les couples $(0,\theta)$, $\theta\in\R$, conviennent;
  \item si $M$ n'est pas l'origine, $\vect{OM}\neq\vc 0$ et
$
\vect{OM}=r_1\vc u(\theta_1)=r_2\vc u(\theta_2)
\iff
\bigl(r_1=r_2\et\theta_1\equiv\theta_2\pmod{2\pi}\bigr)
\text{ ou }
\bigl(r_1=-r_2\et\theta_1+\pi\equiv\theta_2\pmod{2\pi}\bigr)
$
\end{itemize}

  En appelant $\mcal{D}_{-}$ le demi-axe réel négatif, tout point
$M\in\mcal{P}\prive\mcal{D}_{-}$
(le plan \og fendu\fg), admet des coordonnées polaires $(r,\theta)$ uniques à
condition de les prendre dans $\into0{+\infty}\times\into{-\pi}{\pi}$. 
\end{NB}


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\subsection{Changement de variables en coordonnés polaires}
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\paragraph{Le changement de variables.}
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  Posons $\bphi : (r,\theta)\mapsto(r\cos\theta,r\sin\theta)$; $\bphi$ est une
fonction de classe $\mcal{C}^1$ sur $\R^2$ et
$$
\J_{\bphi}(r,\theta)
=
\begin{pmatrix}
\cos\theta    &   -r\sin\theta    \\
\sin\theta    &   r\cos\theta
\end{pmatrix}
$$
$\bphi$ réalise une bijection de classe $\mcal{C}^1$ de
$\into0{+\infty}\times\into{-\pi}{\pi}$ sur
$\R^2\prive\intof{-\infty}0\times\{0\}$ dont la réciproque
$$
(x,y)\mapsto
\Bigl(\sqrt{x^2+y^2},2\arctan\ra{y}{x+\sqrt{x^2+y^2}}\Bigr)
$$
est aussi de classe $\mcal{C}^1$.

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\paragraph{Dérivées partielles par rapport à $r$ et $\theta$.}
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  À toute application $f\in\CkIE[\R^2\prive\{\vc 0\}]{1}$, on associe
$F=f\rond\bphi\in\CkIE[\R\prive\{0\}\times\R]{1}$; on a
\begin{gather*}
F : (r,\theta)\mapsto f(r\cos\theta,r\sin\theta)                        \\
\del Fr(r,\theta)
  = \cos\theta\del fx(r\cos\theta,r\sin\theta) +
        \sin\theta\del fy(r\cos\theta,r\sin\theta)                      \\
\del F\theta(r,\theta)
  = -r\sin\theta\del fx(r\cos\theta,r\sin\theta) +
        r\cos\theta\del fy(r\cos\theta,r\sin\theta)
\end{gather*}
Puisque $r\neq0$, les égalités précédents s'écrivent matriciellement :
$$
\begin{pmatrix}
  \dps\del Fr(r,\theta) \\[3ex] \dps\ra1r\del F\theta(r,\theta)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
  \cos\theta  & \sin\theta  \\[3ex] -\sin\theta & \cos\theta
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
  \dps\del fx(r\cos\theta,r\sin\theta)  \\[2ex] \dps\del fy(r\cos\theta,r\sin\theta)
\end{pmatrix}
$$
ce qui donne, en inversant la matrice :
\begin{gather*}
\del fx(r\cos\theta,r\sin\theta)
  =\cos\theta\del Fr(r,\theta)-\ra{\sin\theta}{r}\del F\theta(r,\theta)   \\[2ex]
\del fy(r\cos\theta,r\sin\theta)
  =\sin\theta\del Fr(r,\theta)+\ra{\cos\theta}{r}\del F\theta(r,\theta)
\end{gather*}
%----------------------------------------------------------------------
\paragraph{Expression du gradient en coordonnées polaires}\alaligne
%----------------------------------------------------------------------

  Rappelons que le vecteur gradient s'écrit :
$$
(\grad f)(x,y)=\del fx(x,y)\vc i+\del fy(x,y)\vc j
$$
Calculons les coordonnées de ce vecteur dans le repère (mobile) polaire
$(\vc u,\vc v)$ :
\begin{gather*}
\scal{(\grad f)(r\cos\theta,r\sin\theta)}{\vc u}
  = \cos\theta\del fx(r\cos\theta,r\sin\theta)
    + \sin\theta\del fy(r\cos\theta,r\sin\theta)=\del Fr(r,\theta)              \\
\scal{(\grad f)(r\cos\theta,r\sin\theta)}{\vc v}
  = -\sin\theta\del fx(r\cos\theta,r\sin\theta)
    + \cos\theta\del fy(r\cos\theta,r\sin\theta)=\ra1r\del F\theta(r,\theta)    \\
\end{gather*}
ce qui montre que  :
$$
\bigl(\grad f\bigr)(r\cos\theta,r\sin\theta)
=\del Fr(r,\theta)\,\vc u+\ra1r\del F\theta(r,\theta)\,\vc v
=\del Fr(r,\theta)\,\vc e_r+\ra1r\del F\theta(r,\theta)\,\vc e_\theta
$$


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\paragraph{Expression de la divergence en coordonnées polaires.}\alaligne
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  À un champ de vecteurs $\vc E$ défini sur $\R^2\prive\{\vc 0\}$, \ie{} une
application de classe $\mathcal{C}^1$ d"finie sur $\R^2\prive\{\vc 0\}$ et à
valeurs dans $\R^2] $, on associe la
fonction $\mcal{E}=\vc E\rond\bphi$. Les composantes de $\vc E$ (resp.
$\mcal{E}$) dans le repère (fixe) $(\vc i,\vc j)$ sont notées $E_x$ et $E_y$
(resp. $\mcal{E}_x$ et $\mcal{E}_y$) et les composantes de $\vc E$ (resp.
$\mcal{E}$) dans le repère (mobile) $(\vc u,\vc v)$ sont notées $E_r$ et $E_\theta$
(resp. $\mcal{E}_r$ et $\mcal{E}_\theta$). On a
$$
(\divergence\vc E)(x,y)=\del{E_x}x(x,y)+\del{E_y}y(x,y)
$$
ce qui donne :
\begin{align*}
(\divergence\vc E)(r
&\cos\theta,r\sin\theta)
  = \del{E_x}x(r\cos\theta,r\sin\theta)+\del{E_y}y(r\cos\theta,r\sin\theta)   \\
&=  \Bigl(\cos\theta\del{\mcal{E}_x}r(r,\theta)-
      \ra{\sin\theta}r\del{\mcal{E}_x}\theta(r,\theta)\Bigr)
    +
    \Bigl(\sin\theta\del{\mcal{E}_y}r(r,\theta)+
      \ra{\cos\theta}r\del{\mcal{E}_y}\theta(r,\theta)\Bigr)                    \\
&=  \del{}r\Bigl(\cos\theta\,\mcal{E}_x(r,\theta)+\sin\theta\,\mcal{E}_y(r,\theta)\Bigr)
    +\ra1r\del{}\theta\Bigl(-\sin\theta\,\mcal{E}_x(r,\theta)+
        \cos\theta\,\mcal{E}_y(r,\theta)\Bigr)                                    \\
&\phantom{\del{}r(\cos\theta\mcal{E}_x(r,\theta))}
    -\ra1r\Bigl(-\cos\theta\,\mcal{E}_x(r,\theta)-\sin\theta\,\mcal{E}_y(r,\theta)\Bigr)    \\
&=  \del{\mcal{E}_r}{r}(r,\theta)+\ra1r\del{\mcal{E}_\theta}\theta(r,\theta)
    +\ra1r\mcal{E}_r(r,\theta) 
\end{align*}
soit
$$
(\divergence\vc E)(r\cos\theta,r\sin\theta)=
\del{\mcal{E}_r}{r}(r,\theta)+\ra1r\del{\mcal{E}_\theta}\theta(r,\theta)
    +\ra1r\mcal{E}_r(r,\theta) 
$$


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\section{Difféomorphismes de classe $\mcal{C}^1$}
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\subsection{Généralités}
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\begin{Df}[Difféomorphisme de classe $\mcal{C}^1$]\alaligne

  Si $U$ et $V$ sont deux ouverts de $\R^p$, une application $\bphi$ est appelée
un $\mcal{C}^1$-\emph{difféomorphisme de $U$ sur $V$}, si $\bphi$ réalise une
bijection de $U$ sur $V$ de classe $\mcal{C}^1$ ainsi que $\bphi^{-1}$.
\end{Df}
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\begin{Ex}
  Le changement de coordonnées polaires est un $\mcal{C}^1$-difféomorphisme de
$\into0{+\infty}\times\into{-\pi}{\pi}$ sur
$\R^2\prive\bigl\{\intof{-\infty}0\times\{0\}\bigr\}$. 
\end{Ex}
%--------------------------------------------------

\begin{Th}[Matrice jacobienne et jacobien d'un
$\mcal{C}^1$-difféomorphisme]\alaligne 

  Si $\bphi$ est un $\mcal{C}^1$-difféomorphisme  de $U$ sur $V$, deux ouverts
de $\R^p$, pour tout $\vc a\in\U$, la matrice jacobienne $\J_{\bphi}(\vc a)$ est
inversible, le jacobien $\det\J_{\bphi}(\vc a)$ est différent de $0$ et
\begin{equation}
\qqs\vc a\in U,\ \J_{\bphi^{-1}}(\vc b)=\Bigl(\J_{\bphi}(\vc a)\Bigr)^{-1}\qquad
\text{en posant $\vc b=\bphi(\vc a)$}
\end{equation}
\end{Th}

\begin{proof}
  De la relation $\bphi^{-1}\rond\bphi=I_U$ (application identique de $U$), on tire,
à l'aide du théorème de composition des fonctions de classe $\mcal{C}^1$ :
$$
\qqs\vc a\in U,\
\J_{\bphi^{-1}}\bigl(\bphi(\vc b)\bigr)\times\J_{\bphi}(\vc a)
=\J_{I_U}(\vc a)=I_p\qquad
\text{avec $\vc b=\bphi(\vc a)$}
$$
Ainsi, $\J_{\bphi}(\vc a)$ est une matrice inversible d'inverse
$\J_{\bphi^{-1}}(\vc b)$.
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{NB}
  Une application dont le jacobien s'annule, ne peut être un
$\mcal{C}^1$-difféomorphisme.
\end{NB}
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\subsection{Caractérisation des difféomorphismes à l'aide du jacobien}
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\begin{Th}[Cas local]\alaligne

  Si $\bphi$ est une application de classe $\mcal{C}^1$ d'un ouvert $U$ de $\R^p$ à
valeurs dans $\R^p$, et si, en \emph{un} point $\vc a\in U$, la matrice jacobienne
$\J_{\bphi}(\vc a)$ est inversible, il existe un ouvert $U_{\vc a}\subset\R^p$ qui contient
$\vc a$, tel que la restriction de $\bphi$ à $U_{\vc a}$ soit un
$\mcal{C}^1$-difféomorphisme de $U_{\vc a}$ sur son image $\bphi(U_{\vc a})$ qui
est aussi, dans ce cas, une partie ouverte.
\end{Th}

\begin{proof}
  Admise.
\end{proof}
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\begin{NBs}[]\alaligne

  En une variable ($p=1$), l'inversibilité de $\J_{\vphi(a)}=\bigl(\vphi'(a)\bigr)$
signifie la non nullité de $\vphi'(a)$; ainsi, $\vphi$ est un
$\mcal{C}^1$-difféomorphisme d'un intervalle ouvert contenant $a$ sur son image
qui est un intervalle ouvert.

  Le changement de variables en polaires a un jacobien qui vaut $r$; $\bphi$ ne
peut être un $\mcal{C}^1$-difféomorphisme sur un voisinage de $(x,y)=\vc 0$.
  Par contre, en tout point distinct de l'origine, $\bphi$ est localement un
$\mcal{C}^1$-difféomorphisme; mais $\bphi$ ne peut être un
$\mcal{C}^1$-difféomorphisme sur $\R^2\prive\{\vc 0\}$, puisque $\bphi$ n'y est
pas injectif.
\end{NBs}
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\begin{Th}[Cas global]\alaligne

  Si $\bphi$ est une application \emph{injective} de classe $\mcal{C}^1$ d'un
\emph{ouvert} $U\subset\R^p$ à valeurs dans $\R^p$, $\bphi$ est un
$\mcal{C}^1$-difféomorphisme de $U$ sur $\bphi(U)$ si, et seulement si, le
jacobien de $\bphi$ ne s'annule pas sur $U$.
\end{Th}

\begin{proof}
    Admise.
\end{proof}
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\begin{NBs}[]\alaligne

  En plusieurs variables, l'injectivité de $\bphi$ est essentielle : le
changement en coordonnées polaires a un jacobien non nul pour $r\neq0$ et la
restriction de $\bphi$ à $\into0{+\infty}\times\R$ n'est pas injective.

  L'hypothèse que $U$ soit une partie ouverte est indispensable car la
restriction de $\bphi$, le changement en coordonnées polaires, à la partie non
ouverte $\into0{+\infty}\times\intof{-\pi}{\pi}$ est bijective, de jacobien non
nul, mais $\bphi^{-1}$ n'est pas une application continue aux points de l'axe
réel négatif.
\end{NBs}
%--------------------------------------------------

\begin{Ex}
  Le changement de variables en coordonnées sphériques :
\begin{align*}
x &=  r\sin\theta\,\cos\vphi    \\
y &=  r\sin\theta\,\sin\vphi    \\
z &=  r\cos\theta
\end{align*}
définit une application $\bPhi : (r,\theta,\vphi)\in\R^3\mapsto(x,y,z)\in\R^3$.
On observe que :
$$
\J_{\bPhi}(r,\theta,\vphi)
=
\begin{pmatrix}
\sin\theta\,\cos\vphi & r\cos\theta\,\cos\vphi  & -r\sin\theta\,\sin\vphi   \\
\sin\theta\,\sin\vphi & r\cos\theta\,\sin\vphi  & r\sin\theta\,\cos\vphi    \\
\cos\theta            & -r\sin\theta            & 0
\end{pmatrix}
\et
\det\J_{\bPhi}(r\theta,\vphi)=r^2\sin\theta
$$
$\bPhi$ est un $\mcal{C}^1$-difféomorphisme local au voisinage de tout point
distinct de l'axe $Oz$ ($\theta=0$ ou $\pi$); $\bPhi$ est
$\mcal{C}^1$-difféomorphisme de
$\into0{+\infty}\times\into0\pi\times\into{-\pi}\pi$ sur $\R^3$ privé du
demi-plan $\{y=0,x\leq0\}$.
\end{Ex}
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\subsection{Équations aux dérivées partielles et changement de variables}
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  Voici quelques résolutions d'équations aux dérivées partielles. Tout d'abord,
les plus simples en deux variables; on recherchera des fonctions numériques
$f\in\CkIE[\R^2]{1}$.
\begin{gather*}
\del fx\equiv0\iff
  \exists\vphi\in\CkIE[\R]{1},\ \qqs(x,y)\in\R^2,\ f(x,y)=\vphi(y)
  \qquad\text{ $f$ ne dépend que de $y$}                              \\
\del fy\equiv0\iff
  \exists\vphi\in\CkIE[\R]{1},\ \qqs(x,y)\in\R^2,\ f(x,y)=\vphi(x)
  \qquad\text{ $f$ ne dépend que de $x$}
\end{gather*}

  De plus en plus fort, le cas de trois variables; on recherchera
$f\in\CkIE[\R^3]{1}$.
\begin{gather*}
\del fx\equiv0\iff
  \exists\vphi\in\CkIE[\R^2]{1},\ \qqs(x,y,z)\in\R^3,\ f(x,y,z)=\vphi(y,z)
  \qquad\text{ $f$ ne dépend que de $y$ et $z$}                             \\
\del fy\equiv0\iff
  \exists\vphi\in\CkIE[\R^2]{1},\ \qqs(x,y,z)\in\R^3,\ f(x,y,z)=\vphi(x,z)
  \qquad\text{ $f$ ne dépend que de $x$ et $z$}                             \\
\del fz\equiv0\iff
  \exists\vphi\in\CkIE[\R^2]{1},\ \qqs(x,y,z)\in\R^3,\ f(x,y,z)=\vphi(x,y)
  \qquad\text{ $f$ ne dépend que de $x$ et $y$}
\end{gather*}

  Remarquons que les solutions dépendent de fonctions et pas de constantes comme
dans le cas des équations différentielles dites ordinaires.

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\section{Fonctions numériques de classe $\mcal{C}^1$}
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\subsection{L'algèbre $\CkIE[U]{1}$}
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  Si $U$ est une partie ouverte de $\R^p$, $\CkIE[U]{1}$ est la $\R$-algèbre des
fonctions numériques réelles de classe $\mcal{C}^1$ sur $U$. Rappelons les
règles de calcul des différentielles dans ce cas :
\begin{gather*}
\dt[](f+g)=\dt[]f+\dt[]g              \\
\dt[](\la f)=\la \dt[]f           \\
\dt[](fg)=\dt[]f\,g+f\,\dt[]g         \\
\dt[]\Bigl(\ra1f\Bigr)=-\ra1{f^2}\,\dt[]f
\quad\et\quad
\dt[]\Bigl(\ra fg\Bigr)=\ra1{g^2}(\dt[]f\,g-f\,\dt[]g)
\end{gather*}

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\subsection{Gradient d'une fonction numérique}
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\begin{Df}[Vecteur gradient en un point]\alaligne

  Si $\puple{\beps}$ est la base canonique de $\R^p$ muni de son produit
scalaire naturel, pour toute fonction \emph{numérique} $f$ de classe $\mcal{C}^1$, on pose :
\begin{equation}
\grad f(\vc a)=\sum_{j=1}^p\del{f}{x_j}(\vc a)\beps_j
=\sum_{j=1}^p\D_j f(\vc a)\beps_j
\end{equation}
\end{Df}
%--------------------------------------------------
Ainsi on peut écrire :
\begin{gather*}
\dt[]f(\vc a)(\vc h)=\D_{\vc h} f(\vc a)=\sum_{j=1}^p h_j\D_j f(\vc a)
  =\scal[\big]{\grad f(\vc a)}{\vc h}                               \\
\et\qquad
f(\vc a+\vc h)-f(\vc a)
  =\scal[\big]{\grad f(\vc a)}{\vc h}+\oo{\norme{\vc h}}
\end{gather*}

\begin{NB}
  Le théorème de représentation de Riesz définit le
vecteur $\grad f(\vc a)$ de manière \emph{intrinsèque}, \ie{} sans
l'utilisation d'une base, à l'aide de l'expression
$\dt[] f(\vc a)=\scal[\big]{\grad f(\vc a)}{\vc h}$.
\end{NB}


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\subsection{Extrema d'une fonction numérique}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{Df}[Extremum local]\alaligne

  L'application $f : U\subset\R^p\to\R$ admet en $\vc a$ un \emph{maximum local} (resp;
\emph{minimum local}) s'il existe un voisinage $U_{\vc a}$ de $\vc a$ tel que :
\begin{equation}
\qqs\vc x\in U_{\vc a},\ f(\vc x)\leq f(\vc a)
  \qquad\text{(resp. $\qqs\vc x\in U_{\vc a},\ f(\vc x)\geq f(\vc a)$)}
\end{equation}
\end{Df}
%--------------------------------------------------

\begin{Df}[Extremum global]\alaligne

  L'application $f : U\subset\R^p\to\R$ admet en $\vc a$ un \emph{maximum global} (resp;
\emph{minimum global}) si
\begin{equation}
\qqs\vc x\in U,\ f(\vc x)\leq f(\vc a)
  \qquad\text{(resp. $\qqs\vc x\in U,\ f(\vc x)\geq f(\vc a)$)}
\end{equation}
\end{Df}
%--------------------------------------------------

\begin{Th}[Compacité et extrema globaux]\alaligne

  Toute application numérique continue sur une partie \emph{compacte} de $\R^p$
admet un maximum et un minimum global sur cette partie; ces extrema sont atteints.
\end{Th}

\begin{proof}
  Admise
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{NB}
  La compacité et la continuité montre l'\emph{existence} d'extrema globaux
mais la démonstration du théorème n'est pas une démonstration \emph{effective} :
la démonstration ne donne pas de méthode de les calculer.
\end{NB}


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\subsection{Point critique d'une fonction numérique}
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\begin{Df}[Point critique d'une fonction numérique]\alaligne

  Si $f$ est une fonction numérique de classe $\mcal{C}^1$ sur un ouvert $U$
de $\R^p$, un point $\vc a\in U$ est appelé \emph{point critique de $f$} si
le vecteur gradient de $f$ en $\vc a$ est nul, \ie{} si
$$
\qqs j\in\Intf1p,\quad\del{f}{x_j}(\vc a)=0
$$
\end{Df}
%--------------------------------------------------

\begin{Th}[Condition \emph{nécessaire} d'existence d'extremum local]\alaligne

  Si $f$ est une fonction numérique de classe $\mcal{C}^1$ sur un ouvert
$U\subset\R^p$, les extrema locaux de $f$ sont à chercher \emph{parmi} les
points critiques de $\vc f$.
\end{Th}

\begin{proof}
  Soient $\vc h\in\R^p$ et $\vphi_{\vc h} : t\in\R\mapsto f(\vc a+t\vc h)$;
si $f$ admet un extremum local en $\vc a$, pour tout $\vc h$, la fonction
$\vphi_{\vc h}$ admet un extremum local en $t=0$, et donc $0=\vphi'_{\vc h}(0)=\sum_{j=1}^p
h_j\D_j f(\vc a)$. Ainsi, pour tout $j\in\Intf1p$, $\D_j f(\vc a)=\del{f}{x_j}(\vc
a)=0$ et $\grad f(\vc a)=\vc 0$.

  La fonction $t\mapsto t^3$ est une fonction de classe $\mcal{C}^1$ (et même de
classe $\mcal{C}^\infty$) sur $\R$, strictement monotone et qui admet un point
critique en $t=0$. Ceci montre qu'un point critique n'est pas
\emph{toujours} un extremum local.
\end{proof}
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\subsection{Inégalité des accroissements finis}
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\begin{Th}[Inégalité des accroissements finis sur un ouvert convexe]\alaligne

  Si $U$ est un ouvert \emph{convexe} de $\R^p$, $f$ une fonction numérique de
classe $\mcal{C}^1$ sur $U$ et $k$ une constante positive telle que, pour
tout $\vc x\in U$, $\dt[]f(\vc x)$ soit une application lipschitzienne de rapport
$k$, alors :
\begin{equation}
\qqs(\vc a,\vc b)\in U,\
\abs[\big]{f(\vc a)-f(\vc b)}\leq k\norme{\vc b-\vc a}
\end{equation}
\end{Th}

\begin{proof}
  Soit $\bphi : t\in\intf01\mapsto (1-t)\vc a+t\vc b$ le paramétrage naturel du segment
$\intf{\vc a}{\vc b}$, segment inclus dans $U$, puisque $U$ est convexe. Posons
$F=f\rond\bphi$; $F$ est une application de classe $\mcal{C}^1$ par composition
et, pour tout $t\in\intf01$,
\begin{align*}
F'(t)
&=  \dd{}{t}\Bigl(f\bigl((1-t)a_1+tb_1,\ldots,(1-t)a_p+tb_p\bigr)\Bigr) \\
&=  \sum_{j=1}^p (b_j-a_j)D_j f\bigl((1-t)\vc a+t\vc b\bigr)
      =\bigl[\dt[]f\bigl(\bphi(t)\bigr)\bigr](\vc b-\vc a)  
\end{align*}

Ainsi, en utilisant la constante de Lipschitz $k$, on a:
$$
\qqs t\in\intf01,\
\abs[\big]{F'(t)}
  =\abs[\big]{\bigl[\dt[]f\bigl(\bphi(t)\bigr)\bigr](\vc b-\vc a)}
  \leq k\norme{\vc b-\vc a}
$$
Nous venons de démontrer que $F$ est une fonction lipschitzienne de rapport
$k\norme{\vc b-\vc a}$ sur le segment $\intf01$, ce qui donne le résultat :
$$
\abs[\big]{F(1)-F(0)}=\abs[\big]{f(\vc b)-f(\vc a)}
\leq(1-0)k\norme{\vc b-\vc a}=k\norme{\vc b-\vc a}
$$
\end{proof}
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\begin{NBs}[]\alaligne

  La lectrice et le lecteur, attentifs, auront remarqué que pour aller de $\vc
a$ à $\vc b$ nous avons pris la \emph{ligne droite} et non pas un chemin à côtés
parallèles aux axes. Ce qui n'était pas (encore) possible au début du chapitre,
l'est devenu : le théorème de composition des différentielles est passé par là.

  Ce n'est pas tant le résultat qui est important, mais \emph{la méthode de
démonstration} : l'utilisation d'une fonction auxiliaire a permis de transformer
la majoration d'une fonction de plusieurs variables, en une majoration d'une
fonction d'\emph{une seule} variable.
\end{NBs}
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\begin{Th}[Caractérisation des fonctions constantes parmi les fonctions de
classe $\mcal{C}^1$]\alaligne

  Si $U$ est un ouvert convexe de $\R^p$ et $f$ une fonction numérique de classe
$\mcal{C}^1$ sur $U$, les assertions suivantes sont équivalentes :
\begin{prop}
  \item $f$ est une fonction constante sur $U$;
  \item pour tout $\vc x\in U$, $\dt[]f(\vc x)$ est l'application nulle;
  \item $\qqs j\in\Intf1p,\ \qqs\vc x\in U,\ \D_j f(\vc x)=0$. 
\end{prop}
\end{Th}

\begin{proof}
  La matrice ligne $\bigl(\D_1 f(\vc x)\Dots\D_p f(\vc x)\bigr)$ est la matrice
de la différentielle de $f$ en $\vc x$ $\dt[]f(\vc x)$, ce qui montre
l'équivalence des assertions $(ii)$ et $(iii)$.

\Implique13 est évident.

\Implique21
Pour tout $\vc x\in U$, l'application (nulle) $\dt[]f(\vc x)$ est lipschitzienne de
rapport $k=0$; l'inégalité des accroissements finis entre un point (fixe) $\vc a$
et un point quelconque $\vc x$ donne le résultat.
\end{proof}
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\begin{Cor}
  Si $U$ est un ouvert convexe de $\R^p$ et $\vc f$ une fonction de classe
$\mcal{C}^1$ sur $U$ à valeurs dans $\R^n$, les assertions suivantes sont
équivalentes :
 
\begin{prop}
  \item $\vc f$ est une fonction constante sur $U$;
  \item pour tout $\vc x\in U$, $d\vc f(\vc x)$ est l'application nulle;
  \item $\qqs j\in\Intf1p,\ \qqs\vc x\in U,\ \D_j \vc f(\vc x)=0$;
  \item $\qqs(i,j)\in\Intf1n\times\Intf1p,\ \qqs\vc x\in U,\
\D_j f_i(\vc x)=0
$.\end{prop}
\end{Cor}

\begin{proof}
  Il suffit d'appliquer le théorème précédent aux composantes $f_i$ de $\vc f$.
\end{proof}
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\section{Dérivées partielles d'ordre supérieur}
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\begin{Dfs}[Fonctions de classe $\mcal{C}^k$]\alaligne

  Si $U$ est un ouvert de $\R^p$, on définit par récurrence sur $k$ :
\begin{equation}
\qqs k\geq2,\
\vc f\in\CkIE[U,\R^n]{k}
\iff
\vc f\in\CkIE[U,\R^n]{1}\et
  \qqs j\in\Intf1p,\ \D_j\vc f\in\CkIE[U,\R^n]{k-1}
\end{equation}
Dans ce cas, on dit que $\vc f$ est une application de classe $\mcal{C}^k$ sur
$U$ à valeurs dans $\R^n$.

  Si $\vc f$ est une fonction de classe $\mcal{C}^k$ pour tout entier $k$, $\vc
f$ est dite \emph{de classe $\mcal{C}^\infty$ sur $U$}.
\end{Dfs}
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Les dérivées partielles d'ordre supérieur sont notées :
\begin{equation}
\ddel{\vc f}{x_i}{x_j}=\del{}{x_i}\Bigl(\del{\vc f}{x_j}\Bigr)
=\D_i(\D_j\vc f)=\D_i\rond\D_j(\vc f)
\end{equation}

$\CkIE[U,\R^n]{k}$ est un $\R$-espace vectoriel; $\CkIE[U]{k}=\CkIE[U,\R]{k}$
est une $\R$-algèbre.
Somme, produit, quotient (à dénominateur non nul) de fonctions de classe
$\mcal{C}^k$ sont des fonctions de classe $\mcal{C}^k$. En particulier, les
polynômes, les fractions rationnelles sur leur domaine de définition (\ie{} en
dehors de l'ensemble qui annule le dénominateur) sont des fonctions de classe $\mcal{C}^\infty$.

\begin{Th}[ de Schwarz]\alaligne

  Si $\vc f$ est une fonction de classe $\mcal{C}^2$ sur un ouvert $U$ de
$\R^p$, toutes les dérivées partielles de $\vc f$ commutent, \ie{} :
\begin{equation}
\ddel{\vc f}{x_i}{x_j}=\ddel{\vc f}{x_j}{x_i}
\qquad\text{soit}\qquad
\D_i(\D_j\vc f)=\D_j(\D_i\vc f)
\end{equation}
\end{Th}
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  La fonction $\dps (x_1,x_2)\mapsto x_1x_2\ra{x_1^2-x_2^2}{x_1^2+x_2^2}$
prolongée en $(0,0)$ par $0$ est un contre-exemple du théorème de Schwarz.