%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \chapter{Calcul différentiel en plusieurs variables} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \minitoc \newpage \indent Dans ce chapitre, $U$ désigne une partie ouverte de $\R^p$, $\vc f$ une application définie sur $U$ à valeurs dans $\R^n$, $\nuple f=(f_i)_{i\in\Intf1n}$ les applications coordonnées de $\vc f$ relatives à la base naturelle de $\R^n$; $\vc f$ et les $f_i$ sont, respectivement, des applications vectorielle et numériques définies sur $U$. Quant aux normes sur les espaces $\R^p$ ou $\R^n$, rappelons qu'elles sont équivalentes (on peut utiliser une quelconque d'entre elles); $\norme{\ }$ désigne une norme quelconque, $\normu{\ }$, $\normd{\ }$ et $\normi{\ }$ sont les trois normes classiques. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Limite, continuité} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Rappel} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[Caractérisation de la continuité en un point]\alaligne Les propositions suivantes sont équivalentes : \begin{prop} \item $\vc f$ est continue en un point $\vc a\in U$; \item $\lim_{\vc a}\vc f$ existe et, dans ce cas, cette limite est $\vc f(\vc a)$; \item $\qqs\eps>0,\ \exists\eta>0,\ \qqs\vc x\in U,\ \norme{\vc x-\vc a}<\eta\implique\norme{\vc f(\vc x)-\vc f(\vc a)}<\eps$; \item l'application $\vc h\mapsto\vc f(\vc a+\vc h)$ admet une limite en $\vc h=\vc 0$ (cette limite, sous réserve d'existence, est toujours $\vc f(\vc a)$); \item pour tout $i\in\Intf1n$, $f_i$ admet une limite en $\vc a$. \end{prop} \end{Th} %---------------------------------------------------------------------- \paragraph{En pratique :} \begin{itemize} \item utilisez les théorèmes généraux sur les limites et la continuité; \item pour montrer la continuité en un point particulier $\vc a$, effectuez la translation $\vc x=\vc a+\vc h$ et étudier la limite en $\vc h=\vc 0$; \item si $p=2$, utilisez les coordonnées polaires. \end{itemize} \begin{Ex} Considérons la fonction $$ f : (x_1,x_2)\in\R^2\mapsto \begin{cases} \dps\ra{x_1x_2}{\sqrt{x_1^2+x_2^2}} & \text{si $(x_1,x_2)\neq\vc0$} \\ 0 & \text{si $(x_1,x_2)=\vc 0$} \end{cases} $$ les théorèmes généraux montrent la continuité de $f$ sur $\R^2\prive\{\vc 0\}$. Au point $(x_1,x_2)=\vc 0$, utilisons les coordonnées polaires; on pose : $$ x_1=r\cos\theta\et x_2=r\sin\theta $$ et on obtient : $$ \abs[\big]{f(x_1,x_2)-f(\vc 0)}=\abs[\Big]{\ra{r\cos\theta\, r\sin\theta}{r}-0} =r\abs{\cos\theta\sin\theta} =\ra{r}{2}\abs{\sin2\theta}\leq\ra{r}{2} $$ ce qui montre que $\abs[\big]{f(x_1,x_2)-f(\vc 0)}\leq\ra12\normd{(x_1,x_2)}$ et assure la continuité de $f$ en $\vc 0$. \end{Ex} %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Limite suivant un vecteur} %---------------------------------------------------------------------- \paragraph{La situation} Soient $\vc a\in U$ et $\vc v$ un vecteur de $\R^p$; puisque $U$ est une partie ouverte de $\R^p$, il existe un nombre $r'>0$ tel que $\Bo{a}{r'}\subset U$ et, en posant $r=r'/(2\norme{\vc v})$, on obtient : \begin{gather*} \exists r>0,\ \qqs t\in\intf{-r}{r},\ \vc a+t\vc v\in\Bf{a}{r'/2}\subset\Bo{a}{r'}\subset U \\ \text{soit : }\exists r>0,\ \qqs t\in\intf{-r}{r},\ \vc a+t\vc v\in U \end{gather*} Nous pouvons donc définir une fonction d'\emph{une seule} variable réelle $t$ par : \begin{equation} \bphi_{\vc a,\vc v} : t\in\intf{-r}{r}\mapsto \bphi_{\vc a,\vc v}(t)=\vc f(\vc a+t\vc v)\in\R^n \end{equation} \begin{Df}[Applications partielles]\alaligne Les applications $\bphi_{\vc a,\beps_j}$, $j\in\Intf1p$, où $\puple\beps$ estla base naturelle de $\R^p$, sont appelées \emph{applications partielles} de $\vc f$ en $\vc a$. $$ \bphi_{\vc a,\beps_j} : t\mapsto \vc f(\vc a+t\beps_j)=\vc f(a_1\Dots a_{j-1},a_j+t,a_{j+1}\Dots a_p) $$ \end{Df} \begin{Ex} Reprenons l'exemple précédent; si $\vc v=(v_1,v_2)$, on obtient : $$ \vphi_{\vc 0,\vc v}(t)=\ra{v_1t\,v_2t}{\sqrt{v_1^2t^2+v_2^2t^2}} =\ra{v_1v_2}{\sqrt{v_1^2+v_2^2}}\abs{t} $$ Les deux applications partielles sont nulles : $$ \vphi_{\vc 0,\beps_1}(t)=f(0+t,0)=0 \et \vphi_{\vc 0,\beps_2}(t)=f(0,0+t)=0 $$ \end{Ex} \begin{NB} Attention de ne pas confondre les applications partielles et les applications composantes d'une fonction. \end{NB} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Df}[Limite en un point suivant un vecteur]\alaligne On dit que $\vc f$ \emph{admet une limite en $\vc a$ suivant $\vc v$} si, et seulement si, l'application $\bphi_{\vc a,\vc v}$ admet une limite en $\vc 0$, \ie{} si, et seulement si, $\lim_{t\to0}\vc f(\vc a+t\vc v)$ existe. Dans ce cas, cette limite est notée $\dps\lim_{\substack{\vc x\to\vc a \\ \vc x\in\vc a+\R\vc v}}\vc f(\vc x)$. \end{Df} \begin{NB} La limite de $\vc f$ en $\vc a$ suivant $\vc v$ est donc la limite de $\vc f(\vc x)$ quand $\vc x$ tend vers $\vc a$ en restant sur la droite passant par $\vc a$ et dirigée par $\vc v$. \end{NB} \begin{Th}[Limite et limite suivant un vecteur]\alaligne Si $\vc f$ admet $\vc b$ pour limite en $\vc a$, pour tout vecteur $\vc v$, $\vc f$ admet $\vc b$ pour limite en $\vc a$ suivant $\vc v$. La réciproque est fausse. \end{Th} \begin{proof} Le théorème de composition des limites donne la réponse. La fonction $f$ suivante, qui est continue sur $\R^2\prive\{\vc 0\}$, founit un contre-exemple en $\vc 0$ : $$ f : (x_1,x_2)\mapsto f(x_1,x_2)= \begin{cases} \dps\ra{x_1x_2^2}{x_1^2+x_2^4} & \text{si $(x_1,x_2)\neq\vc 0$} \\ o & \text{si $(x_1,x_2)=\vc 0$} \end{cases} $$ Si $\vc v=(v_1,v_2)$ avec $v_1\neq0$, $\dps f(\vc 0+t\vc v)=\ra{tv_1(tv_2)^2}{(tv_1)^2+(tv_2)^4} =t\ra{v_1v_2^2}{v_1^2+t^2v_2^4}\tend[t\to0]0$.\\ Si $\vc v=(0,v_2)$ avec $v_2\neq0$, $f(\vc 0+t\vc v)=0$. \\ Ceci montre que $f$ admet $0$ comme limite en $\vc 0$ en suivant un vecteur (quelconque) $\vc v$ (non nul). Or, en suivant la parabole $(\mcal{P}) : t\mapsto(t^2,t)$ on obtient : $$ f(t^2,t)=\ra{t^2t^2}{t^4+t^4}=\ra12\text{ et donc : }\lim_{t\to0}f(t^2,t)=\ra12\neq f(\vc 0) $$ et donc, la fonction $f$ n'est pas continue en $\vc x=\vc0$. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{NB} Ce théorème s'utilise pour montrer la \emph{non-continuité} ou l'\emph{inexistence de la limite} d'une application en un point. \end{NB} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Applications continûment différentiables} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Dérivée suivant un vecteur} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Df}[Dérivée suivant un vecteur]\alaligne On dit que la fonction $\vc f$ \emph{admet en $\vc a\in U$ une dérivée suivant le vecteur $\vc v\in\R^p$} si la fonction $\bphi_{\vc a,\vc v} : t\mapsto\vc f(\vc a+t\vc v)$ est dérivable en $t=0$. Dans ce cas, la dérivée de $\vc f$ en $\vc a$ suivant $\vc v$ se note $\D_{\vc v}\vc f(\vc a)$ ou encore $\dps\del{\vc f}{\vc v}(\vc a)$. Retenons que : \begin{equation} \D_{\vc v}\vc f(\vc a)=\del{\vc f}{\vc v}(\vc a)= \lim_{t\to 0}\ra1t\Bigl(\vc f(\vc a+t\vc v)-\vc f(\vc a)\Bigr)= \bphi'_{\vc a,\vc v}(0) \end{equation} \end{Df} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Df}[Dérivées partielles en un point]\alaligne La base naturelle de $\R^p$ étant notée $\puple{\beps}$, on appelle \emph{dérivée partielle de $\vc f$ suivant la $j$\ieme{} coordonnée}, la dérivée de $\vc f$ en $\vc a$ suivant $\beps_j$; on la note $\D_j\vc f(\vc a)$, ou encore $\dps\del{\vc f}{x_j}(\vc a)$ si les variables de $\vc f$ sont notées $\puple{x}$. \begin{multline} \D_j\vc f(\vc a)=\del{\vc f}{x_j}(\vc a) =\lim_{t\to0}\ra1t\bigl(\vc f(\vc a+t\beps_j)-\vc f(\vc a)\bigr) \\ =\lim_{t\to0}\ra1t\bigl(\vc f(a_\Dots a_j+t\Dots a_p) -\vc f(a_1\Dots a_j\Dots a_p)\bigr) \end{multline} \end{Df} %---------------------------------------------------------------------- \begin{NB} Pour une fonction $\vc f$ écrite par $\vc f(\vc x)=\vc f(x_1,x_2\Dots x_j\Dots x_p)$, la dérivée partielle de $\vc f$ en $\vc a$ suivant la $j$\ieme{} coordonnée est la dérivée (ordinaire) calculée en $\vc a$ de $\vc f$ par rapport à $x_j$, les autres variables étant considérées comme fixes. \end{NB} %-------------------------------------------------- \begin{Prop}[Dérivée partielle en un point et composantes]\alaligne La fonction $\vc f$ admet une dérivée partielle en $\vc a$ suivant la $j$\ieme{} variable, si, et seulement si, pour tout $i\in\Intf1n$, les composantes $f_i$ de $\vc f$ admettent une dérivée partielle en $\vc a$ suivant la $j$\ieme{} variable; dans ce cas, on a : \begin{equation} \D_j\vc f(\vc a)=\bigl(\D_jf_1(\vc a)\Dots \D_jf_n(\vc a)\bigr)= \sum_{i=1}^n\D_jf_i(\vc a)\beps_i \end{equation} %-------------------------------------------------- \end{Prop} \begin{proof} La fonction $\vc f$ s'écrit : $\vc f(\vc x)=(f_1(\vc x)\Dots f_n(\vc x)= \sum_{i=1}^nf_i(\vc x)\beps_i$, et $\lim_{t\to0} \ra1t\bigl(\vc f(\vc a+t\vc v)-\vc f(\vc a)\bigr)$ existe, si, et seulement si, $\lim_{t\to0} \ra1t\bigl(f_i(\vc a+t\vc v)-f_i(\vc a)\bigr)$ existe pour tout $i\in\Intf1n$; dans ce cas, $\lim_{t\to0} \ra1t\bigl(\vc f(\vc a+t\vc v)-\vc f(\vc a)\bigr)= \sum_{i=1}^n \lim_{t\to0} \ra1t\bigl(f_i(\vc a+t\vc v)-f_i(\vc a)\bigr)\beps_i$. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- %---------------------------------------------------------------------- \paragraph{Insuffisance des dérivées partielles.} %---------------------------------------------------------------------- Contrairement à ce qui se passe pour les fonctions d'une variable où la dérivabilité implique la continuité, l'existence des dérivées partielles en un point n'implique pas la continuité en ce point; l'existence des dérivées en un point suivant tout vecteur, n'implique toujours pas la continuité en ce point. Voici deux exemples. La fonction $f(x_1,x_2)=x_1x_2/(x_1^2+x_2^2)$ pour $\vc x=(x_1,x_2)\neq\vc 0$ et $f(\vc 0)=0$, n'est pas continue en $\vc x=\vc 0$ bien que les dérivées partielles existent en $\vc x=\vc 0$ (elles sont nulles) : \begin{gather*} \D_1f(\vc 0)=\del{f}{x_1}(\vc 0)= \lim_{t\to0}\ra1t\bigl(f(t,0)-f(0,0)\bigr)=\lim_{t\to 0}0=0 \\ \D_2f(\vc 0)=\del{f}{x_2}(\vc 0)= \lim_{t\to0}\ra1t\bigl(f(0,t)-f(0,0)\bigr)=\lim_{t\to 0}0=0 \end{gather*} %-------------------------------------------------- La fonction $f(x_1,x_2)=x_1x_2^3/(x_1^2+x_2^6)$ pour $\vc x=(x_1,x_2)\neq\vc 0$ et $f(\vc 0)=0$, n'est pas continue en $\vc x=\vc 0$ puisque $f(t^3,t)=\ra12\tendpas[t\to0]0=f(\vc 0)$. Par contre, cette fonction possède en $\vc0$ des dérivées suivant n'importe quel vecteur $\vc v=(v_1,v_2)$ : $$ \ra1t\bigl(f(\vc 0+t\vc v)-f(\vc 0)\bigr)=\ra1t f(v_1t,v_2t)= \ra1t\ra{tv_1(tv_2)^3}{(tv_1)^2+(tv_2)^6}=t\ra{v_1v_2^3}{v_1^2+t^4v_2^6}\tend[t\to0]0= \D_{\vc v}f(\vc 0) $$ %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Fonctions de classe $\mcal{C}^1$} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Df}[Application dérivée partielle]\alaligne On dit que $\vc f$ admet une dérivée partielle suivant la $j$\ieme{} variable sur $U$ si $\vc f$ admet une dérivée partielle suivant la $j$\ieme{} variable en tout point de $U$; elle est notée $\D_j\vc f$ ou $\partial\vc f/\partial x_j$. \end{Df} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Df}[Application de classe $\mcal{C}^1$]\alaligne Une fonction $\vc f$ est dite \emph{de classe} $\mcal{C}^1$ sur $U$, un ouvert de $\R^p$, si les dérivées partielles $\D_j\vc f$ sont des fonctions continues sur $U$ pour tout $j\in\Intf1p$. L'ensemble des applications de classe $\mcal{C}^1$ sur $U$ à valeurs dans $\R^n$ est noté $\CkIE[U,\R^n]{1}$; $\CkIE[U,\R]{1}$ est aussi noté $\CkIE[U]{1}$. \end{Df} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[Applications de classe $\mcal{C}^1$ et composantes]\alaligne L'application $\vc f=\puple{f}$ est une application de classe $\mcal{C}^1$ sur $U$, si, et seulement si, pour tout $i\in\Intf1n$, ses composantes $f_i$ sont des applications de classe $\mcal{C}^1$ sur $U$. \end{Th} \begin{proof} Dire que $\vc f$ est une application de classe $\mcal{C}^1$ sur $U$, c'est dire que les applications $\D_j\vc f=\puple{\D_jf}$ sont continues sur $U$ pour tout $j\in\Intf1p$, soit, pour tout $i\in\Intf1n$, les applications $\D_jf_i$ sont continues sur $U$ pour tout $j\in\Intf1p$, ou encore, pour tout $i\in\Intf1n$, les applications $f_i$ sont de classe $\mcal{C}^1$ sur $U$. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- %---------------------------------------------------------------------- \paragraph{Règles de calcul.} %---------------------------------------------------------------------- Les dérivées partielles étant des dérivées (ordinaires) par rapport à une variable, les autres étant considérées comme des paramètres fixes, les règles de calcul, à part la composition, sont identiques aux règles de calcul des dérivées dans le cas d'une variable. Ainsi : \begin{itemize} \item somme : $\D_j(\la\vc f+\mu\vc g)=\la\D_j\vc f+\mu\D_j\vc g$; \item produit : $\D_j(fg)=(\D_j f)g+f\D_j g$ si $f$ et $g$ sont deux fonctions numériques (réelles ou complexes); \item inverse : $\dps\D_j\Bigl(\ra1f\Bigr)=-\ra{\D_j f}{f^2}$ si $f$ est une fonction numérique qui ne s'annule pas; \item composition avec une application linéaire : $\D_j\bigl(u(\vc f)\bigr)=u(\D_j \vc f)$ si $u\in\LEF[\K^n,\K^q]$ et $\vc f\in\CkIE[U,\K^n]{1}$; en particulier, $\D_j(\conjug{f})=\conjug{\D_j f}$, $\D_j(\RE f)=\RE(\D_j f)$ et $\D_j(\IM f)=\IM(\D_j f)$; \item composition avec une applications bilinéaires : $\D_j B(\vc f,\vc g)=B(\D_j\vc f;\vc g)+B(\vc f,\D_j\vc g)$ si $B$ est une application bilinéaire de $\K^n\times\K^m$ dans $\K^q$, $\vc f\in\CkIE[U,\K^n]{1}$ et $\vc g\in\CkIE[U,\K^m]{1}$; en particulier : \begin{align*} \D_j(AB) &= (\D_j A)B+A\D_j B &&\text{ si $A$ et $B\in\CkIE[U,\Mn{\R}]{1}$} \\ \D_j(\vc f\wedge\vc g) &=\D_j\vc f\wedge\vc g+\vc f\wedge\D_j\vc g &&\text{ si $\vc f$ et $\vc g\in\CkIE[U,\R^3]{1}$} \\ \D_j\scal{\vc f}{\vc g} &= \scal{\D_j\vc f}{\vc g}+\scal{\vc f}{\D_j\vc g} &&\text{ si $\vc f$ et $\vc g\in\CkIE[U,\R^n]{1}$} \end{align*} %-------------------------------------------------- \end{itemize} Ainsi, $\CkIE[U,\R^n]{1}$ est un $\R$-espace vectoriel et $\CkIE[U]{1}$ est une $\R$-algèbre. %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Dérivée suivant un vecteur pour les fonctions de classe $\mcal{C}^1$} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Th} Si $\vc f$ est une fonction de classe $\mcal{C}^1$ sur un ouvert $U$ de $\R^p$ et $\vc v$ un vecteur de $\R^p$, $\vc f$ admet en tout point $\vc a\in U$ une dérivée suivant $\vc v$ qui est donnée par : $$ \D_{\vc v}\vc f(\vc a)=\sum_{j=1}^p v_j\D_j\vc f(\vc a)=\sum_{j=1}^p v_j \del{\vc f}{x_j}(\vc a) $$ \end{Th} \begin{proof}\alaligne Cas d'une fonction numérique de deux variables ($p=2$) pour faciliter la lecture et surtout l'écriture. Si $\vc v=(v_1,v_2)\in\R^2$ et $\vc a=(a_1,a_2)\in U$, on a : \begin{align*} \ra{f(\vc a + t\vc v)- f(\vc a)}{t} &= \ra{f(a_1+tv_1,a_2+tv_2)-f(a_1,a_2)}{t} \\ &= \ra{f(a_1+tv_1,a_2+tv_2)-f(a_1,a_2+tv_2)}{t}+\ra{f(a_1,a_2+tv_2)-f(a_1,a_2)}{t} \\ &= v_1\del{f}{x_1}(a_1+\theta_1tv_1,a_2+tv_2)+v_2\del{f}{x_2}(a_1,a_2\theta_2tv_2) \\ &\hspace{-2cm} \text{(égalité des accroissements finis pour les fonctions réelles d'\emph{une} variable, $\theta_1$ et $\theta_2\in\into01$)} \\ &\tend[t\to0] v_1\del{f}{x_1}(a_1,a_2)+v_2\del{f}{x_2}(a_1,a_2) =v_1\D_1 f(\vc a)+v_2\D_2 f(\vc a) \\ &\hspace{-2cm} \text{(continuité des dérivées partielles)} \end{align*} %-------------------------------------------------- Cas d'une fonction vectorielle $\vc f=\sum_{i=1}^n f_i\beps_i$ : $$ \D_{\vc v}\vc f(\vc a) = \sum_{i=1}^n\D_{\vc v}f_i(\vc a)\beps_i =\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^p v_j\del{f_i}{x_j}(\vc a)\beps_i = \sum_{j=1}^p\sum_{i=1}^n v_j\del{f_i}{x_j}(\vc a)\beps_i =\sum_{j=1}^p v_j\del{\vc f}{x_j}(\vc a) $$ %-------------------------------------------------- \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{NB} Pour aller de $\vc a$ à $\vc a+\vc h=\vc a+t\vc v$, nous avons pris le chemin des écoliers, à savoir un chemin dont les côtés sont parallèles aux axes; c'est une obligation pour utiliser l'égalité des accroissements finis des fonctions d'\emph{une} variable réelle : sur chacun des côtés, toutes les variables sont fixés, exceptées l'une d'entre elles. Le bon chemin, qui est la ligne droite, ne peut être utilisé pour l'instant; ce n'est que partie remise. \end{NB} %-------------------------------------------------- %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Développement limité à l'ordre un des fonctions de classe $\mcal{C}^1$} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Th} Si $\vc f$ est une application de classe $\mcal{C}^1$ sur un ouvert de $\R^p$, on a : \begin{equation} \qqs\vc a\in U,\ \vc f(\vc a+\vc h)\buildrel{=}_{\vc h\to\vc 0}^{} \vc f(\vc a)+\sum_{j=1}^p h_j\D_j\vc f(\vc a)+\oo[\big]{\norme{\vc h}} \end{equation} \end{Th} \begin{proof}\alaligne Cas d'une fonction numérique de deux variables ($p=2$) pour faciliter la lecture et surtout l'écriture. Si $\vc h=(h_1,h_2)$ et $\vc a=(a_1,a_2)\in U$, on a, en utilisant le chemin des écoliers à côtés parallèles aux axes : \begin{align*} \abs[\Big]{f(a_1 &+ h_1,a_2+h_2)- f(a_1,a_2)-h_1\del{f}{x_1}(a_1,a_2)-h_2\del{f}{x_2}(a_1,a_2)} \\ &\leq \abs[\Big]{f(a_1+ h_1,a_2+h_2)- f(a_1,a_2+h_2)-h_1\del{f}{x_1}(a_1,a_2)} \\ &\phantom{\abs[\Big]{f(a_1+ h_1,a_2+h_2)-}} +\abs[\Big]{f(a_1,a_2+h_2)- f(a_1,a_2)-h_2\del{f}{x_2}(a_1,a_2)} \\ &= \abs{h_1}\abs[\Big]{\del{f}{x_1}(a_1+\theta_1h_1,a_2+h_2-\del{f}{x_1}(a_1,a_2)} + \abs{h_2}\abs[\Big]{\del{f}{x_2}(a_1,a_2+\theta_2 h_2)-\del{f}{x_2}(a_1,a_2)} \\ &\hspace{-.5cm} \text{égalité des accroissements finis pour les fonctions réelles d'\emph{une} variable, $\theta_1$ et $\theta_2\in\into01$} \\ &\leq \normi{\vc h}\Bigl( \abs[\Big]{\del{f}{x_1}(a_1+\theta_1h_1,a_2+h_2)-\del{f}{x_1}(a_1,a_2)} + \abs[\Big]{\del{f}{x_2}(a_1,a_2+\theta_2 h_2)-\del{f}{x_2}(a_1,a_2)} \Bigr) \\ &= \normi{\vc h}\eps(\vc h) \qquad\text{avec $\dps\lim_{\vc h\to\vc 0}\eps(\vc h)=0$ car $\del{f}{x_1}$ et $\del{f}{x_2}$ sont continues au point $\vc a$} \end{align*} %-------------------------------------------------- Cas d'une fonction vectorielle $\vc f=\sum_{i=1}^n f_i\beps_i$ : \begin{align*} \normi[\Big]{\vc f(\vc a+\vc h) &- \vc f(\vc a)-\sum_{j=i}^p h_j\D_j\vc f(\vc a)} =\sup_i\abs[\Big]{f_i(\vc a+\vc h)-f_i(\vc a)-\sum_{j=i}^p h_j\D_j f_i(\vc a)} \\ &= \sup_i\bigl(\normi{\vc h}\,\abs{\eps_i(\vc h)}\bigr) =\normi{\vc h}\sup_i\bigl(\abs{\eps_i(\vc h)}\bigr) \buildrel{=}_{\vc h\to\vc 0}^{}\oo{\normi{\vc h}} \end{align*} %-------------------------------------------------- \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{NB} Le théorème précédent s'interprète de la manière suivante : l'accroissement $\vc f(\vc a+\vc h)-\vc f(\vc a)$ de la fonction $\vc f$ au voisinage du point $\vc a$ est de l'ordre de $\sum_{j=1}^ph_j\D_j\vc f(\vc a)=\sum_{j=1}^p h_j\del{\vc f}{x_j}(\vc a)$; à un terme près négligeable devant $\norme{\vc h}$, on peut donc remplacer $\vc f(\vc a+\vc h)-\vc f(\vc a)$ par $\sum_{j=1}^ph_j\D_j\vc f(\vc a) =\sum_{j=1}^p h_j\del{\vc f}{x_j}(\vc a)$. \end{NB} %-------------------------------------------------- \begin{Cor}[Continuité des fonctions de classe $\mcal{C}^1$]\alaligne Toute fonction de classe $\mcal{C}^1$ sur un ouvert $U$ de $\R^p$ est continue sur $U$. \end{Cor} \begin{proof} $\vc f(\vc a+\vc h)-\vc f(\vc a)=\sum_{j=1}^p h_j\D_j\vc f(\vc a)+\oo{\norme{\vc h}}\tend[\vc h\to\vc 0]\vc 0$ \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Différentielle d'une fonction} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{Df}[Différentielle d'une fonction de classe $\mcal{C}^1$]\alaligne Si $\vc f$ est une application de classe $\mcal{C}^1$ sur un ouvert $U\subset\R^p$ et $\vc a\in U$, l'application \begin{equation} \vc h\in\R^p\mapsto \D_{\vc h}\vc f(\vc a)=\sum_{j=1}^p h_j\D_j\vc f(\vc a) =\sum_{j=1}^p h_j\del{\vc f}{x_j}(\vc a) \end{equation} est une application linéaire; elle est appelée \emph{différentielle de $\vc f$ au point $\vc a$} et notée $d\vc f(\vc a)$. \end{Df} %---------------------------------------------------------------------- \begin{NB} Avec ces notations, on obtient : $$ \vc f(\vc a+\vc h)=\vc f(\vc a)+d\vc f(\vc a)(\vc h)+\oo{\norme{\vc h}} $$ $\vc f$ est approchée par une application linéaire au voisinage de $\vc a$. \end{NB} %-------------------------------------------------- \begin{Df}[Matrice jacobienne]\alaligne La matrice de l'application linéaire $d\vc f(\vc a)$ relativement aux bases naturelles de $\R^p$ et $\R^n$, est appelée \emph{matrice jacobienne} de $\vc f$ au point $\vc a$ et notée $\J_{\vc f}(\vc a)$; ainsi $\J_{\vc f}(\vc a)$ est une matrice à $n$ lignes ($n$ le nombre de composantes de $\vc f$, \ie{} la dimension de l'espace but) et $p$ colonnes ($p$ le nombre de variables, \ie{} la dimension de l'espace source). \begin{equation} \J_{\vc f}(\vc a)=\bigl(\D_1\vc f(\vc a)\Dots \D_p\vc f(\vc a)\bigr) =\bigl[\D_j f_i(\vc a)\bigr]_{i,j} =\Bigl[\del{f_i}{x_j}(\vc a)\Bigr]_{i,j} \end{equation} \end{Df} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Exs}\alaligne \begin{itemize} \item Cas d'une fonction vectorielle d'\emph{une} variable réelle : $p=1$. Soit $\vc f : t\in I\subset\R\mapsto \vc f(t)=\bigl(f_1(t)\Dots f_p(t)\bigr)$; $\J_{\vc f}(t)$ est la matrice colonne $\trans\bigl(f'_1(t)\Dots f'_p(t)\bigr)$ et $\J_{\vc f}(t)$ s'identifie avec le vecteur dérivée $\vc f'(t)$. \item Cas d'une fonction \emph{numérique} de $p$ variables : $n=1$. Soit $f : \vc x=(x_1\Dots x_p)\in U\subset\R^p\mapsto f(x_1\Dots x_p)$; $\J_{f}(\vc a)$ est la matrice ligne $\bigl(\D_1 f(\vc a)\Dots \D_p f(\vc a)\bigr) =\bigl(\del{f}{x_1}(\vc a)\Dots \del{f}{x_p}(\vc a)\bigr)$ et $\J_{f}(\vc a)$ s'identifie au vecteur gradient de $\vc f$ en $\vc a$. \item Cas général. Soit $\Phi : (r,\theta)\in\R^2\mapsto\Phi(r,\theta)=(r\cos\theta,r\sin\theta)\in\R^2$; $\J_\Phi(r,\theta)$ est une matrice à deux lignes et deux colonnes : $$ \J_\Phi(r,\theta) =\bigl(\del{\Phi}{r}(r,\theta),\del{\Phi}{\theta}(r,\theta)\bigr) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix} $$ Considérons maintenant l'application $z\in\C\mapsto\exp z$ que l'on identifie en une application de $\R^2$ dans $\R^2$ par $f : (x,y)\in\R^2\mapsto(e^x\cos y,e^x\sin y)$; la matrice jacobienne $\J_f(x,y)$ est une matrice carrée d'ordre deux et : $$ \J_f(x,y)= \begin{pmatrix} e^x\cos y & -e^x\sin y \\ e^x\sin y & e^x\cos y \end{pmatrix} $$ \end{itemize} \end{Exs} \begin{Df}[Jacobien]\alaligne Le déterminant de la matrice jacobienne est appelé \emph{jacobien} de $\vc f$ au point $\vc a$. Ceci n'a, bien sûr, de sens que si la matrice jacobienne est une matrice \emph{carrée}. \end{Df} %---------------------------------------------------------------------- Reprenons les exemples précédents; $\det\J_\Phi(r,\theta)=r$, ce qui montre que $\J_{\Phi}(r,\theta)$ est une matrice inversible, si, et seulement si, $r$ est un nombre différent de zéro; $\det\J_f(x,y)=e^x$ et la matrice jacobienne $\J_f(x,y)$ est toujours inversible. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Composition des applications de classe $\mcal{C}^1$} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %---------------------------------------------------------------------- \subsection{La situation} %---------------------------------------------------------------------- Considérons $\vc f$ une application de classe $\mcal{C}^1$ d'un ouvert $U$ de $\R^p$ à valeurs dans $\R^n$, dont les variables sont notées $\vc x=(x_1\Dots x_p)$, et $\vc\bphi=(\vphi_1\Dots\vphi_p)$ une application de classe $\mcal{C}^1$ d'un ouvert $V$ de $\R^q$ à valeurs dans $U$ pour permettre la composition, dont les variables sont notées $\vc t=(t_1\Dots t_q)$. On pose $\vc g=\vc f\rond\bphi$. Il nous faut montrer que $\vc g$ est une application de classe $\mcal{C}^1$ sur l'ouvert $V$, et surtout, donner une formule du calcul des dérivées partielles $\D_k\vc g=\del{\vc g}{t_k}$ en un point $\btau\in V$ en fonction des dérivées partielles de $\vc f$ et de $\bphi$. %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Un cas particulier $q=1$} %---------------------------------------------------------------------- On considère $\vc f\in\CkIE[U,\R^n]{1}$ et $\bphi=(\vphi_1\Dots\vphi_p)\in\CkIE[I,U]{1}$ avec $I$ un intervalle de $\R$; ainsi $$ \vc g=\vc f\rond\bphi : t\in I\mapsto \vc f\bigl(\bphi(t)\bigr)=\vc f\bigl(\vphi_1(t)\Dots\vphi_p(t)\bigr) $$ \begin{Prop} Si $\vc f\in\CkIE[U,\R^n]{1}$ et $\bphi=(\vphi_1\Dots\vphi_p)\in\CkIE[I,U]{1}$, $\vc g=\vc f\rond\bphi$ est une application de classe $\mcal{C}^1$ sur l'intervalle $I$ et : \begin{equation} \qqs t\in I,\ \vc g'(t)=\dd{}{t}\Bigl(\vc f\rond\bphi(t)\Bigr) =\sum_{j=1}^p\del{\vc f}{x_j}\bigl(\bphi(t)\bigr)\vphi'_j(t) =\D_{\bphi'(t)}\vc f\bigl(\bphi(t) \bigr) \end{equation} %-------------------------------------------------- \end{Prop} \begin{proof} Dans le cas particulier de deux variables pour $\vc f$ ($p=2$), pour faciliter la compréhension et l'écriture. Calculons le développement limité de $\vc g$ à l'ordre $1$ au voisinage de $t=\tau$; on posera $\vc a=\bphi(\tau)$; commençons par celui de $\bphi$ : $$ \bphi(\tau+h)=\bphi(\tau) + h\bphi'(\tau)+h\beps(h)=\vc a+\vc H $$ en posant $\vc a=\bphi(\tau)$; continuons par celui de l'application $\vc f$ de classe $\mcal{C}^1$ au voisinage de $\vc x=\vc a$ : \begin{align*} \vc f(\vc a+\vc H) &= \vc f(\vc a)+H_1\del{\vc f}{x_1}(\vc a)+H_2\del{\vc f}{x_2}(\vc a)+\oo{\norme{\vc H}} \\ &= \vc f(\vc a) + \bigl(h\vphi'_1(\tau)+h\eps_1(h)\bigr)\del{\vc f}{x_1}(\vc a) + \bigl(h\vphi'_2(\tau)+h\eps_2(h)\bigr)\del{\vc f}{x_2}(\vc a) + \oo{\norme{\vc H}} \\ &= \vc f(\vc a) + h\Bigl(\vphi'_1(\tau)\del{\vc f}{x_1}(\vc a) + \vphi'_2(\tau)\del{\vc f}{x_2}(\vc a)\Bigr) + \oo{h} \end{align*} %-------------------------------------------------- car $\vc H=h\bphi'(\tau)+h\beps(h)=\OO{h}$, ce qui implique que tout expression négligeable devant $\norme{\vc H}$, est négligeable devant $h$. Bref, nous venons de calculer le développement limité de $\vc g$ à l'ordre un, au voisinage de $t=\tau$; le coefficient de $h$ est le vecteur dérivée $\vc g'(\tau)$, soit $$ \vc g'(\tau) =\vphi'_1(\tau)\del{\vc f}{x_1}(\vc a) + \vphi'_2(\tau)\del{\vc f}{x_2}(\vc a) =\D_{\bphi'(\tau)}\vc f(\vc a) $$ Remarquons que $t\mapsto\vc g'(t)$ est une fonction continue, ce qui assure la classe $\mcal{C}^1$ pour $\vc g$. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- %---------------------------------------------------------------------- \paragraph{Interprétation à l'aide des jacobiennes}\alaligne %---------------------------------------------------------------------- La matrice jacobienne $\J_{\vc g}(t)$ est la matrice colonne des composantes du vecteur $\vc g'(t)$, soit $\J_{\vc g}(t)=\bigl(\vc g'(t)\bigr)= \bigl(\sum_{j=1}^p\vphi'_j(t)\del{\vc f}{x_j}(\vphi(t))\bigr)$, égale au produit des matrices jacobiennes $\J_{\vc f}\bigl(\bphi(t)\bigr)$ et $\J_{\bphi}(t)$. \begin{equation} \J_{\vc g}(t)=\bigl(\vc g'(t)\bigr) =\J_{\vc f}\bigl(\bphi(t)\bigr)\times\J_{\bphi}(t) =\Bigl(\del{\vc f}{x_1}\bigl(\bphi(t)\bigr)\Dots\del{\vc f}{x_p}\bigl(\bphi(t)\bigr)\Bigr) \times \begin{pmatrix} \vphi'_1(t) \\ \vdots \\ \vphi'_p(t) \end{pmatrix} \end{equation} %-------------------------------------------------- %---------------------------------------------------------------------- \paragraph{Interprétation à l'aide des différentielles}\alaligne %---------------------------------------------------------------------- Partons de la différentielle de $\vc f$ : $\dt[]\vc f(\vc x)=\sum_{j=1}^p\del{\vc f}{x_j}(\vc x)\,\dt[x_j]$. Le calcul de la différentielle de $\vc g=\vc f\rond\bphi : t\mapsto\vc f\bigl(\vphi_1(t)\Dots\vphi_p(t)\bigr)$ s'effectue en substituant à $\dt[x_j]$ la différentielle $\dt[]\vphi_j(t)=\vphi'_j(t)\,\dt$ de $\vphi_j$ : $$ \dt[]\vc g(t)=\dt[]\Bigl(\vc f\bigl(\vphi_1(t)\Dots\vphi_p(t)\bigr)\Bigr) =\sum_{j=1}^p\del{\vc f}{x_j}\bigl(\bphi(t)\bigr)\,\dt[]\vphi_j(t) =\sum_{j=1}^p\del{\vc f}{x_j}\bigl(\bphi(t)\bigr)\vphi'_j(t)\,\dt $$ Puisque $\dt[]\vc g(t)=\vc g'(t)\,\dt$, le \og coefficient\fg{} de $\dt$ donne la dérivée $\vc g'(t)$ et la formule est retrouvée. %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Le cas général} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[Composition de deux applications de classe $\mcal{C}^1$]\alaligne Si $\vc f\in\CkIE[U,\R^n]{1}$ et $\bphi\in\CkIE[V,U]{1}$, la fonction $$ \vc g=\vc f\rond\bphi : \vc t=(t_1\Dots t_q)\mapsto \vc f\bigl(\vphi_1(t_1\Dots t_q)\Dots\vphi_q(t_1\Dots t_q)\bigr) $$ est une application de classe $\mcal{C}^1$ sur l'ouvert $V$ et, en posant $\vc a=\bphi(\btau)$, \begin{equation} \qqs k\in\Intf1q,\ \del{\vc g}{t_k}(\btau) =\sum_{j=1}^p\del{\vc f}{x_j}(\vc a)\del{\vphi_j}{t_k}(\btau) \end{equation} que l'on écrit aussi : \begin{equation} \D_k\vc g(\btau)=\sum_{j=1}^p \D_j\vc f(\vc a)\D_k\vphi_j(\btau) \end{equation} \end{Th} \begin{proof} $\del{\vc g}{t_k}(\btau)$ est la dérivée (ordinaire) de la fonction d'\emph{une} variable $$ t\mapsto\vc g(\tau_1\Dots t\Dots\tau_q) =\vc f\bigl(\vphi_1(\tau_1\Dots t\Dots\tau_q)\Dots\vphi_p(\tau_1\Dots t\Dots\tau_q)\bigr) $$ calculée au point $t=\tau_k$, la variable $t$ se plaçant en $k$\ieme{}{} place. La formule précédente donne le résultat. Remarquons que, pour tout $k\in\Intf1q$, les applications $\partial\vc g/\partial t_k$ sont continues, ce qui assure la classe $\mcal{C}^1$ de $\vc g$ sur $V$. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- %---------------------------------------------------------------------- \paragraph{Interprétation à l'aide des matrices jacobiennes}\alaligne %---------------------------------------------------------------------- La formule précédente s'écrit matriciellement sous la forme : \begin{equation} \J_{\vc g}(\btau)=\J_{\vc f}\bigl(\bphi(\btau)\bigr)\times\J_{\bphi}(\btau) \end{equation} %-------------------------------------------------- %---------------------------------------------------------------------- \paragraph{Interprétation à l'aide des différentielles}\alaligne %---------------------------------------------------------------------- Partons de la différentielle de $\vc f$ : $\dt[]\vc f(\vc x)=\sum_{j=1}^p\del{\vc f}{x_j}(\vc x)\,\dt[x_j]$. Le calcul de la différentielle de $$ \vc g=\vc f\rond\bphi : \vc t=(t_1\Dots t_q)\mapsto \vc f\bigl(\vphi_1(t_1\Dots t_q)\Dots\vphi_p(t_1\Dots t_q)\bigr) $$ s'effectue en substituant à $\dt[x_j]$ la différentielle $\dt[]\vphi_j(\vc t)=\sum_{k=1}^q\del{\vphi_j}{t_k}(\vc t)\,\dt[t_k]$ de $\vphi_j$ : \begin{align*} \dt[]\vc g(\vc t) &= \dt[]\Bigl(\vc f\bigl(\vphi_1(t_1\Dots t_q)\Dots\vphi_p(t_1\Dots t_q)\bigr)\Bigr) = \sum_{j=1}^p\del{\vc f}{x_j}\bigl(\bphi(\vc t)\bigr)\,\dt[]\vphi_j(\vc t) \\ &= \sum_{j=1}^p\del{\vc f}{x_j}\bigl(\bphi(\vc t)\bigr) \Bigl(\sum_{k=1}^q\del{\vphi_j}{t_k}(\vc t)\,\dt[t_k]\Bigr) = \sum_{k=1}^q\Bigl(\sum_{j=1}^p\del{\vc f}{x_j}\bigl(\bphi(\vc t)\bigr)\del{\vphi_j}{t_k}(\vc t)\Bigr)\,\dt[t_k] \end{align*} Puisque $\dt[]\vc g(\vc t)=\sum_{k=1}^q\del{\vc g}{t_k}(\vc t)\,\dt[t_k]$, le \og coefficient\fg{} de $\dt[t_k]$ donne la dérivée partielle $\del{\vc g}{t_k}$ et la formule est retrouvée. %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Une application} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Prop} Si $A$ et $I$ sont deux intervalles de $\R$ et $f$ une fonction numérique (réelle ou complexe) continue sur $A\times I$ telle que $\partial f/\partial x$ soit aussi continue sur $A\times I$, la fonction \begin{equation} F : (u,v,w)\mapsto \int_u^v f(w,t)\,\dt \end{equation} est de classe $\mcal{C}^1$ sur $I\times I\times A$. %-------------------------------------------------- \end{Prop} \begin{proof} Les fonctions $\del Fu(u,v,w)=-f(w,u)$ et $\del Fv(u,v,w)=f(w,v)$ sont continues sur $I\times I\times A$, ainsi que la fonction : $$ \del Fw(u,v,w)=\int_u^v\del fx(w,t)\,\dt=\int_u^v\D_1 f(w,t)\,\dt $$ dont la démonstration (non évidente) est laissée aux soins du lecteur. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Cor} Sous les mêmes hypothèses et pour $\alpha$et $\beta\in\CkIE[A,I]{1}$, la fonction $$ g : x\mapsto\int_{\alpha(x)}^{\beta(x)} f(x,t)\,\dt $$ est de classe $\mcal{C}^1$ sur $A$ et \begin{equation} \qqs x\in A,\ g'(x)=\beta'(x)f\bigl(\beta(x),x\bigr)-\alpha(x)f\bigl(\alpha(x),x)\bigr) + \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}\del fx(x,t)\,\dt \end{equation} %-------------------------------------------------- \end{Cor} \begin{proof} Utilisant les notations de la proposition précédente, $g(x)=F\bigl(\alpha(x),\beta(x),x)\bigr)$; le théorème de composition montre que $g$ est une fonction de classe $\mcal{C}^1$ sur $A$ et : \begin{align*} g'(x) &= \dd{}x\Bigl(F\bigl(\alpha(x),\beta(x),x)\bigr)\Bigr) \\ &= \del Fu\bigl(\alpha(x),\beta(x),x)\bigr)\alpha'(x) + \del Fv\bigl(\alpha(x),\beta(x),x)\bigr)\beta'(x) + \del Fw\bigl(\alpha(x),\beta(x),x)\bigr) \\ &= -f\bigl(\alpha(x),x)\bigr)\alpha'(x) + f\bigl(\beta(x),x)\bigr)\beta'(x) + \int_{\alpha(x)}^{\beta(x)}\del fx(x,t)\,\dt \end{align*} %-------------------------------------------------- \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Coordonnées polaires} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Argument d'un nombre complexe} %---------------------------------------------------------------------- %---------------------------------------------------------------------- \subsubsection{Cas des nombres complexes de module $1$} %---------------------------------------------------------------------- On note $\U$ l'ensemble des nombres complexes de module $1$. Rappelons qu'un argument de $z\neq0$, noté $\arg z$, est un nombre réel tel que $z=\abs{z}\exp(\ii\arg z)$; ce nombre n'est pas unique, deux arguments d'un même nombre complexe diffèrent d'un multiple entier de $2\pi$. \begin{Th}[Détermination principale de l'argument]\alaligne $\theta\mapsto\exp \ii\theta=\cos\theta+\ii\sin\theta$ réalise une bijection continue de $\into{-\pi}\pi$ sur $\U\prive\{-1\}$, dont l'application réciproque \begin{equation} z\in\U\mapsto\Arg z=2\arctan\ra{y}{1+x} \end{equation} est continue ($x=\RE z$, $y=\IM y$, $x^2+y^2=1$ et $x\neq -1$). \end{Th} \begin{proof} Seule la réciproque mérite une démonstration. Si $z=\exp(\ii\theta)=x+\ii y\in\U\prive\{-1\}$, le quadrilatère de sommets $(0,1,1+z,z)$ est un losange (parallélogramme avec deux côtés successifs de même longueur); le nombre complexe $1+z$, diagonale de ce losange, dirige la bissectrice, son argument est $\theta/2$ et $$ \tan\ra\theta2=\ra{\IM(1+z)}{\RE(1+z)}=\ra{y}{1+x} \qquad\text{soit}\qquad \ra\theta2=\arctan\ra{y}{1+x} $$ puisque $\theta/2\in\into{-\pi/2}{\pi/2}$. Une démonstration analytique est possible : $1+z=1+\exp(\ii\theta) =\exp(\ii\theta/2)\bigl(\exp(-\ii\theta/2)+\exp(\ii\theta/2)\bigr) =2(\cos\theta)\exp(\ii\theta/2)$, nombre complexe de module $2\cos(\theta/2)$ et d'argument $\theta/2$, \etc\dots \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- %---------------------------------------------------------------------- \subsubsection{Cas des nombres complexes en dehors du demi-axe réel négatif} %---------------------------------------------------------------------- La fonction $\Arg$ se prolonge en une fonction de classe $\mcal{C}^1$ sur la partie ouverte $\C\prive\intof{-\infty}0$, appelée \emph{détermination principale de l'argument}, par \Reponse{$\dps \qqs z=x+\ii y\in\C\prive\intof{-\infty}0,\ \Arg(z)=\Arg\Bigl(\ra{z}{\abs{z}}\Bigr) =2\arctan\ra{y}{x+\sqrt{x^2+y^2}} $} Remarquons que $x+\sqrt{x^2+y^2}=0\iff x=-\sqrt{x^2+y^2}\et x^2=x^2+y^2\iff y=0\et x\leq0\iff z=x+\ii y\in\intof{-\infty}0$ \begin{NBs}[]\alaligne Il y a des difficultés à prendre $\arctan(y/x)$ ou $\arctan(x/y) + cte$, car l'expression de l'argument utilisant ce type de formule dépend du quadrant dans lequel se place $z$. La fonction $\Arg$ ne peut se prolonger en $z=-1$ en une fonction continue sur $\U$, car la limite de $\Arg z$ quand $z$ tend vers $-1$ en restant, à la fois, dans $\U$ et dans le demi-plan supérieur (resp. inférieur) est $\pi$ (resp. $-\pi$). On peut, par contre, suivre \og à la trace\fg{} l'argument d'un nombre complexe qui varie continûment; c'est l'objet du théorème du relèvement. \end{NBs} %-------------------------------------------------- %---------------------------------------------------------------------- \subsubsection{Relèvement d'une application} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[Relèvement d'une application à valeurs dans $\U$]\alaligne Si $I$ est un intervalle de $\R$ et $f\in\CkIE[I,\U]{k}$ ($k\in\Intf1{+\infty}$), il existe une fonction $\theta\in\CkIE[I,\R]{k}$, unique à l'addition d'un multiple entier de $2\pi$, telle que : \begin{equation} \qqs t\in I,\ f(t)=\exp\bigl(\ii\theta(t)\bigr) \end{equation} \end{Th} \begin{proof} Analyse. Une dérivation donne $f'(t)=\ii\theta'(t)\exp\bigl(\ii\theta(t)\bigr) =\ii\theta'(t)f(t)$, soit $$ \qqs t\in I,\ \theta'(t)=-\ii\ra{f'(t)}{f(t)} $$ La fonction $\theta$ est unique à une constante près, constante qui ne peut-être qu'un multiple entier de $2\pi$ pour permettre l'égalité des arguments. Synthèse. Soient $t_0\in I$ et $\theta$ \emph{la} primitive de $-\ii f'/f$ qui vaut $\Arg\bigl(f(t_0)\bigr)$ si $f(t_0)\neq-1$ ou $\pi$ sinon. Attention de ne pas parler de logarithme, puisque la fonction $-\ii f'/f$ est à valeurs complexes. Ainsi, $$ \qqs t\in I,\ \dd{}{t}\Bigl(f(t)\exp\bigl(-\ii\theta(t)\bigr)\Bigr) =f'(t)\exp\bigl(-\ii\theta(t)\bigr) + f(t)\exp\bigl(-\ii\theta(t)\bigr)\bigl(-\ii\theta'(t)\bigr)=0 $$ La fonction $t\mapsto f(t)\exp\bigl(-\ii\theta(t)\bigr)$ est constante sur l'\emph{intervalle} $I$, égale à $1$ vu sa valeur en $t_0$, ce qui donne le résultat. D'autre part, la fonction $\theta$ est de classe $\mcal{C}^k$ puisque $\theta'$ est une fonction de classe $\mcal{C}^{k-1}$. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Cor}[Relèvement d'une application à valeurs dans $\C\prive\{0\}$]\alaligne Si $I$ est un intervalle de $\R$ et $f\in\CkIE[I,\C\prive\{0\}]{k}$ ($k\in\Intf1{+\infty}$), il existe une fonction $\theta\in\CkIE[I,\R]{k}$, unique à l'addition d'un multiple entier de $2\pi$, telle que : \begin{equation} \qqs t\in I,\ f(t)=\abs[\big]{f(t)}\exp\bigl(\ii\theta(t)\bigr) \end{equation} \end{Cor} \begin{proof} On applique le théorème précédent à la fonction $t\mapsto f(t)/\abs[\big]{f(t)}$. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{NBs}\alaligne Ce corollaire montre que toute courbe plane qui ne passe pas par l'origine, est susceptible d'être représentée à l'aide d'une paramétrisation polaire. Le théorème du relèvement est encore vraie pour les applications continues, mais sa démonstration en est plus délicate. \end{NBs} %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Repère polaire du plan euclidien} %---------------------------------------------------------------------- Considérons un plan euclidien $\mcal{P}$ muni d'une base orthonormée (fixe) $(\vc i,\vc j)$. \begin{Df}[Repère polaire]\alaligne La base orthonormale (mobile) $\bigl(\vc u(\theta),\vc v(\theta)\bigr)$, image de $(\vc i,\vc j)$ par la rotation vectorielle (plane) d'angle $\theta\in\R$, est appelée \emph{repère polaire} de $\mcal{P}$. \begin{equation} \qqs\theta\in\R,\ \vc u(\theta)=\cos\theta\,\vc i+\sin\theta\,\vc j \et \vc v(\theta)=-\sin\theta\,\vc i+\cos\theta\,\vc j \end{equation} \end{Df} %-------------------------------------------------- \begin{NBs}[]\alaligne Les fonctions vectorielles $\vc u$ et $\vc v$ sont de classe $\mcal{C}^\infty$ sur $\R$ et \begin{equation} \dd{\vc u}{\theta}=\vc v \qquad\et\qquad \dd{\vc v}{\theta}=-\vc u \end{equation} Les physiciens préfèrent les notations $(\vc e_r,\vc e_\theta)$; attention de ne pas oublier que $\vc e_r$ n'est pas une fonction de $r$ mais de $\theta$. \end{NBs} \begin{Df}[Coordonnées polaires d'un point de $\mcal{P}$]\alaligne Si $M$ est un point de $\mcal{P}$, les couples $(r,\theta)$ tels que \begin{equation} \vect{OM}=r\,\vc u(\theta) \end{equation} sont appelés \emph{coordonnées polaires du point$M$}. \end{Df} %-------------------------------------------------- \begin{NB} Les coordonnées polaires d'un point ne sont pas uniques : \begin{itemize} \item si $M$ est l'origine, les couples $(0,\theta)$, $\theta\in\R$, conviennent; \item si $M$ n'est pas l'origine, $\vect{OM}\neq\vc 0$ et $ \vect{OM}=r_1\vc u(\theta_1)=r_2\vc u(\theta_2) \iff \bigl(r_1=r_2\et\theta_1\equiv\theta_2\pmod{2\pi}\bigr) \text{ ou } \bigl(r_1=-r_2\et\theta_1+\pi\equiv\theta_2\pmod{2\pi}\bigr) $ \end{itemize} En appelant $\mcal{D}_{-}$ le demi-axe réel négatif, tout point $M\in\mcal{P}\prive\mcal{D}_{-}$ (le plan \og fendu\fg), admet des coordonnées polaires $(r,\theta)$ uniques à condition de les prendre dans $\into0{+\infty}\times\into{-\pi}{\pi}$. \end{NB} %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Changement de variables en coordonnés polaires} %---------------------------------------------------------------------- %---------------------------------------------------------------------- \paragraph{Le changement de variables.} %---------------------------------------------------------------------- Posons $\bphi : (r,\theta)\mapsto(r\cos\theta,r\sin\theta)$; $\bphi$ est une fonction de classe $\mcal{C}^1$ sur $\R^2$ et $$ \J_{\bphi}(r,\theta) = \begin{pmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{pmatrix} $$ $\bphi$ réalise une bijection de classe $\mcal{C}^1$ de $\into0{+\infty}\times\into{-\pi}{\pi}$ sur $\R^2\prive\intof{-\infty}0\times\{0\}$ dont la réciproque $$ (x,y)\mapsto \Bigl(\sqrt{x^2+y^2},2\arctan\ra{y}{x+\sqrt{x^2+y^2}}\Bigr) $$ est aussi de classe $\mcal{C}^1$. %---------------------------------------------------------------------- \paragraph{Dérivées partielles par rapport à $r$ et $\theta$.} %---------------------------------------------------------------------- À toute application $f\in\CkIE[\R^2\prive\{\vc 0\}]{1}$, on associe $F=f\rond\bphi\in\CkIE[\R\prive\{0\}\times\R]{1}$; on a \begin{gather*} F : (r,\theta)\mapsto f(r\cos\theta,r\sin\theta) \\ \del Fr(r,\theta) = \cos\theta\del fx(r\cos\theta,r\sin\theta) + \sin\theta\del fy(r\cos\theta,r\sin\theta) \\ \del F\theta(r,\theta) = -r\sin\theta\del fx(r\cos\theta,r\sin\theta) + r\cos\theta\del fy(r\cos\theta,r\sin\theta) \end{gather*} Puisque $r\neq0$, les égalités précédents s'écrivent matriciellement : $$ \begin{pmatrix} \dps\del Fr(r,\theta) \\[3ex] \dps\ra1r\del F\theta(r,\theta) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\[3ex] -\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \dps\del fx(r\cos\theta,r\sin\theta) \\[2ex] \dps\del fy(r\cos\theta,r\sin\theta) \end{pmatrix} $$ ce qui donne, en inversant la matrice : \begin{gather*} \del fx(r\cos\theta,r\sin\theta) =\cos\theta\del Fr(r,\theta)-\ra{\sin\theta}{r}\del F\theta(r,\theta) \\[2ex] \del fy(r\cos\theta,r\sin\theta) =\sin\theta\del Fr(r,\theta)+\ra{\cos\theta}{r}\del F\theta(r,\theta) \end{gather*} %---------------------------------------------------------------------- \paragraph{Expression du gradient en coordonnées polaires}\alaligne %---------------------------------------------------------------------- Rappelons que le vecteur gradient s'écrit : $$ (\grad f)(x,y)=\del fx(x,y)\vc i+\del fy(x,y)\vc j $$ Calculons les coordonnées de ce vecteur dans le repère (mobile) polaire $(\vc u,\vc v)$ : \begin{gather*} \scal{(\grad f)(r\cos\theta,r\sin\theta)}{\vc u} = \cos\theta\del fx(r\cos\theta,r\sin\theta) + \sin\theta\del fy(r\cos\theta,r\sin\theta)=\del Fr(r,\theta) \\ \scal{(\grad f)(r\cos\theta,r\sin\theta)}{\vc v} = -\sin\theta\del fx(r\cos\theta,r\sin\theta) + \cos\theta\del fy(r\cos\theta,r\sin\theta)=\ra1r\del F\theta(r,\theta) \\ \end{gather*} ce qui montre que : $$ \bigl(\grad f\bigr)(r\cos\theta,r\sin\theta) =\del Fr(r,\theta)\,\vc u+\ra1r\del F\theta(r,\theta)\,\vc v =\del Fr(r,\theta)\,\vc e_r+\ra1r\del F\theta(r,\theta)\,\vc e_\theta $$ %---------------------------------------------------------------------- \paragraph{Expression de la divergence en coordonnées polaires.}\alaligne %---------------------------------------------------------------------- À un champ de vecteurs $\vc E$ défini sur $\R^2\prive\{\vc 0\}$, \ie{} une application de classe $\mathcal{C}^1$ d"finie sur $\R^2\prive\{\vc 0\}$ et à valeurs dans $\R^2] $, on associe la fonction $\mcal{E}=\vc E\rond\bphi$. Les composantes de $\vc E$ (resp. $\mcal{E}$) dans le repère (fixe) $(\vc i,\vc j)$ sont notées $E_x$ et $E_y$ (resp. $\mcal{E}_x$ et $\mcal{E}_y$) et les composantes de $\vc E$ (resp. $\mcal{E}$) dans le repère (mobile) $(\vc u,\vc v)$ sont notées $E_r$ et $E_\theta$ (resp. $\mcal{E}_r$ et $\mcal{E}_\theta$). On a $$ (\divergence\vc E)(x,y)=\del{E_x}x(x,y)+\del{E_y}y(x,y) $$ ce qui donne : \begin{align*} (\divergence\vc E)(r &\cos\theta,r\sin\theta) = \del{E_x}x(r\cos\theta,r\sin\theta)+\del{E_y}y(r\cos\theta,r\sin\theta) \\ &= \Bigl(\cos\theta\del{\mcal{E}_x}r(r,\theta)- \ra{\sin\theta}r\del{\mcal{E}_x}\theta(r,\theta)\Bigr) + \Bigl(\sin\theta\del{\mcal{E}_y}r(r,\theta)+ \ra{\cos\theta}r\del{\mcal{E}_y}\theta(r,\theta)\Bigr) \\ &= \del{}r\Bigl(\cos\theta\,\mcal{E}_x(r,\theta)+\sin\theta\,\mcal{E}_y(r,\theta)\Bigr) +\ra1r\del{}\theta\Bigl(-\sin\theta\,\mcal{E}_x(r,\theta)+ \cos\theta\,\mcal{E}_y(r,\theta)\Bigr) \\ &\phantom{\del{}r(\cos\theta\mcal{E}_x(r,\theta))} -\ra1r\Bigl(-\cos\theta\,\mcal{E}_x(r,\theta)-\sin\theta\,\mcal{E}_y(r,\theta)\Bigr) \\ &= \del{\mcal{E}_r}{r}(r,\theta)+\ra1r\del{\mcal{E}_\theta}\theta(r,\theta) +\ra1r\mcal{E}_r(r,\theta) \end{align*} soit $$ (\divergence\vc E)(r\cos\theta,r\sin\theta)= \del{\mcal{E}_r}{r}(r,\theta)+\ra1r\del{\mcal{E}_\theta}\theta(r,\theta) +\ra1r\mcal{E}_r(r,\theta) $$ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Difféomorphismes de classe $\mcal{C}^1$} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Généralités} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Df}[Difféomorphisme de classe $\mcal{C}^1$]\alaligne Si $U$ et $V$ sont deux ouverts de $\R^p$, une application $\bphi$ est appelée un $\mcal{C}^1$-\emph{difféomorphisme de $U$ sur $V$}, si $\bphi$ réalise une bijection de $U$ sur $V$ de classe $\mcal{C}^1$ ainsi que $\bphi^{-1}$. \end{Df} %-------------------------------------------------- \begin{Ex} Le changement de coordonnées polaires est un $\mcal{C}^1$-difféomorphisme de $\into0{+\infty}\times\into{-\pi}{\pi}$ sur $\R^2\prive\bigl\{\intof{-\infty}0\times\{0\}\bigr\}$. \end{Ex} %-------------------------------------------------- \begin{Th}[Matrice jacobienne et jacobien d'un $\mcal{C}^1$-difféomorphisme]\alaligne Si $\bphi$ est un $\mcal{C}^1$-difféomorphisme de $U$ sur $V$, deux ouverts de $\R^p$, pour tout $\vc a\in\U$, la matrice jacobienne $\J_{\bphi}(\vc a)$ est inversible, le jacobien $\det\J_{\bphi}(\vc a)$ est différent de $0$ et \begin{equation} \qqs\vc a\in U,\ \J_{\bphi^{-1}}(\vc b)=\Bigl(\J_{\bphi}(\vc a)\Bigr)^{-1}\qquad \text{en posant $\vc b=\bphi(\vc a)$} \end{equation} \end{Th} \begin{proof} De la relation $\bphi^{-1}\rond\bphi=I_U$ (application identique de $U$), on tire, à l'aide du théorème de composition des fonctions de classe $\mcal{C}^1$ : $$ \qqs\vc a\in U,\ \J_{\bphi^{-1}}\bigl(\bphi(\vc b)\bigr)\times\J_{\bphi}(\vc a) =\J_{I_U}(\vc a)=I_p\qquad \text{avec $\vc b=\bphi(\vc a)$} $$ Ainsi, $\J_{\bphi}(\vc a)$ est une matrice inversible d'inverse $\J_{\bphi^{-1}}(\vc b)$. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{NB} Une application dont le jacobien s'annule, ne peut être un $\mcal{C}^1$-difféomorphisme. \end{NB} %-------------------------------------------------- %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Caractérisation des difféomorphismes à l'aide du jacobien} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[Cas local]\alaligne Si $\bphi$ est une application de classe $\mcal{C}^1$ d'un ouvert $U$ de $\R^p$ à valeurs dans $\R^p$, et si, en \emph{un} point $\vc a\in U$, la matrice jacobienne $\J_{\bphi}(\vc a)$ est inversible, il existe un ouvert $U_{\vc a}\subset\R^p$ qui contient $\vc a$, tel que la restriction de $\bphi$ à $U_{\vc a}$ soit un $\mcal{C}^1$-difféomorphisme de $U_{\vc a}$ sur son image $\bphi(U_{\vc a})$ qui est aussi, dans ce cas, une partie ouverte. \end{Th} \begin{proof} Admise. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{NBs}[]\alaligne En une variable ($p=1$), l'inversibilité de $\J_{\vphi(a)}=\bigl(\vphi'(a)\bigr)$ signifie la non nullité de $\vphi'(a)$; ainsi, $\vphi$ est un $\mcal{C}^1$-difféomorphisme d'un intervalle ouvert contenant $a$ sur son image qui est un intervalle ouvert. Le changement de variables en polaires a un jacobien qui vaut $r$; $\bphi$ ne peut être un $\mcal{C}^1$-difféomorphisme sur un voisinage de $(x,y)=\vc 0$. Par contre, en tout point distinct de l'origine, $\bphi$ est localement un $\mcal{C}^1$-difféomorphisme; mais $\bphi$ ne peut être un $\mcal{C}^1$-difféomorphisme sur $\R^2\prive\{\vc 0\}$, puisque $\bphi$ n'y est pas injectif. \end{NBs} %-------------------------------------------------- \begin{Th}[Cas global]\alaligne Si $\bphi$ est une application \emph{injective} de classe $\mcal{C}^1$ d'un \emph{ouvert} $U\subset\R^p$ à valeurs dans $\R^p$, $\bphi$ est un $\mcal{C}^1$-difféomorphisme de $U$ sur $\bphi(U)$ si, et seulement si, le jacobien de $\bphi$ ne s'annule pas sur $U$. \end{Th} \begin{proof} Admise. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{NBs}[]\alaligne En plusieurs variables, l'injectivité de $\bphi$ est essentielle : le changement en coordonnées polaires a un jacobien non nul pour $r\neq0$ et la restriction de $\bphi$ à $\into0{+\infty}\times\R$ n'est pas injective. L'hypothèse que $U$ soit une partie ouverte est indispensable car la restriction de $\bphi$, le changement en coordonnées polaires, à la partie non ouverte $\into0{+\infty}\times\intof{-\pi}{\pi}$ est bijective, de jacobien non nul, mais $\bphi^{-1}$ n'est pas une application continue aux points de l'axe réel négatif. \end{NBs} %-------------------------------------------------- \begin{Ex} Le changement de variables en coordonnées sphériques : \begin{align*} x &= r\sin\theta\,\cos\vphi \\ y &= r\sin\theta\,\sin\vphi \\ z &= r\cos\theta \end{align*} définit une application $\bPhi : (r,\theta,\vphi)\in\R^3\mapsto(x,y,z)\in\R^3$. On observe que : $$ \J_{\bPhi}(r,\theta,\vphi) = \begin{pmatrix} \sin\theta\,\cos\vphi & r\cos\theta\,\cos\vphi & -r\sin\theta\,\sin\vphi \\ \sin\theta\,\sin\vphi & r\cos\theta\,\sin\vphi & r\sin\theta\,\cos\vphi \\ \cos\theta & -r\sin\theta & 0 \end{pmatrix} \et \det\J_{\bPhi}(r\theta,\vphi)=r^2\sin\theta $$ $\bPhi$ est un $\mcal{C}^1$-difféomorphisme local au voisinage de tout point distinct de l'axe $Oz$ ($\theta=0$ ou $\pi$); $\bPhi$ est $\mcal{C}^1$-difféomorphisme de $\into0{+\infty}\times\into0\pi\times\into{-\pi}\pi$ sur $\R^3$ privé du demi-plan $\{y=0,x\leq0\}$. \end{Ex} %-------------------------------------------------- %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Équations aux dérivées partielles et changement de variables} %---------------------------------------------------------------------- Voici quelques résolutions d'équations aux dérivées partielles. Tout d'abord, les plus simples en deux variables; on recherchera des fonctions numériques $f\in\CkIE[\R^2]{1}$. \begin{gather*} \del fx\equiv0\iff \exists\vphi\in\CkIE[\R]{1},\ \qqs(x,y)\in\R^2,\ f(x,y)=\vphi(y) \qquad\text{ $f$ ne dépend que de $y$} \\ \del fy\equiv0\iff \exists\vphi\in\CkIE[\R]{1},\ \qqs(x,y)\in\R^2,\ f(x,y)=\vphi(x) \qquad\text{ $f$ ne dépend que de $x$} \end{gather*} De plus en plus fort, le cas de trois variables; on recherchera $f\in\CkIE[\R^3]{1}$. \begin{gather*} \del fx\equiv0\iff \exists\vphi\in\CkIE[\R^2]{1},\ \qqs(x,y,z)\in\R^3,\ f(x,y,z)=\vphi(y,z) \qquad\text{ $f$ ne dépend que de $y$ et $z$} \\ \del fy\equiv0\iff \exists\vphi\in\CkIE[\R^2]{1},\ \qqs(x,y,z)\in\R^3,\ f(x,y,z)=\vphi(x,z) \qquad\text{ $f$ ne dépend que de $x$ et $z$} \\ \del fz\equiv0\iff \exists\vphi\in\CkIE[\R^2]{1},\ \qqs(x,y,z)\in\R^3,\ f(x,y,z)=\vphi(x,y) \qquad\text{ $f$ ne dépend que de $x$ et $y$} \end{gather*} Remarquons que les solutions dépendent de fonctions et pas de constantes comme dans le cas des équations différentielles dites ordinaires. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Fonctions numériques de classe $\mcal{C}^1$} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %---------------------------------------------------------------------- \subsection{L'algèbre $\CkIE[U]{1}$} %---------------------------------------------------------------------- Si $U$ est une partie ouverte de $\R^p$, $\CkIE[U]{1}$ est la $\R$-algèbre des fonctions numériques réelles de classe $\mcal{C}^1$ sur $U$. Rappelons les règles de calcul des différentielles dans ce cas : \begin{gather*} \dt[](f+g)=\dt[]f+\dt[]g \\ \dt[](\la f)=\la \dt[]f \\ \dt[](fg)=\dt[]f\,g+f\,\dt[]g \\ \dt[]\Bigl(\ra1f\Bigr)=-\ra1{f^2}\,\dt[]f \quad\et\quad \dt[]\Bigl(\ra fg\Bigr)=\ra1{g^2}(\dt[]f\,g-f\,\dt[]g) \end{gather*} %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Gradient d'une fonction numérique} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Df}[Vecteur gradient en un point]\alaligne Si $\puple{\beps}$ est la base canonique de $\R^p$ muni de son produit scalaire naturel, pour toute fonction \emph{numérique} $f$ de classe $\mcal{C}^1$, on pose : \begin{equation} \grad f(\vc a)=\sum_{j=1}^p\del{f}{x_j}(\vc a)\beps_j =\sum_{j=1}^p\D_j f(\vc a)\beps_j \end{equation} \end{Df} %-------------------------------------------------- Ainsi on peut écrire : \begin{gather*} \dt[]f(\vc a)(\vc h)=\D_{\vc h} f(\vc a)=\sum_{j=1}^p h_j\D_j f(\vc a) =\scal[\big]{\grad f(\vc a)}{\vc h} \\ \et\qquad f(\vc a+\vc h)-f(\vc a) =\scal[\big]{\grad f(\vc a)}{\vc h}+\oo{\norme{\vc h}} \end{gather*} \begin{NB} Le théorème de représentation de Riesz définit le vecteur $\grad f(\vc a)$ de manière \emph{intrinsèque}, \ie{} sans l'utilisation d'une base, à l'aide de l'expression $\dt[] f(\vc a)=\scal[\big]{\grad f(\vc a)}{\vc h}$. \end{NB} %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Extrema d'une fonction numérique} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Df}[Extremum local]\alaligne L'application $f : U\subset\R^p\to\R$ admet en $\vc a$ un \emph{maximum local} (resp; \emph{minimum local}) s'il existe un voisinage $U_{\vc a}$ de $\vc a$ tel que : \begin{equation} \qqs\vc x\in U_{\vc a},\ f(\vc x)\leq f(\vc a) \qquad\text{(resp. $\qqs\vc x\in U_{\vc a},\ f(\vc x)\geq f(\vc a)$)} \end{equation} \end{Df} %-------------------------------------------------- \begin{Df}[Extremum global]\alaligne L'application $f : U\subset\R^p\to\R$ admet en $\vc a$ un \emph{maximum global} (resp; \emph{minimum global}) si \begin{equation} \qqs\vc x\in U,\ f(\vc x)\leq f(\vc a) \qquad\text{(resp. $\qqs\vc x\in U,\ f(\vc x)\geq f(\vc a)$)} \end{equation} \end{Df} %-------------------------------------------------- \begin{Th}[Compacité et extrema globaux]\alaligne Toute application numérique continue sur une partie \emph{compacte} de $\R^p$ admet un maximum et un minimum global sur cette partie; ces extrema sont atteints. \end{Th} \begin{proof} Admise \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{NB} La compacité et la continuité montre l'\emph{existence} d'extrema globaux mais la démonstration du théorème n'est pas une démonstration \emph{effective} : la démonstration ne donne pas de méthode de les calculer. \end{NB} %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Point critique d'une fonction numérique} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Df}[Point critique d'une fonction numérique]\alaligne Si $f$ est une fonction numérique de classe $\mcal{C}^1$ sur un ouvert $U$ de $\R^p$, un point $\vc a\in U$ est appelé \emph{point critique de $f$} si le vecteur gradient de $f$ en $\vc a$ est nul, \ie{} si $$ \qqs j\in\Intf1p,\quad\del{f}{x_j}(\vc a)=0 $$ \end{Df} %-------------------------------------------------- \begin{Th}[Condition \emph{nécessaire} d'existence d'extremum local]\alaligne Si $f$ est une fonction numérique de classe $\mcal{C}^1$ sur un ouvert $U\subset\R^p$, les extrema locaux de $f$ sont à chercher \emph{parmi} les points critiques de $\vc f$. \end{Th} \begin{proof} Soient $\vc h\in\R^p$ et $\vphi_{\vc h} : t\in\R\mapsto f(\vc a+t\vc h)$; si $f$ admet un extremum local en $\vc a$, pour tout $\vc h$, la fonction $\vphi_{\vc h}$ admet un extremum local en $t=0$, et donc $0=\vphi'_{\vc h}(0)=\sum_{j=1}^p h_j\D_j f(\vc a)$. Ainsi, pour tout $j\in\Intf1p$, $\D_j f(\vc a)=\del{f}{x_j}(\vc a)=0$ et $\grad f(\vc a)=\vc 0$. La fonction $t\mapsto t^3$ est une fonction de classe $\mcal{C}^1$ (et même de classe $\mcal{C}^\infty$) sur $\R$, strictement monotone et qui admet un point critique en $t=0$. Ceci montre qu'un point critique n'est pas \emph{toujours} un extremum local. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Inégalité des accroissements finis} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[Inégalité des accroissements finis sur un ouvert convexe]\alaligne Si $U$ est un ouvert \emph{convexe} de $\R^p$, $f$ une fonction numérique de classe $\mcal{C}^1$ sur $U$ et $k$ une constante positive telle que, pour tout $\vc x\in U$, $\dt[]f(\vc x)$ soit une application lipschitzienne de rapport $k$, alors : \begin{equation} \qqs(\vc a,\vc b)\in U,\ \abs[\big]{f(\vc a)-f(\vc b)}\leq k\norme{\vc b-\vc a} \end{equation} \end{Th} \begin{proof} Soit $\bphi : t\in\intf01\mapsto (1-t)\vc a+t\vc b$ le paramétrage naturel du segment $\intf{\vc a}{\vc b}$, segment inclus dans $U$, puisque $U$ est convexe. Posons $F=f\rond\bphi$; $F$ est une application de classe $\mcal{C}^1$ par composition et, pour tout $t\in\intf01$, \begin{align*} F'(t) &= \dd{}{t}\Bigl(f\bigl((1-t)a_1+tb_1,\ldots,(1-t)a_p+tb_p\bigr)\Bigr) \\ &= \sum_{j=1}^p (b_j-a_j)D_j f\bigl((1-t)\vc a+t\vc b\bigr) =\bigl[\dt[]f\bigl(\bphi(t)\bigr)\bigr](\vc b-\vc a) \end{align*} Ainsi, en utilisant la constante de Lipschitz $k$, on a: $$ \qqs t\in\intf01,\ \abs[\big]{F'(t)} =\abs[\big]{\bigl[\dt[]f\bigl(\bphi(t)\bigr)\bigr](\vc b-\vc a)} \leq k\norme{\vc b-\vc a} $$ Nous venons de démontrer que $F$ est une fonction lipschitzienne de rapport $k\norme{\vc b-\vc a}$ sur le segment $\intf01$, ce qui donne le résultat : $$ \abs[\big]{F(1)-F(0)}=\abs[\big]{f(\vc b)-f(\vc a)} \leq(1-0)k\norme{\vc b-\vc a}=k\norme{\vc b-\vc a} $$ \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{NBs}[]\alaligne La lectrice et le lecteur, attentifs, auront remarqué que pour aller de $\vc a$ à $\vc b$ nous avons pris la \emph{ligne droite} et non pas un chemin à côtés parallèles aux axes. Ce qui n'était pas (encore) possible au début du chapitre, l'est devenu : le théorème de composition des différentielles est passé par là. Ce n'est pas tant le résultat qui est important, mais \emph{la méthode de démonstration} : l'utilisation d'une fonction auxiliaire a permis de transformer la majoration d'une fonction de plusieurs variables, en une majoration d'une fonction d'\emph{une seule} variable. \end{NBs} %-------------------------------------------------- \begin{Th}[Caractérisation des fonctions constantes parmi les fonctions de classe $\mcal{C}^1$]\alaligne Si $U$ est un ouvert convexe de $\R^p$ et $f$ une fonction numérique de classe $\mcal{C}^1$ sur $U$, les assertions suivantes sont équivalentes : \begin{prop} \item $f$ est une fonction constante sur $U$; \item pour tout $\vc x\in U$, $\dt[]f(\vc x)$ est l'application nulle; \item $\qqs j\in\Intf1p,\ \qqs\vc x\in U,\ \D_j f(\vc x)=0$. \end{prop} \end{Th} \begin{proof} La matrice ligne $\bigl(\D_1 f(\vc x)\Dots\D_p f(\vc x)\bigr)$ est la matrice de la différentielle de $f$ en $\vc x$ $\dt[]f(\vc x)$, ce qui montre l'équivalence des assertions $(ii)$ et $(iii)$. \Implique13 est évident. \Implique21 Pour tout $\vc x\in U$, l'application (nulle) $\dt[]f(\vc x)$ est lipschitzienne de rapport $k=0$; l'inégalité des accroissements finis entre un point (fixe) $\vc a$ et un point quelconque $\vc x$ donne le résultat. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Cor} Si $U$ est un ouvert convexe de $\R^p$ et $\vc f$ une fonction de classe $\mcal{C}^1$ sur $U$ à valeurs dans $\R^n$, les assertions suivantes sont équivalentes : \begin{prop} \item $\vc f$ est une fonction constante sur $U$; \item pour tout $\vc x\in U$, $d\vc f(\vc x)$ est l'application nulle; \item $\qqs j\in\Intf1p,\ \qqs\vc x\in U,\ \D_j \vc f(\vc x)=0$; \item $\qqs(i,j)\in\Intf1n\times\Intf1p,\ \qqs\vc x\in U,\ \D_j f_i(\vc x)=0 $.\end{prop} \end{Cor} \begin{proof} Il suffit d'appliquer le théorème précédent aux composantes $f_i$ de $\vc f$. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Dérivées partielles d'ordre supérieur} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{Dfs}[Fonctions de classe $\mcal{C}^k$]\alaligne Si $U$ est un ouvert de $\R^p$, on définit par récurrence sur $k$ : \begin{equation} \qqs k\geq2,\ \vc f\in\CkIE[U,\R^n]{k} \iff \vc f\in\CkIE[U,\R^n]{1}\et \qqs j\in\Intf1p,\ \D_j\vc f\in\CkIE[U,\R^n]{k-1} \end{equation} Dans ce cas, on dit que $\vc f$ est une application de classe $\mcal{C}^k$ sur $U$ à valeurs dans $\R^n$. Si $\vc f$ est une fonction de classe $\mcal{C}^k$ pour tout entier $k$, $\vc f$ est dite \emph{de classe $\mcal{C}^\infty$ sur $U$}. \end{Dfs} %-------------------------------------------------- Les dérivées partielles d'ordre supérieur sont notées : \begin{equation} \ddel{\vc f}{x_i}{x_j}=\del{}{x_i}\Bigl(\del{\vc f}{x_j}\Bigr) =\D_i(\D_j\vc f)=\D_i\rond\D_j(\vc f) \end{equation} $\CkIE[U,\R^n]{k}$ est un $\R$-espace vectoriel; $\CkIE[U]{k}=\CkIE[U,\R]{k}$ est une $\R$-algèbre. Somme, produit, quotient (à dénominateur non nul) de fonctions de classe $\mcal{C}^k$ sont des fonctions de classe $\mcal{C}^k$. En particulier, les polynômes, les fractions rationnelles sur leur domaine de définition (\ie{} en dehors de l'ensemble qui annule le dénominateur) sont des fonctions de classe $\mcal{C}^\infty$. \begin{Th}[ de Schwarz]\alaligne Si $\vc f$ est une fonction de classe $\mcal{C}^2$ sur un ouvert $U$ de $\R^p$, toutes les dérivées partielles de $\vc f$ commutent, \ie{} : \begin{equation} \ddel{\vc f}{x_i}{x_j}=\ddel{\vc f}{x_j}{x_i} \qquad\text{soit}\qquad \D_i(\D_j\vc f)=\D_j(\D_i\vc f) \end{equation} \end{Th} %-------------------------------------------------- La fonction $\dps (x_1,x_2)\mapsto x_1x_2\ra{x_1^2-x_2^2}{x_1^2+x_2^2}$ prolongée en $(0,0)$ par $0$ est un contre-exemple du théorème de Schwarz.