%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \chapter{Série entière} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \minitoc \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Introduction} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Comme toujours, $\K$ désigne l'un des corps $\R$ ou $C$. \begin{Dfs}[Série entière]\alaligne Une \emph{série entière} de variable réelle (resp. complexe), est une série de fonctions $\sum u_n$ particulière : les fonctions $u_n$ sont des monômes $a_n z^n$ où $a_n$ est un nombre complexe et $z$ un nombre réel (resp. complexe); on la note $\sum a_n z^n$. En cas de convergence, la somme est notée : \begin{equation} S : z\mapsto S(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n z^n \end{equation} L'\emph{addition} des séries entières $\sum a_n z^n$ et $\sum b_n z^n$ est la série entière $\sum(a_n+b_n)z^n$. Le \emph{produit} de la série entière $\sum a_n z^n$ par le scalaire $\lambda\in\K$, est la série entière $\sum\lambda a_n z^n$. Le \emph{produit de Cauchy} des séries entières $\sum a_p z^p$ et $\sum b_q z^q$ est la série entière $\sum c_n z^n$ où \begin{equation} c_n=\sum_{p+q=n}a_p b_q=\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}=\sum_{k=0}^n a_{n-k} b_k \end{equation} Pour ces opérations, l'ensemble des séries entières est une $\K$-algèbre commutative. \end{Dfs} \begin{Exs}\alaligne \noindent La série géométrique \begin{equation} \qqs z\in\C,\ \abs{z}<1,\qquad \ra1{1-z}=\sum_{n=0}^{\infty}z^n,\qquad \ra1{1+z}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n z^n,\qquad \end{equation} La fonction exponentielle et ses copines \begin{align} \qqs z\in\C,&\quad& \exp z &=1+\sum_{n=1}^{\infty}\ra{z^n}{n!} && \\ && \sin z &=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\ra{z^{2n+1}}{(2n+1)!} &\quad \cos z &= 1+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \ra{z^{2n}}{(2n)!} \\ && \sh z &=\sum_{n=0}^{\infty}\ra{z^{2n+1}}{(2n+1)!} &\quad \ch z &=1+\sum_{n=1}^{\infty}\ra{z^{2n}}{(2n)!} \end{align} La fonction logarithme (réel) \begin{equation} \qqs x\in\intof{-1}1,\qquad \ln(1+x)=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \ra{x^{n+1}}{n+1} =\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \ra{{}x^n}n \end{equation} La fonction puissance \begin{equation} \qqs\alpha\in\R\setminus\Z,\ \qqs x\in\into{-1}1,\qquad (1+x)^\alpha=1+ \sum_{n=1}^{\infty} \biggl(\,\prod_{k=0}^{n-1}(\alpha-k)\biggr) \ra{x^n}{n!} \end{equation} \end{Exs} \begin{NB} Jusqu'au \uppercase\expandafter{\romannumeral18}\ieme{}{} siècle, toutes les fonctions étaient considérées comme des sommes de séries entières : elles étaient \og développables en série entière\fg, même quand ces développements n'étaient pas convergents au sens de la Spé! Ce n'est qu'avec les travaux des mathématiciens du \uppercase\expandafter{\romannumeral19}\ieme{}{} siècle, que la notion de fonction est apparue, ainsi que les notions de continuité, de dérivabilité\dots \end{NB} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Rayon de convergence d'une série entière} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Généralités} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Lem}[d'Abel]\alaligne Si la \emph{suite} $(\abs{a_n} r_0^n)_n$ est majorée, alors la série $\sum a_n z^n$ converge absolument pour tout $z\in\C$ tel que $\abs{z}<r_0$. \end{Lem} \begin{proof} Soit $M\in\R_+$ tel que pour tout $n\in\N$, $\abs{a_n}r_0^n\leq M$; alors $$ \qqs n\in\N,\ \abs{a_n z^n}=\abs{a_n}\abs{z}^n=\abs{a_n}r_0^n \Bigl(\ra{\abs{z}}{r_0}\Bigr)^n \leq M\Bigl(\ra{\abs{z}}{r_0}\Bigr)^n $$ ce qui montre que $a_nz^n=\OO[\big]{(\abs{z}/r_0)^n}$. $\sum\bigl(\abs{z}/r_0\bigr)^n$ est une série géométrique, de raison positive et plus petite que 1 ($\abs{z}<r_0$), donc convergente; le théorème de comparaison montre l'absolue convergence de $\sum a_n z^n$. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{NB} La convergence de la série $\sum a_n r_0^n$ implique la convergence vers 0 de la \emph{suite} $(\abs{a_n} r_0^n)_n$ et entraîne le caractère borné de cette suite. \end{NB} \begin{Th}[Définition du rayon de convergence]\alaligne Si $\sum a_n z^n$ est une série entière, l'ensemble $I=\ens{r\in\R_+}{\text{la série $\sum\abs{a_n}r^n$ est convergente}}$ est un intervalle de $\R_+$ contenant 0. La borne supérieure de $I$ dans $\conjug{\R_+}=\R_+\union\{+\infty\}$ est appelée \emph{rayon de convergence} de la série entière $\sum a_n z^n$ et notée $R_a$ ou $R$, s'il n'y a pas d'ambiguïté. \end{Th} \begin{proof} Il est clair que $0\in I$ et, pour tout $r\in I$, le segment $\intf0r\subset I$ grâce au théorème de comparaison : $$ 0\leq r'\leq r\implique \qqs n\in\N,\ \abs{a_n}{r'}^n\leq\abs{a_n}r^n $$ la série $\sum\abs{a_n}{r'}^n$ converge puisque la série $\sum\abs{a_n}r^n$ est convergente. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Exs}\alaligne \noindent Si $a_n=n!$ pour tout $n\in\N$, $I=\{0\}$.\\ Si $a_n=1/n!$ pour tout $n\in\N$, $I=\R_+$.\\ Si $a_n=\rho^{-n}$ pour tout $n\in\N$, $I=\intfo0\rho$.\\ Si $a_n=(n+1)^{-2}\rho^{-n}$ pour tout $n\in\N$, $I=\intf0\rho$.\\ Ceci montre que l'intervalle $I$ peut être des quatre types suivants :$\{0\}$, $\R_+$, $\intfo0\rho$ ou $\intf0\rho$. \end{Exs} \begin{Th}[Caractérisation du rayon de convergence]\alaligne Le rayon de convergence $R_a$ de la série entière $\sum a_n z^n$ est caractérisé par \begin{align*} \abs{z}<R_a &\implique\text{la \emph{série} $\textstyle\sum a_n z^n$ converge absolument;}\\ \abs{z}>R_a &\implique\text{la \emph{suite} $(\abs{a_n}\abs{z}^n)_n$ n'est pas majorée et la série $\textstyle\sum a_n z^n$ diverge grossièrement.} \end{align*} \end{Th} \begin{proof} Soit $\abs{z_0}>R_a$; si la suite $(a_n z_0^n)_n$ est majorée, le lemme d'Abel montre que la série $\sum a_n z^n$ converge absolument pour tout $z\in\C$ tel que $\abs{z}<\abs{z_0}$. Ainsi $I$ contient $\intfo0{\abs{z_0}}$ et $R_a=\sup I\geq \abs{z_0}$, ce qui est en contradiction avec l'hypothèse faite. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{NB} Chère lectrice, cher lecteur, vous êtes conviés à faire la plus grande attention à la qualité stricte ou large des inégalités. \end{NB} \begin{Df}[Disque, intervalle ouverts de convergence]\alaligne Si $\sum a_n z^n$ est une série entière de variable complexe (resp. réelle) de rayon de convergence $R_a>0$, le disque ouvert de centre 0 et de rayon $R_a$ est appelé \emph{disque ouvert de convergence} et l'intervalle ouvert $\into{-R_a}{R_a}$ est appelé \emph{intervalle ouvert de convergence}. \end{Df} La série entière $\sum a_n z^n$ converge absolument en tout point $z$ de son disque (resp. intervalle) ouvert de convergence. En tout point $z$ extérieur, \ie{} en tout point $z$ tel que $\abs{z}>R_a$, la suite $(a_n z^n)_n$ n'est pas majorée et la série $\sum a_n z^n$ diverge grossièrement. On ne peut rien dire, en général, de la nature de la série $\sum a_n z^n$ en tout point $z$ de module $R_a$; c'est pourquoi le cercle de centre 0 et de rayon $R_a$ est appelé \emph{cercle d'incertitude}. %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Calcul du rayon de convergence} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[Détermination du rayon de convergence]\alaligne Le rayon de convergence $R_a$ de la série entière $\sum a_n z^n$ est la borne supérieure de l'un des intervalles suivants : \begin{align*} E & = \ens{r\in\R_+}{\text{la suite $(a_n r^n)_n$ est majorée}}\\ F & = \ens{r\in\R_+}{\text{la suite $(a_n r^n)_n$ admet 0 pour limite}}\\ G & = \ens{r\in\R_+}{\text{la série $\textstyle\sum a_n r^n$ converge}}\\ I & = \ens{r\in\R_+}{\text{la série $\textstyle\sum \abs{a_n}r^n$ converge}}\\ \end{align*} \end{Th} \begin{proof} Les inclusions $I\subset G\subset F\subset E$ sont évidentes et donnent les inégalités : $$ \sup I\leq\sup G\leq\sup F\leq\sup E $$ Reste à montrer l'inégalité $\sup E\leq\sup I$; pour cela montrons l'implication $$ r<\sup E\implique r\in I\qquad \text{soit }\intfo0{\sup E}\subset I $$ Si $r<\sup E$, la suite $(\abs{a_n}r^n)_n$ est une suite majorée et le lemme d'Abel montre que $r\in I$. Ainsi, $\intfo0{\sup E}\subset I$ et $\sup E=\sup\intfo0{\sup E}\leq\sup I$. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{NBs}\alaligne Si la série $\sum a_n z_0^n$ est convergente, alors $R_a\geq\abs{z_0}$. Si la série $\sum a_n z_0^n$ est divergente, alors $R_a\leq\abs{z_0}$. \end{NBs} \begin{Th}[Rayon et critère de D'Alembert]\alaligne Soit $\sum a_n z^n$ une série entière telle que $a_n\neq0$ à partir d'un certain rang; \emph{s'il existe} $\ell\in\intf0{+\infty}$ avec $\lim_n\abs{a_{n+1}/a_n}\ell$, alors $R_a=1/\ell$ \Reponse{$\dsp \lim_n\abs[\bigg]{\ra{a_{n+1}}{a_n}}\text{ existe et vaut $\ell$} \qquad\implique\qquad R_a=\ra1\ell $} \end{Th} \begin{proof} La règle de D'Alembert donne pour $n$ assez grand : $$ \ra{\abs{a_{n+1}z^{n+1}}}{\abs{a_nz^n}}= \abs[\Big]{\ra{a_{n+1}}{a_n}}\abs{z}\tend\ell\abs{z} $$ Si $\ell\abs{z}<1$, \ie{} si $\abs{z}<1/\ell$, la série $\sum a_n z^n$ converge absolument. Si $\ell\abs{z}>1$, \ie{} si $\abs{z}>1/\ell$, la suite $(\abs{a_n z^n})_n$ diverge vers $+\infty$ et la série $\sum a_n z^n$ diverge grossièrement. Le théorème de caractérisation du rayon de convergence montre que $R_a=1/\ell$. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{NB} Le rayon de convergence $R_a$ de la série entière $\sum a_n z^n$ existe toujours, ce qui n'est pas le cas de la limite de la suite $\bigl(\abs{\ra{a_{n+1}}{a_n}}\bigr)_n$; la série entière définie par $a_{2p}=2$ et $a_{2p+1}=1$ en est un exemple : $R_a=1$ et la suite $\bigl(\abs{\ra{a_{n+1}}{a_n}}\bigr)_n$ n'a pas de limite. \end{NB} \begin{Th}[Comparaison de rayons de convergence]\alaligne Si $\sum a_n z^n$ et $\sum b_n z^n$ sont deux séries entières de rayons de convergence respectifs $R_a$ et $R_b$, alors : \begin{prop} \item $\bigl(\exists N\in\N,\ \qqs n\in\N,\ n>N\implique \abs{a_n}\leq\abs{b_n}\bigr) \implique R_a\geq R_b$; \item $\bigl(\exists\alpha\in\R,\ a_n=\OO{n^\alpha\abs{b_n}}\bigr) \implique R_a\geq R_b$; \item $\bigl(\exists\alpha\in\R,\ \abs{a_n}\equivalent n^\alpha\abs{b_n}\bigr) \implique R_a = R_b$; \item en particulier : $\abs{a_n}\equivalent\abs{b_n}\implique R_a=R_b$. \end{prop} \end{Th} \begin{proof} Comment démontrer que $R_a\geq R_b$? Le principe en est le suivant : on prend $r<R_b$ (remarquer l'inégalité \emph{stricte} pour en déduire la convergence absolue de la série $\sum b_n z^n$), on montre la convergence de $\sum\abs{a_n}r^n$ et on en déduit que $r\leq R_a$. La démonstration consiste donc à montrer l'inclusion $\intfo0{R_b}\subset\intf0{R_a}$. \begin{demprop} \monitem C'est un cas particulier de $(ii)$; mais le scribe, dans sa grande bonté, peut en faire une démonstration directe : si $r<R_b$, la série $\sum\abs{b_n}r^n$ est convergente; les inégalités $\abs{a_n}r^n\leq\abs{b_n}r^n$ pour $n>N$ montrent la convergence de la série $\sum \abs{a_n}r^n$, et donc $r\leq R_a$; ainsi $\intfo0{R_b}\subset\intf0{R_a}$ et $R_b\leq R_a$. \monitem Si $0\leq r<{r'}<R_b$, la série $\sum\abs{b_n}{r'}^n$ est convergente et la suite $\bigl(\abs{b_n} {r'}^n\bigr)_n$, qui admet 0 pour limite, est majorée. Les conditions $r<{r'}$ et $\bigl(\abs{b_n} {r'}^n\bigr)_n$ majorée impliquent $\abs{b_n}r^n=\abs{b_n {r'}^n\bigl(r/r'\bigr)^n}=\OO[\big]{(r/r')^n}$. D'autre part, $a_n=\OO{n^\alpha\abs{b_n}}$ et $\abs{b_n}r^n=\OO[\big]{(r/r')^n}$ impliquent $\abs{a_n}r^n = \OO[\big]{n^\alpha(r/r')^n}$; or, la série $\sum n^\alpha\bigl(r/r'\bigr)^n$ est une série convergente : la règle de D'Alembert donne $\ra{(n+1)^\alpha}{n^\alpha}\bigl(r/r'\bigr)\tend r/r'<1$. Ceci montre la convergence de la série $\sum\abs{a_n}r^n$ et\dots \monitem $\exists\alpha\in\R,\ \abs{a_n}\equivalent n^\alpha\abs{b_n}$ implique $\exists\alpha\in\R,\ \exists N\in\N,\ \qqs n\in\N,\ n>N\implique \ra12n^\alpha\abs{b_n} \leq\abs{a_n}\leq 2n^\alpha\abs{b_n}$; ainsi, $\abs{a_n}=\OO{n^\alpha\abs{b_n}}$ et $\abs{b_n}=\OO[\big]{n^{-\alpha}\abs{a_n}}$, ce qui donne l'égalité annoncée. \monitem la question précédente pour $\alpha=0$ donne le résultat. \end{demprop} \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Opérations algébriques et rayon de convergence} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Th} Si $\sum a_n z^n$ et $\sum b_n z^n$ sont deux séries entières de rayon de convergence respectifs $R_a$ et $R_b$, alors : \begin{prop} \item pour tout $\lambda\in\K^*$, le rayon de convergence de $\sum\lambda\,a_n z^n$ est $R_a$ et : \begin{equation} \qqs z\in\K,\ \abs{z}<R_a\implique \sum_{n=0}^\infty\lambda\,a_n z^n=\lambda\sum_{n=0}^\infty a_n z^n \end{equation} \item le rayon de convergence $R_s$ de la série entière $\sum(a_n +b_n)z^n$ vérifie $R_s=\min(R_a,R_b)$ si $R_a\neq R_b$ et $R_s\geq R_a=R_b$ sinon, et : \begin{equation} \qqs z\in\K,\ \abs{z}<\min(R_a,R_b)\implique \sum_{n=0}^\infty(a_n+b_n)z^n=\sum_{n=0}^\infty a_n z^n+\sum_{n=0}^\infty b_n z^n \end{equation} \item le rayon de convergence $R_c$ de la série entière produit $\sum c_n z^n$ où $c_n=\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}$ vérifie $R_s\geq\min(R_a,R_b)$, et : \begin{multline} \qqs z\in\K,\ \abs{z}<\min(R_a,R_b)\implique \\ \sum_{n=0}^\infty c_n z^n=\sum_{n=0}^\infty\biggl(\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}\biggr)z^n =\biggl(\sum_{p=0}^\infty a_p z^p\biggr)\times\biggl(\sum_{q=0}^\infty b_q z^q \biggr) \end{multline} \end{prop} \end{Th} \begin{proof}\alaligne \begin{demprop} \monitem Si $\lambda\in\K^*$, la suite $(\abs{a_n}r^n)_n$ est majorée si, et seulement si, la suite $(\abs{\lambda a_n}r^n)_n$ l'est; ainsi le rayon vaut $R_a$; \monitem si $\abs{z}<\min(R_a,R_b)$, les séries $\sum\abs{a_n}r^n$ et $\sum\abs{b_n}r^n$ sont convergentes; la série $\sum(a_n+b_n)z^n$ est (absolument) convergente, $\sum_{n=0}^\infty(a_n+b_n)z^n=\sum_{n=0}^\infty a_n z^n+\sum_{n=0}^\infty b_n z^n$ et $R_s\geq\min(R_a,R_b)$. Si les rayons $R_a$ et $R_b$ sont distincts, par exemple $R_a<R_b$, prenons $r\in\into{R_a}{R_b}$; les inégalités $\abs{a_n+b_n}r^n\geq\abs{a_n}r^n-\abs{b_n}r^n$ pour tout $n\in\N$, montrent que la suite $\bigl(\abs{a_n+b_n}r^n\bigr)_n$ n'est pas majorée, et donc $R_s\leq r$. Ainsi $\into{R_a}{R_b}\subset\intfo{R_s}{+\infty}$ et $R_s\leq R_a=\min(R_a,R_b)$. L'égalité annoncée est donc démontrée. \monitem Si $\abs{z}<\min(R_a,R_b)$, les séries entières $\sum a_n z^n$ et $\sum b_n z^n$ sont absolument convergentes; la série produit (de Cauchy) l'est aussi et l'on a : $$ \sum_{n=0}^\infty c_n z^n=\sum_{n=0}^\infty\biggl(\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}\biggr)z^n= \sum_{n=0}^\infty\biggl(\sum_{k=0}^n a_k z^k b_{n-k}z^{n-k}\biggr)= \biggl(\sum_{p=0}^\infty a_p z^p\biggr)\times\biggl(\sum_{q=0}^\infty b_q z^q\biggr) $$ \end{demprop} \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{NBs}\alaligne Si $R_a=R_b$, on peut avoir $R_s>R_a$ : il suffit de prendre $a_n=1$ et $b_n=-1$ pour tout $n$; dans ce cas $R_a=R_b=1$ (les séries sont géométriques) et $R_s=+\infty$ (la série somme est la série nulle). Si $R_a=R_b$ et si $a_nb_n=0$ pour tout $n$ (on dit alors que les séries entières sont \emph{disjointes}), alors $R_s=R_a=R_b$. Raisonnons par l'absurde; si $R_s>R_a=R_b$, prenons $r\in\into{R_a}{R_s}$; dans ces conditions, la suite $\bigl(\abs{a_n}r^n\bigr)_n$ n'est pas majorée, tandis que $\bigl(\abs{a_n+b_n}r^n\bigr)_n$ l'est. Or, $\abs{a_n}r^n\leq\bigl(\abs{a_n}+\abs{b_n}\bigr)r^n =\abs{a_n+b_n}r^n$, ce qui est contradictoire. Ainsi, si les séries entières $\sum a_{2p+1}z^{2p+1}$ et $\sum a_{2p}z^{2p}$ ont le même rayon de convergence $R$, la série entière $\sum a_n z^n$ admet $R$ pour rayon de convergence. \end{NBs} \begin{Th}[Puissance de série géométrique]\alaligne \Reponse{$\dps \qqs p\in\N,\ \qqs z\in\C,\ \abs{z}<1 \implique \ra1{(1-z)^{p+1}}=\sum_{n=0}^\infty \comb{n+p}{n}z^n= \sum_{n=0}^\infty \comb{n+p}{p}z^n=\sum_{n=p}^\infty \comb{n}{p}z^{n-p} $} \end{Th} \begin{proof} Par récurrence sur $p$. Pour $p=0$, la série géométrique donne le résultat : $$ \ra1{1-z}=\sum_{n=0}^\infty z^n = \sum_{n=0}^\infty \comb{n}{n}z^n $$ On suppose la formule vraie au rang $p-1$. Pour $\abs{z}<1$, les séries sont absolument convergentes et le produit des séries donne : $$ \ra1{(1-z)^{p+1}}=\ra1{(1-z)^{p}}\times\ra1{1-z}= \biggl(\sum_{k=0}\comb{k+p-1}{k}z^k\biggr)\times \biggl(\sum_{q=0}^\infty z^q\biggr)=\sum_{n=0}^\infty c_n z^n $$ avec $c_n=\sum_{k=0}^n\comb{k+p-1}{k}$. Or, $\comb{k+p-1}{k}=\comb{k+p}{k}-\comb{k-1+p}{k-1}$ pour $k\geq1$; ce qui donne, par destruction de termes, $c_n=\comb{n+p}{n}$. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Propriétés de la somme d'une série entière} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Dans cette section, on étudie les propriétés de la somme $S$ de la série entière $\sum a_n z^n$ sur son disque ou son intervalle ouvert de convergence. On supposera donc que le rayon de convergence $R_a$ est strictement positif et donc $$ S : z\in\ens{z\in\C}{\abs{z}<R_a}\mapsto S(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n z^n $$ ou $$ S : x\in\into{-R_a}{R_a}\mapsto S(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n $$ %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Continuité de la somme} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[Convergence normale]\alaligne Une série entière converge normalement, donc uniformément, sur tout disque fermé \emph{strictement inclus} dans le disque ouvert de convergence. \end{Th} \begin{proof} Soient $R_a$ le rayon de convergence et $0\leq r<R_a$; les inégalités \begin{equation} \qqs n\in\N,\ \qqs z\in\C,\ \abs{z}\leq r\implique \abs{a_n z^n}=\abs{a_n}\abs{z}^n\leq\abs{a_n}r^n=\alpha_n \end{equation} montrent que la série entière converge normalement sur le disque fermé de centre $0$ et de rayon $r$, puisque $\alpha_n$ est le terme général d'une série numérique convergente ($r<R_a$) indépendante de $z$. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{NBs}\alaligne Dans le cas réel, la série entière $\sum a_n x^n$ converge normalement sur tout \emph{segment} de l'intervalle ouvert de convergence $\into{-R_a}{R_a}$. En général, il n'y a ni convergence normale, ni convergence uniforme sur le disque ouvert ou l'intervalle ouvert de convergence. Donnons un contre-exemple : la série géométrique $\sum z^n$ a un rayon $R=1$, $S(z)=(1-z)^{-1}$ pour $\abs{z}<1$ et $$ \abs[\big]{R_n(z)}=\abs[\big]{S(z)-S_n(z)}=\abs[\Big]{\sum_{k=n+1}^\infty z^k}= \ra{\abs{z}^{n+1}}{\abs{1-z}} \implique \sup_{\abs{z}<1}\abs[\big]{R_n(z)}=+\infty $$ \end{NBs} \begin{Th}[Continuité de la somme]\alaligne La somme d'une série entière définit une fonction continue sur le disque ouvert de convergence. \end{Th} \begin{proof} Pour tout $n\in\N$, $z\mapsto a_n z^n$ est continue sur $\K$; la série entière converge uniformément sur tout disque fermé (strictement) inclus dans le disque ouvert de convergence; sa somme est donc continue sur tous les disques fermés du disque ouvert de convergence, donc continue sur ce disque ouvert de convergence (la continuité est une propriété locale). \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{NBs}\alaligne Dans le cas réel, $S : x\mapsto \sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ est continue sur l'intervalle ouvert de convergence $\into{-R_a}{R_a}.$ Si la série $\sum\abs{a_n}R_a^n$ est convergente, la série entière $\sum a_n z^n$ converge normalement sur le disque fermé de centre $0$ et de rayon $R_a$, puisque $\abs{z}\leq R_a$ implique $\abs{a_n z^n}\leq\abs{a_n}R_a^n$. La somme $S$ est donc définie et continue sur le disque fermé $\{\abs{z}\leq R_a\}$. \end{NBs} \begin{Th}[Développement limité de la somme]\alaligne La somme d'une série entière admet un développement limité à tout ordre au voisinage de~$z=0$. \begin{equation} S(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n z^n=\sum_{k=0}^n a_k z^k +\oo{z^n}\qquad \text{ au voisinage de $z=0$} \end{equation} \end{Th} \begin{proof} Pour tout $\abs{z}<R_a$, on peut écrire : $$ S(z)=\sum_{k=0}^n a_k z^k+z^n\sum_{k=n+1}^\infty a_k z^{k-n}= \sum_{k=0}^n a_k z^k+z^n\eps(z) $$ Or, $\eps(z)=\sum_{k=n+1}^\infty a_k z^{k-n}=\sum_{p=1}^\infty a_{n+p} z^p$ est la somme d'une série entière de rayon de convergence $R_a>0$. La fonction $\eps$ définit une fonction continue sur le disque ouvert de convergence et $\lim_0\eps(z)=\eps(0)=0$. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{NB} On comprend maintenant le qualificatif de \og limité\fg{} que l'on adjoint au terme de \og développement\fg{}. On comprend aussi pourquoi la connaissance des développements limités des fonctions classiques permet de retrouver leur développement en série entière. \end{NB} %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Intégration terme à terme} %---------------------------------------------------------------------- Dans ce paragraphe, les séries entières possèdent une variable \emph{réelle}. \begin{Th}[Intégration terme à terme de la somme]\alaligne \begin{prop} \item Les séries entières $\sum a_n x^n$ et $\sum a_n x^n/(n+1)$ ont le même rayon de convergence $R_a$; \item pour tout \emph{segment} $\intf\alpha\beta$ de $\into{-R_a}{R_a}$, on a : \begin{equation} \int_\alpha^\beta\sum_{n=0}^\infty a_n t^n\,\dt= \sum_{n=0}^\infty a_n \ra{t^{n+1}}{n+1}\Big\rvert_{t=\alpha}^{t=\beta} \end{equation} \item pour tout $x\in\into{-R_a}{R_a}$, on a : \begin{equation} \int_0^x\sum_{n=0}^\infty a_n t^n\,\dt=\sum_{n=0}^\infty a_n\ra{x^{n+1}}{n+1} \end{equation} \end{prop} \end{Th} \begin{proof}\alaligne \begin{demprop} \monitem $a_n/(n+1)\equivalent n^{-1}a_n$, ce qui montre l'égalité des rayons; \monitem la série $\sum a_n t^n$ converge normalement, donc uniformément, sur tout \emph{segment} de l'intervalle ouvert de convergence $\into{-R_a}{R_a}$; le théorème d'intégration terme à terme des séries fait le reste; \monitem ceci est un cas particulier de $(ii)$. \end{demprop} \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Exs} Pour $x\in\into{-1}{1}$, on peut écrire : \noindent $\ln(1+x)=\int_0^x(1+t)^{-1}\,\dt =\int_0^x\sum_{n=0}^\infty (-1)^n t^n\,\dt =\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\ra{x^{n+1}}{n+1}= \sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\ra{x^n}{n}$ \Reponse{$\dps \qqs x\in\into{-1}1,\ \ln(1+x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\ra{x^{n+1}}{n+1}= \sum_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\ra{x^n}{n} $} et $\arctan(x)=\int_0^x(1+t^2)^{-1}\,\dt =\int_0^x\sum_{n=0}^\infty (-1)^n t^{2n}\,\dt =\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\ra{x^{2n+1}}{2n+1}$ \Reponse{$\dps \qqs x\in\into{-1}1,\ \arctan(x)=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\ra{x^{2n+1}}{2n+1} $} \end{Exs} \begin{NB} La première formule est encore vraie pour $x=1$, la seconde est vraie pour $x=\pm1$; ce ne sont pas des conséquences directes du théorème précédent. N'oublions pas le théorème d'intégration terme à terme des séries sur un intervalle! \end{NB} %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Dérivation terme à terme} %---------------------------------------------------------------------- Dans ce paragraphe, les variables des séries entières considérées sont \emph{réelles}. \begin{Th}[Dérivation terme à terme de la somme]\alaligne Si $\sum a_n x^n$ est une série entière de rayon de convergence $R_a$, alors \begin{prop} \item la série dérivée première $\sum _{n\geq1}na_n x^{n-1}=\sum_{q\geq0}(q+1)a_ {q+1}x^q$ a le même rayon de convergence $R_a$; la somme $S : x\mapsto\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ est de classe $\mcal{C}^1$ sur $\into{-R_a}{R_a}$ et \begin{equation} \qqs x\in\into{-R_a}{R_a},\ S'(x)=\ra{d}{dx}\biggl(\sum_{n=0}^\infty a_n x^n\biggr) =\sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1}=\sum_{q=0}(q+1)a_{q+1}x^q \end{equation} \item la série dérivée $p$\ieme{}{} $\sum _{n\geq p}n(n-1)\cdots(n-p+1)a_n x^{n-p} =\sum_{n\geq0}\ra{(n+p)!}{n!}a_{n+p}x^n$ a le même rayon de convergence $R_a$; la somme $S$ est de classe $\mcal{C}^\infty$ sur $\into{-R_a}{R_a}$ et \begin{multline} \qqs p\in\N,\ \qqs x\in\into{-R_a}{R_a}, \\ S^{(p)}(x)=\ra{d^p}{dx^p}\biggl(\sum_{n=0}^\infty a_n x^n\biggr)= \sum_{n=p}^\infty n(n-1)\cdots(n-p+1) a_n x^{n-p}=\sum_{q=0}\ra{(q+p)!}{q!}a_{q+p}x^q \end{multline} \item en particulier : \begin{equation} \qqs n\in\N,\ a_n=\ra{S^{(n)}(0)}{n!} \end{equation} \end{prop} \end{Th} \begin{proof}\alaligne \begin{demprop} \monitem La série $\sum a_n x^n$ est obtenue par intégration (terme à terme) de la série entière $\sum n a_n x^{n-1}$; ces deux séries ont donc le même rayon de convergence et $$ \qqs x\in\into{-R_a}{R_a},\ S(x)-S(0)=\sum_{n=1}^\infty a_n x^n=\int_0^x \sum_{n=0}^\infty n a_n t^{n-1}\,dt =\int_0^x S_1(t)\,dt $$ Ainsi $S$ est une primitive sur $\into{-R_a}{R_a}$ de la fonction continue $S_1$; $S$ est donc une fonction de classe $\mcal{C}^1$ et $S'=S_1$; \monitem par récurrence sur $p$ en utilisant $(i)$; \monitem on fait $x=0$ dans la formule $(ii)$. \end{demprop} \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{NB} Les séries entières se dérivent et s'intègrent terme à terme sur l'intervalle \emph{ouvert} de convergence $\into{-R_a}{R_a}$. Une dérivation ou une intégration jusqu'au \emph{bord} de l'intervalle ne se justifie qu'en reprenant les théorèmes \emph{généraux} de dérivation ou d'intégration des séries de fonctions. \end{NB} %-------------------------------------------------- \begin{Ex} De l'identité $(1-x)^{-1}=\sum_{n=0}^\infty x^n$ pour $x\in\into{-1}{1}$, on tire : $$ \qqs x\in\into{-1}{1},\ \ra{d}{dx}\biggl(\ra1{1-x}\biggr)=\ra1{(1-x)^2} =\sum_{n=1}^\infty n x^{n-1}=\sum_{q=0}^\infty (q+1) x^q $$ et pour tout $p\in\N$ : $$ \qqs x\in\into{-1}{1},\ \ra{d^p}{dx^p} \biggl(\ra1{1-x}\biggr)=\ra{p!}{(1-x)^{p+1}} =\sum_{n=p}^\infty n(n-1)\cdots(n-p+1) x^{n-p}=\sum_{q=0}^\infty \ra{(q+p)!}{q!} x^q $$ \end{Ex} %-------------------------------------------------- \begin{Th}[Unicité des coefficients d'une série entière]\alaligne Deux séries entières qui coïncident sur un voisinage de $0$ son identiques. \begin{equation} \biggl(\exists r>0,\ \qqs x\in\into{-r}{r},\ \sum_{n=0}^\infty a_n x^n=\sum_{n=0}^\infty b_n x^n\biggr) \implique \biggl(\qqs n\in\N,\ a_n=b_n\biggr) \end{equation} \end{Th} \begin{proof} Soient $R=\min(R_a,R_b)$ et $f$ la fonction de classe $\mcal{C}^\infty$ sur $\into{-R}{R}$ définie par : $$ f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n-\sum_{n=0}^\infty b_n x^n =\sum_{n=0}^\infty(a_n-b_n) x^n $$ $f$ est (identiquement) nulle sur $\into{-r}{r}$, toutes ses dérivées aussi; en conséquence, pour tout $n\in\N$, $a_n-b_n=f^{(n)}(0)/n!=0$, soit $a_n=b_n$. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Sommation de séries entières} %---------------------------------------------------------------------- %---------------------------------------------------------------------- \subsubsection{$\sum P(n) x^n$ où $P$ est un polynôme.} %---------------------------------------------------------------------- Quel est le rayon de convergence? Si $P$ est de degré $d$, $P(n)\equivalent\alpha_d n^d$ et $R=1$. \\ La somme est connue dans le cas où $P(n)=n(n-1)\cdots(n-k+1)$ : pour tout $x\in\into{-1}1$, $$ \sum_{n=0}^\infty n(n-1)\cdots(n-k+1) x^n =x^k\sum_{n=k}^\infty n(n-1)\cdots(n-k+1) x^{n-k} =x^k\ra{k!}{(1-x)^{k+1}} $$ Dans le cas général, il suffit de décomposer le polynôme $P$ (supposé de degré $d$) dans la base $\{1,X,X(X-1),\cdots,X(X-1)\cdots(X-d+1)\}$ de $\K_d[X]$ adaptée à la situation. \\ Si $P=\alpha_0+\sum_{k=1}^d \alpha_k X(X-1)\cdots(X-d+1)$, alors, pour tout $x\in\into{-1}{1}$, $$ \sum_{n=0}^\infty P(n) x^n =\alpha_0\sum_{n=0}^\infty x^n+ \sum_{k=1}^d\alpha_k\sum_{n=0}^\infty n(n-1)\cdots(n-k+1) x^n =\sum_{k=0}^d\alpha_k x^k\ra{k!}{(1-x)^{k+1}} $$ %---------------------------------------------------------------------- \subsubsection{$\sum P(n) x^n/n!$ où $P$ est un polynôme} %---------------------------------------------------------------------- Quel est le rayon de convergence? Si $P$ est de degré $d$, $P(n)/n!\equivalent\alpha_d n^d/n!$ et $R=+\infty$. \\ Si $P(n)=n(n-1)\cdots(n-k+1)$, alors, pour $n\geq k$, $P(n)x^n/n!=x^n/(n-k)!$ et pour tout $x\in\R$, $$ \sum_{n=0}^\infty \ra{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n!} x^n =x^k\sum_{n=k}^\infty \ra1{(n-k)!} x^{n-k} =x^k\sum_{q=0}^\infty\ra1{q!}x^q=x^k\exp x $$ Dans le cas général, il suffit de décomposer le polynôme $P$ (supposé de degré $d$) dans la base $\{1,X,X(X-1),\cdots,X(X-1)\cdots(X-d+1)\}$ de $\K_d[X]$ adaptée à la situation. \\ Si $P=\alpha_0+\sum_{k=1}^d \alpha_k X(X-1)\cdots(X-d+1)$, alors, pour tout $x\in\R$, $$ \sum_{n=0}^\infty \ra{P(n)}{n!} x^n =\alpha_0\sum_{n=0}^\infty \ra1{n!}x^n+ \sum_{k=1}^d\alpha_k\sum_{n=0}^\infty \ra{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n!} x^n =(\exp x)\sum_{k=0}^d\alpha_k x^k $$ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Fonction développable en série entière} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Dans cette section les variables des séries entières considérées sont \emph{réelles}. %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Un peu de vocabulaire} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Dfs}[Fonction développable en série entière]\alaligne Une fonction $f$ est dite \emph{développable en série entière sur l'intervalle ouvert $\into{-r}{r}$} si, et seulement si, il existe une suite de nombres complexes $\suite{a}\in\C^\N$ telle que $$ \qqs x\in\into{-r}{r},\ f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n $$ \ie{} si, et seulement si, $f$ est la somme d'une série entière sur l'intervalle $\into{-r}{r}$. La série entière $\sum a_n x^n$ est appelée \emph{le développement en série entière} de la fonction $f$ sur l'intervalle $\into{-r}{r}$. La fonction $f$ est dite \emph{développable en série entière au voisinage de $x=0$} si, et seulement si, il existe un nombre $r_0>0$ tel que $f$ soit développable en série entière sur l'intervalle $\into{-r_0}{r_0}$. La fonction $f$ est dite \emph{développable en série entière au voisinage de $x=x_0$} si, et seulement si, la fonction $g : u\mapsto f(x_0+u)$ est développable en série entière au voisinage de $u=0$. Dans ce cas : \begin{equation} \exists r_{x_0}>0,\ \exists\suite a\in\C^\N,\ \qqs x\in\into{x_0-r_{x_0}}{x_0+r_{x_0}},\ f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n \end{equation} \end{Dfs} \begin{Exs}\alaligne La fonction $x\mapsto(1-x)^{-1}$ est développable en série entière sur $\into{-1}1$ car $$ \qqs x\in\into{-1}{1},\qquad \ra1{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n $$ La fonction $x\mapsto(1-x)^{-1}$ est développable en série entière au voisinage de $x_0\neq 1$; posons $u=x-x_0$, alors : $$ \ra1{1-x}=\ra1{1-(x_0+u)}=\ra1{1-x_0}\ra1{\dps 1-\ra{u}{1-x_0}} =\ra1{1-x_0}\sum_{n=0}^\infty\biggl(\ra{u}{1-x_0}\biggr)^n\ \text{ si }\abs[\Big]{\ra{u}{1-x_0}}<1 $$ Ainsi en posant $r_{x_0}=\abs{1-x_0}$, on obtient : $$ \qqs x\in\into{x_0-r_{x_0}}{x_0+r_{x_0}},\qquad \ra1{1-x}=\sum_{n=0}^\infty\ra1{(1-x_0)^{n+1}}(x-x_0)^n $$ \end{Exs} %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Analyse de la situation} %---------------------------------------------------------------------- Si $f$ est une fonction développable en série entière sur l'intervalle ouvert $\into{-r}{r}$, $f$ est la somme d'une série entière $\sum a_n x^n$ sur $\into{-r}{r}$; \emph{nécessairement} $f$ est une fonction de classe $\mcal{C}^\infty$ sur $\into{-r}{r}$ et le coefficient $a_n$ est égal à $f^{(n)}(0)/n!$. Le développement en série entière de $f$ est donc donné par la série $\sum f^{(n)}(0)x^n/n!$, ce qui motive la \begin{Df}[Série de Taylor d'une fonction]\alaligne Si $f$ est une fonction de classe $\mcal{C}^\infty$ sur un voisinage de $x=0$, la série entière $\dps \sum\ra{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$ est appelée \emph{série de Taylor de la fonction $f$ en $x=0$} \end{Df} Il est légitime de se poser deux questions : \begin{itemize} \item la série de Taylor de $f$ en $x=0$ a-t-elle un rayon de convergence non nul? \item si oui, la fonction $f$ est-elle égale à sa série de Taylor sur un voisinage de $x=0$? \end{itemize} Le paragraphe suivant propose deux exemples qui donnent une réponse négative à ces deux questions. %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Exemples de fonctions de classe $\mcal{C}^\infty$ non développables en série entière} %---------------------------------------------------------------------- %-------------------------------------------------- \subsubsection{Exemple d'une série de Taylor de rayon de convergence nul} %-------------------------------------------------- Considérons la fonction $f$ définis par la somme de la série de fonctions : \begin{equation} f : x\mapsto \sum_{n=0}^\infty \ee^{-n}\ee^{\ii n^2x}=\sum_{n=0}^\infty u_n(x) \end{equation} Cette série converge normalement sur $\R$ car, pour tout $x\in\R$, $\abs{\ee^{-n}\ee^{\ii n^2 x}}=\ee^{-n}=(\ee^{-1})^n$ et la série géométrique $\sum \ee^{-n}$ est convergente. La fonction $f$ est de classe $\mcal{C}^\infty$ sur $\R$ car, pour tout $x\in\R$ et pour tout entier naturel $k$, $$ \abs[\big]{u_n^{(k)}(x)}=\abs[\big]{(\ii n^2)^k \ee^{\ii n^2x}\ee^{-n}} =n^{2k}\ee^{-n}=\OO{\ee^{-n/2}} $$ ce qui entraîne la convergence normale sur $\R$ de la série des dérivées $k$\ieme{} pour tout $k$. Le calcul de $f^{(k)}(0)$ se fait en dérivant terme à terme la série, soit : \begin{equation} f^{(k)}(0) =\sum_{n=0}^\infty (\ii n^2)^k \ee^{\ii n^2x}\ee^{-n}\entre[\Big]{x=0}{} =\ii^k\sum_{n=0}^\infty n^{2k}\ee^{-n} \end{equation} ce qui donne la minoration : $$ \abs[\big]{f^{(k)}(0)} =\sum_{n=0}^\infty n^{2k}\ee^{-n} \geq k^{2k}\ee^{-k} $$ Étudions la nature de la série $\sum \abs{f^{(k)}(0)}r^k/k!$ pour $r>0$ : \begin{gather*} \ra{\abs[\big]{f^{(k)}(0)}}{k!}r^k\geq \ra{k^{2k}\ee^{-k}}{k!}r^k=\beta_k \\ \et \ra{\beta_{k+1}}{\beta_k} =\ra{(k+1)^{2k+2}}{k^{2k}}\ra1{k+1}\,\ee^{-1}r =\Bigl(1+\ra1k\Bigr)^{2k}(k+1)\ee^{-1}r\equivalent[k] \ee^2 k\,\ee^{-1}r\tend[k]+\infty \end{gather*} Le critère de D'Alembert montre la divergence de la série $\sum\beta_k$; par le théorème de comparaison, la série $\sum \abs{f^{(k)}}(0)r^k/k!$ est aussi divergente pour tout $r>0$; la série de Taylor de $f$ a donc un rayon de convergence nul. %-------------------------------------------------- \subsubsection{Exemple d'une fonction différente de sa série de Taylor} %-------------------------------------------------- Considérons la fonction $f$ définie par : \begin{equation} f : x\mapsto f(x)= \begin{cases} 0 & \text{si $x\leq0$} \\ \dps\exp\Bigl(\ra{-1}{x}\Bigr) & \text{si $x>0$} \end{cases} \end{equation} La fonction $f$ est une fonction de classe $\mcal{C}^\infty$ sur $\R\prive\{0\}$ et, pour tout entier naturel $k$ et tout réel $x\in\into0{+\infty}$, $f^{(k)}(x)= Q_k\bigl(1/x\bigr)\exp\bigl(-1/x\bigr)$ où $Q_k$ est un polynôme unitaire de degré $2k$ (raisonner par récurrence); ainsi $$ f^{(k)}(x)\equivalent[x\downarrow 0] x^{-2k}\exp\bigl(\ra{-1}x\bigr) \qquad\et\qquad \lim_{x\downarrow0}f^{(k)}(x)=0 $$ La fonction $f$ est donc de classe $\mcal{C}^\infty$ sur $\R$ (récurrence et théorème de prolongement des fonctions $\mcal{C}^1$) et, pour tout entier $k$, $f^{(k)}(0)=0$. La série de Taylor de $f$ en $x=0$ est la série nulle, sa somme est différente de $f$ sur tout voisinage de $0$. %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Synthèse} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[Caractérisation des fonctions développables en série entière]\alaligne Soit $f$ est une fonction de classe $\mcal{C}^\infty$ sur un voisinage de $x=0$; $f$ est développable en série entière si, et seulement si, \begin{equation} \exists r>0,\ \qqs x\in\into{-r}{r},\ \int_0^x\ra{(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)\,\dt= \ra{x^{n+1}}{n!}\int_0^1(1-u)^n f^{(n+1)}(xu)\,\dt[u]\tend0 \end{equation} \end{Th} \begin{proof} Ce n'est que l'application de la formule de Taylor avec reste intégral, améliorée par le changement de variable $t=xu$ (pour $x\neq0$) : $$ f(x)-\sum_{k=0}^n\ra{f^{(k)}(0)}{k!}x^k= \int_0^x\ra{(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)\,\dt= \ra{x^{n+1}}{n!}\int_0^1(1-u)^n f^{(n+1)}(xu)\,\dt[u] $$ La fonction $f$ est développable en série entière si, et seulement si, la série de Taylor de $f$ converge vers $f$ sur un intervalle $\into{-r}{r}$, \ie{} si, et seulement si, le reste intégral de la formule de Taylor tend vers $0$ sur $\into{-r}{r}$. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[Condition suffisante de développement en série entière]\alaligne Soit $f$ est une fonction de classe $\mcal{C}^\infty$ sur un voisinage de $x=0$; alors : \begin{multline} \biggl( \exists r>0,\ \exists M>0,\ \qqs k\in\N,\ \qqs x\in\into{-r}{r},\ \abs[\big]{f^{(k)}(x)}\leq M \biggr) \implique \\ \text{$f$ est développable en série entière sur $\into{-r}{r}$} \end{multline} \end{Th} \begin{proof} C'est l'application de l'inégalité de Taylor; pour tout $x\in\into{-r}{r}$, \begin{multline*} \abs[\bigg]{\ra{x^{n+1}}{n!}\int_0^1(1-u)^n f^{(n+1)}(xu)\,\dt[u]} \leq \ra{\abs{x}^{n+1}}{n!}\int_0^1(1-u)^n\abs[\big]{f^{(n+1)}(xu)}\,\dt[u] \\ \leq \ra{\abs{x}^{n+1}}{n!}\int_0^1(1-u)^n M\,\dt[u]= \ra{\abs{x}^{n+1}}{n!}M\ra1{n+1}\tend0 \end{multline*} \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Prop}[Développement en série entière et parité]\alaligne Si $f$ est une fonction développable en série entière sur $\into{-r}{r}$ ($r>0$) , alors \begin{gather*} \text{$f$ est une fonction paire}\iff\qqs p\in\N,\ a_{2p+1}=0 \\ \text{$f$ est une fonction impaire}\iff\qqs p\in\N,\ a_{2p}=0 \end{gather*} \end{Prop} \begin{proof} Si $f$ est paire, $f'$ est impaire, et si $f$ est impaire, $f'$ est paire. Une récurrence montre que si $f$ est une fonction paire, pour tout $p\in\N$, $f^{(2p+1)}$ est une fonction impaire, et donc, $a_{2p+1}=f^{(2p+1)}(0)/(2p+1)!=0$. De même, si $f$ est une fonction impaire, pour tout $p\in\N$, $f^{(2p)}$ est une fonction impaire, et donc, $a_{2p}=f^{(2p)}(0)/(2p)!=0$. Réciproquement, la somme d'une série entière qui ne comporte que des monômes pairs (resp. impairs) définit une fonction paire (resp. impaire). \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Exemples de développement en série entière} %---------------------------------------------------------------------- %------------------------------------------------------------ \subsubsection{Utilisation de la série de Taylor} %------------------------------------------------------------ \paragraph{La fonction exponentielle.} On considère la fonction auxiliaire $\vphi(t)=\exp(zt)$ de classe $\mcal{C}^\infty$ sur $\R$; $\vphi^{(k)}(t)=z^k\exp(zt)$ et la formule de Taylor avec reste intégral donne \begin{align*} \abs[\bigg]{\exp z &- \sum_{k=0}^n \ra{z^k}{k!}} = \abs[\bigg]{\vphi(1)-\sum_{k=0}^n\ra{(1-0)^k}{k!}\vphi^{(k)}(0)} \\ &= \abs[\bigg]{\int_0^1\ra{(1-u)^n}{n!}z^{n+1}\exp(zu)\,\dt[u]} \leq\ra{\abs{z}^{n+1}}{n!}\int_0^1(1-u)^n\exp\bigl(\RE(z)u\bigr)\,\dt[u] \\ &\leq \ra{\abs{z}^{n+1}}{n!}\int_0^1(1-u)^n\exp\bigl(\abs{\RE z}\bigr)\,\dt[u] =\ra{\abs{z}^{n+1}}{n!}\exp\bigl(\abs{\RE z}\bigr)\ra1{n+1}\tend0 \end{align*} ce qui montre (une nouvelle fois) que : \Reponse{$\dps \qqs z\in\C,\ \exp z=1+\sum_{n=1}^\infty\ra{z^n}{n!} $} \paragraph{La série du binôme.} Pour $\alpha\in\R\prive\N$, on pose $f(x)= (1+x)^\alpha=\exp\bigl(\alpha\ln(1+x)\bigr)$; la fonction $f$ est une fonction de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\into{-1}{+\infty}$, et $f^{(k)}(x) = \alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)(1+x)^{\alpha-k}$ et $f^{(k)}(0) = \alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)$. Utilisant la décroissance de $u\in\intf01\mapsto \dra{1-u}{1+xu}$ pour $x>-1$ fixé, le reste intégral se majore à l'aide de : % \begin{equation} \begin{split} 0\leq\int_0^1 (1-u)^n(1+xu)^{\alpha-n-1}\,\dt[u] &=\int_0^1 \left(\ra{1-u}{1+xu}\right)^n(1+xu)^{\alpha-1}\,\dt[u] \\ &\leq\int_0^1 (1+xu)^{\alpha-1}\,\dt[u] \end{split} \end{equation} On peut donc écrire : \begin{equation} \begin{split} \abs[\Big]{ (1+x)^\alpha - 1 - & \sum_{k=1}^n\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha -k+1)\frac{x^k}{k!} } \\ &=\abs[\Big]{ \frac{x^{n+1}}{n!} \int_0^1 (1-u)^n \alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha -n)(1+xu)^{\alpha-n-1}\,\dt[u] } \\ &\leq \abs[\big]{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha -n)}\frac{\abs{x}^{n+1}}{n!} \int_0^1 (1+xu)^{\alpha-1}\,\dt[u]=u_n \end{split} \end{equation} % Or $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{\abs{\alpha-n-1}}{n+1}\abs{x}\tend \abs{x}$, ce qui montre que $u_n$ tend vers 0 pour tout $x\in\into{-1}1$. \Reponse{$\dps \qqs x\in\into{-1}{1},\qquad (1+x)^\alpha=1+ \sum_{n=1}^\infty\ra{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n $} %------------------------------------------------------------ \subsubsection{Utilisation de combinaison linéaire de développement en série} %------------------------------------------------------------ \paragraph{Développement en série entière de $\ln(1+x+x^2)$.} Amie lectrice, ami lecteur, voici une astuce que l'on peut qualifier de \emph{vaseuse} : $$ \qqs x\neq1,\ 1+x+x^2=\ra{1-x^3}{1-x} $$ Ainsi, pour tout $x\in\into{-1}{1}$, on a : \begin{align*} \ln(1+x+x^2) &= -\ln(1-x)+\ln(1-x^3) =\sum_{n=1}^\infty\ra{x^n}{n}-\sum_{n=1}^\infty\ra{x^{3n}}{n} \\ &= \sum_{n=1}^\infty a_n x^n\quad\text{ en posant }a_n= \begin{cases} \dps\ra1n & \text{si $n\equiv1$ ou $n\equiv2\pmod3$} \\ \dps-\ra2n & \text{si $n\equiv0\pmod3$} \end{cases} \end{align*} \paragraph{Développement en série entière de $\ch x\cos x$.} Le but du jeu est de \emph{linéariser}; pour cela, on utilise les expressions complexes des fonctions trigonométriques : $$ \ch x\cos x=\cos ix\cos x=\ra12\bigl(\cos(x+\ii x)+\cos(x-\ii x)\bigr)=\RE\bigl(\cos(1+\ii)x\bigr) $$ Or, $\dps\cos(1+\ii)x=1+\sum_{n=1}^\infty(-1)^n\ra{(1+\ii)^{2n}}{(2n)!}x^{2n}$ et $1+\ii=\sqrt{2}\exp(\ii\pi/4)$, ce qui donne \begin{multline*} \RE(1+\ii)^{2n}=\RE\Bigl(\sqrt{2}\exp\bigl(\ii\ra\pi4\bigr)\Bigr)^{2n} =\RE\Bigl(2^n\exp\bigl(\ii n\ra\pi2\bigr)\Bigr) \\ =2^n\cos\Bigl(n\ra\pi2\Bigr) = \begin{cases} 0 & \text{si $n\equiv1\pmod2$} \\ 2^{2p}(-1)^p & \text{si $n=2p$} \end{cases} \end{multline*} On obtient donc : $$ \qqs x\in\R,\ \ch x\cos x=1+\sum_{p=1}^\infty(-1)^p\ra{2^{2p}}{(4p)!}x^{4p} $$ %------------------------------------------------------------ \subsubsection{Utilisation d'une équation différentielle} %------------------------------------------------------------ \paragraph{La série du binôme (one more time).} La fonction $f : x\mapsto(1+x)^\alpha$ vérifie l'équation différentielle : \begin{equation} (1+x)y'-\alpha y=0 \label{eq\DP binôme} \end{equation} sur l'intervalle $\into{-1}{+\infty}$ et vaut $1$ pour $x=0$. Recherchons les solutions de cette équation différentielle qui sont la somme d'une série entière. D'abord la phase d'analyse; soit $S(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n x^n$ une série entière de rayon de convergence $R>0$; alors : $$ \qqs x\in\into{-R}{R},\ S'(x)=\sum_{n=1}^\infty na_nx^{n-1}=\sum_{k=0}^\infty(k+1)a_{k+1}x^k $$ et $S$ est une $\into{-R}R$-solution de \eqref{eq\DP binôme} si, et seulement si, pour tout $x\in\into{-R}R$ : \begin{align*} 0 &= S'(x)+xS'(x)-\alpha S(x)= \sum_{n=0}^\infty (n+1) a_{n+1}x^{n}+\sum_{n=1}^\infty n a_n x^n-\alpha\sum_{n=0}^\infty a_n x^n \\ &= \sum_{n=0}^\infty\bigl((n+1)a_{n+1}+(n-\alpha)a_n\bigr)x^n \end{align*} L'unicité des coefficients du développement en série entière de la fonction nulle entraîne que : $$ \qqs n\in\N,\ (n+1)a_{n+1}+(n-\alpha)a_n=0,\ \text{ soit }a_{n+1}=\ra{\alpha-n}{n+1}a_n $$ et, par récurrence, $$ \qqs n\in\N^*,\ a_n=\ra{\alpha-n+1}{n}\times\ra{\alpha-n+2}{n-1}\times\cdots \times\ra{\alpha-1}2\times\ra{\alpha}1 a_0 =\ra{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}a_0 $$ Les séries entières solutions de \eqref{eq\DP binôme} constituent une droite vectorielle dirigée par $S : x\mapsto 1+ \sum_{n=1}^\infty\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1) x^n/n!$, série dont le rayon de convergence vaut $1$ ($\abs[\big]{a_{n+1}/a_n}=\abs{\alpha-n}/n+1\tend1$). Effectuons la synthèse; $f$ et $S$ sont deux $\into{-1}{1}$-solutions de \eqref{eq\DP binôme} qui coïncident en $x=1$; les fonctions $f$ et $S$ sont égales sur $\into{-1}{1}$. \Reponse{$\dps \qqs x\in\into{-1}1,\ (1+x)^\alpha=1+\sum_{n=1}^\infty\ra{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n $} %------------------------------------------------------------ \subsubsection{Cas des fractions rationnelles} %------------------------------------------------------------ \begin{Prop}[Développement en série entière des fractions rationnelles]\alaligne Toute fraction rationnelle $f$, n'admettant pas $0$ pour pôle, admet un développement en série entière au voisinage de $0$. La série entière, dont $f$ est la somme, a, pour rayon de convergence, le plus petit module des pôles de $f$ dans $\C$, \ie{} la distance de $0$ au plus proche des pôles complexes. \end{Prop} \begin{proof} Soient $\abs{z_1}\leq\abs{z_2}\leq\cdots\leq\abs{z_p}$ les pôles complexes distincts de la fraction rationnelle $f$, ordonnés par module croissant. La décomposition de $f$ sur $\C$ donne : $$ f=E(X)+\sum_{k=1}^p\Bigl(\sum_{j=1}^{m_k}\ra{\alpha_{k,j}}{(X-z_k)^j}\Bigr) $$ où $E\in\C[X]$ est la partie entière de $f$ et $\alpha_{k,j}\in\C$. De $$ \qqs p\in\N^*,\ \qqs \abs{z}<1,\ \ra1{(1-z)^p}=\sum_{n=0}^\infty\comb{n+p-1}{p}z^n $$ on tire pour $\abs{z}<\abs{a}$ : $$ \ra1{(z-a)^p}=\ra1{(-a)^p}\ra1{\bigl(1-\ra{z}{a}\bigr)^p} =\ra1{(-a)^p}\sum_{n=0}^\infty\comb{n+p-1}{p}\Bigl(\ra{z}{a}\Bigr)^n =(-1)^p\sum_{n=0}^\infty\comb{n+p-1}{p}\ra{z^n}{a^{n+p}} $$ C'est ainsi que l'on peut écrire que : \begin{align*} \qqs\abs{z}<\abs{z_1},\ f(z) &= E(z)+\sum_{k=1}^p\biggl(\sum_{j=1}^{m_k}(-1)^j\alpha_{k,j} \sum_{n=0}^\infty\comb{n+p-1}{p}\ra{z^n}{z_k^{n+j}}\biggr) \\ &= E(z)+\sum_{n=0}^\infty\biggl(\sum_{k=1}^p\Bigl( \sum_{j=1}^{m_k}(-1)^j\alpha_{k,j}\comb{n+p-1}{p}\ra1{z_k^{n+j}}\Bigr)\biggr)z^n \end{align*} Appelons $R$ le rayon de convergence de la série entière qui développe $f$. Si $R>\abs{z_1}$ ($z_1$ est le pôle de plus petit module), $f$ coïncide avec la somme $S$ de cette série entière sur le disque $\{\abs{z}<\abs{z_1}\}$. Puisque $z_1$ appartient au disque de convergence de $S$, $\lim_{z_1}S(z)$ existe dans $\C$ et donc aussi $\lim_{z\to z_1,\abs{z}<\abs{z_1}}f(z)$, ce qui est en contradiction avec le fait que $z_1$ soit un pôle; ainsi $R\leq\abs{z_1}$. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \paragraph{Développement en série entière en $x=0$ de $\dps f_\alpha : x\mapsto\arctan\biggl(\ra{1+x}{1-x}\tan\Bigl(\ra\alpha2\Bigr)\biggr)$ avec $\alpha\in\into0\pi$} La fonction $f_\alpha$ est de classe $\mcal{C}^\infty$ sur $\into{-1}{+\infty}$ et sa dérivée est une fraction rationnelle : $$ \qqs x>-1,\ f'_\alpha(x) =\ra{\sin\alpha}{x^2-2x\cos\alpha+1} =\ra1{2\ii}\Bigl(\ra1{x-\ee^{\ii\alpha}}-\ra1{x-\ee^{-\ii\alpha}}\Bigr) =\ra1{2\ii}\Bigl(\ra{-\ee^{-\ii\alpha}}{1-x\ee^{-\ii\alpha}} -\ra{-\ee^{\ii\alpha}}{1-x\ee^{\ii\alpha}}\Bigr) $$ que l'on développe en série entière pour $\abs{x}<1$ (les pôles de la fraction sont les complexes $\ee^{\ii\alpha}$ et $\ee^{-\ii\alpha}$) : $$ f'_\alpha(x) =\ra1{2\ii}\Bigl(\ee^{\ii\alpha}\sum_{n=0}^\infty \ee^{\ii n\alpha}x^n- \ee^{-\ii\alpha}\sum_{n=0}^\infty \ee^{-\ii n\alpha}x^n\Bigr) =\sum_{n=0}^\infty\bigl(\sin(n+1)\alpha\bigr)x^n =\sum_{n=1}^\infty\sin(n\alpha)x^{n-1} $$ Par intégration terme à terme, en utilisant $f_\alpha(0)=\ra\alpha2$, on trouve $$ \qqs x\in\into{-1}{1},\ f_\alpha(x) =\arctan\biggl(\ra{1+x}{1-x}\tan\Bigl(\ra\alpha2\Bigr)\biggr) =\ra\alpha2+\sum_{n=1}^\infty\ra{\sin n\alpha}{n}x^n $$