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Fichier TeX
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\chapter{Série de Fourier}
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\minitoc
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\section{Série trigonométrique}
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\subsection{Qu'est-ce qu'une série trigonométrique?}
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\begin{Df}[Série trigonométrique]\alaligne

  On appelle \emph{série trigonométrique} toute série de fonctions
(particulières)
$$
c_0+\sum_{n\geq1}(c_n \ee^{\ii nt}+c_{-n}\ee^{-\ii nt})
\quad\text{ ou }\quad
\sum(a_n\cos nt+b_n\sin nt)
$$$(c_n)_{n\in\Z}$, $\suite a$ et $\suite b$ sont des suites de nombres
complexes.
\end{Df}

\begin{NB}
  Rappelons que $c_n \ee^{\ii nt}+c_{-n} \ee^{-\ii nt}=
(c_n+c_{-n})\cos nt+i(c_n-c_{-n})\sin nt$, ce qui permet de passer des $c_n$ aux
$a_n$ et $b_n$.
\end{NB}

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\subsection{Caractérisation des séries trigonométriques qui convergent
normalement sur $\R$}
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\begin{Th}[Convergence normale sur $\R$ des séries trigonométriques]\alaligne

  Soit $c_0+\sum_{n=1}^\infty(c_n \ee^{\ii nt}+c_{-n}\ee^{-\ii nt})$ une série
trigonométrique; les assertions suivantes sont équivalentes :
\begin{prop}
  \item la série $\sum(c_n \ee^{\ii nt}+c_ {-n}\ee^{-\ii nt})$ converge normalement sur
$\R$;
  \item les séries $\sum\abs{c_n}$ et $\sum\abs{c_{-n}}$ sont convergentes;
  \item les séries $\sum\abs{a_n}$ et $\sum\abs{b_n}$ sont convergentes.
\end{prop}
\end{Th}

\begin{proof}\alaligne

\Implique12
  On pose $u_n(t)=c_n \ee^{\ii nt}+c_{-n}\ee^{-\ii nt}$; alors, 
$$
2\pi\,\abs{c_n}
=\abs[\Big]{\int_{-\pi}^\pi u_n(t) \ee^{-\ii nt}\,\dt}
\leq\int_{-\pi}^\pi\abs{u_n(t)}\,\abs{\ee^{-\ii nt}}\,\dt
=\int_{-\pi}^\pi\abs{u_n(t)}\,\dt\leq2\pi\normi{u_n}
$$
soit $\abs{c_n}\leq\normi{u_n}$, d'où la convergence de la série $\sum
\abs{c_n}$.

  De même, $\abs{c_{-n}}\leq\normi{u_n}$, d'où la convergence de la série
$\sum\abs{c_{-n}}$;

\Implique23
$\abs{a_n}=\abs{c_n+c_{-n}}\leq\abs{c_n}+\abs{c_{-n}}$ et 
$\abs{b_n}=\abs[\big]{\ii(c_n-c_{-n})}\leq\abs{c_n}+\abs{c_{-n}}$; par comparaison, les
séries $\sum\abs{a_n}$ et $\sum\abs{b_n}$ sont convergentes;

\Implique31
pour tout $t\in\R$, $\abs[\big]{u_n(t)}=\abs{a_n\cos nt+b_n\sin nt}\leq\abs{a_n}+\abs{b_n}$,
et, en passant à la borne supérieure pour $t\in\R$, 
$\normi{u_n}\leq\abs{a_n}+\abs{b_n}$, ce qui assure la convergence normale
sur $\R$ de la série de fonctions $\sum u_n$.
\end{proof}
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\subsection{Calcul des coefficients $c_k$}
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\begin{Th}
  Si la série trigonométrique $\sum(c_n \ee^{\ii nt}+c_{-n}\ee^{-\ii nt})$ converge
uniformément sur $\R$, alors : $\dps S : t\mapsto
c_0+\sum_{n=1}^\infty(c_n \ee^{\ii nt}+c_{-n} \ee^{-\ii nt})
=\lim_n\sum_{k=-n}^n c_k \ee^{\ii kt}$ est continue et $2\pi$-périodique sur $\R$ et
\begin{equation}
\qqs k\in\Z,\
c_k=\scal{e_k}{S}=\ra1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi S(t) \ee^{-\ii kt}\,\dt
\end{equation}
\end{Th}

\begin{proof}
  La continuité des fonctions $u_n$  et la convergence uniforme sur
$\R$ de la série $\sum u_n$ montrent la continuité de la somme $S$; puisque les $u_n$ sont
$2\pi$-périodiques, $S$ est $2\pi$-périodique.

  $S(t) \ee^{-\ii kt}=c_0 \ee^{-\ii kt}+\sum_{n=1}^\infty(c_n
\ee^{\ii nt}+c_{-n} \ee^{-\ii nt}) \ee^{-\ii kt}$ est la somme d'une série uniformément
convergente sur $\R$ car
\begin{equation}
\sup_{t\in\R}\abs[\Big]{\sum_{n=p+1}^\infty(c_n \ee^{\ii nt}+c_{-n} \ee^{-\ii
nt}) \ee^{-\ii kt}}=
\sup_{t\in\R}\abs[\Big]{\sum_{n=p+1}^\infty(c_n \ee^{\ii nt}+c_{-n} \ee^{-\ii nt})}\tend[p] 0
\end{equation}
On peut donc intégrer la série terme à terme sur le segment $\intf{-\pi}\pi$ et
on obtient :
\begin{align}
\scal{e_k}{S}
& = \ra1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi c_0 \ee^{-\ii kt}\,\dt+
\sum_{n=1}^\infty \ra1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi (c_n \ee^{-\ii nt}+c_{-n} \ee^{-\ii
nt})\ee^{-\ii kt}\,\dt  \\
& =
\begin{cases}
0\qquad + \qquad  c_k & \text{si $k\neq0$}    \\
c_0\qquad + \qquad 0  & \text{si $k=0$}
\end{cases}
\end{align}
car toutes les intégrales sont nulles sauf pour $n=k$.
\end{proof}
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\begin{NB}
  La convergence des séries numériques $\sum\abs{c_n}$ et $\sum\abs{c_{-n}}$ ou
des séries numériques
$\sum\abs{a_n}$ et $\sum\abs{b_n}$ impliquent la convergence normale sur $\R$, donc
uniforme sur $\R$ de la série de fonctions $\sum u_n$.
\end{NB}

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\section{Coefficients de Fourier}
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\subsection{Fonctions complexes $2\pi$-périodiques et continues par morceaux}
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  Le $\C$-espace vectoriel des fonctions $2\pi$-périodiques et continues par
morceaux est noté $\CMdepi$. De telles fonctions sont bornées et on peut se
restreindre à un intervalle de longueur $2\pi$ pour en déterminer les bornes
(cas réel).
$$
\qqs f\in\CMdepi,\ \normi{f}=\sup_{t\in\R}\abs[\big]{f(t)}=
\sup_{t\in\intf{a}{a+2\pi}}\abs[\big]{f(t)}
$$

  La donnée d'une fonction $g$ continue par morceaux sur un segment
$\intf{a}{a+2\pi}$ de longueur $2\pi$ définit une fonction $f$ $2\pi$-périodique
et continue par morceaux en posant
$$
f(t)=
\begin{cases}
g(t)      & \text{si $t\in\intfo{a}{a+2\pi}$}     \\
g(t-2n\pi)  & \text{si $t\in\intfo{a+2n\pi}{a+2n\pi+2\pi}$}
\end{cases}
$$

  L'intégrale sur une période d'une fonction périodique est \emph{indépendante}
de la période choisie; on prendra $\intf0{2\pi}$ ou $\intf{-\pi}\pi$ ou d'autres
segments suivant le cas. On note
$$
\scal fg=\ra1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \conjug{f}g,\quad
\normd{f}=\sqrt{\scal ff}=\sqrt{\ra1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\abs{f}^2},\quad
\normu{f}=\ra1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\abs{f}
$$

  L'utilisation d'un changement de variable (ou d'échelle) permet de passer
d'une fonction $T$-périodique à une fonction $2\pi$-périodique; pour cela, on
note $\omega=2\pi T^{-1}$ la pulsation et

\begin{itemize}
  \item si $h$ est une fonction $T$-périodique, alors $f : t\mapsto
h\bigl(T/(2\pi)\,t\bigr)=h(\omega^{-1}t)$ est une fonction
$2\pi$-périodique;
  \item si $f$ est une fonction $2\pi$-périodique, alors $h : t\mapsto
f\bigl(2\pi/T\,t\bigr)=f(\omega\,t)$ est une fonction
$T$-périodique.
\end{itemize}


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\subsection{Coefficients de Fourier d'une fonction}
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\begin{Dfs}[Coefficient de Fourier]\alaligne

  Si $f$ est une fonction $2\pi$-périodique et continue par morceaux, on pose
\Reponse{$\dps
\qqs n\in\Z,\ \hat{f}(n)=c_n(f)=\scal{e_n}{f}=
\ra1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\ee^{-\ii nt}\,\dt
$}
\Reponse{$\dps
\qqs n\in\N^*,\ a_n(f)=\ra2{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\cos nt\,\dt
\quad\et\quad
b_n(f)=\ra2{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\sin nt\,\dt
$}
Le coefficient noté $c_n(f)$ ou $\hat{f}(n)$ est appelé \emph{coefficient
exponentiel de Fourier d'ordre $n$} de $f$; les coefficients $a_n(f)$ et $b_n(f)$
sont les \emph{coefficients trigonométriques} de $f$.
\end{Dfs}

\begin{NBs}\mbox{}\\
%
  $c_0(f)=(2\pi)^{-1}\int_{-\pi}^\pi f(t)\,\dt$ est la \emph{valeur moyenne de
$f$ sur une période}.\\
%
  $a_n(f)=c_n(f)+c_{-n}(f)$ et $b_n(f)=\ii\bigl(c_n(f)-c_{-n}(f)\bigr)$.  \\
%
  Attention!  $a_0(f)=2c_0(f)$ et $b_0(f)=0$. 
\end{NBs}

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\subsection{Propriétés des coefficients de Fourier}
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\begin{Prop}[Linéarité par rapport à la fonction]\alaligne

  Pour tout entier $n$, $c_n$, $a_n$ et $b_n$ sont des formes linéaires sur
$\CMdepi$, \ie{}, par exemple :
$$
\qqs n\in\Z,\ \qqs(f,g)\in(\CMdepi)^2,\ \qqs(\lambda,\mu)\in\C^2,\
c_n(\lambda f+\mu g)=\lambda c_n(f)+\mu c_n(g)
$$
Ainsi, $f\mapsto \hat{f}$ est une application $\C$-linéaire de $\CMdepi$ vers $\C^\Z$.
\end{Prop}

\begin{proof}
  La linéarité de l'intégrale donne la solution :
\begin{align*}
c_n(\lambda f+\mu g)
&=  \ra1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \bigl(\lambda f(t)+\mu g(t)\bigr)\ee^{-\ii nt}\,\dt \\
&=  \lambda\ra1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t)\ee^{-\ii nt}\,\dt+
    \mu\ra1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi g(t)\ee^{-\ii nt}\,\dt
    =\lambda c_n(f)+\mu c_n(g)
\end{align*}
\end{proof}
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\begin{Prop}[Conjugaison]
$$
c_n(\conjug{f})=\conjug{c_{-n}(f)},\ a_n(\conjug{f})=\conjug{a_n(f)},\
b_n(\conjug{f})=\conjug{b_n(f)}
$$
Si $f$ est une fonction à valeurs réelles, $c_n(f)=\conjug{c_{-n}(f)}$ et les
coefficients $a_n(f)$ et $b_n(f)$ sont des nombres réels.
\end{Prop}

\begin{proof}
L'intégrale du conjugué d'une fonction est le conjugué de l'intégrale :
\begin{align*}
c_n(\conjug{f})
&=  \ra1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \conjug{f(t)}\ee^{-\ii nt}\,\dt
  =\ra1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \conjug{f(t)\ee^{\ii nt}}\,\dt
  =\ra1{2\pi}\conjug{\int_{-\pi}^\pi f(t) \ee^{\ii nt}\,\dt}
  =\conjug{c_{-n}(f)}   \\
a_n(\conjug{f})
&=  \ra2{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \conjug{f(t)}\cos(nt)\,\dt
  =\ra2{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \conjug{f(t)\cos(nt)}\,\dt
  =\ra2{2\pi}\conjug{\int_{-\pi}^\pi f(t) \cos(nt)\,\dt}
  =\conjug{a_{n}(f)}    \\
b_n(\conjug{f})
&=  \ra2{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \conjug{f(t)} \sin(nt)\,\dt
  =\ra2{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \conjug{f(t) \sin(nt)}\,\dt
  =\ra2{2\pi}\conjug{\int_{-\pi}^\pi f(t) \sin(nt)\,\dt}
  =\conjug{b_{n}(f)}    \\
\end{align*}
\end{proof}
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\begin{Prop}[Parité]\alaligne

  Si $\breve{f}$ désigne la fonction $t\mapsto f(-t)$, on a
$$
c_n(\breve{f})=c_{-n}(f),\ a_n(\breve{f})=a_n(f)\et
b_n(\breve{f})=-b_n(f)
$$
\Reponse[Bflushleft]{
Si $f$ est une fonction paire, alors :    \\
$\dps c_{-n}(f)=c_n(f),\ a_n(f)=\ra4{2\pi}\int_0^\pi f(t)\cos nt\,\dt\et b_n(f)=0
$}
\Reponse[Bflushleft]{
Si $f$ est une fonction impaire, alors :    \\
$\dps c_{-n}(f)=-c_n(f),\ a_n(f)=0\et b_n(f)=\ra4{2\pi}\int_0^\pi f(t)\sin nt\,\dt
$}
\end{Prop}

\begin{proof}
Le changement de variable $t=-u$ fait l'affaire :
\begin{align*}
c_n(\breve{f})
&=  \ra1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(-t) \ee^{-\ii nt}\,\dt
  =\ra1{2\pi}\int_{\pi}^{-\pi} f(u) \ee^{\ii nu}\,(-\dt[u])
  =\ra1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(u) \ee^{\ii nu}\,\dt[u]
  =c_{-n}(f)  \\
a_n(\breve{f})
&=  \ra2{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(-t) \cos(nt)\,\dt
  =\ra2{2\pi}\int_{\pi}^{-\pi} f(u) \cos(-nu)\,(-\dt[u])
  =\ra2{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(u) \cos(nu)\,\dt[u]
  =a_{n}(f) \\
b_n(\breve{f})
&=  \ra2{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(-t) \sin(nt)\,\dt
  =\ra2{2\pi}\int_{\pi}^{-\pi} f(u) \sin(-nu)\,(-\dt[u])
  =\ra{-2}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(u) \sin(nu)\,\dt[u]
  =-b_{n}(f)  \\
\end{align*}
Rappelons que l'on a, pour tout $\alpha>0$ et toute fonction $g$ continue par
morceaux sur le segment $\intf{-\alpha}{\alpha}$ :
\begin{equation}
\int_{-\alpha}^\alpha g(t)\,\dt
=\int_{-\alpha}^0 g(t)\,\dt+\int_{0}^\alpha g(t)\,\dt
=\int_{\alpha}^0 g(-u)\,(-\dt[u])+\int_{0}^\alpha g(t)\,\dt
=\int_0^\alpha \bigl(g(t)+g(-t)\bigr)\,\dt
\end{equation}
ce qui donne
\begin{align*}
\text{la fonction $g$ est paire}
&\implique
  \int_{-\alpha}^\alpha g(t)\,\dt=2\int_0^\alpha g(t)\,\dt  \\
\text{la fonction $g$ est impaire}
&\implique
  \int_{-\alpha}^\alpha g(t)\,\dt=0
\end{align*}

  Si $f$ est une fonction paire, les fonctions $f$ et $\breve{f}$ sont égales,
$t\mapsto f(t)\cos(nt)$ est une fonction paire et $t\mapsto f(t)\sin(nt)$ est
une fonction impaire.

Si $f$ est une fonction impaire, les fonctions $f$ et $\breve{f}$ sont opposées,
$t\mapsto f(t)\cos(nt)$ est une fonction impaire et $t\mapsto f(t)\sin(nt)$ est
une fonction paire.
\end{proof}
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\begin{Prop}[Effet d'une translation]\alaligne

  Soit $a\in\R$ et $\tau_a f : t\mapsto f(a+t)$; alors
$$
c_n(\tau_af)=\ee^{\ii na} c_n(f)
$$
\end{Prop}

\begin{proof}
Les ingrédients : le changement de variable $u=t+a$, la formule fondamentale de
l'exponentielle et la linéarité de l'intégrale.
\begin{align*}
c_n(\tau_a f)
&=  \ra1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(t+a)\ee^{-\ii nt}\,\dt
  =\ra1{2\pi}\int_{-\pi+a}^{\pi+a} f(u)\ee^{-\ii n(u-a)}\,\dt[u]  \\
&=  \ra1{2\pi}\int_{-\pi+a}^{\pi+a} f(u)\ee^{\ii na}\ee^{-\ii nu}\,\dt[u]
  =\ee^{\ii na}c_n(f)
\end{align*}
\end{proof}
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\begin{Th}[Caractère borné des coefficients de Fourier]\alaligne

  Pour  toute fonction $f$ continue et continue par morceaux, $\hat{f}$ est une
suite bornée et
$$
\normi{\hat{f}}
=\sup_{n\in\Z}\abs[\big]{\hat{f}(n)}
=\sup_{n\in\Z}\abs[\big]{c_n(f)}
\leq\normu{f}\leq\normi{f}
$$
\end{Th}

\begin{proof}On a les inégalités suivantes :
$$
2\pi\,\abs[\big]{\hat{f}(n)}
=\abs[\big]{\int_{-\pi}^\pi f(t)\ee^{-\ii nt}\,\dt}
\leq\int_{-\pi}^\pi \abs{f(t)}\,\abs{\ee^{-\ii nt}}\,\dt
=\int_{-\pi}^\pi\abs[\big]{f(t)}\,\dt
=2\pi\,\normu{f}\leq 2\pi\,\normi{f}
$$
Il ne reste plus qu'à passer à la borne supérieure sur $n\in\Z$.
\end{proof}
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  De même les suites $\bigl(a_n(f)\bigr)_n$ et $\bigl(b_n(f)\bigr)_n$ des
coefficients trigonométriques de Fourier sont bornées :
\begin{align*}
\abs[\big]{a_n(f)}
&=  \abs[\big]{\hat{f}(n)+\hat{f}(-n)}
  \leq\abs[\big]{\hat{f}(n)}+\abs[\big]{\hat{f}(-n)}
  \leq2\normu{f}  \\
\abs[\big]{b_n(f)}
&=  \abs[\big]{\ii\bigl(\hat{f}(n)+\hat{f}(-n)\bigr)}
  \leq\abs[\big]{\hat{f}(n)}+\abs[\big]{\hat{f}(-n)}
  \leq2\normu{f}
\end{align*}

\begin{Lem}[de Riemann-Lebesgue]\alaligne

  Pour toute fonction $f\in\CMdepi$, $c_n(f)$ tend vers 0 quand $\abs{n}$ tend
vers $+\infty$, \ie{}
$$
\lim_n c_n(f)=\lim_n c_{-n}(f)=0
=\lim_na_n(f)=\lim_n b_n(f)
$$
\end{Lem}

\begin{proof}\alaligne

  \textsf{Cas d'une fonction de classe $\mcal{C}^1$}. Une intégration par parties permet
l'apparition d'un facteur $n^{-1}$  et on remarquera la nullité de la partie
intégrée : l'accroissement d'une fonction $2\pi$-périodique entre $-\pi$ et
$\pi$ est nulle. Pour $n\neq0$ on a :
\begin{equation}
\int_{-\pi}^\pi f(t)\ee^{-\ii nt}\,\dt
=f(t)\ra{\ee^{-\ii nt}}{-\ii n}\entre[\Big]{t=-\pi}{t=\pi}
  -\int_{-\pi}^\pi f'(t)\ra{\ee^{-\ii nt}}{-\ii n}\,\dt
=0+\ra1{\ii n}\int_{-\pi}^\pi f'(t)\ee^{-\ii nt}\,\dt
\end{equation}
et
\begin{equation}
\abs{c_n(f)}
=\ra1{\abs{n}}\abs[\big]{c_n(f')}
\leq\ra1{\abs{n}}\normu{f'}
\tend[\abs{n}\to+\infty] 0
\end{equation}

  \textsf{Cas des fonctions en escalier}. Soient $\vphi$ une fonction en escalier,
$\sigma=(a_k)_{k\in\Intf0p}$ une subdivision adaptée, $\lambda_k$ la valeur
(constante) de $\vphi$ sur l'intervalle ouvert $\into{a_{k-1}}{a_k}$; alors
\begin{equation}
\int_{-\pi}^\pi \vphi(t)\ee^{-\ii nt}\,\dt
=\sum_{k=1}^p\int_{a_{k-1}}^{a_k}\lambda_k \ee^{-\ii nt}\,\dt
=\sum_{k=1}^p \lambda_k \ra{\exp(-\ii na_k)-\exp(-\ii na_{k-1})}{-\ii n}
\end{equation}
et
\begin{multline}
\abs{c_n(\vphi)}
=\ra1{2\pi\abs{n}}
  \abs[\Big]{\sum_{k=1}^p\lambda_k \bigl(\exp(-\ii na_k)-\exp(-\ii na_{k-1}\bigl)}    \\
\leq\ra1{2\pi\abs{n}}\sum_{k=1}^p\abs{\lambda_k}\,\abs[\big]{\exp(-\ii na_k)-\exp(-\ii na_{k-1})} 
\leq\ra1{2\pi\abs{n}}\sum_{k=1}^p 2\abs{\lambda_k}\tend[\abs{n}\to+\infty]0
\end{multline}

  \textsf{Cas général}. Soient $f\in\CMdepi$ et $\eps>0$; il existe une fonction en
escalier $\vphi_\eps$ sur $\intf{-\pi}{\pi}$ telle que
$\normi{f-\vphi_\eps}<\eps$. Ainsi
$$
\abs{c_n(f)}=\abs{c_n(f-\vphi_\eps)+c_n(\vphi_\eps)}
\leq\abs{c_n(f-\vphi_\eps)}+\abs{c_n(\vphi_\eps)}
\leq\normi{f-\vphi_\eps}+\abs{c_n(\vphi_\eps)}\leq\eps+\abs{c_n(\vphi_\eps)}
$$
Puisque $\abs[\big]{c_n(\vphi_\eps)}\to0$ quand $\abs{n}\to+\infty$, il existe un rang $N$
tel que $\abs{n}>N$ implique $\abs{c_n(\vphi_\eps)}<\eps$, et donc
$\abs[\big]{c_n(f)}<2\eps$, ce qui montre que $\lim_n c_n(f)=\lim_n c_{-n}(f)=0$.

  Les coefficients trigonométriques $a_n(f)$ et $b_n(f)$ sont des combinaisons linéaires
des coefficients exponentiels $c_n(f)$ et $c_{-n}(f)$; ils admettent donc 0 comme limite.
\end{proof}
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\subsection{Ordre de grandeur des coefficients de Fourier et régularité de la
fonction}
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\begin{Prop}[Coefficient de Fourier d'une dérivée]\alaligne

  Si $f$ est une fonction $2\pi$-périodique de classe $\mcal{C}^1$ sur $\R$, alors
$$
\reponse{$
\qqs n\in\Z,\ c_n(f')=\ii n\,c_n(f)
$}
$$
\end{Prop}

\begin{proof}
  Une intégration par parties donne le résultat; la partie intégrée est nulle
car accroissement d'une fonction $2\pi$-périodique entre $-\pi$ et $\pi$.

\begin{multline}
2\pi\,c_n(f')=\int_{-\pi}^\pi f'(t)\ee^{-\ii nt}\,\dt
=f(t) \ee^{-\ii nt}\entre{-\pi}{\pi}-\int_{-\pi}^\pi f(t)(-\ii n \ee^{-\ii nt})\,\dt  \\
=0+\ii n\int_{-\pi}^\pi f(t)\ee^{-\ii nt}\,\dt
=2\pi\ii n\,c_n(f)
\end{multline}
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------


\begin{Prop}[Coefficient de Fourier d'une dérivée d'ordre $k$]\alaligne

  Si $f$ est une fonction $2\pi$-périodique de classe $\mcal{C}^k$ sur $\R$, alors
$$
\reponse{$
\qqs n\in\Z,\ c_n(f^{(k)})=(\ii n)^k c_n(f)
$}
$$
\end{Prop}

\begin{proof}
  Une récurrence sur $k$ donne le résultat.
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{Prop}[Extension aux fonctions de classe $\mcal{C}^{k-1}$ et $\mcal{C}^k$
par morceaux]\alaligne

  Si $f$ est une fonction $2\pi$-périodique de classe $\mcal{C}^{k-1}$ et de
classe $\mcal{C}^k$ par morceaux sur $\R$, alors
$$
\reponse{$
\qqs n\in\Z,\ c_n(\D^k f)=(\ii n)^k c_n(f)
$}
$$
\end{Prop}

\begin{proof}
  Si $f$ est une fonction continue et de classe $\mcal{C}^1$ par morceaux sur
$\R$, $f$ est une primitive de $\D f$, l'intégration par parties est licite et
la formule est vraie pour $k=1$.

  Une récurrence sur $k$ donne le résultat.
\end{proof}
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\begin{Cor}
  Si $f$ est $2\pi$-périodique et de classe $\mcal{C}^k$ (resp. de classe
$\mcal{C}^{k-1}$ et de classe $\mcal{C}^k$ par morceaux) sur $\R$, alors
$c_n(f)$ est négligeable devant $\abs{n}^{-k}$ quand $\abs{n}$ tend vers l'infini.
$$
c_n(f)\buildrel{=}_{\abs{n}\to\infty}^{}\oo[\Big]{\ra1{\abs{n}^k}}
$$
\end{Cor}

\begin{proof}
  Considérons l'égalité $c_n(f)=(\ii n)^{-k}c_n(f^{(k)})$ (resp.
$c_n(f)=(\ii n)^{-k}c_n(\D^k f)$); puisque le lemme de Riemann-Lebesgue montre que
$c_n(f^{(k)})\tend[\abs{n}\to\infty]0$ (resp. $c_n(\D^k f)\tend[\abs{n}\to\infty]0$),
le résultat est démontré.
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

\newpage
%----------------------------------------------------------------------
\subsection{Série de Fourier}
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\subsubsection{Somme partielle de Fourier de rang $n$}
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  Soient $f$ une fonction $2\pi$-périodique, continue par morceaux, et $n$ un
entier naturel; pour $t\in\R$, on pose :
\begin{center}
\reponse{$\dps
\bigl[S_n(f)\bigr](t)=
\sum_{k=-n}^n c_k(f)\ee^{\ii kt} =
c_0(f)+\sum_{k=1}^n\Bigl(c_k(f)\ee^{\ii kt}+c_{-k}(f)\ee^{-\ii kt}\Bigr)$   \\
$\dps = c_0(f)+\sum_{k=1}^n\Bigl(a_k(f)\cos kt+b_k(f)\sin kt\Bigr)
$}
\end{center}

\begin{NB}
  Si $P$ est un polynôme trigonométrique de degré $d$, pour tout entier $n\geq
d$, la somme partielle de Fourier de rang $n$ est identique à $P$.
\end{NB}

%----------------------------------------------------------------------
\subsubsection{Série de Fourier}
%----------------------------------------------------------------------
  À toute fonction $f$ $2\pi$-périodique et continue par morceaux, on associe la
série de fonctions $c_0(f)+\sum \bigl(c_n(f) \ee^{\ii nt}+c_{-n}(f)\ee^{-\ii nt}\bigr)$, \ie{} la
série de fonctions $c_0(f)+\sum \bigl(a_n(f)\cos nt+b_n(f)\sin nt\bigr)$; c'est la
\emph{série de Fourier} de $f$. On note $[S(f)](t)$ la somme de la série de
Fourier de $f$ au point $t$ en cas de convergence.
\begin{center}
\reponse{$\dsp
\bigl[S(f)\bigr](t)=
\lim_{n\uparrow+\infty}\sum_{k=-n}^n c_k(f)\ee^{\ii kt}
=c_0(f)+\sum_{k=1}^\infty\Bigl(c_k(f)\ee^{\ii kt}+c_{-k}(f)\ee^{-\ii kt}\Bigr)$   \\
$\dps = c_0(f)+\sum_{k=1}^\infty\Bigl(a_k(f)\cos kt+b_k(f)\sin kt\Bigr)
$}
\end{center}

  Se posent maintenant deux questions :
\begin{itemize}
  \item pour quelles valeurs de $t$ la série de Fourier converge-t-elle?
  \item en cas de convergence, quelle est la valeur de la somme de
cette série? en particulier, cette somme est-elle égale à $f(t)$?
\end{itemize}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Convergence en moyenne quadratique}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%----------------------------------------------------------------------
\subsection{Inégalité de Bessel}
%----------------------------------------------------------------------

  La somme partielle de Fourier d'une fonction $f$ réalise une propriété
extrémale qui s'éclaircira avec la notion de projection orthogonale.

\begin{Prop}
  Soient $f\in\CMdepi$ et $n\in\N$; les coefficients de Fourier
$\bigl(c_k(f)\bigr)_{k\in\Intf{-n}n}$ de $f$ rendent minimale l'expression
$\normd[\big]{f-\sum_{k=-n}^n \lambda_k e_k}$, \ie{} $S_n(f)$ réalise le minimum de
$\normd{f-P}$ pour tous les polynômes trigonométriques $P$ de degré au plus $n$.
\end{Prop}

\begin{proof}
  Soit $(\lambda_k)_{k\in\Intf{-n}n}$ des nombres complexes; alors
\begin{align*}
\normd[\Big]{f-\sum_{k=-n}^n \lambda_k e_k}^2
& = \scal{f-\sum_{k=-n}^n \lambda_k e_k}{f-\sum_{k=-n}^n \lambda_k e_k}           \\
& = \normd{f}^2-\conjug{\scal{\sum_{k=-n}^n\lambda_k e_k}{f}}
    - \scal{\sum_{k=-n}^n\lambda_k e_k}{f}+\normd[\Big]{\sum_{k=-n}^n\lambda_k e_k}^2     \\
& = \normd{f}^2 - \sum_{k=-n}^n\lambda_k\conjug{c_k(f)} -
      \sum_{k=-n}^n\conjug{\lambda_k}c_k(f) +\sum_{k=-n}^n\abs{\lambda}^2         \\
& = \normd{f}^2 + \sum_{k=-n}^n\biggl\{\bigl(\lambda_k-c_k(f)\bigr)
      \bigl(\conjug{\lambda_k}-\conjug{c_k(f)}\bigr)-\abs{c_k(f)}^2\biggr\}       \\
& = \normd{f}^2 + \sum_{k=-n}^n\abs[\big]{\lambda_k-c_k(f)}^2 -
      \sum_{k=-n}^n\abs{c_k(f)}^2                                                 \\
& \geq  \normd{f}^2 - \sum_{k=-n}^n\abs{c_k(f)}^2
\end{align*}
l'inégalité ayant lieu si, et seulement si,
$\sum_{k=-n}^n\abs[\big]{\lambda_k-c_k(f)}^2=0$, \ie{} si, et seulement si,
$\lambda_k=c_k(f)$ pour tout $k\in\Intf{-n}n$.
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

  Ainsi, pour tout polynôme trigonométrique $P$ de degré au plus $n$, on a :
\begin{center}
\reponse{$\dps
\normd[\big]{f-P}^2 \geq  \normd[\big]{f-S_n(f)}^2  =
\normd[\big]{f}-\sum_{k=-n}^n\abs[\big]{c_k(f)}^2 
=\normd[\big]{f}^2-\normd[\big]{S_n(f)}^2
$}
\end{center}

\begin{Prop}[Inégalité de Bessel]\alaligne

  Si $f\in\CMdepi$, les sommes $\dps\sum_{k=-n}^n\abs{c_k(f)}^2$ sont majorées
par $\normd[\big]{f}^2$ et
\begin{equation}
\abs{c_0(f)}^2+\sum_{n=1}^\infty\bigl(\abs{c_n(f)}^2+\abs{c_{-n}(f)}^2\bigr)
\leq\normd[\big]{f}^2
\end{equation}
\end{Prop}

\begin{proof}
  De l'égalité
$\normd[\big]{f}^2=\normd[\big]{S_n(f)}^2+\normd[\big]{f-S_n(f)}^2$, on tire
\begin{equation}
\normd[\big]{S_n(f)}^2=\sum_{k=-n}^n\abs[\big]{c_k(f)}^2\leq\normd[\big]{f}^2
\end{equation}
Les sommes partielles de la série à termes positifs
$\abs{c_0}^2+\sum\bigl(\abs{c_n}^2+\abs{c_{-n}}^2\bigr)$ sont majorées par $\normd[\big]{f}^2$;
cette série est donc convergente et $\normd[\big]{f}^2$ est un majorant de sa
somme.
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{NB}
  Le terme général d'une série \emph{convergente} tend vers 0, ce qui montre que
$\lim_n c_n=\lim_n c_{-n}=0$. On retrouve le lemme de Riemann-Lebesgue.
\end{NB}

%----------------------------------------------------------------------
\subsection{Convergence en moyenne quadratique de la suite
$\bigl(S_n(f)\bigr)_n$ vers $f$}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{Th}[Cas des fonctions continues]\alaligne

  Si $f$ est une fonction \emph{continue} et $2\pi$-périodique, la suite
$\bigl(S_n(f)\bigr)_n$ converge en moyenne quadratique vers la fonction $f$,
autrement dit :
\begin{equation}
  \normd[\big]{f-S_n(f)}\tend 0
\end{equation}
\end{Th}

\begin{proof}
  La fonction $f$ étant continue et $2\pi$-périodique, pour tout $\eps>0$, il
existe un polynôme
trigonométrique $P_\eps$ tel que $\normi{f-P_\eps}<\eps$. Pour tout entier $n$
supérieur au degré de $P_\eps$, on a :
\begin{equation}
\normd[\big]{f-S_n(f)}\leq\normd[\big]{f-P_\eps}\leq\normi[\big]{f-P_\eps}<\eps
\end{equation}
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{Cor}[Extension aux fonctions continues par morceaux]\alaligne

    Si $f$ est une fonction continue par morceaux et $2\pi$-périodique, la suite
$\bigl(S_n(f)\bigr)_n$ converge en moyenne quadratique vers la fonction $f$,
autrement dit :
\begin{equation}
  \normd[\big]{f-S_n(f)}\tend 0
\end{equation}
\end{Cor}

\begin{proof}
  La fonction $f$ étant continue par morceaux et $2\pi$-périodique, pour tout 
$\eps>0$, il existe une fonction $g_\eps$ \emph{continue} et $2\pi$-périodique
telle que $\normd{f-g_\eps}<\eps$. Pour tout entier $n$, on a :
\begin{align*}
\normd[\big]{f-S_n(f)}
& = \normd[\big]{f-g_\eps+g_\eps-S_n(g_\eps)+S_n(g_\eps)-S_n(f)}
% = \normd[\big]{f-g_\eps+g_\eps-S_n(g_\eps)+S_n(g_\eps-f)}
                                                                    \\
& \leq  \normd[\big]{f-g_\eps}+\normd[\big]{g_\eps-S_n(g_\eps)}+
      \normd[\big]{S_n(g_\eps-f)}                                   \\
& \leq  \normd[\big]{f-g_\eps}+\normd[\big]{g_\eps-S_n(g_\eps)}+
      \normd[\big]{g_\eps-f}                                        \\
& < 2\eps+\normd[\big]{g_\eps-S_n(g_\eps)}
\end{align*}
Puisque $\normd[\big]{g_\eps-S_n(g_\eps)}\tend0$, pour $n$ suffisamment grand,
$\normd[\big]{f-S_n(f)}<3\eps$.
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{Th}[\'Egalité de Parseval]\alaligne

  Si $f$ est une fonction continue par morceaux et $2\pi$-périodique, on a :
\begin{center}
\reponse{$\dps
\normd[\big]{f}^2=\ra1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\abs[\big]{f(t)}^2\,\dt
=\abs{c_0}^2+\sum_{n=1}^\infty\bigl(\abs{c_n}^2+\abs{c_{-n}}^2\bigr)
=\abs{c_0}^2+\ra12\sum_{n=1}^\infty\bigl(\abs{a_n}^2+\abs{b_{n}}^2\bigr)
$}
\end{center}
\end{Th}

\begin{proof}\alaligne

  De $\normd[\big]{f}^2-\normd[\big]{S_n(f)}^2=\normd[\big]{f-S_n(f)}^2\tend0$,
on tire $\normd[\big]{S_n(f)}^2 =
\sum_{k=-n}^n\abs{c_k(f)}^2\tend\normd[\big]{f}^2$.

  $2 c_n=a_n-\ii\,b_n$ implique $4\abs{c_n}^2 =
(a_n-\ii\,b_n)(\conjug{a_n}+\ii\,\conjug{b_n}) =
\abs{a_n}^2-\ii\,\conjug{a_n}b_n+\ii\,a_n\conjug{b_n} +\abs{b_n}^2$; de même,
$4\abs{c_{-n}}^2 = \abs{a_n}^2+\ii\,\conjug{a_n}b_n-\ii\,a_n\conjug{b_n} +\abs{b_n}^2$;
ainsi $\abs{c_n}^2+\abs{c_{-n}}^2=\bigl(\abs{a_n}^2+\abs{b_n}^2\bigr)/2$.
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{Prop}[Expression du produit scalaire]\alaligne

  Si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues par morceaux et
$2\pi$-périodiques, alors :
$$
\scal fg=\ra1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\conjug{f}g
=\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=-n}^n \conjug{c_k(f)}\,c_k(g)
=\conjug{c_0(f)}\,c_0(g) +
\sum_{n=1}^\infty\Bigl(\conjug{c_n(f)}\,c_n(g)+\conjug{c_{-n}(f)}\,c_{-n}(g)\Bigr)
$$
\end{Prop}

\begin{proof}
  Puisque $S_n(f)\tend f$ et $S_n(g)\tend g$ pour la norme $\normd{\ }$, on
obtient : 
$$
\scal{S_n(f)}{S_n(g)}\tend \scal fg
$$
Or,
$$
\scal{S_n(f)}{S_n(g)}
  = \scal{\sum_{r=-n}^n c_r(f)e_r}{\sum_{s=-n}^n c_s(g)e_s}
  = \sum_{r=-n}^n\sum_{s=-n}^n \conjug{c_r(f)}c_s(g)\scal{e_r}{e_s}
  = \sum_{r=-n}^n\conjug{c_r(f)}c_r(g)
$$
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

%----------------------------------------------------------------------
\subsection{Les coefficients de Fourier déterminent la fonction}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{Th}
  L'application $f\mapsto\hat{f}$ est une application linéaire \emph{injective}
de $\Cdepi$ vers $\C^\Z$.
\end{Th}

\begin{proof}
  Il suffit de montrer que le noyau est réduit à $\{\vc0\}$. Considérons une
fonction \emph{continue} $f$ telle $\hat{f}=0$, \ie{} telle que pour tout
$n\in\Z$, $c_n(f)=0$. Dans ces conditions, la formule de Parseval montre que
$\normd{f}=0$ et donc que $f$ est la fonction nulle.
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{Cor}
  Deux fonctions $2\pi$-périodiques et \emph{continues} qui admettent les mêmes
coefficients de Fourier sont égales.
\end{Cor}

\begin{proof}
  Si $f$ et $g$ sont de telles fonctions, alors $\hat{f}=\hat{g}$, soit
$\widehat{f-g}=0$ et donc $f-g=0$
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{Cor}[Extension aux fonctions continues par morceaux]\alaligne

  Deux fonctions $2\pi$-périodiques et continues par morceaux qui admettent les mêmes
coefficients de Fourier sont égales en tout point où elles sont continues.
\end{Cor}

\begin{proof}
  Si $f$ et $g$ sont de telles fonctions, alors $\hat{f}=\hat{g}$, soit
$c_n(f-g)=0$ pour tout $n\in\Z$. La formule de Parseval donne $\normd{f-g}^2=0$,
soit $\int_{-\pi}^\pi\abs[\big]{f(t)-g(t)}^2\,\dt=0$, ce qui implique la nullité de
$f-g$ en tout point de continuité.

\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Convergence ponctuelle}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%----------------------------------------------------------------------
\subsection{Cas des fonctions de classe $\mcal{C}^1$}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{Th}[Convergence normale de la série de Fourier d'une fonction
$\mcal{C}^1$]\alaligne 

  Si $f$ est une fonction $2\pi$-périodique et \emph{de classe $\mcal{C}^1$}, la
série de Fourier de $f$ converge normalement sur $\R$ et sa somme vaut $f$.
\begin{center}
\reponse{$\dps
\qqs t\in\R,\
f(t)=c_0+\sum_{n=1}^\infty\bigl(c_n\,\ee^{\ii nt}+c_{-n}\,\ee^{-\ii nt}\bigr)
  =c_0+\sum_{n=1}^\infty\Bigl(a_n\cos nt+b_n\sin nt\Bigr)
$}
\end{center}
\end{Th}

\begin{proof}\alaligne

  Pour $n\in\Z^*$, $\abs[\big]{c_n(f)}=\abs[\big]{(\ii n)^{-1}c_n(f')}\leq
2^{-1}\bigl(n^{-2}+\abs{c_n(f')}^2\bigr)$ grâce à l'inégalité $2ab\leq a^2+b^2$ pour
$a$ et $b$ réels positifs. Ainsi :
\begin{align*}
\sum_{k=-n}^n\abs[\big]{c_k(f)}
& \leq  \abs[\big]{c_0(f)} +
\ra12\sum_{\substack{k=-n\\k\neq0}}^n\Bigl(\ra1{n^2}+\abs[\big]{c_k(f')}^2\Bigr)
  = \abs[\big]{c_0(f)}+\sum_{k=1}^n\ra1{k^2} +
      \ra12\sum_{k=-n}^n\abs[\big]{c_k(f')}^2                     \\
& \leq \abs[\big]{c_0(f)}+\sum_{k=1}^\infty\ra1{k^2} + \ra12\normd[\big]{f'}^2
\end{align*}
Les sommes partielles $\sum_{k=-n}^n\abs[\big]{c_k(f)}$ sont bornées, les séries
$\sum\abs{c_n}$ et$\sum\abs[\big]{c_{-n}(f)}$ sont convergentes.

  $c_0+\sum_1^\infty(c_n\,\ee^{\ii nt}+c_{-n}\,\ee^{-\ii nt})$, série de Fourier de $f$,
converge normalement sur $\R$ vers une fonction continue et $2\pi$-périodique
notée $S(f)$, dont les coefficients de Fourier sont identiques à ceux de $f$.
Ceci montre que les fonctions $S(f)$ et $f$ sont identiques.
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{NB}
  Le lecteur attentif aura remarqué que $c_n(f)=(\ii n)^{-1}c_n(f')$ est le
produit des termes généraux de deux séries de carré sommable; $c_n(f)$ est donc
le terme général d'une série absolument convergente.
\end{NB}

\begin{Th}[Extension aux fonctions continue et $\mcal{C}^1$ par
morceaux]\alaligne 

    Si $f$ est une fonction $2\pi$-périodique, continue et \emph{de classe
$\mcal{C}^1$} par morceaux, la
série de Fourier de $f$ converge normalement sur $\R$ et sa somme vaut $f$.

\end{Th}

\begin{proof}
  On reprend la démonstration en utilisant l'égalité :
$c_n(f)=(\ii n)^{-1}c_n(\D f)$ et en remplaçant $f'$ par $\D f$.
\end{proof}
%----------------------------------------------------------------------

%----------------------------------------------------------------------
\subsection{Cas des fonctions de classe $\mcal{C}^1$ par morceaux}
%----------------------------------------------------------------------

\begin{Th}[de Dirichlet]\alaligne

  Si $f$ est une fonction $2\pi$-périodique et de classe $\mcal{C}^1$ par
morceaux, la série de Fourier de $f$ converge en tout point $t\in\R$ et sa somme
est égale à la demi-somme de la limite à droite et de la limite à gauche de $f$
en~$t$.

  En particulier, en tout point $t$$f$ est continue, la somme de la série de
Fourier de $f$ en $t$ est égale à~$f(t)$.
\begin{center}
\reponse{$\dps
\qqs t\in\R,\
c_0+\sum_{n=1}^\infty\bigl(c_n\,\ee^{\ii nt}+c_{-n}\,\ee^{-\ii nt}\bigr)
  =c_0+\sum_{n=1}^\infty\Bigl(a_n\cos nt+b_n\sin nt\Bigr)$      \\
$\dps
  =
\begin{cases}
\dps\lim_{\substack{h\to0\\h>0}}\ra{f(t+h)+f(t-h)}2 &
  \text{ si $f$ n'est pas continue en $t$}    \\
f(t)  & \text{ si $f$ est continue en $t$}    
\end{cases}
$}
\end{center}
\end{Th}

\begin{proof}\alaligne

  Noyau de Dirichlet. On pose $D_n(t)=\sum_{k=-n}^n \ee^{\ii kt}$.    \\
  En effectuant le changement d'indice $r=-k$, on remarque que $D_n$ est une fonction paire :
\begin{equation}
D_n(-t)=\sum_{k=-n}^n \ee^{-\ii kt}=\sum_{r=n}^{-n}\ee^{\ii rt}=D_n(t)
\end{equation}
  Valeur moyenne de $D_n$ :
\begin{equation}
\ra1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi D_n(t)\,\dt = \ra1{\pi}\int_0^\pi D_n(t)\,\dt =
\sum_{k=-n}^n\ra1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi \ee^{\ii kt}\,\dt = 
\sum_{k=-n}^n\delta_{0,k} = \delta_{0,0} = 1
\end{equation}
  Simplification de $D_n$ pour $t\neq0$ modulo $2\pi$ :
\begin{equation}
D_n(t) = \sum_{k=-n}^n (\ee^{\ii t})^k
= \ra{(\ee^{\ii t})^{-n}-(\ee^{\ii t})^{n+1}}{1-\ee^{\ii t}}
=
\ra{\ee^{\ii t/2}}{\ee^{\ii t/2}}
  \ra{\ee^{-\ii(n+1/2)t}-\ee^{\ii(n+1/2)t}}{\ee^{-\ii t/2}-\ee^{\ii t/2}}
= \ra{\sin(n+1/2)t}{\sin(1/2 t)}
\end{equation}

  Expression de $\bigl[S_n(f)\bigr](t)$
\begin{align*}
\bigl[S_n(f)\bigr](t)
& = \sum_{k=-n}^n c_k\,\ee^{\ii kt}
  = \sum_{k=-n}^n\biggl(\ra1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi
  f(u)\,\ee^{-\ii ku}\,\dt[u]\biggr)\ee^{\ii kt}  \\
& = \ra1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(u)\sum_{k=-n}^n \ee^{\ii k(t-u)}\,\dt[u]
= \ra1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(u) D_n(t-u)\,\dt[u]               \\
& = \ra1{2\pi}\int_{t-\pi}^{t+\pi} f(t-v) D_n(v)\,dv
= \ra1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t-v) D_n(v)\,dv               \\
& = \ra1{2\pi}\int_0^{\pi} \bigl(f(t-v)+f(t+v)\bigr) D_n(v)\,dv
\end{align*}

  Convergence de $\bigl[S_n(f)\bigr](t)$. On note $f(t-)$ (resp. $f(t+)$) la limite à
gauche (resp. à droite) de $f$ en $t$ et on pose
$2\ell=f(t-)+f(t+)$. Puisque $D_n$ est une fonction paire et
que sa valeur moyenne vaut 1, on peut écrire
$2\pi\ell=\int_0^\pi 2\ell D_n(u)\,\dt[u] =
\int_0^\pi\bigl(f(t-)+f(t+)\bigr)D_n(u)\,\dt[u]$, et :
\begin{align*}
\ell-\bigl[S_n(f)\bigr](t)
& = \ra1{2\pi}\int_0^\pi
\biggl(\Bigl(f(t-)-f(t-u)\Bigr)+\Bigl(f(t+)-f(t+u)\Bigr)\biggr)D_n(u)\,\dt[u]   \\
& = \ra1{2\pi}\int_0^\pi\biggl(\ra{f(t-)-f(t-u)}{\sin(u/2)}+
\ra{f(t+)-f(t+u)}{\sin(u/2)}\biggr)\sin(n+1/2)u\,\dt[u]
\end{align*}
  Or, $\dps u\mapsto\ra{f(t-)-f(t-u)}{2\sin(u/2)} =
\ra{f(t-)-f(t-u)}{u}\ra{u/2}{\sin(u/2)}$ est continue sur $\intof0\pi$ et
prolongeable par continuité en $u=0$ car :
\begin{equation}
\ra{f(t-)-f(t-u)}{0-(-u)}\ra{u/2}{\sin(u/2)}\tend[u\uparrow0]f'_g(t)\times1
\end{equation}
De même $u\mapsto\bigl(f(t+)-f(t+u)\bigr)\bigl(\sin{u/2}\bigr)^{-1}$ est
continue sur $\intof0\pi$ et prolongeable par continuité en $t=0$ par
$-f'_d(t)$. Le lemme de Riemann-Lebesgue montre que
$\lim_n\bigl(\ell-\bigl[S_n(f)\bigr](t)\bigr)=0$.
\end{proof}
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%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: