%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \chapter{Séries numériques} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \minitoc \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Introduction} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Le but de ce chapitre est de donner un sens à la sommation d'une infinité de termes réels ou complexes, par exemple : $$ \frac12 + \frac14 + \frac18 + \cdots + \frac1{2^n}+\cdots = 1 $$ égalité que les mathématiciens grecs interprètent par : \begin{quote} \og La flèche va-t-elle atteindre le talon d'Achille? \fg \end{quote} et $$ 0,999\,9\cdots 9\cdots = 1 $$ égalité qui provient du développement décimal d'un nombre réel. En physique, le théorème de Fourier montre qu'un signal périodique de fréquence~$\nu$, par exemple le la d'une flûte, est la somme d'une combinaison linéaire d'un nombre infini de signaux périodiques élémentaires (de sons élémentaires) de fréquences $n\nu$, multiples entiers de cette fréquence $\nu$ dite fondamentale. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Généralités} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %------------------------------------------------------------------------------- \subsection{Un peu de vocabulaire} %------------------------------------------------------------------------------- \begin{Dfs}[Série]\mbox{}\\ % À la suite $\suite u$ à valeurs complexes, on associe la suite $\suite S$ définie par \begin{equation} S_n=u_0+u_1+u_2+\cdots+u_n=\sum_{k=0}^n u_k \end{equation} % On appelle \emph{série de terme général} $u_n$ le couple $\left( \suite u, \suite S \right)$; elle est notée~$\sum u_n$.\\ $S_n$ est appelé la \emph{somme partielle de rang} $n$ de la série de terme général $u_n$; la suite~$\suite S$ est la suite des sommes partielles de cette série. \end{Dfs} \begin{Dfs}[Convergence et divergence d'une série]\mbox{}\\ % On dit que la série $\sum u_n$ \emph{converge} si, et seulement si, la suite $\suite S$ de ses sommes partielles converge dans $\C$, sinon la série est dite \emph{divergente}. En cas de convergence, le nombre $S=\lim_n S_n$ est appelé \emph{somme} de la série~$\sum u_n$; il est noté $S=\sum_{k=0}^{\infty} u_k$, $k$ joue le rôle d'un indice muet. Pour tout $n\in\N$, on définit le \emph{reste de rang} $n$ par $R_n = S - S_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k$. Retenons : $$ \reponse{ $\dsp S=\sum_{k=0}^\infty u_k=\sum_{k\geq0}u_k=\lim_n\sum_{k=0}^{n} u_k$\\ $\dsp R_n=S-S_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty} u_k =\lim_p\sum_{k=n+1}^p u_k$ } $$ \end{Dfs} \begin{NBs}\mbox{}\\ % \emph{Étudier une série} $\sum u_n$, c'est d'abord \emph{déterminer sa nature} : convergence ou divergence; puis, étudier le \emph{comportement} de $\suite S$ en cas de divergence, ou déterminer la \emph{valeur exacte} ou \emph{approchée} de la somme et obtenir des renseignements sur la \emph{vitesse de convergence} vers 0 de la suite des restes d'ordre $n$ en cas de convergence. On \emph{ne modifie pas la nature} de la série $\sum u_n$ en changeant un nombre fini de termes : on ajoute une constante à $S_n$ à partir d'un certain rang; par contre, on modifie la somme de cette série en cas de convergence. On peut \emph{supprimer les termes nuls} d'une série sans en modifier ni la nature, ni la somme : $\sum\bigl(1+(-1)^n\bigr)/n$ s'écrit aussi $\sum2/(2p)$. Par contre, regroupement de termes et modification de l'ordre des termes ne peuvent s'effectuer \emph{sans précaution}. \end{NBs} %--------------------------------------------------------------------------- \subsection{Condition NÉCESSAIRE de convergence, divergence grossière} %--------------------------------------------------------------------------- \begin{Prop} Si la série $\sum u_n$ est convergente, la suite $\suite R$ des restes tend vers 0. \end{Prop} \begin{proof} Puisque $S=\lim_n S_n$, $R_n=S-S_n$ tend vers 0. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[Condition NÉCESSAIRE de convergence]\mbox{}\\ % Si la série $\sum u_n$ est convergente, la suite $\suite u$ tend vers 0; la réciproque est FAUSSE. Si la suite $\suite u$ ne converge pas vers 0, la série $\sum u_n$ est divergente. \end{Th} \begin{proof} Pour $n>0$, $u_n = S_n - S_{n-1}\tend S-S=0$.\\ La série $\sum 1/n$ est une série divergente car $S_n=1+1/2+\cdots+1/n \equivalent\ln n$ et donc $S_n\tend +\infty$. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Df}[Divergence grossière]\mbox{}\\ % On dit que la série $\sum u_n$ \emph{diverge grossièrement} si la suite $\suite u$ ne tend pas vers 0. \end{Df} %----------------------------------------------------- \subsection{Convergence des séries à termes complexes} %----------------------------------------------------- \begin{Prop}[Convergence des séries parties réelle et imaginaire]\mbox{}\\ % La série à termes complexes $\sum u_n$ est convergente si, et seulement si, les deux séries à termes réels $\sum\RE(u_n)$ et $\sum\IM(u_n)$ sont convergentes et dans ce cas : \Reponse{$\dsp \sum_{k=0}^{\infty} u_k = \sum_{k=0}^{\infty} \RE(u_k) + i\sum_{k=0}^{\infty} \IM(u_k) $} \end{Prop} \begin{proof} La suite $S_n=\sum_{k=0}^n u_k =\sum_{k=0}^n \RE(u_k) +i\sum_{k=0}^n \IM(u_k)= A_n + iB_n$ converge si, et seulement si, les suites réelles $\suite A$ et $\suite B$ sont convergentes, et dans ce cas $S=\lim_n S_n=\lim_n A_n + i\lim_n B_n$. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- %------------------------------------------------------- \subsection{Critère de Cauchy} %------------------------------------------------------- \begin{Th}[Critère de Cauchy pour une série]\mbox{}\\ % La série $\sum u_n$ est convergente si, et seulement si, \Reponse{ $\dsp \qqs\eps>0,\ \exists N_\eps\in\N,\ \qqs(n,p)\in\N^2,\ n>N_\eps\implique \abs[\Big]{\sum_{k=n}^{n+p} u_k}<\eps $} \end{Th} \begin{proof} La série $\sum u_n$ est convergente si, et seulement si, la suite $\suite S$ de ses sommes partielles est convergente, si, et seulement si, la suite $\suite S$ est une suite de Cauchy, si, et seulement si, $$ \qqs\eps>0,\ \exists N_\eps\in\N,\ \qqs(n,p)\in\N^2,\ n>N_\eps\implique \abs{S_{n+p}-S_{n-1}}<\eps $$ Or, $S_{n+p}-S_{n-1} = \sum_{k=n}^{n+p} u_k$. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- %--------------------------------------------------------- \subsection{Combinaison linéaire de séries convergentes} %--------------------------------------------------------- \begin{Th} Soient $\sum u_n$ et $\sum v_n$ deux séries \emph{convergentes}; alors, pour tout $(\lambda,\mu)\in\K^2$ la série $\sum(\lambda u_n + \mu v_n)$ est convergente et : $$ \sum_{k=0}^{\infty}(\lambda u_k+\mu v_k) = \lambda \sum_{k=0}^{\infty} u_k + \mu\sum_{k=0}^{\infty}v_k $$ Ainsi, l'ensemble des séries convergentes à valeurs dans $\K$ est un $\K$-espace vectoriel et l'application $\sum u_n\mapsto \sum_{k=0}^{\infty} u_k$ est une forme linéaire sur cet espace. \end{Th} % \begin{proof} Soient $\suite S$ et $\suite T$ les suites des sommes partielles des séries $\sum u_n$ et $\sum v_n$; alors : $$ \sum_{k=0}^{n}(\lambda u_k+\mu v_k) = \lambda \sum_{k=0}^{n} u_k + \mu\sum_{k=0}^{n}v_k= \lambda S_n + \mu T_n \tend \lambda S+\mu T $$ ce qui montre que la série $\sum (\lambda u_n + \mu v_n) $ est convergente et que sa somme vaut $\lambda \sum_{k=0}^{\infty} u_k + \mu\sum_{k=0}^{\infty} v_k$. \end{proof} %-------------------------------------------------- \begin{NBs} Si $\lambda\in\C^\prive\{0\}$, les séries $\sum u_n$ et $\sum \lambda u_n$ sont de même nature. Si la série $\serie u$ est convergente, les séries $\serie v$ et $\Serie uv$ sont de même nature; en particulier, si la série $\serie u$ est convergente et la série $\serie v$ est divergente, alors la série $\Serie uv$ est divergente. Si les séries $\serie u$ et $\serie v$ sont divergentes, on ne peut rien affirmer \emph{a priori} quant à la nature de la série $\sum(u_n+v_n)$. \end{NBs} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Les exemples de base} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %----------------------------------------- \subsection{La série géométrique} %----------------------------------------- \begin{Df}[Série géométrique]\mbox{}\\ % C'est la série $\sum q^n$ avec $q\in\C$; $q$ s'appelle la \emph{raison}. \end{Df} \begin{Th}[Nature de la série géométrique]\mbox{}\\ % La série géométrique $\sum q^n$ converge si, et seulement si, le module de la raison est plus petit que 1, et on a : $$ \reponse{ $\dsp \qqs|q|<1,\ \sum_{k=0}^{\infty}q^k = \frac1{1-q} \et R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}q^k = \frac{q^{n+1}}{1-q}$ } $$ \end{Th} % \begin{proof}\mbox{}\\ % Si $\abs{q}\geq 1$, la suite $(q^n)_n$ ne tend pas vers 0 et la série $\sum q^n$ diverge (grossièrement). Si $\abs{q}<1$, la suite $(q^n)_n$ tend vers 0 et : \begin{equation} S_n=\sum_{k=0}^n q^k = 1+q+q^2+\cdots+q^n=\ra{1-q^{n+1}}{1-q}\tend\ra1{1-q} \end{equation} Dans ce cas, la série converge, sa somme $\sum_{k=0}^{\infty}q^k$ vaut $(1-q)^{-1}$ et $R_n=S-S_n= q^{n+1}(1-q)^{-1}$. \end{proof} %-------------------------------------------------------------------- \subsection{Série à destruction de termes ou série télescopique} %-------------------------------------------------------------------- \begin{Df}[Série télescopique]\mbox{}\\ % Ce sont les séries $\sum u_n$ où le terme général $u_n$ peut s'écrire sous la forme \begin{equation} \exists\text{ une suite }\suite v,\ \qqs n\in\N,\ u_n = v_{n+1} - v_{n} \end{equation} \end{Df} \begin{Th}[Convergence et somme d'une série télescopique]\mbox{}\\ % La \emph{série télescopique} $\sum(v_{n+1}-v_n)$ converge si, et seulement si, la \emph{suite} $\suite{v}$ est convergente et, dans ce cas, on a : \begin{equation} \sum_{k=0}^\infty (v_{n+1}-v_n)=\lim v_n -v_0 \end{equation} \end{Th} \begin{proof}\alaligne La somme partielle de rang $n$ $S_n$ se calcule ainsi : \begin{equation} S_n=\sum_{k=0}^n (v_{k+1}-v_k)=v_{n+1}-v_0 \end{equation} La suite $\suite{S}$ converge si, et seulement si, la suite $\suite{v}$ est convergente; dans ce cas, on a \begin{equation} \lim_n S_n=\sum_{k=0}^\infty (v_{k+1}-v_k) =\lim_n v_{n+1}-v_0=\lim_n v_n -v_0 \end{equation} \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Exs}\alaligne La série $\sum\ln\bigl(1+1/(n+1)\bigr)$ : on a $u_n=\ln\bigl(1+1/(n+1)\bigr)=\ln(n+2)-\ln(n+1)=v_{n+1}- v_n$ et $S_n=\sum_{k=0}^n=v_{n+1}-v_0=\ln(n+2)$ tend vers $+\infty$. \begin{center} La série $\dsp\sum\ln(1+\frac1{n+1})$ est divergente \end{center} La série $\sum 1/\bigl(n(n+1)\bigr)$ : on a $u_n =1/\bigl(n(n+1)\bigr)=-1/(n+1)-1/n$ et $S_n=\sum_{k=1}^n u_k = v_{n+1}-v_1 = 1-1/(n+1)$ tend vers 1. \begin{center} La série $\dsp\sum\frac1{n(n+1)}$ est convergente et $\dsp\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k(k+1)} = 1$ \end{center} La série $\sum 1/\bigl(n(n+1)\cdots(n+p)\bigr)$ avec $p\in\N\prive\{0\}$; on pose : \begin{multline} u_n=\frac1{n(n+1)\cdots(n+p)}=\frac1p\frac{n+p-n}{n(n+1)\cdots(n+p)} \\ = \frac1p\frac1{n(n+1)\cdots(n+p-1)}-\frac1p\frac1{(n+1)(n+2)\cdots(n+p)}= v_n-v_{n+1} \end{multline} et $\sum_{k=1}^n u_k = v_1-v_{n+1}\tend v_1$ \Reponse{ $\qqs p\in\N\prive\{0\}$, la série $\dps \sum\frac1{n(n+1)\cdots(n+p)}$ converge et $\dps \sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k(k+1)\cdots(k+p)}= \frac1{p(p!)}$ } \end{Exs} %------------------------------------------------------------------------------- \subsection{La série du logarithme} %------------------------------------------------------------------------------- \Reponse{ $\dsp \qqs x\in\intof{-1}1,\ \ln(1+x) =\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{x^{k+1}}{k+1} =\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}\frac{x^k}k$ \\[1ex] $\dps \qqs x\in\intfo{-1}1,\ \ln\frac1{1-x} =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^{k+1}}{k+1} =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^k}k$ } \begin{proof} Pour tout $x>-1$, $\dps\ln(1+x)=\int_0^x\frac{dt}{1+t}$ et puisque \begin{equation} \frac1{1+t}=\sum_{k=0}^n(-t)^k + \frac{(-t)^{n+1}}{1+t} \end{equation} on obtient : \begin{equation} \begin{split} \ln(1+x) =\int_0^x\left( \sum_{k=0}^n(-t)^k + \frac{(-t)^{n+1}}{1+t} \right)\,\dt &= \sum_{k=0}^n (-1)^k\frac{x^{k+1}}{k+1}+ \int_0^x\frac{(-t)^{n+1}}{1+t} \,\dt \\ &=\text{ somme partielle } + \text{ reste} \end{split} \end{equation} En utilisant le changement de variable $t=xu$ pour $x\neq0$, on a \begin{equation} \int_0^x\frac{(-t)^{n+1}}{1+t} \,\dt= \int_0^1\frac{(-xu)^{n+1}}{1+xu} x\,\dt[u]= (-1)^{n+1}x^{n+2} \int_0^1\frac{u^{n+1}}{1+xu} \,\dt[u] \end{equation} et \begin{equation*} \int_0^1\frac{u^{n+1}}{1+xu} \,\dt[u] = \begin{cases} \dsp\int_0^1\frac{u^{n+1}}{1-\abs{x}u} \,\dt[u]\leq\int_0^1\frac{u^{n+1}}{1-\abs{x}} \,\dt[u] =\frac1{(1-\abs{x})}\frac1{(n+2)} & \text{ si $x\in\into{-1}0$} \\[1ex] \dsp\int_0^1\frac{u^{n+1}}{1+\abs{x}u} \,\dt[u]\leq\int_0^1\frac{u^{n+1}}{1+x} \,\dt[u] =\frac1{(1+x)}\frac1{(n+2)} & \text{ si $x>0$} \end{cases} \end{equation*} Ainsi \begin{equation*} \begin{split} \left| \ln(1+x) - \sum_{k=0}^n (-1)^k\ra{x^{k+1}}{k+1}\right| &=\abs{x}^{n+2}\int_0^1\ra{u^{n+1}}{1+xu}\,\dt[u] \leq\int_0^1\ra{u^{n+1}}{1+xu}\,\dt[u] \text{ si $x\in\intof{-1}1$} \\ &\leq \begin{cases} \dsp\ra1{(1-\abs{x})}\ra1{(n+2)}\tend0 & \text{si $x\in\intof{-1}0$} \\ \dsp\ra1{n+2}\tend0 & \text{si $x\in\intf01$} \end{cases} \end{split} \end{equation*} \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{NB} La série $\sum x^n/n$ diverge grossièrement pour $\abs{x}>1$ et pour $x=1$ (série harmonique). \end{NB} %---------------------------------------------------------------------- \subsection{La série de l'arctangente} %---------------------------------------------------------------------- \Reponse{ $\dsp \qqs x\in\intf{-1}1,\ \arctan x = \sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{2k+1} $} \begin{proof} On utilise l'égalité valable pour $x\in\R$ : \begin{equation} \begin{split} \arctan x &=\int_0^x\frac{dt}{1+t^2}= \int_0^x\left( \sum_{k=0}^n (-t^2)^k + \frac{(-t^2)^{n+1}}{1+t^2} \right)\,\dt \\ &=\sum_{k=0}^n(-1)^k\ra{x^{2k+1}}{2k+1} + (-1)^{n+1}\int_0^x\ra{t^{2n+2}}{1+t^2}\,\dt \\ &=\text{somme partielle }+\text{ reste} \end{split} \end{equation} et la majoration du reste pour $\abs{x}\leq 1$ : \begin{equation} \begin{split} \left| \int_0^x\ra{t^{2n+2}}{1+t^2} \right| &=\left| \int_0^1\ra{(xu)^{2n+2}}{1+(xu)^2}\,x\,\dt[u] \right| =\abs{x}^{2n+3}\int_0^1\ra{u^{2n+2}}{1+x^2u^2}\,\dt[u] \\ &\leq\abs{x}^{2n+3}\int_0^1u^{2n+2}\,\dt[u]=\ra{\abs{x}^{2n+3}}{2n+3} \leq\ra1{2n+3} \end{split} \end{equation} \end{proof} %------------------------------------------------------------------------------- \subsection{La série de l'exponentielle} %------------------------------------------------------------------------------- \Reponse{ $\dps \qqs z\in\C,\ \exp z=1+\sum_{k=1}^\infty \frac{z^k}{k!}$ \\[1ex] $\dps \cos z=1+\sum_{k=1}^\infty (-1)^k\frac{z^{2k}}{(2k)!},\qquad \sin z=\sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{z^{2k+1}}{(2k+1)!}$ \\[1ex] $\dsp \ch z=1+\sum_{k=1}^\infty \frac{z^{2k}}{(2k)!},\qquad \sh z=\sum_{k=0}^\infty \frac{z^{2k+1}}{(2k+1)!}$ } \begin{proof} Utilisation de l'inégalité de Taylor à l'ordre $n+1$ : soit $I$ un intervalle de~$\R$, $f$ une application à valeurs complexes de classe $\mathcal{C}^{n+1}$ sur $I$, $M_{n+1}$ un majorant de la dérivée d'ordre $n+1$ sur $I$, soit $\qqs t\in I$, $\abs[\big]{f^{(n+1)}(t)}\leq M_{n+1}$ (attention, un tel majorant n'existe pas toujours); alors : \begin{equation} \qqs(a,b)\in I^2,\ \abs[\Big]{f(b)-f(a)-\sum_{k=1}^n\ra{(b-a)^k}{k!}f^{(k)}(a)} \leq M_{n+1}\ra{\abs{b-a}^{n+1}}{(n+1)!} \end{equation} On applique l'inégalité de Taylor à $I=\intf01$ et $f:t\mapsto\exp(zt)$, application de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\R$. Le calcul de la dérivée d'ordre $k$ donne : \begin{gather} \qqs k\in\N,\ \qqs t\in\R,\ f^{(k)}(t)=z^k\exp(zt) \et f^{(k)}(0)=z^k\exp(zt)|_{t=0}=z^k \\ \qqs t\in\intf01,\ \abs[\big]{f^{(n+1)}(t)}=\abs{z}^{n+1}\abs[\big]{\exp(zt)} =\abs{z}^{n+1}e^{(\RE z)t} \leq|z|^{n+1}e^{|\RE z|}=M_{n+1} \end{gather} Ainsi : \begin{equation} \abs[\Big]{\exp(z)-1-\sum_{k=1}^n \ra{(1-0)^k}{k!}z^k} = \abs[\Big]{\exp(z)-1-\sum_{k=1}^n \ra{z^k}{k!}}\leq e^{|\RE z|}\ra{|z|^{n+1}}{(n+1)!}\tend 0 \end{equation} Les développements de $\sin$, $\cos$, $\sh$ et $\ch$ s'en déduisent par combinaison linéaire : \begin{gather} \begin{split} \sh z=\ra{\exp z - \exp(-z)}2 &=\ra12\biggl(\sum_{k=0}^{\infty} \ra{z^k}{k!}- \sum_{k=0}^{\infty} \ra{(-z)^k}{k!}\biggr) \\ &=\sum_{k=0}^{\infty} \ra{1-(-1)^k}2 \ra{z^k}{k!}= \sum_{p=0}^\infty \ra{z^{2p+1}}{(2p+1)!} \end{split} \\ \begin{split} \cos z=\ra{\exp iz + \exp(-iz)}2 &=\ra12\biggl(\sum_{k=0}^{\infty} \ra{(iz)^k}{k!}+ \sum_{k=0}^{\infty} \ra{(-iz)^k}{k!}\biggr) \\ &=\sum_{k=0}^{\infty} i^k\ra{1+(-1)^k}2 \ra{z^k}{k!}= \sum_{p=0}^\infty (-1)^p\ra{z^{2p}}{(2p)!} \end{split} \end{gather} \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \subsection{La série du binôme} %---------------------------------------------------------------------- \Reponse{ $\dsp \qqs\alpha\in\R\setminus\N,\ \qqs x\in\into{-1}1,\ (1+x)^\alpha = 1 + \sum_{k=1}^{\infty}\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha -k+1)\frac{x^k}{k!}$ } \begin{proof} Rappelons la formule de Taylor à l'ordre $n+1$ avec reste intégral : soit $I$ un intervalle de $\R$, $f$ une application à valeurs complexes de classe $\mathcal{C}^{n+1}$ sur $I$ ; alors pour tout $a$ et tout $b$ dans~$I$ : \begin{equation} \begin{split} f(b) &=f(a)+\sum_{k=1}^n\ra{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k+ \int_a^b\ra{(b-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)\,\dt \\ &= f(a)+\sum_{k=1}^n\ra{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k+ \ra{(b-a)^{n+1}}{n!}\int_0^1 (1-u)^n f^{(n+1)}\bigl(a+(b-a)u\bigr)\,\dt[u] \end{split} \end{equation} la seconde égalité s'obtenant à l'aide du changement de variable $t=a+(b-a)u$.\\ Pour $b=x$ et $a=0$, on obtient : \begin{equation} f(x)= f(0)+\sum_{k=1}^n\ra{f^{(k)}(0)}{k!}x^k+ \ra{x^{n+1}}{n!}\int_0^1 (1-u)^n f^{(n+1)}(xu)\,\dt[u] \label{eq\string:t1} \end{equation} % On applique (\ref{eq\string:t1}) à la fonction $f : x\mapsto (1+x)^\alpha=e^{\alpha\ln(1+x)}$ de classe $\mathcal{C}^\infty$ sur $\into{-1}{+\infty}$; par dérivation : \begin{gather} f^{(k)}(x) = \alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)(1+x)^{\alpha-k} \\ f^{(k)}(0) = \alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1) \end{gather} % Utilisant la décroissance de $u\in\intf01\mapsto \dra{1-u}{1+xu}$ pour $x>-1$ fixé, le reste intégral se majore à l'aide de : % \begin{equation} \begin{split} 0\leq\int_0^1 (1-u)^n(1+xu)^{\alpha-n-1}\,\dt[u] &=\int_0^1 \left(\ra{1-u}{1+xu}\right)^n(1+xu)^{\alpha-1}\,\dt[u] \\ &\leq\int_0^1 (1+xu)^{\alpha-1}\,\dt[u] \end{split} \end{equation} On peut donc écrire : \begin{equation} \begin{split} \abs[\Big]{ (1+x)^\alpha - 1 - & \sum_{k=1}^n\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha -k+1)\frac{x^k}{k!}} \\ &=\abs[\Big]{\frac{x^{n+1}}{n!} \int_0^1 (1-u)^n \alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha -n)(1+xu)^{\alpha-n-1}\,\dt[u]} \\ &\leq \abs[\big]{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha -n)}\frac{|x|^{n+1}}{n!} \int_0^1 (1+xu)^{\alpha-1}\,\dt[u]=u_n \end{split} \end{equation} % Or $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{|\alpha-n-1|}{n+1}|x|\tend |x|$, ce qui montre que $u_n$ tend vers 0 pour tout $x\in\into{-1}1$. \end{proof} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Les séries à termes positifs} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %------------------------------------------------------------------------------- \subsection{La situation} %------------------------------------------------------------------------------- \begin{Df}[Série à termes positifs]\mbox{}\\ % On dit que $\serie u$ est une série à \emph{termes positifs} si, et seulement si, $u_n\geq0$ pour tout $n\in \N$. \end{Df} La modification d'un nombre fini des termes d'une série et la multiplication par $-1$ ne modifient pas la nature d'une série, mais modifient la somme de cette série. C'est pourquoi, tous les théorèmes de ce paragraphe qui concernent la nature d'une série à termes positifs sont encore valables pour les séries de signe constant à partir d'un certain rang. \begin{Prop}[Monotonie de la suite des sommes partielles]\mbox{}\\ % Si la série $\serie u$ est à termes positifs, la suite $\suite S$ de ses sommes partielles est une suite monotone croissante. \end{Prop} \begin{proof} Pour tout $n$, $S_{n+1}-S_{n}=u_{n+1}\geq 0$. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- %-------------------------------------------------------------------- \subsection{Le théorème fondamental} %-------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[Caractérisation de la convergence d'une série à termes positifs]\mbox{}\\ % Soit $\serie u$ une série à ter\-mes positifs; la série $\serie u$ est convergente si, et seulement si, la suite $\suite S$ est majorée et dans ce cas $$ \sum_{k=0}^{\infty} u_k=\lim_n S_n = \sup_n S_n $$ Sinon, la série $\serie u$ est divergente et la suite $\suite S$ diverge vers $+\infty$. \end{Th} % \begin{proof} La suite $\suite S$ est croissante et donc la suite $\suite S$ converge si, et seulement si, elle est majorée; dans ce cas, la limite de $\suite S$ est la borne supérieure de ses éléments. Si la suite $\suite S$ n'est pas majorée, elle diverge vers $+\infty$ puisqu'elle est croissante. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- %-------------------------------------------------------------------- \subsection{Série majorante, série minorante} %-------------------------------------------------------------------- \begin{Dfs}[Série majorante, série minorante]\mbox{}\\ % On dit que la série $\serie v$ est une \emph{série majorante} de la série~$\serie u$ si, et seulement si, $\serie v$ est une série à termes positifs qui vérifient $$ \qqs n\in\N,\ u_n \leq v_n; $$ On dit que la série $\serie v$ est une \emph{série minorante} de la série $\serie u$ si, et seulement si, $\serie v$ est une série à termes positifs qui vérifient $$ \qqs n\in\N,\ 0\leq v_n \leq u_n; $$ \end{Dfs} \begin{Th}[Critère de comparaison]\mbox{}\\ % Soient $\sum u_n$ et $\sum v_n$ deux séries à termes \emph{positifs}. \begin{prop} \item Si $\serie v$ est une série \emph{majorante convergente} de la série $\serie u$, alors la série $\serie u$ converge et $$ \qqs n\in\N,\ 0\leq\ \sum_{k=n}^{+\infty} u_k\leq \sum_{k=n}^{+\infty} v_k $$ \item si $\serie v$ est une série minorante divergente de $\serie u$, alors la série $\serie u$ diverge. \end{prop} \end{Th} $$ \reponse{ $\left. \begin{array}{l} \qqs n\in\N,\ 0\leq u_n\leq v_n\\ \text{$\sum v_n$ convergente} \end{array} \right\} \implique \left\{ \begin{array}{l} \text{$\sum u_n$ convergente }\\ \dps\qqs n\in\N,\ 0\leq\ \sum_{k=n}^{+\infty} u_k\leq \sum_{k=n}^{+\infty} v_k \end{array} \right.$ } $$ % \begin{proof} Des inégalités \begin{equation} S_n=\sum_{k=0}^n u_k\leq \sum_{k=0}^n v_k=T_n\leq \lim_n T_n = \sum_{k=0}^{\infty} v_k \end{equation} on tire que la suite $\suite S$ est une suite majorée par $T$; elle converge puisqu'elle est croissante et sa limite $S$ est majorée par $T$, soit : $$ S=\sum_{k=0}^{\infty} u_k\leq T = \sum_{k=0}^{\infty} v_k $$ Par passage à la limite sur $p$ dans les inégalités $\sum_{k=n}^{n+p} u_k\leq \sum_{k=n}^{n+p} v_k$, on obtient que $\sum_{k=n}^{+\infty} u_k\leq \sum_{k=n}^{+\infty} v_k$. Si la série $\serie v$ est divergente, la suite $\suite T$ diverge vers $+\infty$ et l'inégalité $T_n\leq S_n$ montre le résultat. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{NBs}\mbox{}\\ % Pour montrer la convergence d'une série à termes positifs, on recherche une série \emph{majorante convergente}. Pour montrer la divergence d'une série à termes positifs, on recherche une série \emph{minorante divergente}. \end{NBs} \begin{Prop} Soient $\serie u$ et $\serie v$ deux séries \emph{convergentes} à termes réels; alors : $$ \qqs n\in\N,\ u_n\leq v_n \implique \sum_{k=0}^{\infty} u_k\leq \sum_{k=0}^{\infty} v_k\et \qqs n\in\N,\ \sum_{k=n}^{+\infty} u_k\leq \sum_{k=n}^{+\infty} v_k $$ \end{Prop} \begin{proof} La série $\sum (v_n - u_n )$ est une série convergente à termes positifs et l'inégalité $0\leq \sum_{k=0}^{\infty} (v_k-u_k)= \sum_{k=0}^{\infty} v_k- \sum_{k=0}^{\infty} u_k$ donne le résultat. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Prop}[Utilisation de O]\mbox{}\\ % Considérons deux séries à termes positifs $\serie u$ et $\serie v$ telles que $u_n=\OO{v_n}$; alors : \begin{prop} \item si $\serie v$ converge, alors $\serie u$ est une série convergente; \item si $\serie u$ diverge, alors $\serie v$ est une série divergente. \end{prop} \end{Prop} % \begin{proof} Il existe $M>0$ tel que $0 \leq u_n \leq M v_n$ à partir d'un certain rang, ce qui montre que $\sum Mv_n$ est une série majorante de $\sum u_n$ et que $\sum \ra1M u_n$ est une série minorante de $\sum v_n$. \end{proof} %-------------------------------------------------------------------- \subsection{Règle des équivalents} %-------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[Règle des équivalents]\mbox{}\\ % Soient $\serie u$ une série à termes positifs et $\serie v$ une série à termes réels; alors \Reponse{ $\dps u_n\equivalent v_n\implique \text{ les séries $\serie u$ et $\serie v$ sont de même nature.}$ } \end{Th} \begin{proof} Puisque $u_n\equivalent v_n$, il existe une suite $\suite\eps$ de limite nulle, telle que $v_n = (1+\eps_n)u_n$. À partir d'un rang $N$, on a $-\ra12<\eps_n<\ra12$ soit $\ra12<1+\eps_n<\ra32$, et donc : $$ \qqs n\geq N,\ 0\leq\ra12 u_n\leq (1+\eps_n)u_n=v_n\leq\ra32 u_n $$ Ainsi, à partir du rang $N$, $\suite v$ est une suite à termes positifs, $\sum \ra32 u_n$ est une série majorante de $\serie v$, et $\sum\ra12 u_n$ est une série minorante de $\serie v$. on en conclut que la convergence de $\serie u$ implique la convergence de $\serie v$ et la divergence de $\serie u$ implique la divergence de $\serie v$. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- %-------------------------------------------------------------------- \subsection{Comparaison logarithmique, règle de D'Alembert} %-------------------------------------------------------------------- \begin{Prop}[Comparaison logarithmique]\mbox{}\\ % Considérons deux séries à termes strictement positifs $\serie u$ et $\serie v$ telles que $\dsp\ra{u_{n+1}}{u_n} \leq \ra{v_{n+1}}{v_n}$ à partir d'un certain rang; alors : \begin{prop} \item la convergence de $\serie v$ implique la convergence de $\sum u_n$; \item la divergence de $\sum u_n$ implique la divergence de $\sum v_n$. \end{prop} \end{Prop} \begin{proof} La suite $(u_n/v_n)_n$ est décroissante à partir d'un certain rang $N$, ce qui donne les inégalités $$ \qqs n\geq N,\ 0<u_n\leq\ra{u_N}{v_N}v_n \et 0<\ra{v_N}{u_N}u_n\leq v_n $$ La règle de comparaison donne le résultat. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[Règle de D'Alembert]\mbox{}\\ % Soit $\sum u_n$ une série à termes strictement positifs tels que $\ell = \lim_n u_{n+1}/u_n$ existe dans $\overline{\R_+}=\intf0{+\infty}$; \begin{prop} \item si $\ell<1$, la série $\sum u_n$ converge; \item si $\ell>1$, $u_n$ tend vers $+\infty$ et la série $\sum u_n$ diverge (grossièrement); \item si $\ell=1$, on ne peut conclure. \end{prop} \end{Th} \begin{proof}\alaligne\\ % $\boxed{\ell<1}$ Soit $q\in\into\ell1$; alors $u_n=\OO{q^n}$ et la série $\sum u_n$ converge.\\ % $\boxed{\ell>1}$ Soit $q\in\into1\ell$; alors $q^n=\OO{u_n}$ et $u_n\tend +\infty$, ce qui montre que la série $\sum u_n$ diverge grossièrement.\\ % $\boxed{\ell=1}$ La série $\sum 1/n$ est divergente et la série $\sum 1/\bigl(n(n+1)\bigr)$ est convergente alors que $u_{n+1}/u_n$ tend vers 1 dans les deux cas. \end{proof} %-------------------------------------------------------------------- \subsection{Comparaison à une série de Riemann} %-------------------------------------------------------------------- \begin{Df}[Série de Riemann]\mbox{}\\ % Les séries de Riemann sont les séries $\sum n^{-\alpha}$ où $\alpha$ est un nombre réel. \end{Df} \begin{Th}[Nature des séries de Riemann] La série $\sum n^{-\alpha}$ converge si, et seulement si, $\alpha>1$; si $\alpha\leq 0$, la série $\sum n^{-\alpha}$ diverge (grossièrement). \end{Th} \begin{proof}\mbox{}\\ % $\boxed{\alpha\leq 0}$ La suite $(n^{-\alpha})_n$ ne tend pas vers 0; ainsi, la série $\sum n^{-\alpha}$ diverge (grossièrement).\\ % $\boxed{\alpha>0}$ La fonction $f : t\in\into0{+\infty}\mapsto t^{-\alpha}$ est décroissante ce qui entraîne les inégalités : \begin{equation} \qqs k\geq 1,\ \ra1{k^\alpha}\leq\int_k^{k+1}\ra1{t^\alpha}\,\dt \et \qqs k\geq 2,\ \ra1{k^\alpha}\geq\int_{k-1}^{k}\ra1{t^\alpha}\,\dt \end{equation} Par sommation, on a : \begin{equation} \int_1^{n+1} \ra1{t^\alpha}\,\dt \leq \sum_{k=1}^n\ra1{k^\alpha} \leq 1+\int_1^n \ra1{t^\alpha}\,\dt \label{eq\string:r1} \end{equation} % Pour $\alpha<1$, l'inéquation (\ref{eq\string:r1}) s'écrit : \begin{equation} \ra{(n+1)^{1-\alpha}-1}{1-\alpha}\leq\ \sum_{k=1}^n \ra1{k^\alpha} \leq 1+\ra{n^{1-\alpha}-1}{1-\alpha} \end{equation} % Puisque $(n+1)^{1-\alpha}$ tend vers $+\infty$, $\sum_{k=1}^n k^{-\alpha}$ tend vers $+\infty$, la série $\sum n^{-\alpha}$ est divergente et $\dsp\sum_{k=1}^n \ra1{k^\alpha}\equivalent \ra{n^{1-\alpha}}{1-\alpha}$.\\ % Pour $\alpha = 1$, l'inéquation (\ref{eq\string:r1}) devient : \begin{equation} \ln(n+1)\leq\ \sum_{k=1}^n \ra1k \leq 1+\ln n \end{equation} la somme partielle $\sum_{k=1}^n k^{-1}$ tend vers $+\infty$, la série $\sum 1/n$ est divergente et $\sum_{k=1}^n 1/k\equivalent \ln n$.\\ % Pour $\alpha>1$, l'inéquation (\ref{eq\string:r1}) s'écrit : \begin{equation} \ra{1-(n+1)^{-(\alpha-1)}}{\alpha-1} \leq\ \sum_{k=1}^n \ra1{k^\alpha} \leq 1+\ra{1-n^{-(\alpha-1)}}{\alpha-1} \leq 1 + \ra1{\alpha-1} \end{equation} Puisque la suite des sommes des partielles est bornée, la série $\sum n^{-\alpha}$ est convergente. \end{proof} \begin{NB} Le critère de D'Alembert ne permet pas de donner la nature des séries de Riemann car $u_{n+1}/u_n=n^\alpha/(n+1)^\alpha$ a pour limite 1 pour tout $\alpha\in\R$. \end{NB} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Série absolument convergente} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Voici arrivée l'étude des séries à termes complexes ou à termes réels qui ne sont pas de signe constant, par exemple $\sum n^{-2}\exp(in)$, $\sum (-1)^n n^{-2/3}$ \dots %------------------------------------------------------------------------------- \subsection{L'absolue convergence, qu'est-ce?} %------------------------------------------------------------------------------- \begin{Df}[Série absolument convergente]\mbox{}\\ % La série $\sum u_n$ est dite \emph{absolument convergente} si, et seulement si, la série $\sum \abs{u_n}$ est convergente. \end{Df} \begin{Th}[Convergence des séries absolument convergentes]\mbox{}\\ % Toute série absolument convergente est convergente et on a la majoration : \Reponse{ $\dps \qqs n\in\N,\ \abs[\bigg]{\sum_{k=n}^{+\infty} u_k} \leq \sum_{k=n}^{+\infty} |u_k| $} La réciproque est fausse. \end{Th} % \begin{proof} La convergence de $\sum u_n$ se montre en utilisant le critère de Cauchy pour les séries : \begin{equation} \qqs (n,p)\in\N^2,\ \abs[\bigg]{\sum_{k=n}^{n+p} u_k} \leq \sum_{k=n}^{n+p} |u_k| \leq \eps \text{ pour $n\geq N_\eps$} \end{equation} car la série $\sum |u_n|$ est convergente et vérifie le critère de Cauchy; la série $\sum u_n$ converge donc. En passant à la limite sur $p$ dans l'inégalité $\left| \sum_{k=n}^{n+p} u_k \right| \leq \sum_{k=n}^{n+p} |u_k|$, on obtient, puisque les deux limites \textbf{existent}, l'inégalité demandée. La série $\sum(-1)^n/(n+1)$ converge (sa somme vaut $\ln 2$) et la série des valeurs absolues $\sum 1/(n+1)$ est divergente. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- %---------------------------------------------------------------------- \subsection{Utilisation de O et o} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[Utilisation de O]\mbox{}\\ % Soient $\sum u_n$ et $\sum v_n$ deux séries à termes complexes. Si $u_n=\OO{v_n}$ et si $\sum v_n$ est une série \emph{absolument} convergente, alors $\sum u_n$ est une série absolument convergente. \end{Th} % \begin{proof} Puisque $u_n=\OO{v_n}$, il existe $M>0$ et $N\in\N$ tels que pour tout $n>N$, $\abs{u_n}\leq M\abs{v_n}$. La convergence de $\sum M\abs{v_n}$ implique, par le théorème de comparaison, la convergence de la série $\sum\abs{u_n}$. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{Cor}[Utilisation de o]\mbox{}\\ % Soient $\sum u_n$ et $\sum v_n$ deux séries à termes complexes. Si $u_n=\oo{v_n}$ et si $\sum v_n$ est une série absolument convergente, alors $\sum u_n$ est une série absolument convergente. \end{Cor} %------------------------------------------------------------------------------- \subsection{Règle des équivalents} %------------------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[Règle des équivalents]\mbox{}\\ % Soient $\sum u_n$ et $\sum v_n$ deux séries à termes complexes. Si $u_n\equivalent{v_n}$ et si $\sum v_n$ est une série \emph{absolument} convergente, alors $\sum u_n$ est une série absolument convergente. \end{Th} % \begin{proof} Puisque $u_n\equivalent{v_n}$, $|u_n|\equivalent|v_n|$ et la règle des équivalents pour les séries à termes positifs permet de conclure. \end{proof} %---------------------------------------------------------------------- \begin{NB} La règle des équivalents est \textbf{fausse} si on suppose seulement la convergence de la série $\sum u_n$ sans en supposer l'absolue convergence. \end{NB} %------------------------------------------------------------------------------- \subsection{Règle de D'Alembert} %------------------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[Règle de D'Alembert]\mbox{}\\ % Soit $\sum u_n$ une série à termes complexes non nuls tels que $\ell = \lim_n \abs{u_{n+1}/u_n}$ existe dans $\overline{\R_+}=\intf0{+\infty}$; \begin{prop} \item si $\ell<1$, la série $\sum u_n$ est absolument convergente; \item si $\ell>1$, $|u_n|$ tend vers $+\infty$ et la série $\sum u_n$ diverge grossièrement; \item si $\ell=1$, on ne peut conclure. \end{prop} \end{Th} \begin{proof} Voir les séries à termes positifs. \end{proof} %------------------------------------------------------------------------------- \subsection{Produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes} %------------------------------------------------------------------------------- \begin{Df}[Produit de convolution, ou de Cauchy, de deux séries]\mbox{}\\ % On appelle \emph{produit de convolution} ou \emph{produit de Cauchy} des séries $\sum u_n$ et $\sum v_n$, la série $\sum w_n$ où l'on a posé : $$ w_n = \sum_{p+q=n} u_p v_q = \sum_{p=0}^n u_p v_{n-p} = \sum_{q=0}^n u_{n-q} v_q $$ \end{Df} \begin{Th}[Produit de convolution de deux séries absolument convergentes]\mbox{}\\ % Le produit de convolution $\sum w_n$ des deux séries absolument convergentes $\sum u_p$ et $\sum v_q$ est une série absolument convergente et on a : \Reponse{ $\dps \sum_{n=0}^\infty w_n =\sum_{n=0}^\infty \biggl(\, \sum_{p+q=n} u_p v_q \biggr) =\sum_{n=0}^\infty \biggl(\, \sum_{q=0}^n u_{n-q} v_q \biggr) = \biggl(\sum_{p=0}^\infty u_p \biggr) \biggl(\sum_{q=0}^\infty v_q\biggr) $} \end{Th} % \begin{proof} On pose : \begin{itemize} \item[$\bullet$] $U_n=\sum_{k=0}^n u_k$, $V_n = \sum_{k=0}^n v_k$, et $W_n = \sum_{k=0}^n w_k$; \item[$\bullet$] $U=\sum_{k=0}^\infty u_k$, $V = \sum_{k=0}^\infty v_k$ et $W = \sum_{k=0}^\infty w_k$; \item[$\bullet$] $D_n=\ens{(p,q)\in\N^2}{0\leq p \leq n \et 0\leq q \leq n}$ et $E_n=\ens{(p,q)\in\N^2}{p+q\leq n}$. \end{itemize} % On peut donc écrire : \begin{gather} W_n = \sum_{k=0}^n\biggl(\,\sum_{p+q=k} u_p v_q \biggr) =\sum_{(p,q)\in E_n}u_p v_q \\ U_n V_n = \biggl(\sum_{p=0}^n u_p \biggr) \biggl(\sum_{q=0}^n v_q \biggr) = \sum_{(p,q)\in D_n} u_p v_q \end{gather} \emph{Cas des séries à termes positifs}. Les inclusions $D_n\subset E_n\subset D_{2n}$ et la positivité des $u_k$ et $v_k$, montrent que : \begin{equation} \sum_{(p,q)\in D_n} u_p v_q \leq \sum_{(p,q)\in E_n} u_p v_q \leq \sum_{(p,q)\in D_{2n}} u_p v_q \end{equation} ce qui donne les inégalités : $U_nV_n\leq W_n\leq U_{2n}V_{2n}$, et, par encadrement, on obtient $W=UV$. \emph{Cas général}. On applique le résultat précédent aux séries $\sum|u_p|$ et $\sum|v_q|$, ce qui montre la convergence de la série de terme général $\sum_{p+q=n} |u_p\,|v_q|$, donc la convergence absolue de la série $\sum w_n$ puisque $|w_n|=|\sum_{p+q=n}u_p v_q|\leq\sum_{p+q=n}|u_p|\,|v_q|$.\\ La démonstration précédente montre aussi que : $$ \sum_{n=0}^\infty \biggl(\sum_{p+q=n}|u_p|\,|v_q|\biggr)=\biggl(\sum_{p=0}^\infty |u_p|\biggr) \biggl(\sum_{q=0}^\infty |v_q|\biggr) $$ Pour $n\in\N$, on a : \begin{equation} \begin{split} \abs[\big]{U_n V_n - W_n} &=\biggl|\sum_{(p,q)\in D_n\setminus E_n}u_p v_q\biggr| \\ &\leq\sum_{(p,q)\in D_n\setminus E_n}|u_p|\,|v_q| \\ &= \sum_{k=0}^n\sum_{p+q=n} |u_p|\,|v_q| - \sum_{p=0}^n |u_p| \sum_{q=0}^n |v_q| \tend 0 \end{split} \end{equation} \end{proof} \begin{Df}[La fonction exponentielle]\mbox{}\\ % Pour $z\in\C$, on pose : $$ \shadowbox{ \begin{Bcenter} $\dps \exp z = 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n!}=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!} $ \end{Bcenter} } $$ \end{Df} \begin{Th}[Égalité fonctionnelle de l'exponentielle]\mbox{}\\ % La fonction exponentielle est définie sur $\C$ et : $$ \shadowbox{ \begin{Bcenter} $\dps \qqs (a,b)\in\C^2,\ \exp(a+b) = \exp a \times \exp b $ \end{Bcenter} } $$ \end{Th} % \begin{proof} Le critère de D'Alembert montre que la série $\sum \frac{z^n}{n!}$ est absolument convergente pour tout $z\in\C$, et : \begin{equation} \begin{split} w_n &=\sum_{p+q=n}\frac{a^p}{p!}\frac{b^q}{q!}= \frac1{n!}\sum_{p+q=n}\frac{n!}{p!q!}a^pb^q \\ &=\frac1{n!}\sum_{p+q=n}\comb np a^pb^q =\frac1{n!} (a+b)^n \end{split} \end{equation} ce qui donne le résultat demandé à l'aide du produit de convolution. \end{proof} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Série alternée} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %------------------------------------------------------------------------------- \subsection{L'alternance, qu'est-ce?} %------------------------------------------------------------------------------- \begin{Df}[Série alternée]\mbox{}\\ % Une série à termes réels $\sum u_n$ est une \emph{série alternée} si, et seulement si, son terme général vérifie : $$ \qqs n\in\N,\ u_n=(-1)^n|u_n|\ \text{ ou } \ \qqs n\in \N,\ u_n=(-1)^{n+1}|u_n| $$ \end{Df} \begin{Ex} $\sum (-1)^n n^{-\alpha}$ est une série alternée, et $\sum (\cos n) n^{-\alpha}$ n'en est pas une. \end{Ex} %------------------------------------------------------------------------------- \subsection{Critère spécial de convergence} %------------------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[Critère spécial des séries alternées]\mbox{}\\ % Soit $\sum u_n$ une série alternée telle que la suite $(|u_n|)_n$ converge vers 0 en \textbf{décroissant}; alors, \begin{prop} \item la série $\sum u_n$ converge; \item $\qqs n\in\N,\ |\sum_{k\geq n} u_k|\leq |u_n|$ et $\sum_{k\geq n} u_k$ est du signe de $u_n$. \end{prop} \end{Th} % \begin{proof} On suppose que $u_n=(-1)^n|u_n|$, l'autre cas se traite de la même manière. Posons $S_n=\sum_{k=0}^n u_k$; pour tout $p\in\N$, on peut écrire : \begin{gather} S_{2p+2}-S_{2p}=u_{2p+2}+u_{2p+1}=|u_{2p+2}|-|u_{2p+1}|\leq 0 \\ S_{2p+3}-S_{2p+1}=u_{2p+3}+u_{2p+2}=-|u_{2p+3}|+|u_{2p+2}|\geq 0 \\ S_{2p+1}-S_{2p}=u_{2p+1}=-|u_{2p+1}|\tend[p] 0 \end{gather} Les suites $(S_{2p})_p$ et $(S_{2p+1})_p$ sont adjacentes; elles convergent vers la même limite, ce qui montre que la suite $(S_n)_n$ est convergente, et on a l'encadrement suivant quitte à poser $S_{-1}=0$ : \begin{equation} \qqs p\in\N,\ S_{2p-1}\leq S_{2p+1}\leq S=\sum_{k=0}^\infty u_k\leq S_{2p} \end{equation} ce qui donne : \begin{gather} 0\leq \sum_{k=0}^\infty u_k - S_{2p-1}=\sum_{k=2n}^\infty u_k\leq S_{2p}-S_{2p-1} =u_{2p} = |u_{2p}| \\ S_{2p+1}-S_{2p}=u_{2p+1}=-|u_{2p+1}|\leq \sum_{k=0}^\infty u_k -S_{2p}= \sum_{k=2p+1}^\infty u_k\leq 0 \end{gather} \end{proof} %------------------------------------------------------------------------------- \subsection{Les séries alternées de Riemann} %------------------------------------------------------------------------------- \begin{Th}[Nature des séries alternées de Riemann]\mbox{}\\ % La série $\sum (-1)^n n^{-\alpha}$ diverge (grossièrement) pour $\alpha\leq0$ et converge pour $\alpha>0$. \end{Th} \begin{proof} Application immédiate du critère spécial des séries alternées. \end{proof} \begin{NB} On suppose que $u_n=(-1)^n n^{-\alpha} + v_n + \oo{v_n}$ pour un $\alpha>0$. \begin{prop} \item Si la série $\sum v_n$ est à termes positifs, les séries $\sum u_n$ et $\sum v_n$ sont de même nature car la série $\sum (-1)^n n^{-\alpha}$ est convergente et $$ u_n-\frac{(-1)^n}{n^{\alpha}}=v_n +\oo{v_n}\equivalent v_n\geq 0 $$ \item Si la série $\sum v_n$ est absolument convergente, la série $\sum u_n$ est convergente, car $|v_n+\oo{v_n}|\equivalent |v_n|$ montre que la série $\sum(v_n+\oo{v_n})$ est absolument convergente et $\sum u_n$ est une combinaison linéaire de séries convergentes. \end{prop} \end{NB} \begin{Ex} Pour $\alpha>0$ et $n>1$, on pose $u_n=\ln\bigl(1+(-1)^n n^{-\alpha}\bigr)$. \begin{prop} \item Si $\alpha>1$, la série $\sum u_n$ est absolument convergente puisque $u_n\equivalent(-1)^n n^{-\alpha}$. \item Si $0<\alpha\leq 1$, un développement limité à la précision $n^{-2\alpha}$ donne $$ u_n=\frac{(-1)^n}{n^\alpha}-\frac12\frac1{n^{2\alpha}}+\oo[\bigg]{\frac1{n^{2\alpha}}} $$ \end{prop} ce qui montre que $u_n-(-1)^n n^{-\alpha}\equivalent-\frac12 n^{-2\alpha}$. La règle des équivalents pour les séries à termes de signe constant montre que $\sum (u_n-(-1)^n n^{-\alpha})$ converge si, et seulement si, $2\alpha>1$ et puisque $\sum(-1)^n n^{-\alpha}$ converge, $\sum u_n$ converge si, et seulement si, $\alpha>\frac12$. En résumé, la série $\dsp\sum\ln\bigl(1+\frac{(-1)^n}{n^\alpha}\bigr)$ est convergente si, et seulement si, $\dsp\alpha>1/2$. \end{Ex} \begin{NB} La série $\sum\ln\bigl(1+(-1)^n/\sqrt{n}\bigr)$ est une série divergente alors que la série $\sum(-1)^n/\sqrt n$ est convergente. La règle des équivalents est mise en défaut pour les séries qui ne sont pas à termes réels et de signe constant. \end{NB} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Transformation suite-série} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %------------------------------------------------------------------------------- \subsection{Le principe} %------------------------------------------------------------------------------- Comment fabriquer des séries télescopiques? À la suite $(x_n)_n$, on fait correspondre la série $\sum u_n$ par les relations : $$ u_0=x_0\et \qqs n\geq1,\ u_n=x_n - x_{n-1} $$ \begin{Prop} La suite $(x_n)_n$ est convergente si, et seulement si, la série $\sum u_n=\sum(x_n-x_{n-1})$ est convergente; dans ce cas, on a : $$ \lim_n x_n = x_0 + \sum_{n=1}^\infty (x_n-x_{n-1}) $$ \end{Prop} \begin{proof} L'égalité $x_n = x_0+\sum_{k=1}^n(x_k-x_{k-1})=x_0+\sum_{k=0}^n u_k$ donne le résultat. \end{proof} Ainsi la \textbf{suite} $\mathbf{(x_n)_n}$ est de même nature que la \textbf{série} $\mathbf{\sum(x_n-x_{n-1})}$. %------------------------------------------------------------------------------- \subsection{La constante d'Euler $\gamma$} %------------------------------------------------------------------------------- On veut montrer la convergence de la suite $x_n=1+1/2+\cdots +1/n -\ln n$; on lui associe la série $\sum u_n$ par les formules : \begin{gather} u_1=x_1=1 \\ \qqs n\geq 2,\ u_n=x_n-x_{n-1}=\ra1n -\ln n-\ln(n-1)=\ra1n+\ln\Bigl(1-\ra1n\Bigr) \end{gather} Un développement limité à la précision $n^{-2}$ donne l'équivalent : $u_n\equivalent -1/(2n^2)$ ce qui montre la convergence de la série $\sum u_n$ et donc la convergence de la suite $(x_n)_n$ et $$ \gamma = \lim_n x_n = \sum_{n=1}^\infty u_n = 1-\sum_{n=2}^\infty \Bigl(\ln\ra1{1-1/n} - \ra1n \Bigr) =\nombre{0,577 215 664 9}\dots $$ On peut écrire : $$ \shadowbox{ \begin{Bcenter} $\dps 1+\ra12+\cdots+\ra1n=\ln n+\gamma+\oo{1} $ \end{Bcenter} } $$ %------------------------------------------------------------------------------- \subsection{La formule de Stirling} %------------------------------------------------------------------------------- On veut montrer que la suite $x_n=n!\,n^{-(n+\ra12)}e^n$ admet une limite finie $\ell>0$. On pose $y_n=\ln x_n=\ln n!-(n+1/2)\ln n +n$ et pour $n>1$, $u_n=y_n-y_{n-1}$. On a : \begin{equation} \begin{split} u_n &=1+\Bigl(n-\ra12\Bigr)\ln\Bigl(1-\ra1n\Bigr) \\ &=1+\Bigl(n-\ra12\Bigr)\Bigl(-\ra1n-\ra1{2n^2}-\ra1{3n^3}+\oo[\big]{\ra1{n^3}\Bigr)} \\ &=1+\Bigl(-1-\ra1{2n}-\ra1{3n^2}\Bigr)+\Bigl(\ra1{2n}+\ra1{4n^2}\Bigr)+\oo{\Big}{\ra1{n^2}} \\ &= -\ra1{12n^2}+\oo[\Big]{\ra1{n^2}} \end{split} \end{equation} Ce développement limité montre que $u_n\equivalent-1/(12n^2)$; la série $\sum u_n$ converge, la suite $(y_n)_n$ admet une limite $\lambda$ et $x_n=e^{y_n}$ tend vers $\ell=e^\lambda>0$. On démontre que $\ell=\sqrt{2\pi}$. $$ \reponse{$\dps n!\equivalent n^n e^{-n}\sqrt{2\pi n}$} $$ %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \section{Développement décimal d'un nombre réel} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Comment justifier que $\ra13=0\string ,333\,333\,3\dots3\dots$? C'est l'objet de ce paragraphe. %-------------------------------------------------- \begin{Prop} Tout nombre réel $x>0$ s'écrit de manière unique $$ x=10^{n_0}x_0 \text{ avec $n_0\in\Z$ et $x_0\in\intfo1{10}$.} $$ \end{Prop} \begin{proof} La suite $(10^n x)_{n\in\Z}$ est strictement croissante; elle tend vers $+\infty$ quand $n$ tend vers $+\infty$ et vers 0 quand $n$ tend vers $-\infty$. La famille des intervalles $(\intfo{10^n}{10^{n+1}})_{n\in\Z}$ constitue une partition de $\into0{+\infty}$, ce qui montre l'existence d'un unique $n_0\in\Z$ tel que $x\in\intfo{10^{n_0}}{10^{n_0+1}}$ et $x_0=x10^{-n_0}$. \end{proof} %-------------------------------------------------- \begin{Lem} Pour tout $m\in\N$, $9\sum_{k>m}10^{-k}=10^{-m}$ \end{Lem} \begin{proof} $\dsp 9\sum_{k>m}10^{-k}=9\ra{10^{-(m+1)}}{1-10^{-1}}=10^{-m}$ \end{proof} %-------------------------------------------------- %-------------------------------------------------- \begin{Th} Tout nombre réel $x\in\intfo1{10}$ s'écrit de manière unique $$ x=d_0 + \sum_{k=1}^\infty d_k 10^{-k} $$ avec $(d_k)_k$ une suite de $\Intf09$ qui ne stationne pas en 9 et $d_0\neq0$. \end{Th} \begin{proof} \emph{Unicité.} Deux décompositions donnent par différence $0=d_0+\sum_{k=1}^\infty d_k 10^{-k}$ avec $d_k\in\Intf{-9}9$. Soit $m$ le premier entier tel que $d_m\neq 0$; alors \begin{multline} 10^{-m}\leq |-d_m 10^{-m}|=|\sum_{k=m+1}^\infty d_k 10^{-k}| \\ \leq \sum_{k=m+1}^\infty |d_k| 10^{-k} < \sum_{k= m+1}^\infty 9\, 10^{-k}=10^{-m} \end{multline} ce qui contradictoire, l'inégalité étant stricte puisque la suite $(d_k)_k$ n'est pas stationnaire en la valeur 9. \emph{Existence.} Pour $p\in\N$, on pose $a_p=10^{-p}\ent(10^p x)$ où $\ent$ désigne la partie entière. On a donc $a_p\leq y < a_p+10^{-p}$ ce qui assure la convergence de la suite $(a_p)_p$ vers $x$. L'inégalité précédente peut encore s'écrire \begin{equation} 10^{p+1}a_p \leq 10^{p+1}x < 10^{p+1}a_p + 10\label{eq\DP devdec1} \end{equation} et, comme $10^{p+1}a_p\in\N$, \begin{equation} 10^{p+1}a_p \leq\ent (10^{p+1}y)=10^{p+1}a_{p+1} < 10^{p+1}a_p + 10 \label{eq\string :devdec2} \end{equation} ce qui montre que \begin{equation} \qqs p\in\N,\ 10^{p+1}(a_{p+1}-a_p)\in\intfo0{10}\cap\N=\Intf09 \end{equation} On pose $d_0=a_0=\ent(y)\in\Intf19$ et pour tout $p\in\N$, $d_{p+1}=10^{p+1}(a_{p+1}-a_p)\in\Intf09$. La transformation suite-série montre que \begin{equation} \qqs p\in\N,\ a_p=a_0+\sum_{k=1}^p(a_k-a_{k-1})=\sum_{k=0}^n d_k 10^{-k} \end{equation} et donc $$ x=\lim_p a_p =\sum_{k=0}^\infty d_k 10^{-k} $$ Si la suite $(d_k)_k$ stationne en 9, il existe un rang $p$ tel que $\qqs k>p$, $d_k=9$ et $$ x-a_p=\sum_{k=p+1}^\infty d_k 10^{-k} = \sum_{k=p+1}^\infty 9\,10^{-k} = 10^{-p} $$ ce qui contredit (\ref{eq\string :devdec1}). \end{proof} %-------------------------------------------------- \begin{NB} Ce qui vient d'être fait avec 10, peut être fait avec tout entier $a>1$, en particulier en prenant $a=2^p$ ce qui est utilisé pour la représentation des nombres en machine. \end{NB} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: t %%% End: