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Fichier TeX
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\chapter{Suites dans un espace vectoriel normé de dimension finie}
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\minitoc
\newpage


Dans ce chapitre, $\K$ désigne le corps $\R$ ou le corps $\C$, et $E$ un
$\K$-espace vectoriel de dimension finie $p>0$.

La donnée d'une base $\mathcal{B}=(\vc e_1,\dots,\vc e_p)$ définit trois normes
(fondamentales) sur $E$ :
%\begin{gather*}
$$
  \Norme_1(\vc x)=\sum_{j=1}^p \abs{x_j}\quad             %\\
  \Norme_2(\vc x)=\sqrt{\sum_{j=1}^p \abs{x_j}^2}\quad          %\\
  \Norme_\infty(\vc x)=\sup_{j=1..p}\abs{x_j}
$$
%\end{gather*}
avec $\vc x=\sum_{j=1}^p x_j \vc e_j$; les $x_j$ sont donc les composantes de $\vc x$
relatives à la base $\mathcal{B}$.

Toutes les normes sur $E$ étant équivalentes, en particulier les trois normes
précédentes, on définit sur $E$ une \emph{seule} notion de convergence des
suites.


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\section{Parties bornées}
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Dans cette section, $F$ désigne un $K$-espace vectoriel normé de dimension finie
muni d'une norme notée $\norme{\ }$.

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\subsection{Un peu de vocabulaire}
%--------------------------------------------------

\begin{Df}[Partie bornée]\mbox{}\\
  Une \emph{partie} $A$ de $F$ est dite \emph{bornée} si, et seulement
si, il existe un boule fermée $\Bf 0M$ de centre $\vc 0$ et de rayon
$M$ contenant $A$, \ie{} :
\Reponse{$
          A\text{ est une partie bornée de $F$}\iff \exists M>0,\
          \qqs\vc a\in A,\ \norme{\vc a}\leq M
        $}
\end{Df}

\begin{Df}[Application bornée]\mbox{}\\
  Une \emph{application} $\vc f : X\to F$$X$ est un ensemble non vide, est dite
\emph{bornée} si, et seulement si, l'ensemble
$\vc f(X)=\{\vc f(x),\ x\in X   \}$ est borné dans $F$, \ie{} :
\Reponse{$
  \vc f : X\to F\text{ est une application bornée}
  \iff\exists M>0,\ \qqs x\in X,\
  \norme[\big]{\vc f(x)} \leq M
$}
\end{Df}

\begin{Df}[Suite bornée]\mbox{}\\
  Une \emph{suite} $\Suite u$ d'éléments de $F$ est dite
\emph{bornée}, si, et seulement si,
l'ensemble $\ens{\vc u_n}{n\in\N}$ est borné dans $F$, \ie{} :
\Reponse{$
  \text{La suite $\Suite u$ est bornée}\iff
  \exists M>0,\ \qqs n\in\N,\ \norme{\vc u_n} \leq M
$}
\end{Df}

\begin{NB}
Attention! Le nombre $M$ est \emph{indépendant} de $\vc a\in A$ (resp. de $x\in X$,
resp. de $n\in\N$). 
\end{NB}


\begin{Prop}[Indépendance de la norme choisie]\mbox{}\\
  La notion de partie bornée sur un espace vectoriel normé de dimension finie ne
dépend pas de la norme choisie.
\end{Prop}

\begin{proof}
  Soit $\Norme$ une autre norme sur $F$; puisque toutes les normes sur $F$ sont
équivalentes, il existe deux nombres $\alpha>0$ et $\beta>0$ tels que
$\alpha\norme{\ }\leq\Norme\leq\beta\norme{\ }$. Ainsi :
\begin{multline*}
  A\text{ partie bornée pour }\norme{\ }
    \iff \exists M>0,\ \qqs \vc a\in A,\ \norme{\vc a}\leq M    \\
  \implique\exists M_1=\beta M,\ \qqs\vc a\in A,\
      \Norme(\vc a)\leq \beta\norme{\vc a}\leq \beta M=M_1
\end{multline*}

La réciproque se démontre en utilisant l'inégalité $\norme{\ } \leq
\frac 1\alpha \Norme$

Ainsi $A$ est une partie bornée pour la norme $\norme{\ }$ si, et seulement si, $A$ est une
partie bornée pour la norme $\Norme$.
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{NB}
  Attention! La borne $M$ dépend de la norme choisie.
\end{NB}

\begin{Prop}[Suite convergente et suite bornée]\mbox{}\\
  Une suite convergente est une suite bornée.
  La réciproque est fausse.
\end{Prop}

\begin{proof}
  Soient $\Suite u$ une suite convergente et $\vc a$ sa limite; pour $\eps=1$,
il existe un rang $N_1$ à partir duquel $\norme{\vc u_n} - \norme{\vc a}
\leq \norme{\vc u_n - \vc a} \leq 1$; d'où
$$
\qqs n\in\N,\ n\geq N_1\implique \norme{\vc u_n} \leq \norme{\vc a}+1
$$
et
$$
\qqs n\in\N,\ \norme{\vc u_n}\leq
\max\{ \norme{\vc u_0},\dots,\norme{\vc u_{N_1 -1}},\norme{\vc a} +1  \}
$$

La suite $\bigl( (-1)^n  \bigr)_n$ est un contre-exemple sur $\R$.
\end{proof}
%--------------------------------------------------

%--------------------------------------------------
\subsection{Espace vectoriel des applications bornées}
%--------------------------------------------------

\begin{Df}[Ensemble des applications bornées]\mbox{}\\
  Soit $X$ un ensemble non vide et $(F,\norme{\ })$ un $\K$-espace vectoriel
normé de dimension finie; on note $\BIE[X,F]$ l'ensemble des \emph{applications
bornées de $X$ à valeurs dans $F$}.
\end{Df}

\begin{Df}[Norme uniforme]\mbox{}\\
  Pour $\vc f \in\BIE[X,F]$, on pose :
\Reponse{$
  \normi{\vc f} = \sup\ens[\big]{\norme[\big]{\vc f(x)}}{x\in X}
$}
\end{Df}

\begin{Prop}
  $\bigl( \BIE[X,F], \normi{\ }  \bigr)$ est un $\K$-espace vectoriel normé.
\end{Prop}

\begin{proof}
  Soient $(\vc f, \vc g)\in\BIE[X,F]^2$, $(\lambda,\mu)\in\K^2$, $M_{\vc f}$ ( resp.
$M_{\vc g}$) le nombre réel positif tel que :
$$
\qqs x\in X,\ \norme{\vc f(x)} \leq M_{\vc f}
  \text{ (resp. $\norme{\vc g(x)} \leq M_{\vc g}$)}
$$
Alors, pour tout $x\in X$ :
\begin{align*}
  \norme[\big]{\bigl( \lambda\vc f+\mu\vc g  \bigr)(x)}
    &=\norme[\big]{\lambda\vc f(x) + \mu\vc g(x)}           
      \leq \abs{\lambda} \norme[\big]{\vc f(x)} + \abs{\mu} \norme[\big]{\vc g(x)}    \\
    &\leq \abs{\lambda}M_{\vc f} + \abs{\mu}M_{\vc g}
\end{align*}
et donc $\lambda\vc f+\mu\vc g\in\BIE[X,F]$. Puisque la fonction nulle est bornée,
$\BIE[X,F]$ est un $\K$-sous-espace vectoriel du $\K$-espace vectoriel $\FIE[X,F]$ de
toutes les applications de $X$ vers $F$.

  Montrons maintenant que $\normi{\ }$ est une norme sur $\BIE[X,F]$.\\
  La borne supérieure de l'ensemble $\ens[\big]{\norme{\vc f(x)}}{x\in X}$ existe dans
$\R_+$ puisque cet ensemble est non vide et majoré; $\normi{\ }$ est
bien une application de $\BIE[X,F]$ vers $\R_+$.    \\
  Axiome de séparation :
\begin{align*}
  \normi{\vc f}
    &= \sup\ens[\big]{\norme[\big]{ \vc f(x)}}{x \in X}=0     \\
    &\iff\qqs x\in X,\ \norme[\big]{\vc f(x)} = 0     
      \iff\qqs x\in X,\ \vc f(x)=\vc 0            \\
    &\iff \vc f \text{ est l'application nulle;}
\end{align*}
%
Axiome d'homogénéité :
\begin{align*}
  \norme{ \lambda\vc f  }_\infty
    &= \sup\ens[\big]{\norme[\big]{ \lambda\vc f(x)  }}{x \in X} =
      \sup\ens[\big]{\abs{\lambda}\,\norme[\big]{\vc f(x)}}{x \in X}          \\
    &=  \abs{\lambda} \sup\ens[\big]{\norme[\big]{\vc f(x)}}{x \in X}       
      = \abs{\lambda}\, \norme{ \vc f}_\infty
\end{align*}
%
Inégalité triangulaire : des inégalités vraies pout tout $x\in X$
$$
\norme[\big]{ \vc f(x) + \vc g(x)}\leq \norme[\big]{ \vc f(x)} + \norme[\big]{ \vc g(x)}
  \leq \norme{ \vc f}_\infty + \norme{ \vc g}_\infty
$$
on tire que $\norme{ \vc f}_\infty + \norme{ \vc g}_\infty$ est un majorant de
l'ensemble
$\ens[\big]{\norme[\big]{ \vc f(x)  + \vc g(x)}}{x\in X}$ et donc :
$$
\norme{ \vc f}_\infty + \norme{ \vc g}_\infty \geq
  \sup\ens[\big]{\norme[\big]{ \vc f(x)  + \vc g(x)}}{x\in X} =
  \norme{ \vc f + \vc g}_\infty
$$
\end{proof}
%**************************************************


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\section{Suites}
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%--------------------------------------------------
\subsection{Suites convergentes et coordonnées}
%--------------------------------------------------

\begin{Th}[Coordonnées de la limite]\mbox{}\\
%
  Une suite  d'éléments d'un $\K$-espace vectoriel normé de dimension
finie est convergente si, et seulement si, ses coordonnées dans une
base sont convergentes.   \\
%
  Dans ce cas, les coordonnées de la limite sont les limites des
coordonnées.
\end{Th}

\begin{proof}
  Soient $\mathcal{B}=(\vc e_1,\dots,\vc e_p)$ une base de $E$,
$\Norme_\infty$ la norme sur $E$ définies par $\Norme_\infty(\vc x)
=\sup_j \abs{x_j}$ où les $x_j$ sont les coordonnées de $\vc x$ dans la base
$\mathcal{B}$.
\begin{align*}
  \Suite u \text{ est une suite }
    &\text{convergente vers }\vc a=\sum_{j=1}^pa_j\vc e_j   \\        
    &\iff \Norme_\infty(\vc u_n - \vc a)=\sup_{j\in\Intf1p}\abs{u_{n,j}-a_j}
      \tend 0 \\
    &\iff \qqs j\in\Intf1p,\ \abs{u_{n,j}-a_j}\tend 0   \\
    &\iff \qqs j\in\Intf1p,\text{ la suite }(u_{n,j})_n\text{ converge vers $a_j$.}
\end{align*}
\end{proof}
%--------------------------------------------------

\begin{NB}
  On retrouve bien la convergence naturelle d'une suite de vecteurs, à savoir la
convergence des suites des coordonnées. Cette convergence est
\emph{indépendante de la base choisie} et \emph{indépendante de
la norme uilisée}.
\end{NB}

%--------------------------------------------------
\subsection{Cas des suites complexes}
%--------------------------------------------------                             

\begin{Th}[Parties réelle et imaginaire de la limite d'une suite
convergente]\mbox{}\\
%
    Une suite de nombres complexes est convergente si, et seulement
si, ses parties réelle et imaginaire sont des suites convergentes.    \\
%
  Dans ce cas, la partie réelle (resp. imaginaire) de la limite
est la limite dela suite des parties réelles (resp. imaginaires).
\end{Th}

\begin{proof}
  Appliquez le théorème précédent au $\R$-espace vectoriel $\C$
et à sa base canonique $(1,i)$.
\end{proof}
%**************************************************

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\section{Suites de Cauchy}
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%--------------------------------------------------
\subsection{Un peu de vocabulaire}
%--------------------------------------------------

\begin{Df}[Suite de Cauchy]\mbox{}\\
%
  Une suite $\Suite u$ à valeurs dans $E$ est dite \emph{suite de
Cauchy}, si, et seulement si,
\Reponse{$
  \qqs\eps>0,\ \exists N_\eps\in\N,\ \qqs(n,k)\in\N^2,\
  n\geq N_\eps\implique \norme{ \vc u_{n+k} - \vc u_n}\leq\eps
$}
\end{Df}

\begin{NBs}\alaligne

  L'inégalité $\norme{ \vc u_{n+k} - \vc u_n} \leq\eps$ doit être vraie pour
tout $k\in\N$ à partir d'un certain rang $N_\eps$.

  Une suite $\Suite u$ d'éléments de $E$ \emph{n'est pas} une suite de
Cauchy, si, et seulement si,
$$
\exists\eps>0,\ \qqs N\in\N,\ \exists(n,k)\in\N^2,\
  n\geq N \et \norme{ \vc u_{n+k} - \vc u_n}>\eps
$$
La suite réelle de terme général $u_n=1+\frac12+\cdots+\frac1n$ n'est pas une
suite de Cauchy car
$$
\qqs n>0,\ u_{2n}-u_n=\frac1{n+1}+\frac1{n+2}+\cdots+\frac1{2n}>n\frac1{2n}=\frac12
$$
On prendra $\eps=1/2$ et $n=k=N$.
\end{NBs}

\begin{Prop}[Indépendance de la norme choisie]\mbox{}\\
  La notion de suite de Cauchy est \emph{indépendante} de la norme choisie.
\end{Prop}

\begin{proof}
  Soit $\Norme$ une autre norme sur $E$, donc équivalente à la norme $\norme{\
}$; il existe $\alpha>0$ et $\beta>0$ tels que $\alpha\norme{\ }\leq\Norme\leq
\beta\norme{\ }$. Alors, en posant $N'_\eps=N_{\eps/\beta}$, on a :
$$
\qqs(n,k)\in\N^2,\ n\geq N'_\eps\implique
  \Norme(\vc u_{n+k}- \vc u_n)\leq\beta\norme{ \vc u_{n+k} -\vc u_n}
  \leq \beta\frac\eps\beta = \eps
$$
Ainsi, toute suite de Cauchy pour la norme $\norme{\ }$ est une suite de
Cauchy pour la norme $\Norme$.

  La réciproque se démontre en échangeant les rôles de $\norme{\ }$ et de
$\Norme$ et en utilisant l'inégalité
$\norme{\ }_\infty\leq\frac1\alpha\Norme$.

  Attention! Le rang $N_\eps$ dépend de la norme choisie.
\end{proof}
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\subsection{Convergence des suites de Cauchy}
%--------------------------------------------------

\begin{Prop}[Suite de Cauchy et coordonnées]\mbox{}\\
%
  Une suite d'éléments de $E$ est une suite de Cauchy si, et seulement si, ses coordonnées dans
une base  sont des suites de Cauchy de $\K$.
\end{Prop}

\begin{proof}
  Soient $\mathcal{B}=(\vc e_1,\dots,\vc e_p)$ une base de $E$,
$\Norme_\infty$ la norme habituelle associée à $\mathcal{B}$ et $\Suite u$
une suite de Cauchy de $E$. On a :
\begin{multline*}
\bigl( n\geq N_\eps\implique \norme{ \vc u_{n+k} - \vc u_n}_\infty  =
  \sup_{j\in\Intf1p}\abs{u_{n+k,j} - u_{n,j}}\leq\eps\bigr)                 \\
\iff
  \bigl( \qqs j\in\Intf1p,\ n\geq N_\eps\implique \abs{u_{n+k,j} - u_{n,j}}\leq\eps \bigr)
\end{multline*}
ce qui montre que $\Suite u$ est une suite de Cauchy de $E$ si, et seulement si, les suites
$(u_{n,j})_n$ pour $j\in\Intf1p$ sont des suites de Cauchy de $\K$.
\end{proof}
%**************************************************

\begin{Th}[Convergence des suites de Cauchy]\mbox{}\\
%
  Une suite à valeurs dans $E$ est convergente si, et seulement si, c'est une suite de Cauchy.
\end{Th}

\begin{proof}\alaligne\\
  \CN Soient $\Suite u$ une suite convergente d'éléments de $E$ de
limite $\vc a$, $\eps$ un nombre strictement positif et $N_\eps\in\N$ le rang à
partir duquel $\norme{ \vc u_n - \vc a}\leq\eps$; alors
\begin{multline*}
  \qqs(n,k)\in\N^2,\ n\geq N_\eps\implique        \\
  \norme{ \vc u_{n+k} - \vc u_n} = \norme{ \vc u_{n+k}-\vc a+\vc a-\vc u_n}
    \leq\norme{ \vc u_{n+k}-\vc a} + \norme{ \vc u_n-\vc a}\leq 2\eps
\end{multline*}
et la suite $\Suite u$ est une suite de Cauchy.\\
%
  \CS On admet que toute suite de Cauchy à
valeurs dans $\R$ est une suite convergente.

  Toute suite  de Cauchy $\suite z$ à valeurs complexes, a ses parties réelle
et imaginaire  qui sont
des suites de Cauchy : ce sont les suites composantes relatives à la base
canonique de $\C$; ces suites sont convergentes et donc $\suite z$ est convergente.

  Toute suite de Cauchy $\Suite u$ d'éléments de $E$ a ses composantes relativement
à une base de $E$ qui sont des suites de Cauchy de $\K$; ces suites sont
convergentes et donc $\Suite u$ converge.
\end{proof}
%**************************************************

\begin{Prop}[Suite de Cauchy et application lipschitzienne]\mbox{}\\
  L'image d'une suite de Cauchy par une application lipschitzienne est une suite
de Cauchy.
\end{Prop}

\begin{proof}
  Soient $(E,\Norme)$, $(F,\norme{\ })$ deux $\K$-espaces vectoriels
normés, $\vc f : A\subset E\mapsto F$ une application $k_{\vc f}$-lipschitzienne
et $\Suite u$ une suite de Cauchy d'éléments de $A$. Pour $\eps>0$ donné, on a :
$$
\qqs(n,k)\in\N^2,\ n\geq N_\eps\implique        
  \norme[\big]{ \vc f(\vc u_{n+k}) - \vc f(\vc u_n)} \leq
    k_{\vc f}\Norme( \vc u_{n+k}-\vc u_n) \leq k_{\vc f}\eps
$$
\end{proof}
%**************************************************

\begin{Prop}[Un critère]\mbox{}\\
%
  Soient $q\in\into 01$ et une suite $\Suite u$ de $E$ vérifiant
$\norme{ \vc u_{n+1}-\vc u_n} \leq q^n$ pour tout $n\in\N$;
alors, la suite $\Suite u$ est une suite convergente, et si 
$\vc a$ est la limite de $\Suite u$, on a :
$$
\qqs n\in\N,\ \norme{ \vc u_n -\vc a}\leq\frac{q^n}{1-q}
$$
\end{Prop}

\begin{proof}
  Montrons que la suite $\Suite u$ est une suite de Cauchy.
Pour $(n,k)\in\N^2$, on écrit :
\begin{equation*}
  \begin{split}
      \vc u_{n+k}-\vc u_n
        &= (\vc u_{n+k}-\vc u_{n+k-1}) + \cdots +
          (\vc u_{n+2}-\vc u_{n+1}) + (\vc u_{n+1}-\vc u_n)       \\
        &=\sum_{r=1}^k(\vc u_{n+r}-\vc u_{n+r-1})               \\
  \end{split}
\end{equation*}
car les termes se détruisent deux à deux. En prenant la norme, on a
les inégalités suivantes :
\begin{equation*}
  \begin{split}
    \norme{ \vc u_{n+k}-\vc u_n}
      &= \norme[\Big]{ \sum_{r=1}^k(\vc u_{n+r}-\vc u_{n+r-1})}\leq
        \sum_{r=1}^k \norme{ \vc u_{n+r}-\vc u_{n+r-1}}       \\
      &\leq \sum_{r=1}^k q^{n+r-1} = \frac{q^n-q^{n+k}}{1-q}
        \leq\frac{q^n}{1-q}                                 \\
  \end{split} 
\end{equation*}
et puisque $q^n$ tend vers 0, pour $\eps>0$ donné, il existe un rang $N_\eps\in\N$ à
partir duquel $q^n/(1-q)\leq\eps$; ainsi
$$
\qqs (n,k)\in\N^2,\ n\geq N_\eps\implique \norme{ \vc u_{n+k}-\vc u_n}
\leq\frac{q^n}{1-q} \leq \eps
$$
ce qui montre que la suite $\Suite u$ est une suite de Cauchy, donc une suite
convergnte.

En faisant
tendre $k$ vers l'infini dans l'inégalité $\norme{ \vc u_{n+k}-\vc u_n}\leq
q^n/(1-q)$, on obtient l'inégalité demandée.
\end{proof}
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\section{Relations de comparaison entre suites}
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\subsection{Domination, notation O}
%--------------------------------------------------

\begin{Df}[Domination]\mbox{}\\
  Soient $\Suite u$ une suite de $E$ et $\suite\alpha$ une suite de $\K$; on dit
que la suite $\Suite u$ est \emph{dominée} par $\suite\alpha$ et on écrit
$\vc u_n=\OO{\alpha_n}$, si et seulement si,
$$
\exists M>0,\ \exists N\in\N,\ \qqs n\in\N,\
n>N \implique \norme{ \vc u_n}\leq M\abs{\alpha_n}
$$
\end{Df}

\begin{NB}
  Si $\suite\alpha$ est une suite à valeurs dans $\K\prive\{0\}$ \ie{} si la suite
$\suite\alpha$ ne s'annule pas, on a :
\Reponse{$\dsp
  \text{Si, pour tout $n$, $\alpha_n\neq 0$, alors }
  \vc u_n = \OO{\alpha_n} \iff
  \text{la suite }\bigl( \frac1{\alpha_n}\vc u_n  \bigr)_n\text{ est une suite bornée.}
$}
\end{NB}

\begin{Ex}\mbox{}\\
%
  $n^\alpha =\OO{n^\beta}\iff \bigl( \dfrac{n^\alpha}{n^\beta}  \bigr)_n=
    ( n^{\alpha-\beta})_n\text{ est bornée}\iff\alpha-\beta\leq0$\\
%
  Pour $(a,b)\in\C^*\times\C^*$, $a^n=\OO{b^n}$ si, et seulement
si, la suite  $\bigl(a^n/b^n \bigr)_n$ est
bornée, \ie{}, si, et seulement si, $\abs{a}\leq\abs{b}$.
\end{Ex}

%--------------------------------------------------
\subsection{Négligeabilité, notation o}
%--------------------------------------------------

\begin{Df}[Négligeabilité]\mbox{}\\
  Soient $\Suite u$ une suite de $E$ et $\suite\alpha$ une suite de $\K$; on dit
que la suite $\Suite u$ est \emph{négligeable} devant $\suite\alpha$ et on écrit
$\vc u_n=\oo{\alpha_n}$, si, et seulement si,
$$
\qqs\eps>0,\ \exists N_\eps\in\N,\ \qqs n\in\N,\ n\geq N_\eps\implique
  \norme{ \vc u_n}\leq\eps\,\abs{\alpha_n}
$$
\end{Df}

\begin{NB}
  Si $\suite\alpha$ est une suite à valeurs dans $\K\prive\{0\}$ \ie{} si la suite
$\suite\alpha$ ne s'annule pas, on a :
\Reponse{$\dsp
  \text{Si, pour tout $n$, $\alpha_n\neq 0$, alors }
  \vc u_n = \oo{\alpha_n} \iff
  \text{la suite }\bigl( (1/\alpha_n)\vc u_n  \bigr)_n
  \text{ est limite $\vc 0$}
$}
\end{NB}

\begin{Ex}\mbox{}\\
%
$n^\alpha =\oo{n^\beta}\iff \bigl( \dfrac{n^\alpha}{n^\beta}  \bigr)_n=
    \bigl( n^{\alpha-\beta}  \bigr)_n\text{ tend vers 0}\iff\alpha-\beta<0$\\
%
  Pour $(a,b)\in\C^*\times\C^*$, $a^n=\oo{b^n}$, si, et seulement si,
    $\bigl( \left( \dfrac ab \right)^n  \bigr)_n$ tend vers 0, soit
    $\abs{a}<\abs{b}$.\\
$\ln n=\oo{n^\alpha}\iff\alpha>0$ et pour tout $\alpha$, $n^\alpha=\oo{\exp n}$
\end{Ex}

%--------------------------------------------------
\subsection{\'Equivalence,  notation $\equivalent$}
%--------------------------------------------------

\begin{Df}[\'Equivalence]\mbox{}\\
%
  Soient $\suite u$  et $\suite v$ deux suites \emph{complexes}; on dit
que les suites $\suite u$ et $\suite v$ sont \emph{équivalentes} et on écrit
$u_n\equivalent v_n$ si, et seulement si, $u_n-v_n=\oo{v_n}$.
$$
u_n\equivalent v_n \iff u_n - v_n = \oo{v_n}
$$ 
\end{Df}

\begin{NB}
  Si $\suite v$ est une suite à valeurs dans $\K\prive\{0\}$ \ie{} si la suite
$\suite v$ ne s'annule pas, on a :
\Reponse{$\dsp
  \text{Si pour tout $n$, $v_n\neq 0$, alors }
  u_n\equivalent v_n \iff \frac{u_n}{v_n} \tend 1
$}
\end{NB}

\begin{Ex}\mbox{}\\
%
$n^\alpha \equivalent {n^\beta}\iff \bigl( \dfrac{n^\alpha}{n^\beta}  \bigr)_n=
  \bigl( n^{\alpha-\beta}  \bigr)_n\text{ tend vers 1}\iff\alpha=\beta$.\\
%
  Pour $(a,b)\in\C^*\times\C^*$, $a^n\equivalent {b^n}$si, et seulement si,
    $\bigl( \left( \frac ab \right)^n  \bigr)_n$ tend vers 1 soit
    $a=b$.\\
%
  $\ln n\equivalent{n^\alpha}$ et  $n^\alpha\equivalent {\exp n}$ sont toujours \textbf{faux}.
\end{Ex}


Voici quelques propriétés des relations de domination, de
négligeabilité et d'équivalence.

\begin{itemize}
  \item Les relations de prépondérance, de négligeabilité et d'équivalence  ne dépendent
    pas de la norme choisie.
  \item $\vc u_n=\oo{\alpha_n}$ implique $\vc u_n=\OO{\alpha_n}$; la réciproque est
    fausse. 
    \item $u_n\equivalent 0\iff$ la suite $\suite u$ stationne en 0, \ie{} la  suite   
      $\suite u$
      est nulle à partir d'un certain rang; on évitera d'écrire cette relation.
  \item $\equivalent$ est une relation d'équivalence.
  \item $u_n\equivalent v_n\implique \abs{u_n}\equivalent\abs{v_n}$
  \item $u_n\equivalent v_n\implique \bigl( u_n=\OO{v_n}\text{ et }v_n=\OO{u_n}  \bigr)$; la
    réciproque est fausse.
  \item $u_n\equivalent v_n \et u_n=\OO{w_n}\implique v_n=\OO{w_n}$, idem avec o.
  \item $u_n\equivalent v_n \et w_n=\OO{u_n}\implique w_n=\OO{v_n}$, idem avec o.
  \item Si la suite $\suite u$ converge vers $\ell$ avec $\ell\neq 0$, alors
    $u_n\equivalent\ell$.
  \item Si $u_n\equivalent v_n$ et si $\suite u$ converge vers $\ell$, alors 
    $\suite v$ converge vers $\ell$.
  \item Si $u_n\equivalent v_n$ et $u'_n\equivalent v'_n$, alors $u_n u'_n\equivalent v_n v'_n$.
  \item Si $\suite v$ est à valeurs dans $\C^*$, $u_n\equivalent v_n$ implique
    $\dfrac 1{u_n}\equivalent\dfrac 1{v_n}$.
  \item $\exp u_n\equivalent\exp v_n\iff u_n-v_n\tend 0$
  \item $u_n\equivalent v_n \et \lim_n\ln v_n\in \overline{\R}\setminus\{1\}
    \implique \ln u_n\equivalent \ln v_n$
\end{itemize}

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\subsection{Comparaison logarithmique de deux suites de $\into 0{+\infty}$}
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\begin{Lem}
  Soient $\suite u$ et $\suite v$ deux suites de $\into 0{+\infty}$;
si à partir d'un certain rang  on a l'inégalité
$\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\leq\dfrac{v_{n+1}}{v_n}$, alors la suite $\suite u$ est
dominée par la suite~$\suite v$.
$$
\exists N\in\N,\ \qqs n\geq N,\  \frac{u_{n+1}}{u_n}\leq\frac{v_{n+1}}{v_n}
\implique u_n=\OO{v_n} 
$$
\end{Lem}

\begin{proof}
  L'inégalité
$u_{n+1}/u_n\leq v_{n+1}/v_n$ s'écrit encore
$u_{n+1}/v_{n+1}\leq u_n/v_n$. Ainsi la suite $(u_n/v_n)_n$ est une suite
décroissante à partir du rang $N$, donc $u_n/v_n\leq u_N/v_N$,
soit $u_n\leq (u_N/v_N)v_n$, ce qui montre que $u_n=\OO{v_n}$.
\end{proof}
%**************************************************

\begin{Th}
  Soit $\suite u$ une suite de $\into 0{+\infty}$ telle que
$\dsp\lim_n\frac{u_{n+1}}{u_n}=\ell$ existe dans $\intf 0{+\infty}$; alors :
\begin{prop}
  \item si $\ell<1$, $\suite u$ tend vers 0 et $\qqs q\in\into\ell1$,
    $u_n=\OO{q^n}$;
  \item si $\ell>1$, $\suite u$ tend vers $+\infty$ et $\qqs q\in\into1\ell$,
    $q^n=\OO{u_n}$, \ie{} il existe $m>0$ telle que  la suite $\suite u$ soit minorée par 
    $(m\,q^n)_n$ à partir d'un certain rang;
  \item si $\ell=1$, on ne peut conclure.
\end{prop}
\end{Th}

\begin{proof}\mbox{}
\begin{prop}
  \item Soit $q\in\into\ell1$, il existe un rang $N\in\N$ à partir duquel
      $\frac{u_{n+1}}{u_n}\leq q=\frac{q^{n+1}}{q^n}$ et donc $u_n=\OO{q^n}$
      soit $0<u_n\leq M q^n$ à partir d'un certain rang.      
      Puisque  $(q^n)_n$ tend vers 0 ($q<1$), il vient que $\suite u$ tend vers 0.
  \item Soit $q\in\into1\ell$ et $N\in\N$ à partir duquel
      $u_{n+1}/{u_n}\geq q=q^{n+1}/q^n$; le lemme montre que
      $q^n=\OO{u_n}$ soit $q^n\leq M u_n$ à partir d'un certain rang. Comme
      $(q^n)_n$ tend vers $+\infty$, la suite $\suite u$ tend vers $+\infty$ et
      $u_n\geq q^n/M$.
      
  \item $u_n=n$ donne $u_{n+1}/u_n$ tend vers 1 et $u_n$ tend vers $+\infty$.\\
      $u_n=1/n$ donne $u_{n+1}/u_n$ tend vers 1 et $u_n$ tend vers 0.
\end{prop}
\end{proof}
%**************************************************

\begin{Ex}
  La suite $(z^n/n!)_n$ converge vers 0 pour tout $z\neq 0$.\\
On pose
  $u_n=\abs[\big]{z^n/n!}=\abs{z}^n/n!$; alors
  $u_{n+1}/u_n=\bigl(\abs{z}^{n+1}/(n+1)!\bigr)\times\bigl(n!/\abs{z}^n\bigr)=\abs{z}/(n+1)
  \tend 0$. Ainsi $\lim_n u_n =0$ et $\qqs q\in\into01$, $u_n=\OO{q^n}$.
\end{Ex}

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\section{Suites réelles}
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\subsection{Les grands théorèmes}%\mbox{}\hspace*{\fill}
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  Une suite monotone croissante (resp. décroissante) converge si, et seulement si, elle est majorée
(resp. minorée). Dans le cas de la convergence, sa limite est la borne
supérieure (resp. inférieure) de ses éléments.

  Si une suite converge, toutes ses sous-suites convergent et ont la même limite.

  Si $(u_{2n})_n$ et $(u_{2n+1})_n$ convergent et ont même limite $\ell$, alors
$\suite u$ converge vers $\ell$.

  Deux suites réelles $\suite u$ et $\suite v$ sont adjacentes si, et seulement si, $\suite u$
croît, $\suite v$ décroît et $\lim_n(u_n-v_n)=0$.\\
  Deux suites adjacentes convergent et ont même limite.

  Le théorème d'\emph{encadrement}. Soient $\suite u$, $\suite v$, $\suite w$, trois
suites réelles telles que :
$$
\exists N\in\N,\ \qqs n>\N,\ u_n\leq v_n\leq w_n
\et
\exists\ell\in\R,\ \lim_n u_n = \lim_n w_n = \ell
$$
alors $\suite v$ converge et sa limite est $\ell$.

  Passage à la limite dans une inégalité.  Soient $\suite u$, $\suite v$,
$\suite w$,  trois suites réelles; alors :
$$
\left( \exists N\in\N,\ \qqs n>\N,\ u_n\leq v_n\leq w_n \right)
\implique
\left( \lim_n u_n \leq\lim_n v_n \leq \lim_n w_n \right)
$$
Par passage à la limite les inégalités strictes sont transformées en
inégalités larges.\\
  Deux remarques techniques
\begin{itemize}
  \item Pour montrer qu'une suite $\suite u$ converge vers
$\ell$, on a souvent intérêt à majorer $\abs{u_n-\ell}$ par le terme
général d'une suite de limite nulle.
  \item On peut utiliser la relation :
$\sum_{k=p}^{p+q}(u_{k+1}-u_k)=u_{p+q+1}-u_p$, c'est la méthode des
dominos.
\end{itemize}

\subsection{Suites définies à l'aide d'une relation de récurrence}
Soit $D$ une partie de $\R$ et $f$ une application continue de $D$
à valeurs réelles.

  $I\subset D$ est un intervalle \emph{stable} pour $f$, ou encore
$f$-\emph{stable}, si, et seulement si, l'image de $I$ par $f$ est
contenue dans $I$, \ie{} si, et seulement si, 
le graphe de la restriction $f|_I$ de $f$ à $I$ est contenu dans le carré
$I\times I$.

  $a\in I$ est un \emph{point fixe} pour $f$ si, et seulement si, $f(a) =a$,
\ie{} si, et seulement si, $a$ est un zéro de $\varphi : x\mapsto f(x) - x$.

  Si est un intervalle $f$-stable, la donnée de $u_0\in I$ et de la relation
$u_{n+1}=f(u_n)$ définit une suite $\suite u$ dont tous les éléments
appartiennent à $I$.

  Limite et point fixe. Si la suite $u_{n+1}=f(u_n)$ est une suite de $I$ qui
converge vers une limite $\ell\in I$, alors $\ell$ est un point fixe de $I$.

  Sens de variation. Soient $I$ un intervalle $f$-stable et $\suite u$ la suite
définie par $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $u_0\in I$;
\begin{prop}
  \item si $f$ est croissante sur $I$, la suite $\suite u$ est monotone,
    croissante si $u_0\leq u_1$, décroissante si $u_0\geq u_1$;
  \item si $f$ est décroissante sur $I$, $f\circ f$ est croissante et les
    suites extraites $(u_{2n})_n$ et $(u_{2n+1})_n$ sont monotones de sens
    contraire : si $u_0\leq u_2$, $(u_{2n})_n$ est croissante et $(u_{2n+1})_n$
    décroissante ; si $u_0\geq u_2$, $(u_{2n})_n$ est décroissante et
    $(u_{2n+1})_n$ croissante.
\end{prop}

  Théorème du point fixe. Soit $I$ un intervalle fermé stable pour une
application contractante $f$ de rapport de Lipschitz $k\in\intfo01$; alors
\begin{prop}
  \item $f$ possède un unique point fixe $a\in I$;
  \item   pour tout $x_0\in I$, la suite $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $u_0=x_0$
converge vers $a$ et on a la majoration :
$$
\abs{u_n-a}\leq k^n\abs{u_0-a}
$$
\end{prop}

%--------------------------------------------------
\subsection{Suites classiques}
%--------------------------------------------------

\subsubsection{Suite arithmétique}

  $\suite u$ est une suite \emph{arithmétique} si, et seulement si,
la différence de deux termes consécutifs est constante, \ie{}
$$
\exists r\in\C,\ \qqs n\in\N,\ u_{n+1}-u_n=r
$$
Dans ce cas
$$\qqs n,\ u_n = u_0+nr$$

\subsubsection{Suite géométrique}

  $\suite u$ est une suite \emph{géométrique} si, et seulement si,
le quotient de deux termes consécutifs est constant, \ie{}
$$
\exists q\in\C,\ \qqs n\in\N,\ u_{n+1}=q u_n
$$
Dans ce cas
$$
\qqs n,\ u_n =q^n u_0=q^{n-1}u_1=\dots
\et \sum_{k=n}^{n+p} u_k = u_0\frac{q^{n+p+1}-q^n}{1-q}
$$
  
\subsubsection{Récurrence affine}

  $\suite u$ est une suite définie à l'aide d'une \emph{récurrence affine}
si, et seulement si, 
$$
\exists (a,b)\in\C^*\times\C^*,\ a\neq1,\ \qqs n\in\N,\ u_{n+1}=a u_n + b
$$
Le calcul de $u_n$ s'effectue
\begin{prop}
  \item en recherchant les points fixes par la résolution de
$\lambda=a\lambda +b$, soit $\lambda=\frac b{1-a}$. La suite de
terme général $v_n = u_n -\lambda$ est une suite  géométrique de
raison $a$, ce qui donne $v_n=a^nv_0$ soit $u_n=a^n(u_0-\lambda)+\lambda$;
  \item ou bien, en posant $w_n = a^{-n}u_n$; ainsi, $w_{n+1} - w_n =
ba^{-n}$ et $w_n$ se calcule en utilisant la méthode des dominos,
d'où de $u_n=a^nw_n$.
\end{prop}


\subsubsection{Suite homographique}

  $\suite u$ est une suite définie à l'aide d'une \emph{récurrence
homographique} si, et seulement si, 
$$
\qqs n\in\N,\ u_{n+1}=\frac{a u_n + b}{cu_n + d},\ ad-bc\neq 0 \et c\neq 0
$$

  On recherche les points fixes en résolvant l'équation $x=\frac{ax+b}{cx+d}$
ce qui revient à déterminer les racines d'une équation du second degré.

  S'il y a deux racines distinctes $\alpha$ et $\beta$, on pose sous réserve
d'existence : $v_n=\frac{u_n-\alpha}{v_n-\beta}$. La suite $\suite v$ est une
suite géométrique de raison $q$ à déterminer. De $v_n=q^n v_0$, on tire $u_n$.

  Dans le cas d'une racine double $\alpha$, la suite $\suite v$ définie pour
$u_0\neq \alpha$, par $v_n=\frac1{u_n-\alpha}$ est une suite arithmétique de
raison $r$ à calculer. De $v_n =v_0 +nr$, on tire $u_n$.


\subsubsection{Récurrence linéaire d'ordre 2}

  $\suite u$ est une suite définie à l'aide d'une \emph{récurrence linéaire
d'ordre 2} si, et seulement si, 
$$
\exists(a,b)\in\K^2,\ \qqs n\in\N,\ u_{n+2}=au_{n+1} + bu_n
$$

  On recherche les suites $(r^n)_n$ solutions en résolvant l'équation
caractéristique $r^2-ar-b=0$ dont on note $\Delta = a^2+4b$ le discriminant.\\
Cas complexe :
\begin{prop}
  \item si $\Delta\neq 0$, on note $r_1$ et $r_2$ les deux racines
distinctes de l'équation caractéristique et
$$
\exists!(\lambda,\mu)\in\C^2,\ \qqs n\in\N,\ u_n=\lambda r_1^n + \mu r_2^n
$$
  \item si $\Delta = 0$, $\frac a2$ est l'unique solution de l'équation
caractéristique et
$$
\exists!(\lambda,\mu)\in\C^2,\ \qqs n\in\N,\ u_n=(\frac a2)^n(\lambda
n  +\mu)  
$$
\end{prop}
Cas réel :
\begin{prop}
  \item si $\Delta> 0$, on note $r_1$ $r_2$ les deux racines réelles
distinctes de l'équation caractéristique et
$$
\exists!(\lambda,\mu)\in\R^2,\ \qqs n\in\N,\ u_n=\lambda r_1^n + \mu r_2^n
$$
  \item si $\Delta = 0$, $\frac a2$ est l'unique solution de l'équation
caractéristique et
$$
\exists!(\lambda,\mu)\in\R^2,\ \qqs n\in\N,\ u_n=(\frac a2)^n(\lambda n + \mu)    
$$
  \item si $\Delta<0$, on note $\alpha\exp(i\beta)$ l'une des racines
complexes de l'équation caractéristique et
$$
\exists!(\lambda,\mu)\in\R^2,\ \qqs n\in\N,\ u_n=\alpha^n(\lambda\cos n\beta
+ \mu\sin n\beta)   
$$
\end{prop}

  Chères lectrices et chers lecteurs, vous avez certainement remarqué
l'analogie avec les solutions de l'équation différentielle
linéaire homogène du deuxième ordre à coefficients constants.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% fin du chapitre
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