\exo {Production industrielle et contrôle de qualité} \centerline {\sl Les quatres questions de cet exercice sont indépendantes.} Une entreprise de matériel pour l'industrie produit des modules constitués de deux types de pièces~: $P_1$ et $P_2$. \itemnum Une pièce $P_1$ est considérée comme bonne si sa longueur, en centimètres, est comprise entre $293, 5$ et $306, 5$. \item {} On note $L$ la variable aléatoire qui, à chaque pièce $P_1$ choisie au hasard dans la production d'une journée, associe sa longueur. \item {} On suppose que $L$ suit une loi normale de moyenne $300$ et d'écart type~$3$. \item {} Déterminer, à $10^{-2}$ près, la probabilité qu'une pièce $P_1$ soit bonne. \itemnum On note $A$ l'événement~: \og {\sl une pièce $P_1$ choisie au hasard dans la production des pièces $P_1$ est défectueuse} \fg . \item {} On note de même $B$ l'événement~: \og {\sl une pièce $P_2$ choisie au hasard dans la production des pièces $P_2$ est défectueuse} \fg . \item {} On admet que les probabilités des deux événements $A$ et $B$ sont $p (A) = 0, 03$ et $p (B) = 0, 07$ et on suppose que ces deux événements sont indépendants. \item {} Un module étant choisi au hasard dans la production, calculer, à $10^{-4}$~près, la probabilité de chacun des événements suivants~: \itemitem {} $E_1$~: \og {\sl les deux pièces du module sont défectueuses}\fg ~; \itemitem {} $E_2$~: \og {\sl au moins une des deux pièces du module est défectueuses}\fg ~; \itemitem {} $E_3$~: \og {\sl aucune des deux pièces constituant le module n'est défectueuse}\fg ~; \itemnum Dans un important stock de ces modules, on prélève au hasard 10~modules pour vérification. Le stock est assez important pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de $10$~modules. \item {} On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de $10$~modules associe le nombre de modules réalisant l'événement $E_3$ défini au {\bf 2.} \item {} On suppose que la probabilité de l'événement $E_3$ est $0, 902$. \itemitemalph Expliquer pourquoi $X$ suit une loi binômiale~; déterminer les paramètres de cette loi. \itemitemalph Calculer, à $10^{-3}$~près, la probabilité que, dans un tel prélèvement, $9$~modules au moins réalisent l'é\-vé\-ne\-ment~$E_3$. \itemnum Dans cette question on s'intéresse au diamètre des pièces $P_2$. \item {} Soit $\overline X$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de $60$~pièces $P_2$ prélevées au hasard et avec remise dans la production de la journée considérée, associe la moyenne des diamètres des pièces de cet échantillon. On suppose que $\overline X$ suit la loi normale~: $$ \hbox {de moyenne inconnue } \mu \qquad {\rm et} \qquad \hbox {d'écart type } {\sigma \over \sqrt {60}} \quad {\rm avec} \quad \sigma = 0, 084. $$ \item {} On mesure le diamètre, exprimé en centimètres, de chacune des $60$~pièces $P_2$ d'un échantillon choisi au hasard et avec remise dans la production d'une journée. \item {} On constate que la valeur approchée arrondie à $10^{-3}$~près de la moyenne $\overline x$ de cet échantillon est $\overline x = 4, 012$. \itemitemalph \`A partir des informations portant sur cet échantillon, donner une estimation ponctuelle, à $10^{-3}$~près, de la moyenne $\mu $ des diamètres des pièces $P_2$ produites pendant cette journée. \itemitemalph Déterminer un intervalle de confiance centré en $\overline x$ de la moyenne $\mu $ des diamètres des pièces $P_2$ produites pendant la journée considérée, avec le coefficient de confiance de $95\% $. \itemitemalph On considère l'affirmation suivante~: \og {\sl la moyenne $\mu $ est obligatoirement entre $3, 991$ et $4, 033$}\fg . \itemitem {} Peut-on déduire de ce qui précède qu'elle est vraie~? \finexo \corrige \itemnum La variable $L$ suit la loi normale ${\cal N} (300, 3)$, donc la variable $T$ définie par $T = (L-300)/3$ suit la loi normale centrée réduite ${\cal N} (0, 1)$. Il vient alors $$\eqalign { p (293, 5 \leq L \leq 306, 5) &= p \left( {293, 5 - 300 \over 3} \leq {L - 300 \over 3} \leq {306, 5 - 300 \over 3} \right) \cr &= p (-2, 16 \leq T \leq 2, 16) \cr &= 2 \Pi (2, 16) - 1 \qquad \hbox {vu la symétrie de la loi ${\cal N} (0, 1)$} \cr &= 2 \times 0, 984\, 6 - 1 \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {p (293, 5 \leq L \leq 306, 5) = 0, 969\, 2} \cr }$$ \itemnum $\bullet $ $p (E_1) = p (A\cap B) = p (A) \times p (B)$ puisque $A$ et $B$ sont indépendants. D'où $p (E_1) = 0, 03 \times 0, 07$, soit \dresultat {p (E_1) = 0, 002\, 1}. \item {} $\bullet $ $p (E_2) = p (A\cup B) = p (A) + p (B) - p (A\cap B) = 0, 03 + 0, 07 - 0, 021$, soit \dresultat {p (E_2) = 0, 097\, 9}. \item {} $\bullet $ $p (E_3) = p \left( \overline {A\cup B} \right) = 1 - p (A\cup B) = 1 - 0, 097\, 9$, soit \dresultat {p (E_3) = 0, 902\, 1}. \itemalphnum On a 10~tirages indépendants, pour seulement 2~issues possibles ($E_3$ ou $\overline E_3$), on est bien dans le cadre d'une loi binômiale. Donc $X$ suit la \tresultat {loi binômiale ${\cal B} (10; 0, 902)$}. \itemalph Dans ce cas, on a $$\eqalign { p (X \geq 9) &= p (X=9) + p (X=10) \cr &= C_{10}^9 (0, 902)^9 \times (0, 098)^1 + C_{10}^{10} (0, 902)^{10} \times (0, 098)^0 \cr &= 10 \times (0, 902)^9 \times (0, 098) + (0, 902)^{10} \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {p (X \geq 9) = 0, 744} \cr }$$ \itemnum La variable $\overline X$ suit la loi normale ${\cal N} (\mu ; 0, 084/\sqrt {60})$, et la moyenne sur un échantillon donné est $\overline x = 4, 012$. \itemalph L'estimation ponctuelle est \mresultat {\mu= 4, 012}. \itemalph On veut trouver le réel positif $a$ tel que $p (\overline x - a \leq \mu \leq \overline x + a) = 0, 95$. Introduisons la variable $\overline T$ définie par $$ \overline T = {\overline X - \mu \over 0, 084} \times \sqrt {60}, $$ alors $\overline T$ suit la loi normale centrée réduite ${\cal N} (0, 1)$ et l'on sait que pour tout réel positif $t$ on a $$ p (-t \leq \overline T \leq t) = 2\Pi (t) - 1. $$ Un coup d'\oe il sur le formulaire nous montre qu'il faut choisir $t = 1, 96$ pour obtenir une probabilité de $0, 95$. Autrement dit, on sait que l'on a $$\eqalign { p \left( -1, 96 \leq {\sqrt {60} \over 0, 084} \big( \overline X - \mu \big) \leq 1, 96 \right) &= 0, 95 \cr &= p \left( -1, 96 \times {0, 084 \over \sqrt {60}} \leq \overline X - \mu \leq 1, 96 \times {0, 084 \over \sqrt {60}} \right) \cr &= p ( -0, 021 - \overline X \leq - \mu \leq 0, 021 + \overline X) \cr &= p ( 0, 021 + \overline X \geq \mu \geq -0, 021 - \overline X) \cr }$$ D'où ici l'intervalle de confiance à $95\% $ cherché~: \mresultat {I = [3, 991 \, ; 4, 033]}. \itemalph Bien sûr, \tresultat {l'affirmation proposée est fausse}~: avec un intervalle de confiance à $95\% $ on est encore très loin d'une certitude\dots \fincorrige