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Source de equ2_016.tex

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\exo {Une équation différentielle d'ordre 2}

{\sl L'objectif de cet exercice est de résoudre une équation
différentielle dont une solution particulière est susceptible de
définir une fonction de densité en probabilités.} 

\medskip

\centerline {\bf Les parties A. et B. peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip

\let \partie \centerpartie

\partie {A -- Résolution d'une équation différentielle}

On considère l'équation différentielle 
$$
   y''-4y = - {16\over 3} e^{-2x}
\leqno
   (E)
$$$y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux
fois dérivable sur $\rset $, $y'$ la fonction dérivée de $y$, et $y''$
sa fonction dérivée seconde.

\itemnum Résoudre sur $\rset $ l'équation différentielle 
%%$(E_0)~: \quad y''-4y=0$.
$$
   y''-4y=0.
\leqno
   (E_0)
$$

\itemnum Vérifier que la fonction $g$ définie sur $\rset $ par 
$$
   g (x) = {4\over 3} xe^{-2x}
$$
est une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$.

\itemnum En déduire l'ensemble des solutions de l'équation
différentielle $(E)$.

\itemnum Déterminer la solution particulière $h$ de l'équation
différentielle $(E)$ vérifiant les con\-di\-tions 
$$
   h (0) = {4\over 3}
      \qquad {\rm et} \qquad
   h' (0) = -{4\over 3}.
$$

\partie {B -- \' Etude d'une fonction}

\def \epspath {}
\epsfxsize 80mm

Soit $f$ la fonction définie sur $[0, +\infty [$ par 
$$
   f (x) = {4\over 3} (1+x) e^{-2x}
$$

$$
      \qquad \qquad
   \vcenter {\superboxepsillustrate {equ2_016.ps}}
$$
Une représentation graphique $C$ de $f$, dans un repère orthogonal,
est donnée ci-dessus.

\itemnum Le graphique suggère un sens de variation pour la fonction
$f$. L'objet de cette question est de justifier ce résultat.

\itemitemalph Démontrer que, pour tout $x$ de $[0, +\infty [$,
$$
   f' (x) = -{4\over 3} (2x+1)e^{-2x}.
$$

\itemitemalph En déduire le sens de variation de $f$ sur $[0, +\infty
[$.

\itemnum Le graphique permet d'envisager une asymptote en $+\infty $
pour la courbe $C$. \` A partir de l'expression de $f (x)$, déterminer
une limite de $f$ justifiant cette propriété graphique.

\itemitemalphnum \` A l'aide du développement limité au voisinage de~0
de la fonction exponentielle $t\mapsto e^t$, donner le développement
limité à l'ordre~3 au voisinage de~0 de la fonction $x\mapsto e^{-2x}$.

\itemitemalph En déduire que le développement limité à l'ordre~3 au
voisinage de~0 de la fonction $f$ est~:
$$
   f (x) = {4\over 3} - {4\over 3}x + {8\over 9}x^3 + x^3 \varepsilon
   (x)
      \qquad {\rm avec} \quad
   \lim _{x\to 0} \varepsilon (x) = 0.
$$

\itemitemalph En déduire une équation de la tangente $T$ à la courbe
   $C$ au point d'abscisse~0 et la position relative de $C$ et $t$,
   pour $x$ positif au voisinage de~0.

\itemitemalphnum \` A l'aide d'une intégration par parties, calculer
   la valeur exacte de l'intégrale~;
$$
   I = \int _0^3 f (x) \, dx.
$$
Donner une valeur approchée, arrondie au centième, de l'intégrale $I$.

\itemitem {} Donner une interprétation graphique de l'intégrale $I$.

\itemitemalph Sur l'écran d'une calculatrice, équipée d'un logiciel
particulier (calcul formel), on lit le résultat suivant, où $t$ est un
nombre réel positif quelconque~:
$$
   I = \int _0^t f (x) \, dx = \left( -{2\over 3} t - 1\right) e^{-2t}
   + 1.
$$
{\bf Ce résultat est admis ici et n'a donc pas à être démontré.}

\itemitem {} Déterminer
$$
   \lim _{t\to +\infty } \left( -{2\over 3} t - 1\right) e^{-2t}.
$$

\itemitemalph Soit $A (t)$ l'aire, en unités d'aire, de la partie du
plan limitée par les axes de coordonnées, la courbe $C$, et la
droite d'équation $x=t$$t$ est un nombre réel positif.

\itemitem {} Déterminer $\displaystyle {J = \lim _{t\to +\infty } A
(t)}$.

\itemitemalph Déterminer la valeur exacte de $J-I$$I = A (3)$ a
été calculé à la question {\bf 4.}{\sl a\/}), et en déduire la double
inégalité~: $0\leq J-I\leq 10^{-2}$.

\itemitem {} Donner, à l'aide d'une phrase, une interprétation
graphique de $J-I$.

\finexo

\corrige {}

\let \partie \llappartie

\partie {A}
%
\num \ L'équation caractéristique associée à $(E_0)$ est l'équation $r^2
- 4 = 0$, quiadmet les 2~racines réelles $r_1 = 2$. et $r_2 = -2$. Le
  cours nous dit alors que les solutions de $(E_0)$ sont toutes les
  fonctions $y$ ayant une écriture de la forme
$$\dresultat {
   y (x) = A e^{2x} + Be^{-2x}
      \qquad {\rm où} \qquad
   \hbox {$A$ et $B$ sont 2 constantes réelles quelconques}
}$$

\num \ \` A partir de la fonction $g$ donnée, on trouve
$$
   g (x) = {4\over 3} xe^{-2x}
      \qquad \qquad
   g' (x) = {4\over 3} (-2x+1) e^{-2x}
      \qquad {\rm et} \qquad
   g'' (x) = {16\over 3} (x-1) e^{-2x}
$$
Il est alors facile de vérifier que l'on a bien
$$
   g''-4g = - {16\over 3} e^{-2x}
$$
autrement dit que l'on a bien \tresultat {$g$ solution particulière de $(E)$}.

\num \ On sait que la solution générale de $(E)$ est obtenue en
additionnant une solution particulière de $(E)$ et la solution
générale de $(E_0)$. Ici on obtient comme solution générale de $(E)$
la fonction $y$ définie par
$$\dresultat {
   y (x) = {4\over 3} xe^{-2x} + A e^{2x} + Be^{-2x}
      \qquad {\rm où} \qquad
   \hbox {$A$ et $B$ sont 2 constantes réelles quelconques}
}$$

\num \ Soit $h$ une solution de $(E)$, on a alors
$$
   h' (x) = {4\over 3} (-2x+1) e^{-2x} +2Ae^{2x}  - 2Be^{-2x}
$$
ce qui donne
$$
   h (0) = A+B
      \qquad {\rm et} \qquad
   h' (0) = {4\over 3} + 2A -2B
$$
Les conditions initiales imposées se traduisent alors par les
2~équations
$$
   A+B = {4\over 3}
      \qquad {\rm et} \qquad
   {4\over 3} + 2A -2B = -{4\over 3}
      \quad {\rm soit} \quad
   A -B = -{4\over 3}
$$
d'où le système de 2~équations à 2~inconnues
$$
   \cases {
      A+B = 4/3
   \cr
      A-B = -4/3
   \cr }
      \qquad \hbox {dont l'unique solution est le couple} \qquad
   (A, B) = \left( 0, {4\over 3} \right)
$$
Finalement, la seule fonction $h$ qui soit solution de l'équation
différentielle $(E)$ tout en vérifiant les 2~con\-di\-tions initiales
imposées est la fonction $h$ définie sur $\rset $ par
$$
   \dresultat {h (x) = {4\over 3} (x+1) e^{-2x}}
$$

\partie {B}
%
\alphnum \ Comme $(1+x)' = 1$  et $\left( e^{-2x}\right) ' =
-2e^{-2x}$, on vérifie facilement que
$\dresultat {
   f' (x) = -{4\over 3} (2x+1)e^{-2x}.
}$

\alph \ On a $f'$ sous forme d'un produit de facteurs. Or
l'exponentielle est toujours strictement positive, $-4/3$ est toujours
strictement négatif, et $(2x+1)$ est strictement positif pour $x$
positif. On en déduit que la dérivée $f' (x)$ est toujours négative
quand $x\geq 0$, autrement dit que \tresultat {la fonction $f$ est
décroissante sur $[0, +\infty [$}.

\num \ On a \dresultat {\lim _{x\to +\infty } f (x) = 0} et donc
une asymptote horizontale d'équation $y=0$, puisque 
$$
   f (x) = {4\over 3} (1+x) e^{-2x}
      = {4\over 3} e^{-2x} +  {4\over 3} x e^{-x} e^{-x}
      \qquad {\rm avec} \qquad
   \lim _{x\to +\infty } e^{-2x} = 0 = \lim _{x\to +\infty } xe^{-x} 
$$


\alphnum \ On sait que
$$
   e^t = 1 + t + {t^2 \over 2!} + {t^3 \over 3!} + t^3 \varepsilon (t)
      \qquad {\rm avec} \quad
   \lim _{t\to 0} \varepsilon (t) = 0.
$$
d'où
$$
   e^{-2x} = 1 -2x + {(-2x)^2 \over 4} + {(-2x)^3 \over 6} + x^3 \varepsilon (x)
      \qquad {\rm avec} \quad
   \lim _{x\to 0} \varepsilon (x) = 0.
$$
soit
$$\dresultat {
   e^{-2x} = 1 -2x + 2x^2 - {4x^3 \over 3} + x^3 \varepsilon (x)
      \qquad {\rm avec} \quad
   \lim _{x\to 0} \varepsilon (x) = 0.
}$$

\alph \ En multipliant cette dernière relation par ${4\over 3} (1+x)$,
en ne prenant en compte que les termes d'ordre inférieur ou égal à 3,
il vient alors
$$\dresultat {
   f (x) = {4\over 3} \left( 1 - x + {2\over 3} x^3\right) + x^3 \varepsilon (x)
      \qquad {\rm avec} \quad
   \lim _{x\to 0} \varepsilon (x) = 0.
}$$

\alph \ Cette relation nous donne immédiatement une équation de la
tangente au point d'abscisse~0~: 
$$\dresultat {
   T~: y = {4\over 3} (1 - x)
}$$
Quand à la position relative de $C$ et $T$ pour $x$ positif au
voisinage de $0$, il suffit d'étudier le signe de la différence entre
$f (x)$ et $T (x)$. Or ici on a 
$$
   f (x) - T (x) = {4\over 9} x^3 + x^3 \varepsilon (x)
      \qquad {\rm avec} \quad
   \lim _{x\to 0} \varepsilon (x) = 0.
$$
Comme ${4x^3\over 3}$ est positif pour $x$ positif, on en déduit que
\tresultat {$C$ au dessus de $T$ pour $x$ positif au voisinage de $0$}.

\alphnum \ On a
$$
   I = \int _0^3 f (x) \, dx
      = {4\over 3}\int _0^3 (1+x) e^{-2x} \, dx
$$
Posons 
$$
   U = 1+x
      \quad {\rm et} \quad
   V' = e^{-2x}
      \qquad \hbox {il vient alors} \qquad
   U' = 1
      \quad {\rm et} \quad
   V = -{e^{-2x} \over 2} 
$$
D'où
$$\eqalign {
   I &= {4\over 3} \left( - {1\over 2} \Big[ (1+x) e^{-2x}\Big] _0^3 +
   {1\over 2} \int _0^3 e^{-2x} \, dx \right)
\cr
   &= {4\over 3} \left( - {1\over 2} \left( 4e^{-6} - 1\right) -
   {1\over 4} \Big[ e^{-2x} \Big] _0^3 \right)
\cr
   &= {4\over 3} \left( - 2e^{-6} + {1\over 2}  -
   {1\over 4} \left( e^{-6} - 1\right) \right)
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {I = 1 - 3e^{-6} \approx 0, 99}
\cr
}$$
Cette quantité représente, en unité d'aire, l'aire comprise entre la
courbe $C$, l'axe $Ox$ et les droites verticales d'équation $x=0$ et
$x=3$.

\alph \ On a 
$$\displaylines {
   \lim _{t\to +\infty } \left( -{2\over 3} t - 1\right) e^{-2t}
      =    \lim _{t\to +\infty } -{2\over 3} t e^{-t} e^{-t} + {2\over
      3} e^{-2t} 
      \qquad {\rm avec} \qquad
   \lim _{t\to +\infty } e^{-2t} = 0 = \lim _{t\to +\infty } te^{-t} 
\cr
   {\rm soit} \qquad
   \dresultat {   \lim _{t\to +\infty } \left( -{2\over 3} t -
   1\right) e^{-2t} = 0}
\cr
}$$

\alph \ Par définition de $A (t)$, on a 
$$
   A (t) = \int _0^t f (x)  \, dx
      \qquad {\rm soit} \qquad
   A (t) = \left( -{2\over 3} t - 1\right) e^{-2t} + 1.
$$
En vertu des questions précédentes, on a donc bien évidemment
\dresultat {J = 1} puisque $\displaystyle {J = \lim _{t\to +\infty } A
(t)}$.

\alph \ On a donc \dresultat {J-I = 3e^{-6} \approx 0, 07}, d'où
\dresultat {0\leq J-I\leq 10^{-2}}. Et cette quantité représente 
l'aire du domaine plan infini compris entre la courbe $C$, l'axe $Ox$
et situé à droite de la droite verticale d'équation $x=3$.

\fincorrige