\exo {Des boulons\dots } \centerline {\bf Les trois questions de cet exercice sont indépendantes} Une entreprise industrielle utilise de grandes quantités d'un certain type de boulons. Un contrôle de qualité consiste à vérifier que le diamètre de la tête ou le diamètre du pied d'un boulon est conforme à la norme en vigueur. \centerline {\bf Dans ce qui suit, tous les résultats approchés seront donnés à $10^{-2}$ près.} \itemnum Un boulon de ce type est considéré comme conforme pour le diamètre de sa tête si celui-ci est, en millimètres, compris entre $25, 30$ et $25, 70$. \item {} On note $D$ la variable aléatoire qui, à chaque boulon choisi au hasard dans un lot très important, associe le diamètre de sa tête. \item {} On suppose que $D$ suit la loi normale de moyenne $25, 50$ et d'écart-type $0, 10$. \item {} Déterminer la probabilité qu'un boulon choisi au hasard dans le lot soit conforme pour le diamètre de sa tête. \itemnum Dans un lot de ce type de boulons, $96\% $ ont le diamètre de la tête conforme. \item {} On prélève au hasard $10$ boulons de ce lot pour vérification du diamètre de leur tête. Le stock est suffisament important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de $10$ boulons. \item {} On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de $10$ boulons, associe le nombre de boulons conformes pour le diamètre de la tête. \itemitemalph Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres. \itemitemalph Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus un boulon ne soit pas conforme pour le diamètre de la tête. \itemnum Dans cette question, on veut contrôler la moyenne $\mu $ de l'ensemble des diamètres, en mm, des pieds de boulon constituant un stock très important~; on se propose de construire un test d'hypothèse. \item {} On note $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque boulon tiré au hasard dans le stock, associe le diamètre, en mm, de son pied. \item {} La variable aléatoire $Y$ suit la loi normale de moyenne inconnue $\mu $ et d'écart-type $\sigma = 0, 1$. \item {} On désigne par $\overline {Y}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de $100$ boulons prélevé dans un stock, associe la moyenne des diamètres des pieds de ces 100~boulons (le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ces pré\-lè\-ve\-ments à des tirages avec remise). \item {} L'hypothèse nulle est $H_0~: \mu = 10$. Dans ce cas, les boulons du stock sont conformes pour le diamètre de leur pied. \item {} L'hypothèse alternative est $H_1~: \mu \neq 10$. \item {} Le seuil de signification du test est fixé à $0, 05$. \itemitemalph Justifier que, sous l'hypothèse nulle $H_0$, $\overline {Y}$ suit la loi normale de moyenne $10$ et d'écart-type $0, 01$. \itemitemalph Sous l'hypothèse nulle $H_0$, déterminer le nombre réel positif $h$ tel que $$ P \left( 10-h \leq \overline {Y} \leq 10+h\right) = 0, 95. $$ \itemitemalph \' Enoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test. \itemitemalph On prélève un échantillon de 100~boulons et on observe que, pour cet échantillon, la moyenne des diamètres des pieds est $\overline {y} = 10, 03$. \itemitem {} Peut-on, au risque de $5\% $, conclure que les boulons du stock sont conformes pour le diamètre de leur pied~? \finexo \corrige {} \num \ Si $D$ suit la loi normale ${\cal N} (25, 50 ; 0, 1)$ alors la variable $T$ définie par $T = (D-25, 5) / 0, 1$ suit la loi normale centrée réduite ${\cal N} (0, 1)$ dont la table est dans le formulaire. Il vient alors $$\eqalign { p (25, 3 \leq D \leq 25, 7) &= p \left( {25, 3 - 25, 5\over 0, 1} \leq {D - 25, 5\over 0, 1} \leq {25, 7 - 25, 5\over 0, 1} \right) \cr &= p (-2 \leq T \leq 2) = \Pi (2) - \Pi (-2) = 2\Pi (2) - 1 \cr &= 2\times 0, 977\, 2 - 1 \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {p (25, 3 \leq D \leq 25, 7) = 0, 954\, 4 \approx 0, 96} }$$ \alphnum \ On répète 10 fois la même expérience. Tous les tirages sont indépendants, et il n'y a que 2~issues possibles~: succès ou échec. La probabilité du succès (boulon conforme) étant de $0, 96$, et $X$ comptant le nombre de succès, on en déduit que la variable $X$ suit \tresultat {la loi binomiale ${\cal B} (10; 0, 96)$}. \alph \ On cherche la probabilité d'avoir au maximum un boulon non conforme. Autrement dit, on veut calculer $p (X\geq 9)$. Il vient alors $$\eqalign { p (X\geq 9) &= p (X=9) + p (X=10) \cr &= C_{10}^9 (0, 96)^9 \times (0, 04)^1+ C_{10}^{10} (0, 96)^{10} \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {p (X\geq 9) = 0, 94} }$$ \alphnum \ On sait que $Y$ suit la loi normale ${\cal N} (\mu, \sigma )$, et le cours nous dit que la variable $\overline Y$ suit la loi normale ${\cal N} \left( \mu, {\sigma \over \sqrt n}\right) $. Ici, sous l'hypothèse nulle, on a $\mu = 10$, $\sigma = 0, 1$ et $n = 100$. Donc $$ \tresultat {$\overline Y$ suit la loi normale ${\cal N} (10; 0, 01)$}. $$ \alph \ La variable $\overline T$ définie par $\overline T = (\overline Y - 10) / 0, 01$ suit la loi normale ${\cal N} (0, 1)$. Donc $$ p \left( 10-h \leq \overline {Y} \leq 10+h\right) = p \left( -{h\over 0, 01} \leq \overline {T} \leq {h\over 0, 01}\right) = 2 \Pi \left( {h\over 0, 01} \right) - 1 {\buildrel \rm hyp\over =} 0, 95 $$ Cette dernière relation entraine $$ \Pi \left( {h\over 0, 01} \right) = 0, 975 \qquad {\rm et\ donc} \qquad {h \over 0, 01} = 1, 96 \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {h = 0, 0196 \approx 0, 02} $$ \alph \ La règle de décision est alors la suivante~: dans le stock donné, on prélève un échantillon aléatoire de 100~boulons, et on calcule la moyenne $\overline y$ des diamètres de leurs pieds. Si cette moyenne est dans l'intervalle $[9, 98 \, ; 10, 02]$ alors on accepte l'hypothèse $H_0$, sinon on la refuse. \alph \ En vertu de la règle énoncée ci-dessus, on ne peut, au seuil de $5\% $, conclure que les boulons sont conformes pour le diamètre de leur pied. \fincorrige