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Source de equ1_028.tex

Fichier TeX
\exo {\' Equation différentielle et étude de fonction}

{\bf Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de
façon indépendante.}

\let \partie \centerpartie

\partie {A -- {\sl Résolution d'une équation différentielle}}

On considère l'équation différentielle
$$
   y' - 2y = e^{2x}
\leqno
   (E)
$$$y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et
dérivable sur $\rset $ et $y'$ sa fonction dérivée.

\itemnum Résoudre sur $\rset $ l'équation différentielle~:
$$
   y' - 2y = 0.
\leqno
   (E_0)
$$

\itemnum Soit $h$ la fonction définie sur $\rset $ par $h (x) = x
e^{2x}$.

\item {} Démontrer que $h$ est une solution particulière de l'équation
différentielle $(E)$.

\itemnum Déterminer la solution particulière $f$ de l'équation $(E)$
qui vérifie la confition $f (0) = -1$.

\partie {B -- {\sl \' Etude d'une fonction}}

Soit $f$ la fonction définie sur $\rset $ par $f (x) = (x-1) e^{2x}$.

Sa courbe représentative $C$ est donnée dans le repère de l'annexe (à
rendre avec la copie).

\itemitemalphnum Calculer 
$\displaystyle {
   \lim _{x\to +\infty } f (x).
}$

\itemitemalph On admet que
$\displaystyle {
   \lim _{x\to -\infty } xe^{2x} = 0
}$. En déduire
$\displaystyle {
   \lim _{x\to -\infty } f (x).
}$

\itemitemalph Interpréter géométriquement le résultat obtenu au {\sl
   b\/}).

\itemitemalphnum Démontrer que, pour tout $x$ de $\rset $, $f' (x) =
(2x-1) e^{2x}$.

\itemitemalph Résoudre dans $\rset $ l'inéquation $f' (x) \geq 0$.

\itemitemalph En déduire le sens de variation de $f$ sur $\rset $.

\itemitemalphnum \` A l'aide du développement limité au voisinage de
$0$ de la fonction exponentielle $t\mapsto e^t$, donner le
développement limité, à l'ordre~$3$, au voisinage de $0$ de la
fonction $x\mapsto e^{2x}$.

\itemitemalph En déduire que le développement limité, à l'ordre~$3$,
au voisinage de $0$ de la fonction $f$ est~:
$$
   f (x) = -1 - x + {2\over 3} x^3 + x^3 \varepsilon (x)
      \qquad {\rm avec} \qquad
   \lim _{x\to 0} \varepsilon (x) = 0.
$$

\itemitemalph En déduire une équation de la tangente $T$ à la courbe
      $C$ au point d'abscisse $0$ et la position relative de $C$ et $T$
      au voisinage de ce point.

\itemitemalph Tracer $T$ dans le repère de l'annexe.

\partie {C -- {\sl Calcul intégral}}

\itemnum Soit $\alpha $ un réel strictement négatif~; on pose 
$\displaystyle {
   I (\alpha ) = \int _\alpha ^0 f (x) \, dx
}$.

\item {} Démontrer que
$$
   I (\alpha ) = - {3\over 4} - \left( {1\over 2}\alpha - {3\over 4}\right) e^{2\alpha }.
$$
On pourra effectuer une intégration par parties.

\itemitemalphnum Calculer la limite de $I (\alpha )$ quand $\alpha $
tend vers $-\infty $.

\itemitemalph \` A l'aide d'une phrase, donner une interprétation
graphique de ce résultat.

\vfill \eject

\let \partie \simplecenterpartie

\partie {\twentybf Annexe}

\def \epspath {}
\epsfxsize 140mm
$$
   \superboxepsillustrate {equ1_028a.ps}
$$

\finexo

\corrige {}

\let \partie \llappartie
\everymath = {\displaystyle }

\partie {A}
\vskip -6.5mm

\itemnum Le cours nous donne immédiatement la solution générale de
$(E_0)$~: \dresultat {y = k e^{2x}, \quad k \in \rset }.

\itemnum Si $h = xe^{2x}$, alors $h' = (1+2x) e^{2x}$ et $h'-2h =
e^{2x}$, ce qui prouve que \tresultat {$h$ est une solution
particulière de $(E)$}.

\itemnum On déduit alors des questions précédentes que la solution
générale de $(E)$ est \dresultat {y = (x+k) e^{2x}, \quad k \in \rset }.

\itemnum La fonction $f$ étant une solution de $(E)$ vérifiant la
condition initiale $f (0) = -1$, on obtient immédiatement $f (0) = k =
-1$, autrement dit \dresultat {f (x) = (x-1) e^{2x}}.

\partie {B}
\vskip -5.5mm

\itemalphnum 
On a \dresultat {\lim _{x\to +\infty } f (x) = +\infty } puisque $f
(x) = (x-1) e^{2x}$ avec $\lim _{x\to +\infty } (x-1)= +\infty = \lim
_{x\to +\infty } e^{2x}$. 

\itemalph 
et on a \dresultat {\lim _{x\to -\infty } f (x) = 0} puisque $f
(x) = xe^{2x} - e^{2x}$ avec $\lim _{x\to -\infty } xe^{2x} = 0 = \lim
_{x\to -\infty } e^{2x}$. 

\itemalph On en déduit une \tresultat {asymptote horizontale
d'équation $y = 0$}. 

\itemalphnum \alph \ Il vient 
$$
   f' (x) = \big( 2 (x-1) + 1\big) e^{2x}
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {f' (x) = (2x-1)e^{2x}}
$$
qui est du signe de $2x-1$ puisque $e^{2x}$ est toujours strictement
positif. D'où \dresultat {f' (x) \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 1/2}.

\itemalph On a finalement le tableau de variation suivant~:
$$\dresultat {
\vcenter {\offinterlineskip \eightpoint \rm 
   \def \cc#1{ \hfil #1 \hfil }
   \halign {
   % preamble
      \cc {$#$}& #\tv && \cc {$#$}
   \cr
      x&& -\infty && 1/2&& +\infty
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt }
      f' (x)&& &-& 0& +
   \cr
   \noalign {\hrule height 1pt}
      \buucenter {$f (x)$}&& \buup {$0$}&
      \brightddownarrow & \down{$- {1\over 2}e$}& 
      \brightuuparrow & \buup {$+\infty $}
   \cr
}}
}$$

\itemalphnum On sait que 
$$
   e^t = 1 + t + {t^2\over 2} + {t^3\over 6} + t^3 \varepsilon (t)
      \qquad {\rm avec} \qquad
   \lim _{t\to 0} \varepsilon (t) = 0.
$$
donc
$$\dresultat {
   e^{2x} = 1 + 2x + 2x^2 + {4\over 3}x^3 + x^3 \varepsilon (x)
      \qquad {\rm avec} \qquad
   \lim _{x\to 0} \varepsilon (x) = 0.
}$$

\itemalph En multipliant ce dernier développement par le polynôme
      $x-1$, on obtient alors
$$\eqalign {
   (x-1)e^{2x} &= (x-1) \left( 1 + 2x + 2x^2 + {4\over 3}x^3 \right) +
      x^3 \varepsilon (x) 
      \qquad {\rm avec} \qquad
   \lim _{x\to 0} \varepsilon (x) = 0.
\cr
   &= -1 + (1-2) x + (2-2) x^2 + \left( 2-{4\over 3}x^3 \right) +
      x^3 \varepsilon (x) 
      \qquad {\rm avec} \qquad
   \lim _{x\to 0} \varepsilon (x) = 0.
\cr
   \hbox {soit encore} \qquad & \qquad
   \dresultat {   
      f (x) = -1 - x + {2\over 3} x^3 + x^3 \varepsilon (x)
   	 \qquad {\rm avec} \qquad
      \lim _{x\to 0} \varepsilon (x) = 0.
   }
}$$

\itemalph Ce développement donne immédiatement, non seulement une
   équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse
   $0$~: \dresultat {T~: y = -1-x}, mais aussi la différence entre la
   courbe $C$ et la tangente $T$ au voisinage de $0$. Ainsi 
$$
   f (x) - (-1-x) = {2\over 3} x^3 + x^3 \varepsilon (x)
   	 \qquad {\rm avec} \qquad
      \lim _{x\to 0} \varepsilon (x) = 0.
$$
Au voisinage de $0$, cette différence est donc du signe de
$2x^3/3$. Ce qui nous permet d'affirmer que, au voisinage de $x=0$, la
courbe $C$ est \tresultat {en dessous de $T$ pour $x<0$, au dessus
sinon}.

\def \epspath {}

\itemalph 
$$
   \superboxepsillustrate {equ1_028b.ps}
$$

\partie {C}
\vskip -5mm

\itemnum
$$
   I (\alpha ) = \int _\alpha ^0 (x-1) e^{2x} \, dx
      \qquad \hbox {du type} \qquad
   \int U V'
      \qquad {\rm avec} \qquad
   \cases {
      U = x-1
   \cr
      V' = e^{2x}
   \cr }
      \quad {\rm et} \quad
   \cases {
      U' = 1
   \cr
      V = {1\over 2}e^{2x}
   \cr }
$$
D'où 
$$\eqalign {
   I (\alpha ) &= \Big[ {1\over 2}(x-1) e^{2x}\Big] _\alpha ^0 -
      {1\over 2}\int _\alpha ^0 e^{2x} \, dx
\cr
      &= -{1\over 2} - {1\over 2} (\alpha - 1)e^{2\alpha } - {1\over
      2}\Big[ {1\over 2}e^{2x}\Big] _\alpha ^0
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {I (\alpha ) = - {3\over 4} - \left( {1\over 2}\alpha -
      {3\over 4}\right) e^{2\alpha }}.
\cr 
}$$

\itemalphnum Et, de la même façon qu'au {\bf B-1.}{\sl b\/}), il vient
\dresultat {\lim _{\alpha \to -\infty } I (\alpha) = {-3\over 4}}
puisque 
$$
   I (\alpha ) = - {3\over 4} - {1\over 2}\alpha e^{2\alpha } -
      {3\over 4}e^{2\alpha }
      \qquad {\rm avec} \qquad
   \lim _{x\to -\infty} \alpha e^{2\alpha } = 0 = \lim _{x\to -\infty}
      e^{2\alpha }  
$$

\itemalph Graphiquement, ce dernier résultat signifie \tresultat
      {qu'une mesure de l'aire $\cal A$ est $3/4$ d'unités d'aire}, où
      $\cal A$ désigne l'aire du domaine plan infini délimité par la
      courbe $C$ et les axes $Ox$ et $Oy$.


\finexo