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Source de synt_005.tex

Fichier TeX
\exo {Pièces métalliques et contrôle de qualité}

\let \partie \centerpartie

{\bf Les parties A, B et C de cet exercice peuvent être traitées de
façon indépendante.}

Une entreprise fabrique, en grande quantité, des pièces métalliques
rectangulaires dons les cotés sont exprimés en millimètres.

Un contrôle de qualité consiste à à vérifier que la longueur et la
largeur des pièces sont conformes à la norme en vigueur.

{\bf Dans ce qui suit, tous les résultats approchés seront arrondis à
$\bf 10^{-3}$.}

\partie {A}

On note $E$ l'événement~: \og \sl Une pièce prélevée au hasard dans le
stock de l'entreprise est conforme\fg .

On suppose que la probabilité de l'événement $E$ est $0, 9$.

On prélève au hasard $10$~pièces dans le stock. Le stock est
assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un
tirage avec remise de $10$~pièces.

On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de
$10$~pièces, associe le nombre de pièces conformes parmi ces
$10$~pièces.

\itemnum Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi
binomiale dont on déterminera les paramètres.

\itemnum Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement,
$8$~pièces au moins soient conformes.

\partie {B}

Une partie des pièces de la production de l'entreprise est fabriquée
par une machine automatique notée \og machine~$1$\fg .

Soient $M$ et $N$ les variables aléatoires qui, à chaque pièce
prélevée au hasard dans un lot très important fabriqué par la
machine~$1$, associent respectivement sa longueur et sa largeur.

On suppose que $M$ suit la loi normale de moyenne $m_1 = 250$ et
d'écart-type $\sigma _1 = 1, 94$.

On suppose que $N$ suit la loi normale de moyenne $m_2 = 150$ et
d'écart-type $\sigma _2 = 1, 52$.

\itemnum Calculer la probabilité pour que la longueur d'une pièce
prélevée au hasard dans ce lot soit comprise entre $246$ et $254$.

\itemnum Calculer la probabilité pour que la largeur d'une pièce
prélevée au hasard dans ce lot soit comprise entre $147$ et $153$.

\itemnum Une pièce est conforme si sa longueur est comprise entre
$246$ et $254$ et si sa largeur est comprise entre $147$ et $153$.

\item {} On admet que les variables $M$ et $N$ sont indépendantes.

\item {} Montrer que la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard
dans ce lot soit conforme est $0, 914$.

\partie {C}

Une autre machine automatique de l'entreprise, notée \og
machine~$2$\fg \ fabrique également ces mêmes pièces en grande
quantité.

On suppose que la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard dans la
production d'une journée de la machine~$1$ soit conforme est $p_1 = 0,
914$ et que la probabilité qu'une pièce choisie au hasard dans la
production d'une journée de la machine~$2$ est $p_2 = 0, 879$.

La machine~$1$ fournit $60\% $ de la production totale des ces pièces
et la machine~$2$ le reste de cette production.

On prélève au hasard une pièce parmi la production totale de
l'entreprise de la journée.

Toutes les pièces ont la même probabilité d'être tirées.

On définit les événements suivants~:

\item {} $A$~: \og \sl la pièce provient de la machine $1$\fg ~;

\item {} $B$~: \og \sl la pièce provient de la machine $2$\fg ~;

\item {} $C$~: \og \sl la pièce est conforme\fg .

\itemnum Déterminer les probabilités $p (A)$, $p (B)$, $p (C\| _A)$,
$p (C\| _B)$.

\item {} (On rappelle que $p (C\| _A)$ est la probabilité de
l'événement $C$ sachant que l'événement $A$ est réalisé.)

\itemnum En déduire $p (C\cap A)$ et $p (C\cap B)$.

\itemnum En admettant que $C = (C\cap A) \cup (C\cap B)$, calculer $p
(C)$.

\finexo

\corrige {}

\let \partie \llappartie

\partie {A}
\vskip -5mm

\itemnum Dans l'expérience considérée, les 10~tirages sont {\bf
indépendants}. De plus, l'expérience ne comporte que {\bf 2~issues
possibles} (conforme ou non). On en conclu que \tresultat {$X$ suit la
loi ${\cal B} (10 ; 0, 9)$}.

\itemnum Il vient alors
$$\eqalign {
   p (X\geq 8) &= p (X=8) + p (X=9) + p (X=10)
\cr
      &= C_{10}^8 (0, 9)^8 (0, 1)^2 +C_{10}^9 (0, 9)^9 (0, 1) +
      C_{10}^{10} (0, 9)^{10}
         \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {p (X\geq 8) \approx 0, 930}
\cr
}$$
Le calcul des $C_n^p$ ayant donné
$$
   C_{10}^8 = {10 \times 9 \times \cdots \times 4 \times 3\over 8
   \times 7 \times \cdots \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = {10
   \times 9\over 2} = 45
      \qquad
   C_{10}^9 = {10 \times 9 \times \cdots \times 3 \times 2\over 9
   \times 8 \times \cdots \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 10
$$

\partie {B}
\vskip -5mm

\itemnum Si $M$ suit la loi normale ${\cal N} (250 ; 1, 94)$, alors la
   variable $T_1$ définie par
\smash {$\displaystyle 
   T_1 = {M-250 \over 1, 94}
$} 
suit la loi
   normale centrée réduite ${\cal N} (0 ; 1)$. Il vient donc
$$\eqalign {
   p (246\leq M\leq 254) 
      &= p \left( {246- 250\over 1, 94}\leq {M-250\over 1, 94}\leq {250-254\over 1, 94}\right)
\cr
      &= p \left( {-4\over 1, 94}\leq T_1 \leq {4\over 1, 94}\right)
\cr
      &= 2\Pi \left( {4\over 1, 94}\right) - 1 \approx 0, 960\, 6
         \qquad {\rm d'où} \qquad
   \dresultat {p (246\leq M\leq 254) \approx 0, 961}
\cr
}$$

\itemnum Si $N$ suit la loi normale ${\cal N} (150 ; 1, 52)$, alors la
   variable $T_2$ définie par 
\smash {$\displaystyle 
   T_2 = {N-150 \over 1, 52}
$} 
suit la loi
   normale centrée réduite ${\cal N} (0 ; 1)$. Il vient donc
$$\eqalign {
   p (147\leq M\leq 153) 
      &= p \left( {147- 150\over 1, 52}\leq {N-150\over 1, 52}\leq {153-254\over 1, 52}\right)
\cr
      &= p \left( {-3\over 1, 52}\leq T_2 \leq {3\over 1, 52}\right)
\cr
      &= 2\Pi \left( {3\over 1, 52}\right) - 1 \approx 0, 951\, 2
         \qquad {\rm d'où} \qquad
   \dresultat {p (147\leq N\leq 253) \approx 0, 951}
\cr
}$$

\itemnum Désignons respectivement par $E_1$ et $E_2$ les événements~:

\itemitem {} $E_1$~: \og \sl la longueur est comprise entre $246$ et
$254$\fg ~;

\itemitem {} $E_2$~: \og \sl la largeur est comprise entre $147$ et
$153$\fg .

\item {} Les variables $M$ et $N$ étant indépendantes, les événements
$E_1$ et $E_2$ le sont également. On en déduit donc la probabilité
cherchée~:
$$
   p (E_1 \cap E_2) = p (E_1) \times p (E_2) = 0, 961 \times 0, 951
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {p (E_1 \cap E_2) \approx 0, 914}.
$$

\partie {C}
\vskip -5mm

\itemnum \' Etant donné que $B = \overline A$, la lecture directe des
      hypothèses donne immédiatement
$$
   \dresultat {p (A) = 0, 6}
      \qquad
   \dresultat {p (B) = 0, 4}
      \qquad
   \dresultat {p (C\| _A) = 0, 914}
      \qquad
   \dresultat {p (C\| _B) = 0, 879}
$$

\itemnum Il vient alors
$$
   p (C\cap A) = p (A) \times p (C\| A) = 0, 6 \times 0, 914
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {p (C \cap A) \approx 0, 548}
$$
et, de la même façon,
$$
   p (C\cap B) = p (B) \times p (C\| B) = 0, 4 \times 0, 879
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {p (C \cap B) \approx 0, 352}
$$

\itemnum On admet que $C = (C\cap A) \cup (C\cap B)$. En remarquant
      que les ensembles $C\cap A$ et $C\cap B$ sont disjoints puisque
      $A\cap B = \emptyset $, il vient
$$
   p (C) = p (C\cap A) + p (C\cap B) = 0, 548 + 0, 352
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {p (C) = 0, 9}.
$$

\fincorrige