\exo {Assurances d'une flotte de véhicules} \centerline {\bf Les quatres questions de cet exercice sont indépendantes.} Dans un groupe d'assurances on s'intéresse aux sinistres suceptibles de survenir, une année donnée, aux véhicules de la flotte d'une importante entreprise de maintenance de chauffage collectif. {\bf Dans cet exercice, sauf mention du contraire, les résultats sont à arrondir à $10^{-3}$ près.} \itemnum {\sl \' Etude du nombre de sinistres par véhicule} \item {} Soit $X$ la variable aléatoire qui, à tout véhicule tiré au hasard dans un des parcs de la flotte, associe le nombre de sinistres survenant pendant l'année considérée. \item {} On admet que $X$ suit la loi de Poisson de paramètre $0, 28$. \itemitemalph Calculer la probabilité de l'événement $A$~: \og \sl un véhicule tiré au hasard dans le parc n'a aucun sinistre pendant l'année considérée\fg . \item {} \itemitemalph Calculer la probabilité de l'événement $B$~: \og \sl un véhicule tiré au hasard dans le parc a, au plus, deux sinistres pendant l'année considérée\fg . \itemnum {\sl \' Etude du nombre de sinistres dans une équipe de 15 conducteurs} \item {} On note $E$ l'événement~: \og \sl un conducteur tiré au hasard dans l'ensemble des conducteurs de l'entreprise n'a pas de sinistre pendant l'année considérée\fg . \item {} On suppose que la probabilité de l'événement $E$ est $0, 6$. \item {} On tire au hasard 15 conducteurs dans l'effectif des conducteurs de l'entreprise. Cet effectif est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à untirage avec remise de 15 conducteurs. \item {} On coinsidère la variable aléatoire $Y$ qui, à tout prélèvement de 15 conducteurs, associe le nombre de conducteurs n'ayant pas de sinistre pendant l'année considérée. \itemitemalph Justifier que la variable aléatoire $Y$ suit une loi binomiale et déterminer ses paramètres. \itemitemalph Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, 10 conducteurs n'aient pas de sinistre pendant l'année considérée. \itemnum {\sl \' Etude du coût des sinistres} \item {} Dans ce qui suit, on s'intéresse au coût d'une certaine catégorie de sinistres survenus dans l'entreprise pendant l'année considérée. \item {} On considère la variable aléatoire $C$ qui, à chaque sinistre tiré au hasard parmi les sinistres de cette catégorie, associe son coût en euros. \item {} On suppose que $C$ suit la loi normale de moyenne $1\, 200$ et d'écart type $200$. \item {} Calculer la probabilité qu'un sinistre tiré au hasard parmi les sinistres de ce type coûte entre $1\, 000$~euros et $1\, 500$~euros. \itemnum {\bf La question ci-dessous doit être traitée par les candidats de toutes les spécialités de BTS du groupement B, à l'exception du BTS Maintenance et exploitation des matériels aéronautiques.} \item {} On considère un échantillon de $100$ véhicules prélevés au hasard dans le parc de véhicules mis en service depuis 6~mois. Ce parc contient suffisamment de véhicules pour qu'on puisse assimiler ce tirage à un tirage avec remise. \item {} On constate que $91$~véhicules de cet échantillon n'ont pas eu de sinistre. \itemitemalph Donner une estimation ponctuelle du pourcentage $p$ de véhicules de ce parc qui n'ont pas eu de sinistre 6~mois après leur mise en service. \itemitemalph Soit $F$ la variable aléatoire qui à tout échantillon de $100$~véhicules prélevés au hasard et avec remise dans ce parc, associe le pourcentage de véhicules qui n'ont pas eu de sinistre 6~mois après leur mise en service. \itemitem {} On suppose que $F$ suit la loi normale $$ {\cal N} \left( p, \sqrt {p (1-p)\over 100}\right) $$ où $p$ est le pourcentage inconnu de véhicules du parc qui n'ont pas eu de sinistre 6~mois après leur mise en service. \itemitem {} Déterminer un intervalle de confiance du pourcentage $p$ avec le coefficient de confiance $95\% $. \itemitemalph On considère l'affirmation suivante~: \og \sl le pourcentage $p$ est obligatoirement dans l'intervalle de confiance obtenu à la question b\/{\rm )}\fg . Est-elle vraie~? (On ne demande pas de justification.) \advance \numno by -1 \itemnum {\bf La question ci-dessous doit être traitée uniquement par les candidats au BTS Maintenance et exploitation des matériels aéronautiques.} \item {} Pour un parc de véhicules, on a relevé le nombre de sinistres par véhicule pendant la première année de mise en service. \item {} Pour les véhicules ayant eu, au plus, quatre sinistres, on a obtenu~: $$ \vcenter {\offinterlineskip \halign { %% preamble #\tv && \cc{$#$}& #\tv \cr \noalign {\hrule } & \matrix { \hbox {\tvi height 12pt depth 0pt Nombre de}\cr \hbox {\tvi height 0pt depth 8pt sinistres~: $x_i$}} && 0&& 1&& 2&& 3&& 4& \cr \noalign {\hrule } & \hbox {Effectif~: $n_i$} && 1\, 345&& 508&& 228&& 78&& 35& \cr \noalign {\hrule } }} $$ \itemitemalph Compléter, après l'avoir reproduit, le tableau suivant~: $$ \vcenter {\offinterlineskip \halign { %% preamble #\tv && \cc{$#$}& #\tv \cr \noalign {\hrule } & \matrix { \hbox {\tvi height 12pt depth 0pt Nombre de}\cr \hbox {\tvi height 0pt depth 8pt sinistres~: $x_i$}} && 0&& 1&& 2&& 3&& 4& \cr \noalign {\hrule } & y_i = \ln n_i && && && && && & \cr \noalign {\hrule } }} $$ \itemitemalph Déterminer, à l'aide d'une calculatrice, une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ sous la forme $$ y = ax+b $$ où $a$ et $b$ sont à arrondir à $10^{-2}$. \itemitemalph \` A l'aide de l'équation précédente, estimer le nombre de véhicules ayant eu six sinistres pendant leur première année de mise en circulation. \finexo \corrige \itemnum On a donc $X$ qui suit ${\cal P} (0, 28)$. \itemalph Il vient $p (A) = p (X=0) = e^{-0, 28}$, soit \dresultat {p (A) \approx 0, 756}. \itemalph Il vient $$\eqalign { p (B) &= p (X\leq 2) = p (X=0) + p (X=1) + p (X=2) \cr &= e^{-0, 28}+ 0, 28e^{-0, 28} + {0, 28^2\over 2}e^{-0, 28} \cr &= e^{-0, 28} \left( 1 + 0, 28 + {0, 28^2\over 2}\right) \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {p (B) \approx 0, 997}. }$$ \itemalphnum On a 15~tirages {\bf indépendants} (puisqu'assimilés à des tirages avec remise), chacun d'entre eux n'a que {\bf 2 issues possibles} ($E$ ou $\overline E$), et la variable $Y$ {\bf compte le nombre d'événements $E$}, la probabilité de $E$ étant de $0, 6$. On en conclut que la variable $Y$ suit la loi binomiale \dresultat {{\cal B} (15;0,6)}. \itemalph Il vient $$\eqalign { p (Y=10) &= C_{15}^{10} \times (0, 6)^{10} \times (0, 4)^5 \cr &= C_{15}^{5} \times (0, 6)^{10} \times (0, 4)^5 \cr &= {15\times 14\times 13\times 12\times 11\over 5!} \times (0, 6)^{10} \times (0, 4)^5 \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {p (Y = 10) \approx 0, 002}. \cr }$$ \itemnum On a $C$ qui suit la loi ${\cal N} (1\, 200; 200)$, donc la variable $T$ définie par $$ T = {C - 1\, 200\over 200} $$ suit la loi normale centrée réduite ${\cal N} (0, 1)$. D'où $$\eqalign { p (1\, 000 \leq C\leq 1\, 500) &= p \left( {1\, 000 - 1\, 200\over 200}\leq {C- 1\, 200\over 200}\leq {1\, 500- 1\, 200\over 200}\right) \cr &= p \left( -1\leq T\leq {3\over 2}\right) \cr &= \Pi (1, 5) - \Pi (-1) = \Pi (1, 5) + \Pi (1) - 1 \cr &= 0, 933\, 2 + 0, 841\, 3 - 1 \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {p (1\, 000 \leq C\leq 1\, 500) \approx 0, 775}. }$$ \itemalphnum Une estimation ponctuelle de $p$ est \dresultat {f = {91\over 100} = 0, 91}. \itemalph On sait que $F$ suit la loi normale ${\cal N} (p, \sigma ') = {\cal N} \left( p, \sqrt {p (1-p)\over 100}\right) $. Or pour calculer un intervalle de confiance, nous avons besoin d'une estimation de l'écart type $\sigma '$. Une estimation ponctuelle de $p$ étant $f = 0, 91$ sur un échantillon de taille $n = 100$, le cours nous dit qu'une estimation ponctuelle de $\sigma '$ est $$ s = \sqrt {n\over n-1} \times \sqrt {f (f-1)\over n} = \sqrt {f (f-1)\over n-1} = \sqrt {0, 91 \times 0, 09\over 99} $$ soit $s \approx 0, 009\, 1$. \item {} Sachant donc que $F$ suit la loi normale ${\cal N} (p, \sigma ')$, on en déduit que la variable $Z$ définie par $Z = (F-p)/\sigma '$ suit la loi normale ${\cal N} (0; 1)$, et nous cherchons le réel $a$ tel que $$\displaylines { p (p-a \leq F \leq p+a) = 0, 95 \cr \Longleftrightarrow \quad p \left( - {a\over \sigma'} \leq Z \leq {a\over \sigma '}\right) = 0, 95 = 2\Pi \left( {a\over \sigma '}\right) - 1 \cr \Longleftrightarrow \quad {a\over \sigma '} = 1, 96 \quad \Longleftrightarrow \quad a = 1, 96 \sigma ' \cr }$$ En utilisant l'estimation ponctuelle $s$ de $\sigma '$, il vient $a\approx 0, 01784$. En utilisant maintenant l'estimation ponctuelle $f$ de $p$, on trouve comme \tresultat {intervalle confiance à $95\% $~: $[90, 982 ; 91, 018]$}. \fincorrige