\exo{Racines n-ièmes de l'unité} \let \partie \llappartie \partie {A} % \vskip -5mm {\bf Racines carrées de l'unité~:} On considère le nombre complexe $$ z = -1 $$ \itemnum Déterminer la forme algébrique de $z^2$. \itemnum Calculer $1 + z$. \itemnum Déterminer les formes trigonométriques de $z$ et $z^2$. \itemnum Placer dans un repère orthonormal les points d'affixes $z$, $z^2$. \partie {B} % \vskip -5mm {\bf Racines cubiques de l'unité~:} On considère le nombre complexe $$ z = {1\over2} (-1 + i \sqrt3) $$ \itemnum Déterminer les formes algébriques de $z^2$ et $z^3$. \itemnum Calculer $1 + z + z^2$. \itemnum Déterminer les formes trigonométriques de $z$, $z^2$ et $z^3$. \itemnum Placer dans un repère orthonormal les points d'affixes $z$, $z^2$ et $z^3$ (faire une construction exacte). \remarque Ce nombre $z$ est particulier. En mathématique, on a l'habitude de le noter $j$, et on dit que c'est une {\sl racine cubique primitive de l'unité}. \finremarque \partie {C} % \vskip -5mm {\bf Racines quatrièmes de l'unité~:} On considère le nombre complexe $$ z = i $$ \itemnum Déterminer la forme algébrique de $z^2$, $z^3$ et $z^4$. \itemnum Calculer $1 + z + z^2 + z^3$. \itemnum Déterminer les formes trigonométriques de $z$, $z^2$ $z^3$ et $z^4$. \itemnum Placer dans un repère orthonormal les points d'affixes $z$, $z^2$, $z^3$ et $z^4$. \finexo