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Source de geom_005.tex

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\exo{Complexes et géométrie}

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal $(O, \vec u, \vec
v)$ d'unité graphique 1~cm (ou 1~grand carreau si vous préférez).

\itemnum On considère les deux nombres complexes
$$
   z_A = \left[ 4, {\pi \over 3} \right]
      \qquad {\rm et} \qquad
   z_B = 2 - 2i \sqrt 3.
$$

\itemitemalph Déterminer la forme algébrique du nombre $z_A$.

\itemitemalph Déterminer la forme trigonométrique du nombre $z_B$.

\itemitemalph Placer dans le plan les points $A$ et $B$ d'affixes
      respectives $z_A$ et $z_B$. (On laissera
      des traces des constructions.)

\itemnum On considère les deux nombres complexes
$$
   z_C = -4
      \qquad {\rm et} \qquad
   z_D = -1 + i \sqrt 3.
$$

\itemitemalph Calculer le module et un argument de chacun de ces deux
      nombres complexes.

\itemitemalph Placer dans le plan complexe les points $C$ et $D$
d'affixes respectives $z_C$ et $z_D$.

\itemitemalphnum Démontrer que les points $A$, $B$ et $C$
appartiennent à un même cercle de centre~$O$.

\itemitemalph Démontrer que $D$ est le milieu du segment $[AC]$.

\itemitemalph Démontrer que le triangle $BDA$ est rectangle.

\itemitemalph Démontrer que le triangle $ABC$ est équilatéral.

\finexo

\corrige{}

\itemalphnum Par définition, on a 
$$
   a = 4 \left( \cos \left( {\pi \over 3}\right) + i \sin \left( {\pi
   \over 3}\right) \right) = 4 \left( {1\over 2} + i {\sqrt3 \over
   2}\right)
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \mresultat{a = 2 + 2i \sqrt 3}
$$

\itemalph Le module de $z_B$ est $|z_B| = \sqrt {2^2 + (-2\sqrt 3)^2} =
   \sqrt {4 + 12}$, soit \mresultat{|z_B| = 4}. Son argument
   $\theta_B$ vérifie les relations
$$
   \cases{
      \cos \theta_B = {2 \over 4} 
   \cr
      \sin \theta_B = - {2\sqrt 3 \over 4}
   \cr}
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \cases{
      \cos \theta_B = {1 \over 2}
   \cr		    
      \sin \theta_B = -{\sqrt 3 \over 2}
   \cr}
      \qquad \hbox{d'où l'on tire} \qquad
   \dresultat{\theta_B = -{\pi \over 3 }}
      \quad \hbox{à $2k\pi $ près}
$$
On a donc finalement \dresultat{z_B = \left[ 4, -{\pi \over 3}
\right]}

\itemalph
\def \epspath{%
   $HOME/tex_doc/lycee/database//1ere/sti/algebre/complex/}
\epsfxsize = 80mm
$$
   \superboxepsillustrate{geom_005.ps}
$$

\itemalphnum De la même manière que précedemment, on trouve
\mresultat{|z_C| = 4} et $\cos \theta_C = -1$ avec $\sin \theta_C =
0$. On en déduit que \mresultat{\theta_C = \pi } convient.

\item{} Pour $z_D$, on trouve \mresultat{|z_D| = 2} d'où $\cos
\theta_D = -1/2$ et $\sin \theta_D = {\sqrt 3 \over 2}$. On en déduit
que \mresultat{\theta_D = 2\pi /3} à $2k\pi $ près. Finalement, on a
$$
   \dresultat{z_C = [4, \pi]}
      \qquad {\rm et} \qquad
   \dresultat{z_D = \left[ 2, {2\pi \over 3} \right]}
$$

\itemalphnum On a $|z_A| = |z_B| = |z_C| = 4$, donc on a l'égalité de
      distances $OA = OB = OC = 4$. En d'autres termes, les points
      $A$, $B$ et $C$ sont tous sur le \tresultat{même cercle de
      centre $O$ et de rayon 4}.

\itemalph Le milieu du segment $[AC]$ a pour affixe
$$
   {1 \over 2} (z_A + z_C)
      = {1 \over 2} (2 + 2i\sqrt 3 - 4)
      = -1 + i \sqrt 3 = z_D
$$
Donc \tresultat{$D$ est bien le milieu de $[AC]$}.

\itemalph On calcule les différentes distances concernées, puis on
applique le théorème de Pythagore~:
$$\displaylines{
   AB = |z_B - z_A| = |(2-2i\sqrt 3) - (2+2i\sqrt 3)|
      = |-4i\sqrt3| = \sqrt {48}
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \mresultat{AB = 4\sqrt 3}
\cr
   AD = |z_D - z_A| = |(-1+i\sqrt 3) - (2+2i\sqrt 3)|
      = |-3 -i\sqrt 3| = \sqrt {12}
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \mresultat{AD = 2\sqrt 3}
\cr
   BD = |z_D - z_B| = |(-1+i\sqrt 3) - (2-2i\sqrt 3)|
      = |-3 + 3i\sqrt 3| = \sqrt {36}
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \mresultat{BD = 6}
\cr
}$$
On a bien $AB^2 = AD^2 + BD^2$ donc \tresultat{$BDA$ rectangle en $D$}.

\itemalph Il suffit de calculer les deux distances encore inconnues~:
$$\displaylines{
   AC = |z_C - z_A| = |-4 - (2+2i\sqrt 3)|
      = |-6 -2i\sqrt 3| = \sqrt {48}
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \mresultat{AC = 4\sqrt 3}
\cr
   BC = |z_C - z_B| = |-4 - (2-2i\sqrt 3)|
      = |-6 +2i\sqrt 3| = \sqrt {48}
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \mresultat{BC = 4\sqrt 3}
\cr
}$$
Finalement, on a $AC = BC = AB$ donc \tresultat{$ABC$ est équilatéral}.

\fincorrige