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Source de geom_006.tex

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\exo {Triangle rectangle et triangle équilatéral}

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal $(O, \vec u, \vec
v)$. On désigne par $i$ le nombre complexe de module~1 et d'argument
$\pi /2$.

On considère les trois nombres complexes
$$
   a = {\sqrt 3\over 4} (1 + i\sqrt 3),
      \qquad \qquad 
   b = \left[ 1, {\pi \over 6}\right],
      \qquad {\rm et} \qquad 
   c = \overline b
$$$\overline b$ désigne le conjugué du nombre complexe $b$.

\itemnum Déterminer la forme algébrique des nombres $b$ et
$c$. (Autrement dit, écrire $b$ et $c$ sous la forme $x+iy$ avec $x$
et $y$ réels.)

\itemnum Déterminer le module de chacun des 4~nombres
$$
   a,
       \qquad
   c,
       \qquad
   b-c,
       \qquad
   a-b.
$$

\itemnum On désigne par $A$, $B$ et $C$ les points du plan complexe
       d'affixes respectives $a$, $b$ et $c$.

\itemitemalph Placer les points $A$, $B$ et $C$ dans le repère
orthonormal $(O, \vec u, \vec v)$ (on demande une construction exacte
pour $B$ et $C$, et une construction approchée pour le point $A$).

\itemitemalph Démontrer que le triangle $OBC$ est équilatéral.

\itemitemalph Démontrer que le triangle $0AB$ est rectangle.

\finexo

\corrige

\catcode`\|=12

\everymath = {\displaystyle }

\itemnum On a $b = \cos \left( {\pi \over 6}\right) + i \sin \left(
{\pi \over 6}\right) $, soit \dresultat {b = {\sqrt 3\over 2} +
{1\over 2}i}. D'où \dresultat {c = {\sqrt 3\over 2} - {1\over 2}i}.

\itemnum On a 
$$\displaylines {
   |a| = \left \vert {\sqrt 3\over 4} \right \vert \times |1 + i\sqrt
    3|
   = \sqrt {3\over 16} \times \sqrt {1+3}
   = {\sqrt 3\over 4} \times 2
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {|a| = {\sqrt 3\over 2}}
\cr
   |c| = \sqrt {{3\over 4} + {1\over 4}}
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {|c| = 1}
\cr
   |b-c| = \left \vert {\sqrt 3\over 2} + {1\over 2}i - {\sqrt 3\over 2} + {1\over 2}i\right \vert 
      = |i|
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {|b-c| = 1}
\cr
   |a-b| = \left \vert {\sqrt 3 \over 4} + {3\over 4}i - {\sqrt 3\over
    2} - {1\over 2}i\right \vert 
      = \left \vert -{\sqrt 3 \over 4} + {1\over 4}i\right \vert 
      = \sqrt {{3\over 16} + {1\over 16}}
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {|a-b| = {1\over 2}}
\cr
}$$

\def \epspath {%
   $HOME/tex_doc/lycee/database/1ere/sti/algebre/complex/}
\epsfxsize = 80 mm

\itemalphnum
$$
   \superboxepsillustrate {geom_006.ps}
$$

\itemalph On a $CB = |b-c| = 1$, $OB = |b| = 1$ et $OC = |c| = 1$,
donc \tresultat {$OBC$ est équilatéral}

\itemalph On a $OA = |a| = \sqrt 3/2$, $OB = |b| = 1$ et $BA = |a-b| =
1/2$. On vérifie que l'on a bien $OA^2 + BA^2 = OB^2$ et on en déduit,
par Pythagore, que \tresultat {$OAB$ rectangle en $A$}

\fincorrige