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Source de geom_009.tex

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\exo {Complexes et géométrie}

\itemnum On considère le nombre complexe $z_1$ défini par
$$
   z_1 = \Big[ 4 ; -{5\pi \over 6}\Big].
$$
Déterminer la forme algébrique de $z_1$.


\itemnum On considère les nombres complexes $z_A$, $z_B$ et $z_C$
définis par
$$
   z_A = 2\sqrt 3 + 2i
      \qquad \qquad
   z_B = -2\sqrt 3 -2i
      \qquad \qquad
   z_C = -4i.
$$

\itemitemalph Déterminer le module et un un argument de $z_A$.

\itemitemalph Déterminer le module de $z_B$.

\itemitemalph Déterminer le module et un un argument de $z_C$.

\itemnum Dans le plan rapporté à un repère orthonormal $(O, \vec u,
      \vec v)$ d'unité graphique $2$~cm (ou $2$~grands carreaux),
      placer les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $z_A$,
      $z_B$, $z_C$.

\itemnum Montrer que les points $A$, $B$ et $C$ sont situés sur un
      même cercle de centre $O$ dont on précisera le rayon.

\itemitemalphnum Calculer la distance $AB$.

\itemitemalph Montrer que le triangle $ABC$ est un triangle rectangle.

\itemnum Soit $G$ le centre de gravité du $ABC$. Déterminer l'affixe
$z_G$ du point $G$.

\finexo

\corrige 

\itemnum
Il vient
$$
   z_1 = 4 \Big( \cos {-5\pi \over 6} + i \sin {-5\pi \over 6}\Big)
      = 4 \Big( -{\sqrt 3\over 2} - {1 \over 2}i\Big)
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {z_1 = -2\sqrt 3 - 2i}
$$

\itemalphnum Il vient
$$
   |z_A| = \sqrt {(2\sqrt 3)^2 + 2^2} = 4
      \qquad {\rm et} \qquad
   \cases {
      \cos \theta _A = 2\sqrt 3 /4 = \sqrt 3 /2
   \cr
      \sin \theta _A = 1/2
   \cr
   }
      \quad \Longrightarrow \quad
   \theta _A = {5\pi \over 6} \quad \rm convient
$$
d'où \dresultat {z_A = \Big[ 4 ; {5\pi \over 6}\Big]}

\itemalph Il vient
$$
   |z_B| = \sqrt {(-2\sqrt 3)^2 + (-2)^2} = \dresultat {4 = |z_B|}
$$

\itemalph Il vient
$$
   |z_C| = \sqrt {(-4)^2} = 4
      \qquad {\rm et} \qquad
   \cases {
      \cos \theta _C = 0
   \cr
      \sin \theta _C = -1
   \cr
   }
      \quad \Longrightarrow \quad
   \theta _C = -{\pi \over 2} \quad \rm convient
      \qquad et \qquad
   \dresultat {z_C = \Big[ 4 ; -{\pi \over 2}\Big]}
$$

\itemnum
\def \epspath {%
   $HOME/tex_doc/lycee/database/1ere/sti/algebre/complex/}
$$
   \superboxepsillustrate {geom_009.ps}
$$

\itemnum On sait, d'après les questions précédentes, que
$$
   |z_A| = 4,
      \qquad \qquad
   |z_B| = 4,
      \qquad {\rm et} \qquad
   |z_C| = 4,
      \qquad \hbox {autrement dit}, \qquad
   OA = OB = OC = 4
$$
ce qui prouve que les points $A$, $B$ et $C$ sont \tresultat {sur un
même cercle de centre $O$ et de rayon $4$}.

\catcode`\|=12
\itemalphnum Il vient
$$\eqalign {
   AB &= |z_B - z_A| 
\cr
      &= \left| -2\sqrt 3 - 2i - \big(2\sqrt 3 + 2i\big) \right|
\cr
      &= \left| -4\sqrt 3 - 4i\right|
\cr
      &= \sqrt { (-4\sqrt 3)^2 + (- 4)^2}
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {AB = 8}.
\cr
}$$

\itemalph Les points $A$, $B$ et $C$ sont tous sur le même cercle de
centre $O$ et de rayon $4$ d'après la question {\bf 3.}, et $AB = 8$
d'après la question précédente. On en déduit que $[AB]$ est un
diamètre du cercle, ce qui prouve que \tresultat {$ABC$ est un
triangle rectangle en $C$}.

\itemnum Si $G$ est le centre de gravité du triangle $ABC$, il vérifie
l'égalité
$$
   \overrightarrow {OG} = {1\over 3} \overrightarrow {OC}
$$
puisque $O$ est le milieu de $[AB]$ (car centre du cercle dont $[AB]$
est un diamètre). De cette égalité vectorielle, on tire l'égalité
d'affixes~:
$$
   z_G = {1\over 3} z_C = {1\over 3} \times (-4i)
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat {z_G = - {4\over 3}i}.
$$

\fincorrige