Retour

Source de pbm_001.tex

Fichier TeX
Image JPEG
%% complexes, forme algebrique, forme trigonometrique

\exo{Complexes et géométrie dans un triangle\dots}

\itemnum On considère les trois nombres complexes $z_A$, $z_B$ et $z_C$
définis par~:
$$
   z_A = \sqrt3 + i, 
      \qquad 
   z_B = -\sqrt3 + 3i
      \qquad {\rm et} \qquad
   z_C = \Big[ {4\over3}, {\pi \over2} \Big]
$$
 
\itemitemalph Déterminer le module et un argument de $z_A$.

\itemitemalph Déterminer le module et un argument de $z_B$.

\itemitemalph Déterminer la forme algébrique de $z_C$.

\itemnum Dans le plan rapporté à un repère orthonormal $(O, \vec u,
      \vec v)$ d'unité graphique $2$~cm (ou $2$~grands carreaux),
      placer les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $z_A$,
      $z_B$, $z_C$.

\itemitemalphnum Calculer la distance $AB$.

\itemitemalph Montrer que le triangle $OAB$ est un triangle rectangle.

\itemitemalph Déterminer l'affixe du milieu de $[AB]$.

\itemitemalph Montrer que $C$ est le centre de gravité du triangle $OAB$.

\finexo

\corrige{}

\def \epspath{%
   $HOME/tex_doc/lycee/database/1ere/sti/algebre/complex/}

\epsfxsize = 50mm

\rightsuperboxepsillustrate{pbm_001.ps}{-13}
%
%
\alphnum\ On a 
$$ 
   |z_A| = 2, 
      \qquad {\rm d'où} \qquad
   \cases{
      \cos \theta_A = \sqrt3 /2  
   \cr
      \sin \theta_A = 1/2
   \cr},
      \qquad {\rm et} \qquad
   \dresultat{z_A = \Big[ 2, {\pi \over6} \Big]}
$$

\alph\ De la même façon, $|z_B| = \sqrt{12} = 2 \sqrt3$ d'où
$$
   \cases{
      \cos \theta_B = -1/2
   \cr
      \sin \theta_B = \sqrt3 /2
   \cr},
      \qquad {\rm et} \qquad
\dresultat{z_B = \Big[ 2 \sqrt3, {2\pi \over3} \Big]}
$$

\alph\ Par définition, on a 
$$
   z_C = {4\over3} \Big( \cos {\pi \over2} + i \sin {\pi \over2} \Big)
      = {4\over3}i
      \qquad {\rm soit} \qquad
   \dresultat{z_C = {4\over3}i}
$$

\advance \numno by 1

\alphnum\ On a $|AB| = |z_B - z_A| = |-2\sqrt3 + 2i|$, soit
      \mresultat{AB = 4}.

\alph\ Comme $OA = |z_A| = 2$ d'après {\bf 1.} {\sl a\/}), et que
$OB = |z_B| = 2\sqrt3$ d'après {\bf 1.} {\sl b\/}), on a $OA^2 + OB^2
= AB^2$, et le théorème de Pythagore permet d'affirmer que
\tresultat{$OAB$ est rectangle en $O$}.

\alph\ L'affixe du milieu de $[AB]$ est $z_G = {1\over2} (z_A + z_B)$,
soit \mresultat{z_G = 2i}

\alph\ Les points $O$, $C$ et $G$ sont tous sur l'axe $Oy$ car la
partie réelle de leur affixe est nulle. Comme $G$  milieu de $[AB]$,
on en déduit que $C$ est sur la médiane de $OAB$ isuue de $O$. De
plus, $OC = 4/3$ et $OG = |z_G| = 2$. On en déduit que $C$ est situé
aux $2/3$ de cette médiane, ce qui prouve que
\tresultat{$C$ centre de gravité de $OAB$}


\fincorrige