%% complexes, forme algebrique, forme trigonometrique \exo{Complexes et géométrie dans un triangle\dots} \itemnum On considère les trois nombres complexes $z_A$, $z_B$ et $z_C$ définis par~: $$ z_A = \sqrt3 + i, \qquad z_B = -\sqrt3 + 3i \qquad {\rm et} \qquad z_C = \Big[ {4\over3}, {\pi \over2} \Big] $$ \itemitemalph Déterminer le module et un argument de $z_A$. \itemitemalph Déterminer le module et un argument de $z_B$. \itemitemalph Déterminer la forme algébrique de $z_C$. \itemnum Dans le plan rapporté à un repère orthonormal $(O, \vec u, \vec v)$ d'unité graphique $2$~cm (ou $2$~grands carreaux), placer les points $A$, $B$ et $C$ d'affixes respectives $z_A$, $z_B$, $z_C$. \itemitemalphnum Calculer la distance $AB$. \itemitemalph Montrer que le triangle $OAB$ est un triangle rectangle. \itemitemalph Déterminer l'affixe du milieu de $[AB]$. \itemitemalph Montrer que $C$ est le centre de gravité du triangle $OAB$. \finexo \corrige{} \def \epspath{% $HOME/tex_doc/lycee/database/1ere/sti/algebre/complex/} \epsfxsize = 50mm \rightsuperboxepsillustrate{pbm_001.ps}{-13} % % \alphnum\ On a $$ |z_A| = 2, \qquad {\rm d'où} \qquad \cases{ \cos \theta_A = \sqrt3 /2 \cr \sin \theta_A = 1/2 \cr}, \qquad {\rm et} \qquad \dresultat{z_A = \Big[ 2, {\pi \over6} \Big]} $$ \alph\ De la même façon, $|z_B| = \sqrt{12} = 2 \sqrt3$ d'où $$ \cases{ \cos \theta_B = -1/2 \cr \sin \theta_B = \sqrt3 /2 \cr}, \qquad {\rm et} \qquad \dresultat{z_B = \Big[ 2 \sqrt3, {2\pi \over3} \Big]} $$ \alph\ Par définition, on a $$ z_C = {4\over3} \Big( \cos {\pi \over2} + i \sin {\pi \over2} \Big) = {4\over3}i \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat{z_C = {4\over3}i} $$ \advance \numno by 1 \alphnum\ On a $|AB| = |z_B - z_A| = |-2\sqrt3 + 2i|$, soit \mresultat{AB = 4}. \alph\ Comme $OA = |z_A| = 2$ d'après {\bf 1.} {\sl a\/}), et que $OB = |z_B| = 2\sqrt3$ d'après {\bf 1.} {\sl b\/}), on a $OA^2 + OB^2 = AB^2$, et le théorème de Pythagore permet d'affirmer que \tresultat{$OAB$ est rectangle en $O$}. \alph\ L'affixe du milieu de $[AB]$ est $z_G = {1\over2} (z_A + z_B)$, soit \mresultat{z_G = 2i} \alph\ Les points $O$, $C$ et $G$ sont tous sur l'axe $Oy$ car la partie réelle de leur affixe est nulle. Comme $G$ milieu de $[AB]$, on en déduit que $C$ est sur la médiane de $OAB$ isuue de $O$. De plus, $OC = 4/3$ et $OG = |z_G| = 2$. On en déduit que $C$ est situé aux $2/3$ de cette médiane, ce qui prouve que \tresultat{$C$ centre de gravité de $OAB$} \fincorrige