\exo {Résolutions d'équations et d'inéquations polynomiales} On considère la fonction $f$ définie sur $\rset $ par $$ f (x) = -x^2 - 2x + 2. $$ Sa courbe représentative, d'équation $y = -x^2 - 2x + 2$, est donnée ci-dessous~: \def \epspath {% $HOME/tex_doc/lycee/database/1ere/sti/algebre/polynome/} $$ \superboxepsillustrate {graph_001a.ps} $$ \itemnum {\sl Partie graphique} \itemitemalph Résoudre graphiquement l'équation $$ -x^2 - 2x + 2 = 0. $$ \itemitemalph Dans le dessin ci-dessus, représenter la courbe d'équation $$ y = -2x - 1. $$ \itemitemalph Résoudre graphiquement l'inéquation $$ -x^2 - 2x + 2 \leq -2x -1. $$ \itemnum {\sl Partie calcul} \itemitemalph Résoudre dans $\rset $ l'équation $$ -x^2 - 2x + 2 = 0. $$ \itemitemalph Résoudre dans $\rset $ l'inéquation $$ -x^2 - 2x + 2 \leq -2x -1. $$ \finexo \corrige \itemalphnum Graphiquement, les solutions de l'équation $-x^2 - 2x + 2 = 0$ correspondent aux abscisses des points d'intersection de la courbe $y = -x^2 - 2x + 2$ avec l'axe des abscisses $y = 0$. On lit donc \tresultat {2~solutions~: $x_1\approx -2, 6$ et $x_2\approx 0, 7$}. \itemalph \def \epspath {% $HOME/tex_doc/lycee/database/1ere/sti/algebre/polynome/} $$ \superboxepsillustrate {graph_001b.ps} $$ \itemalph Graphiquement, les solutions de l'inéquation $-x^2 - 2x + 2 \leq -2x-1$ correspondent aux abscisses des points de la parabole qui sont situés en-dessous des points de la droite $y = -2x-1$. Il y a donc deux intervalles solutions et \dresultat {S = \, ]-\infty ; -1, 7] \, \cup \, [1, 7; +\infty [} \itemalphnum On résoud l'équation $-x^2 - 2x + 2 = 0$ en utilisant la méthode du discriminant. On trouve $\Delta = 12$ d'où les deux racines réelles $$ x_1 = {2 - \sqrt {12}\over 2} = {2 - 2\sqrt {3}\over 2} \quad {\rm soit} \quad \dresultat {x_1 = 1 - \sqrt 3} \qquad {\rm et} \qquad x_2 = {2 - \sqrt {12}\over 2} = \dresultat {1 + \sqrt 3 = x_2} $$ \itemalph Il vient $$ -x^2 - 2x + 2 \leq -2x -1 \quad \Longleftrightarrow \quad -x^2 + 3 \leq 0. $$ Et résoudre cette dernière inéquation revient à déterminer le signe du polynôme $3-x^2$. Si on ne s'aperçoit pas de l'identité remarquable $3-x^2 = (\sqrt 3 - x) (\sqrt 3 + x)$, on peut encore utiliser la méthode du discriminant. On trouve alors $\Delta = 12$, d'où les 2~racines réelles $\sqrt 3$ et $-\sqrt 3$. Le cours nous dit alors que le polynôme est du signe de $-a$ à l'intérieur de l'intervalle des racines, et du signe de $a$ à l'extérieur de cet intervalle. Comme ici $a$ est négatif (puisque $a=-1$), on en déduit que $$\displaylines { -x^2 + 3 \leq 0. \quad \Longleftrightarrow \quad x \in \, ]-\infty ; -\sqrt 3] \cup [\sqrt 3; +\infty [ \qquad \hbox {ce qui prouve que} \cr -x^2 - 2x + 2 \leq -2x -1 \quad \Longleftrightarrow \quad \dresultat {x \in \, ]-\infty ; -\sqrt 3] \cup [\sqrt 3; +\infty [} \cr }$$ \fincorrige