\exo {Résolutions d'équations et d'inéquations polynomiales} On considère la fonction $f$ définie sur $\rset $ par $$ f (x) = x^2 - 2x - 1. $$ Sa courbe représentative, d'équation $y = x^2 - 2x - 1$, est donnée ci-dessous~: \def \epspath {% $HOME/tex_doc/lycee/database/1ere/sti/algebre/polynome/} $$ \superboxepsillustrate {graph_002a.ps} $$ \itemnum {\sl Partie graphique} \itemitemalph Résoudre graphiquement l'équation $$ x^2 - 2x - 1 = 0. $$ \itemitemalph Dans le dessin ci-dessus, représenter la courbe d'équation $$ y = {1\over 2}x + {1\over 2}. $$ \itemitemalph Résoudre graphiquement l'inéquation $$ x^2 - 2x - 1 \leq {1\over 2}x + {1\over 2}. $$ \itemnum {\sl Partie calcul} \itemitemalph Résoudre dans $\rset $ l'équation $$ x^2 - 2x - 1 = 0. $$ \itemitemalph Résoudre dans $\rset $ l'inéquation $$ x^2 - 2x - 1 \leq {1\over 2}x + {1\over 2}. $$ \finexo \corrige \itemalphnum Graphiquement, les solutions de l'équation $x^2 - 2x - 1 = 0$ correspondent aux abscisses des points d'intersection de la courbe $y = x^2 - 2x - 1$ avec l'axe des abscisses $y = 0$. On lit donc \tresultat {2~solutions~: $x_1\approx -0, 4$ et $x_2\approx 2, 4$}. \itemalph \epsfxsize 60mm \def \epspath {% $HOME/tex_doc/lycee/database/1ere/sti/algebre/polynome/} $$ \superboxepsillustrate {graph_002b.ps} $$ \itemalph Graphiquement, les solutions de l'inéquation $x^2 - 2x - 1 \leq {1\over 2}x + {1\over 2}$ correspondent aux abscisses des points de la parabole qui sont situés en-dessous des points de la droite $y = {1\over 2} x + {1\over 2}$. Il y a donc un seul intervalle solution et \dresultat {S = [-0, 5 ; 3]} \itemalphnum On résoud l'équation $x^2 - 2x - 1 = 0$ en utilisant la méthode du discriminant. On trouve $\Delta = 8$ d'où les deux racines réelles $$ x_1 = {2 - \sqrt {8}\over 2} = {2 - 2\sqrt {2}\over 2} \quad {\rm soit} \quad \dresultat {x_1 = 1 - \sqrt 2} \qquad {\rm et} \qquad x_2 = {2 + \sqrt {8}\over 2} = \dresultat {1 + \sqrt 2 = x_2} $$ \itemalph Il vient $$ x^2 - 2x - 1 \leq {1\over 2}x + {1\over 2} \quad \Longleftrightarrow \quad x^2 - {5\over 2} x - {3\over 2} \leq 0. $$ Et résoudre cette dernière inéquation revient à déterminer le signe du polynôme $x^2 - {5\over 2} x - {3\over 2}$. On utilise pour cela la méthode du discriminant. Il vient $$ \Delta = {25\over 4} + {4\times 3 \over 2} = {49\over 4} = \left( {7\over 2} \right) ^2 $$ d'où les 2~racines réelles et la factorisation~: $$ x_1 = {{5\over 2} - {7\over 2}\over 2} = \dresultat {-{1\over 2} = x_1} \qquad \qquad x_2 = {{5\over 2} + {7\over 2}\over 2} = \dresultat {3 = x_2} \qquad {\rm et} \qquad P (x) = \left( x + {1\over 2}\right) (x-3) $$ %% %% {\bf version 1.} %% Le tableau de signes donne alors~: $$\vcenter{\offinterlineskip \eightpoint \rm \halign{ % preamble \tv #& \cc{$#$}& \tv #& $#$& \cc{$#$} & \cc{$#$} & \cc{$#$} & \cc{$#$} & \cc{$#$} & $#$ \cr & x && -\infty && -1/2 && 3 && +\infty \cr \noalign {\hrule height 1pt} & x+{1\over 2} &&& - & 0& + & \tv & + \cr \noalign{\hrule} & x-3 &&& - & \tv & - & 0 & + & \cr \noalign{\hrule} \noalign{\hrule} & P (x) &&& + & 0 & - & 0 & + \cr \noalign{\hrule} }}$$ d'où la conclusion~: $$\displaylines { x^2 - {5\over 2} x - {3\over 2} \leq 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x \in \left[ - {1\over 2} ; 3\right] \qquad \hbox {ce qui prouve que} \cr x^2 - 2x - 1 \leq {1\over 2}x + {1\over 2} \quad \Longleftrightarrow \quad \dresultat {x \in \left[ - {1\over 2} ; 3\right] } \cr }$$ %% {\bf version 2.} %% %% Le cours nous dit alors que %% le polynôme est du signe de $-a$ à l'intérieur de l'intervalle des %% racines, et du signe de $a$ à l'extérieur de cet intervalle. Comme ici %% $a$ est positif (puisque $a=1$), on en déduit que %% $$\displaylines { %% x^2 - {5\over 2} x - {3\over 2} \leq 0 %% \quad \Longleftrightarrow \quad %% x \in \left[ - {1\over 2} ; 3\right] %% \qquad \hbox {ce qui prouve que} %% \cr %% x^2 - 2x - 1 \leq {1\over 2}x + {1\over 2} %% \quad \Longleftrightarrow \quad %% \dresultat {x \in \left[ - {1\over 2} ; 3\right] } %% \cr %% }$$ \fincorrige