\exo {\' Equation polynomiale de degré~2} On considère le polynôme $P$ défini par $$ P (x) = 4x^2 + x - {1\over 2}. $$ \itemnum Résoudre dans $\rset $ l'équation $P (x) = 0$. \itemnum Déterminer la forme factorisée de $P (x)$. \itemnum Résoudre dans $\rset $ l'inéquation $P (x) \leq 0$. \finexo \corrige {} \itemnum On a un polynôme du second degré, du type $ax^2 + bx + c$ avec $$ a = 4, \qquad b = -1 \qquad c = -{1\over 2}. $$ Le calcul du discriminant donne \dresultat {\Delta = 9}. Ce dernier étant positif, on en déduit que l'équation proposée possède \tresultat {deux solutions réelles~: $\displaystyle {- {1\over 2}}$ et $\displaystyle {{1\over 4}}$}. \itemnum La forme factorisée est donc \dresultat {P (x) = 4 \left( x + {1\over 2} \right) \left( x - {1\over 4}\right) }. \itemnum Le tableau de signes s'impose $$\vcenter{\offinterlineskip \eightpoint \rm \halign{ % preamble \tv #& \cc{$#$}& \tv #& $#$& \cc{$#$} & \cc{$#$} & \cc{$#$} & \cc{$#$} & \cc{$#$} & $#$ \cr & x && -\infty && -1/2 && 1/4 && +\infty \cr \noalign {\hrule height 1pt} & 4 &&& + & \tv & + & \tv & + \cr \noalign{\hrule} & x+{1\over 2} &&& - & 0& + & \tv & + \cr \noalign{\hrule} & x-{1\over 4} &&& - & \tv & - & 0 & + & \cr \noalign{\hrule} \noalign{\hrule} & P (x) &&& + & 0 & - & 0 & + \cr \noalign{\hrule} }}$$ Et on conclut~: $P (x) \geq 0$ si et seulement si \dresultat {x \in \, ]-\infty ; -1/2] \cup [1/4 ; +\infty [}. \fincorrige