\exo {Racines et factorisation d'un polynôme du second degré} On considère le polynôme $P$ défini par $$ Q (x) = 4x^2 - 4x +1. $$ \itemnum Résoudre dans $\rset $ l'équation $Q (x) = 0$. \itemnum Déterminer une forme factorisée du polynôme $Q$. \itemnum Résoudre dans $\rset $ l'inéquation $Q (x) \geq 0$. \finexo \corrige \itemnum On utilise la méthode du discriminant. On trouve $\Delta = 0$, d'où la racine double \dresultat {x = {1\over 2}}. \itemnum Le polynôme $Q$ se factorise alors en $$ \dresultat {Q (x) = 4 \left( x - {1\over 2}\right) ^2} $$ \bgroup \eightpoint \rm Remarque~: on pourrait remarquer que $$ Q (x) = 2^2 \left( x - {1\over 2}\right) ^2 = \left[ 2\left( x - {1\over 2}\right) \right] ^2 = (2x-1)^2 $$ \egroup \itemnum On a alors le tableau de signes $$\vcenter{\offinterlineskip \eightpoint \rm \halign{ % preamble \tv #& \cc{$#$}& \tv #& $#$& \cc{$#$} & \cc{$#$} & \cc{$#$} & \cc{$#$} & \cc{$#$} & $#$ \cr & x && -\infty && 1/2 && +\infty \cr \noalign {\hrule height 1pt} & 4 &&& + & \tv & + \cr \noalign {\hrule } & x-{1\over 2} &&& - & 0& + \cr \noalign {\hrule} & x-{1\over 2} &&& - & 0& + \cr \noalign {\hrule height 1pt} & P (x) &&& + & 0 & + \cr \noalign{\hrule} }}$$ qui permet de conclure~: $Q (x) \geq 0$ pour \tresultat {tout $x\in \rset $}. \fincorrige