%% format (plain.tex + fichiers de macro) OU (jpv.tex) %% fichiers de macro basejpv.tex %% sujet equations, inequations, polynomes %% date 25-09-97 %% auteur jp vignault \exo{\'Equations et inéquations polynômiales} On pose $E (x) = (2x+1) (x-2) - (x-2) (x+4)$. \itemnum Développer $E (x)$. \itemnum Factoriser $E (x)$. \itemnum Résoudre dans $\rset$ l'équation $E (x) = 0$. \itemnum Résoudre dans $\rset$ l'équation $E (x) = 6$. %\itemnum Résoudre dans $\rset$ l'inéquation $E (x) \geq 0$. \finexo \corrige \itemnum Il vient $$\eqalign { E (x) &= (2x+1) (x-2) - (x-2) (x+4) \cr &= (2x^2 -4x +x-2) - (x^2 + 4x -2 x -8) \cr &= (2x^2 -3x -2) - (x^2 + 2x -8) \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {P (x) = x^2 -5x + 6} }$$ \itemnum En utilisant la factorisation par facteur commun évident, il vient $$\eqalign { E (x) &= (2x+1) (x-2) - (x-2) (x+4) \cr &= (x-2) \big( (2x+1) - (x+4)\big) \qquad {\rm soit} \qquad \dresultat {P (x) = (x-2) (x-3)} }$$ \itemnum En utilisant la forme factorisée de $P (x)$, on a immédiatement~: $$ P (x) = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad (x-2) (x-3) = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x-2 = 0 \quad {\rm ou} \quad x-3 = 0 $$ D'où les 2 solutions~: \tresultat {$x = 2$ ou $x = 3$}. \itemnum En utilisant la forme développée de $P (x)$, il vient $$\eqalign { P (x) = 6 \quad &\Longleftrightarrow \quad x^2 - 5x + 6 = 6 \quad \Longleftrightarrow \quad x^2 - 5x = 0 \cr \quad &\Longleftrightarrow \quad x (x - 5) = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x = 0 \quad {\rm ou} \quad x-5 = 0 }$$ D'où les 2 solutions~: \tresultat {$x = 0$ ou $x = 5$}. \fincorrige