\exo{Factorisation par $(x - \alpha )$} \item{} On considère le polynôme $P (x) = 2x^3 - 17 x^2 + 12 x + 63$. \itemitemalph Développer $2(x-7)(x+{3\over2})$. \itemitemalph Calculer $P (3)$. \itemitemalph En déduire une factorisation de $P$ sous la forme \quad $P (x) = (x - 3) Q (x)$, \quad où $Q$ est un polynôme de degré~2. \itemitemalph \`A l'aide des questions précédentes, résoudre dans $\rset$ l'équation~: \quad $P (x) = 0$. \finexo \corrige{} On considère le polynôme $P (x) = 2x^3 - 17 x^2 + 12 x + 63$. \itemalph On trouve $2(x-7)(x+{3\over2}) = \dresultat {2x^2 - 11x - 21}$. \itemalph Et on trouve \dresultat {P (3) = 0}. \itemalph On peut donc factoriser $P$ par $(x-3)$, et $$ P (x) = (x-3) (ax^2 + bx + c) $$ où $a$, $b$, $c$ sont des réels à déterminer. En développant puis en identifiant, il vient $$ P (x) = ax^3 + (b-3a)x^2 + (c-3b)x -3c = 2x^3 - 17 x^2 + 12 x + 63 $$ d'où le système $$ \cases { a = 2 \cr b-3a = -17 \cr c-3b = 12 \cr -3c = 63 \cr } \qquad \hbox {qui donne} \qquad (a, b, c) = (2, -11, -21) $$ autrement dit \dresultat {P (x) = (x-3) (2x^2 - 11x - 21)}. \itemalph En utilisant les questions précédentes, il vient $$ P (x) = 0 \qquad \Longleftrightarrow \qquad 2(x-3)(x-7)\left( x+{3\over2} \right) = 0 $$ On trouve alors facilement qu'il y a \tresultat {$3$ solutions~: $-{3\over 2}$, $3$ et $7$} puisqu'un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul. \fincorrige