\exo {Un polynôme de degré~3} On considère le polynôme $P$ défini par $$ P (x) = 6x^3 + 5x^2 - 2x - 1. $$ \itemnum Calculer $P (-1)$. \itemnum En déduire une factorisation de $P$ sous la forme $$ P (x) = (x+1) Q (x) $$ où $Q (x)$ est un polynôme de degré~2 à déterminer. \itemnum Résoudre dans $\rset $ l'équation $P (x) = 0$. \finexo \corrige {} \itemnum On trouve \dresultat {P (-1) = 0}. \itemnum Donc $P$ se factorise sous la forme $$ P (x) = (x+1) (ax^2 + b x + c) $$ où $a$, $b$ et $c$ sont des constantes réelles à déterminer. \item {} En développant puis en réduisant l'expression ci-dessus, et en l'identifiant avec l'expression de départ, il vient $$ P (x) = ax^3 + (b+a)x^2 + (c+b) x + c = 6x^3 + 5x^2 - 2x - 1. $$ Par identification des coefficients, on obteient alors le système $$ \cases { a = 6 \cr b+a = 5 \cr c+b = -2 \cr c = -1 \cr } \qquad \Longleftrightarrow \qquad \cases { a = 6 \cr b = -1 \cr c = -1 \cr } $$ puis la factorisation de $p$~: \dresultat {P (x) = (x+1) (6x^2 - x - 1)}. \itemnum On a donc $P (x)$ sous la forme d'un produit de facteurs. Celui-ci est donc nul si et seulement si l'un des facteurs est nul. Le facteur $(x+1)$ donne la solution \dresultat {x = -1} (déjà trouvée à la question {\bf 1.}), et le facteur $(6x^2 - x - 1)$ donne \tresultat {deux autres solutions~: $x = -1/3$ et $x = 1/2$} (trouvées avec la méthode du discriminant $\Delta $, ici égal à $25$). \fincorrige