\exo {Factorisation par $(x - \alpha )$} On considère le polynôme $P (x) = 2 x^3 + x^2 - 5 x + 2$. \itemitemalph Développer $(x - 1) (2 x - 1)$. \itemitemalph Calculer $P (-2)$. \itemitemalph En déduire une factorisation de $P$ sous la forme \quad $P (x) = (x + 2) (ax^2 + bx +c)$. \itemitemalph \`A l'aide des questions précédentes, résoudre dans $\rset$ l'équation~: \quad $P (x) = 0$. \finexo \corrige{} On considère le polynôme $P (x) = 2 x^3 + x^2 - 5 x + 2$. \itemalph On trouve $(x - 1) (2 x - 1) = \dresultat {2 x^2 - 3 x + 1}$. \itemalph Et on trouve \dresultat {P (-2) = 0}. \itemalph On peut donc factoriser $P$ par $(x+2)$, et $$ P (x) = (x+2) (ax^2 + bx + c) $$ où $a$, $b$, $c$ sont des réels à déterminer. En développant puis en identifiant, il vient $$ P (x) = ax^3 + (b+2a)x^2 + (c+2b)x +2c = 2 x^3 + x^2 - 5 x + 2 $$ d'où le système $$ \cases { a = 2 \cr b+2a = 1 \cr c+2b = -5 \cr 2c = 2 \cr } \qquad \hbox {qui donne} \qquad (a, b, c) = (2, -3, 1) $$ autrement dit \dresultat {P (x) = (x+2) (2x^2 - 3x + 1)}. \itemalph En utilisant les questions précédentes, il vient $$ P (x) = 0 \qquad \Longleftrightarrow \qquad (x - 1) (x + 2) (2 x - 1) = 0 $$ On trouve alors facilement qu'il y a \tresultat {$3$ solutions~: $1$, $-2$ et $1/2$} puisqu'un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul. \fincorrige