\exo {Factorisation par $(x - \alpha )$} \item {} On considère le polynôme $Q (x) = - 2 x^3 + 3 x^2 + 3 x - 2$. \itemitemalph Développer $(2x-1)(2-x)$. \itemitemalph Calculer $Q (-1)$. \itemitemalph En déduire une factorisation de $Q$ sous la forme \quad $Q (x) = (x + 1) (ax^2 + bx +c)$. \itemitemalph \`A l'aide des questions précédentes, résoudre dans $\rset$ l'équation~: \quad $Q (x) = 0$. \finexo \corrige{} On considère le polynôme $Q (x) = - 2 x^3 + 3 x^2 + 3 x - 2$. \itemalph On trouve $ (2 x - 1) (2-x)= \dresultat {- 2 x^2 + 5 x - 2}$. \itemalph Et on trouve \dresultat {Q (-1) = 0}. \itemalph On peut donc factoriser $Q$ par $(x+1)$, et $$ Q (x) = (x+1) (ax^2 + bx + c) $$ où $a$, $b$, $c$ sont des réels à déterminer. En développant puis en identifiant, il vient $$ Q (x) = ax^3 + (b+a)x^2 + (c+b)x +c = - 2 x^3 + 3 x^2 + 3 x - 2 $$ d'où le système $$ \cases { a = -2 \cr b+a = 3 \cr c+b = 3 \cr c = -2 \cr } \qquad \hbox {qui donne} \qquad (a, b, c) = (-2, 5, -2) $$ autrement dit \dresultat {Q (x) = (x+1) (2x^2 - 3x + 1)}. \itemalph En utilisant les questions précédentes, il vient $$ Q (x) = 0 \qquad \Longleftrightarrow \qquad (x + 1) (2 - x) (2 x - 1) = 0 $$ On trouve alors facilement qu'il y a \tresultat {$3$ solutions~: $-1$, $2$ et $1/2$} puisqu'un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul. \fincorrige