\exo {Un vaccin efficace !} Un laboratoire veut tester l'efficacité d'un vaccin sur des souris. Certaines ont été vaccinées, d'autre pas. Toutes ont reçu le virus de la maladie considérée. Certaines ont développé la maladie, d'autres pas. Voici les informations dont on dispose~: \itemitem {$\bullet $} le laboratoire a effectué cette expérience sur 320 souris au total~; \itemitem {$\bullet $} 170 souris ont été vaccinées~; \itemitem {$\bullet $} 220 souris ont développé la maladie et, parmi celles-ci, 130 avaient été vaccinées. \itemnum Recopier et compléter le tableau suivant~: $$\vcenter {\offinterlineskip \def \cc#1{% \hskip .5em \hfill #1\hfill \hskip .5em } \halign { % preamble \tv #&& \cc {#}& #\tv \cr \omit & \omit & \omit & \omit \hrulefill & \omit & \omit \hrulefill & \omit & \omit \hrulefill \cr \omit & \omit && \tvi height 15pt depth 12pt $\matrix {\hbox {Souris ayant}\cr \hbox {développé la maladie}\cr }$ && $\matrix {\hbox {Souris n'ayant pas}\cr \hbox {développé la maladie}\cr }$ && Total& \cr \noalign {\hrule } & Souris vaccinées&& && && & \cr \noalign {\hrule } & Souris non vaccinées&& && && & \cr \noalign {\hrule } & Total&& && && & \cr \noalign {\hrule } }} $$ \itemnum En arrondissant chaque résultat à l'entier le plus proche, calculer le pourcentage~: \itemitemalph de souris n'ayant pas développé la maladie \itemitemalph de souris non vaccinées \itemitemalph de souris ayant développé la maladie, parmi celles qui n'ont pas été vaccinées \itemitemalph de souris ayant développé la maladie, parmi celles qui ont été vaccinées. \itemnum Que penser de ce vaccin~? \itemnum On choisit au hasard une souris parmi les 320. Calculer la probabilité, à $10^{-2}$ près, dés événements suivants~: \itemitem {} $A$~: \og {\sl La souris est malade}\fg \itemitem {} $B$~: \og {\sl La souris est vaccinée}\fg \itemnum On considère les événements suivants~: $$ A\cap B, \qquad \qquad A\cup B, \qquad \qquad A\cap \overline {B}, \qquad \qquad \overline {A}\cap \overline {B} $$ où $\overline {A}$ et $\overline {B}$ désignent respectivement les événements contraires de $A$ et de $B$. \item {} Définir chacun de ces événements par une phrase en français puis calculer leur pro\-ba\-bi\-li\-té à $10^{-2}$ près. \finexo \corrige \itemnum $$\vcenter {\offinterlineskip \def \cc#1{% \hskip .5em \hfill #1\hfill \hskip .5em } \halign { % preamble \tv #&& \cc {#}& #\tv \cr \omit & \omit & \omit & \omit \hrulefill & \omit & \omit \hrulefill & \omit & \omit \hrulefill \cr \omit & \omit && \tvi height 15pt depth 12pt $\matrix {\hbox {Souris ayant}\cr \hbox {développé la maladie}\cr }$ && $\matrix {\hbox {Souris n'ayant pas}\cr \hbox {développé la maladie}\cr }$ && Total& \cr \noalign {\hrule } & Souris vaccinées&& \bf 130&& $40$&& \bf 170& \cr \noalign {\hrule } & Souris non vaccinées&& $90$&& $60$&& $150$& \cr \noalign {\hrule } & Total&& \bf 220&& $100$&& \bf 320& \cr \noalign {\hrule } }} $$ \itemalph Il y a \dresultat {{100\over 320} \approx 31\% } de souris n'ayant pas développé la maladie \itemalph Il y a \dresultat {{150\over 320} \approx 47\% } de souris non vaccinées \itemalph Il y a \dresultat {{90\over 150} \approx 60\% } de souris ayant développé la maladie, parmi celles qui n'ont pas été vaccinées \itemalph Il y a \dresultat {{130\over 170} \approx 76\% } de souris ayant développé la maladie, parmi celles qui ont été vaccinées. \itemnum Au vu des résultats ci-dessus, on peut penser que \tresultat {le vaccin favorise le développement de la maladie} puisque, en proportion, il y a plus de souris malades chez les vaccinées que chez les non vaccinées ($76\%$ contre $60\%$, soit un risque accru de $16$ points). \itemnum Il y a $320$ issues possibles, dont $220$ favorables à l'événement $A$ et $170$ favorables à l'événement $B$. D'où $$ \dresultat {p (A) = {220\over 320} \approx 0, 69} \qquad {\rm et} \qquad \dresultat {p (B) = {170\over 320} \approx 0, 53} $$ \itemnum $A\cap B$~: \tresultat {\og \sl souris malade et vaccinée\fg }. $130$~cas favorables d'où \dresultat {p (A\cap B) = {130\over 320} \approx 0, 41} \item {} $A\cup B$~: \tresultat {\og \sl souris malade ou vaccinée\fg }. $320 - 60 = 260$~cas favorables d'où \dresultat {p (A\cup B) = {260\over 320} \approx 0, 81} \item {} $A\cap \overline B$~: \tresultat {\og \sl souris malade et non vaccinée\fg }. $90$~cas favorables d'où \dresultat {p (A\cap \overline B) = {90\over 320} \approx 0, 28} \item {} $\overline A\cap \overline B$~: \tresultat {\og \sl souris non malade et non vaccinée\fg }. $60$~cas favorables d'où \dresultat {p (\overline A\cap \overline B) = {60\over 320} \approx 0, 19} \fincorrige